数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
0 d5 I4 g/ o0 [% s# O+ t1 y0 Y1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
- d  v2 D; I6 q* ~9 ^* {性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
/ [1 Q* h' x+ J! |$ Z预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
+ x2 W% i& m( z8 @一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
# p9 [$ H$ q2 Z" q% P5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
- S: l& }1 J2 H国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
4 @( G8 M* P/ H, e' B1 、蒙特卡罗算法
( L, v6 K8 F' S) r该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
. @- Y" A4 B# K% A以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
+ z5 p0 q; I% ]! V6 p" s7 m2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
$ @. C1 E, I2 v5 \2 F% K' ~1 |+ _比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
9 g3 D$ z0 v0 D9 M通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
- b! F5 t. Z/ W" d6 v建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
: f9 R: U$ j- j- y; L法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
& z& @: [1 g  ?6 k4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. I0 i4 d. a& _) a, S1 _5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
' f8 M; {0 Q5 G) P这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
6 {  ?' F; H! R9 w& A这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
' Q2 }$ i5 T) s; J$ ~帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
8 w8 m2 K- z/ s. p0 n7 、网格算法和穷举法
  |/ U; D6 a/ ^' C# e7 S当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
" k8 F! o+ @. V! V# P+ X很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
+ \3 l# q( y# u, @据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
* O" z% a  o0 i6 h* }9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
* n! P3 _9 D; l- l8 R' D如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
9 ?5 E6 s& q" ]+ V9 x2 l的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
/ d0 B+ R  Y  o* G1 u9 f行处理
2 E/ |* x. U5 Q1 Q) }算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
4 i( R' j! T! ~5 V3 、回归分析预测 （ 一般） ）
  t, H- T( T: @: a* @9 E1 ]求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
8 N# r5 j; p' D" L9 z化； 样本点的个数有要求：
2 U" @8 A2 B1 Y; o①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
* _/ g6 w" k' x! B1 Y6 W4 m②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5 i: F  Q& A6 v5、 时间序列预测
, g- ]; N& N6 o; L: C' I预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
& t: n# E! y! ^数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
3 l7 h0 Z; L( g$ ]% ]预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
* B; T0 Q7 F% U  ?8 y9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
- K/ v2 x# @0 c# j! e# L逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" i3 \. ~& ^# _- G0 ?评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
/ m) B) W3 `9 s13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
( H9 x' w/ [9 M9 s8 P14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
& Z, e& Q+ ]3 n. O0 w5 H% ~的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
& x' Z2 M# `. _来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
% {$ ^- K- Y1 J& m方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
  @8 a  {# R6 T! t此外还有灵敏度分析，稳定性分析
1 c* K# s# C8 l- E; K! r17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
# m0 M5 O6 t7 y2 _6 k模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
* j! r4 R$ y$ u4 B4 d+ J5 Y& B: e非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
8 C# Z$ D" P( L/ f. K! V智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
) }; r2 O. ~1 o; o: q/ W' [其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
6 K$ A( C- c3 \+ v9 g9 y* U* H离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
# t0 f3 n+ I( O$ M排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
  Z7 L% @- {6 h- \# X, c即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
) |6 c0 n, s6 @1 V3 L/ i1 C5 F有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
% u4 v8 F/ t  }$ }1 f0 j' {' q计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
6 v1 |1 ]- u8 ]" i( W4 q+ ~MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
$ }% a. ~4 q# L$ [. O# S22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
$ B; E1 D( D1 Q- P5 \射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
8 v* M& W" a+ `2、因子分析
/ v" v  b0 @: g0 I2 ~/ j3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
( e- u5 ^+ f1 V7 E( P# `各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
) i: {5 Z8 y6 J% q( @) V从而达到降维的目的。
7 q; z' n; h" ]  i4、判别分析
: ]3 U- U! w9 q! V/ V( M/ l5、典型相关分析
7 X0 L1 ?) P: y/ y* `6、对应分析
2 R6 a1 g( n; j8 A, E* u& J/ U' T7、多维标度法（一般）
4 v5 q9 c2 X' n2 ~+ ]* }0 W. N& T( Z8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
; q# M9 M3 \0 C4 V2 N! T9 j% N' A0 e8 Q2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
9 r( _" L3 |3 h5 E0 A1 x6、贝叶斯判别（较好）
: l5 q0 ~5 W( |7 u9 ?3 u) C7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
$ Y2 J* _% \9 Y5 o9 s' B1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
; f% E7 i; P. t$ k  j3、Person 相关（样本点的个数比较多）
2 {$ S& g3 ~; q4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
, b5 _( _9 M- |3 R) o; \$ `5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
) h$ l: K3 k/ P$ A: f1 i; {' c8、格兰杰因果检验
8 L4 N; b( T2 }/ \计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
% j9 U6 X: e+ q8 I26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
# J! [( ^! a( v6 I量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
. r. s" R4 J/ j0 }) \' o4 Z
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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