数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
/ C, F6 Z5 ], t+ y9 k1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( j( }& {  W  B, m- V( [" ?静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
% Z& ?  j6 a9 B% s# u5 ~, \. `  K: P# D性模型和非线性模型等。
+ D9 L8 ^% n# X+ \( L3 A3. 按模型的应用领域分：
" m/ O: D; r! D2 ~2 K人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
& o& q' ^& z- p/ b$ }  U4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
8 {$ q9 {- B$ R* S/ y- O5. 按对模型结构的了解程度分： ：
4 R5 g  Q& \4 d( ~- {8 w# m  H有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
' `% Q4 ]  [; t5 ~3 A& {比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
  D* @3 \8 j* F2 b7 m- D9 W6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
7 j* c" w5 J5 }数学建模十大算法
; Q! d8 k( I& h5 Z9 G3 E1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
- R/ F4 T9 D, e' Z+ H以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
8 }, @" T2 y! x2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 R9 m0 `0 A4 {* c) A) M3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
( M5 y1 I5 `+ n5 ~( ]这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
& D6 }$ B5 T; g& C1 F) l5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
6 J$ n! g7 y9 C这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
2 w: a5 \5 o+ h6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
2 i7 X2 b+ |! g/ w* F9 s帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
" M0 `0 `, Y( K6 u' R当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
( J  B6 W/ [0 h一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
  v  y4 I( s0 T* k9 Q/ X很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
) Z+ ^8 R' H9 b& Z$ w, N2 e+ \据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
2 W5 @$ q* u& z+ [8 B如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
8 z/ P( x, y# {  o1 y10 、图象处理算法
+ P2 Q# e8 u/ L8 e( X4 `赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
) c) k* E4 L9 M4 ^- U的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
  }" d! Q9 X& h行处理
算法简介
5 \6 t- q5 h* o, e1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
/ J- W$ S  k& w  n解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
4 H1 q3 F6 y4 h8 n. y2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
1 V( \, W6 t" _2 ~+ z0 T找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
0 h7 Y, t, q! {& Z/ t①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
& X+ g  c, |, C# Q+ v一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
& N3 R5 Z# \/ n8 W互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
( g& H2 Y" k) t6 i; J概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
/ @$ r% M, [) W4 W7 i9 L. L: {' ?1 k5、 时间序列预测
: ?+ e, G! U( y4 N9 u  E* c预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
4 ]$ w" n& o- o6 z9 t: ]4 u' V（较好）。
" Z1 b1 o( R) y# E: G6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
/ l/ r$ i7 D  X# e4 E# K预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
9 [0 b1 W' I$ z9 a6 [大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
6 E  A, n; v3 y5 ~8 g  T8、 混沌序列预测（高大上）
) }! X% d# x' R/ [  ^0 C适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
: T% F  X6 b) x# ^在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
* {) ]# i& k% ~5 q5 r优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
! Y2 |( ]1 {1 m# d3 w% I15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
" `4 {( z; @; ~5 ]可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
1 O& d2 {3 P( n2 p. _1 b5 Q! \来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
5 C4 ?- p! w2 k0 i, ]* S16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
" x5 X/ O7 v: \, x3 P' `协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
- Q0 A+ Y* w( G3 Q此外还有灵敏度分析，稳定性分析
4 `. I9 _! u7 f0 H% ?! ]6 ?17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
3 P" {, U- [8 ?& I6 K4 o/ F% _9 E优解。
7 H6 C8 h$ G( G4 e6 Y$ o9 e- A18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
4 _3 }1 x" l4 L+ G; x19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
3 k; k  _+ R  ~, ~* `# Z离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
' ?, @1 H: j4 ^. d2 Y' r有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
  \; ?& E" d3 P& ]2 @般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
$ j; X6 y% ?4 A" x8 n0 M  s! `MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
7 x: q& ]0 ]9 X9 X& _: [$ _射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
1 Z% t/ P5 C9 W2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
7 Z. d6 D' M& V+ m3 }% e' [各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
6 c% |5 W3 f" B$ [' E) ~从而达到降维的目的。
4、判别分析
0 B) e$ I5 V8 C5、典型相关分析
: r3 ~+ W6 T% K% z# [6、对应分析
# C) i5 v8 o6 C* q3 \8 e) B  |; b9 J7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
/ t8 c0 j, q: `& O- F24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
; k$ s4 }( P, J! a8 L8 t3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
: C: ^* {- s+ T  @& I6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
& P2 G4 }; |  _' {% k8、模糊识别
9 F# Z/ Q. b7 U4 w) J: x25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
, \& [) H. F' K9 k" i) ?4 C3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
0 z9 K8 Q& B5 B) }8 }5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
, t, @5 D# f' i) U, p( N数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
$ S0 `- Q" ^0 I7 n" z8 G1 U计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
  b; s! e! y$ W! C2 I26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
: t' P( }0 t3 _# I: N量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
4 |* v* Z9 A9 N/ u' S: q( A率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
5 n5 [. N1 ~/ D2 r
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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