数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
5 u( n! e' A! m* }( e$ m2 R1. 按模型的数学方法分：
" C. k. S2 ]. S几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
2 M) E; v# Y5 T9 ?% b. X) y型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
: _* d! _' I3 c性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
6 R8 o) v, Q$ X5 ^! o# p人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
  }& {5 _# s! ?1 Y0 U一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
1 N4 ^1 o# M7 X4 ~/ B往也和建模的目的对应
- a( h  ]0 u  F3 F5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
# ]# ~5 a! g! a" G比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
4 I+ N8 _; R: w  j6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
; [6 L4 W5 D  \1 y数学建模十大算法
* u/ \: j' G: @. o$ N+ p/ o1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
* Y; J: }8 ?2 }3 K- k2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
9 E  D0 F" m" E  \7 n6 G. v7 B' v* I比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
* d! O, A& R: g' f通常使用 Matlab 作为工具
5 m  f8 l* ~3 j# F3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* |' F/ t2 U& R  x6 r/ n建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
0 z3 ~9 W, o, r5 |0 s7 f法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
( A3 y0 H# C# h# C% l5 }. Z1 W5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
3 Y! ~( ^+ F% R6 x) n: L: |, \* B5 ^6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
9 F0 u( }. ]# R: d& Y; g7 O; t3 f帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
" \5 `" k5 ~9 E* F/ O当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
& Q1 s) ~  ^2 x6 ^, |1 T据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
; ]" W( X( U- f0 E$ u$ K如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
. J8 f* z$ B: S! N算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
0 x9 T+ e" n% n" _解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
$ h! a$ z4 g6 g; v; v% u; d* G个条件可用：
+ @9 X" F3 m8 ?% h+ R7 a①数据样本点个数 6 个以上
5 T; ?8 F  D9 n2 J' k②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
, q' F; L7 o1 ^( m5 X: t其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
  d5 D0 N: ]* ~; [3 Y& T找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
7 B5 Y0 d7 G/ ^' X化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
8 O# G$ J# O  g$ ?1 }互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
+ @3 T0 f7 k! E9 W概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
  t# d2 S% [1 R  o5、 时间序列预测
( i+ i/ v! f, [- B" E预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
$ x( L; v  j. p/ e数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
% f' `1 b3 g  B! ]预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
* w6 I" g  D$ R8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
( V) w/ c9 R/ X* x  o  k9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
+ S3 L& ]# f; c* [6 R7 ]* D在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' |+ \# G) f, e; g- |作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
# N1 G" A# U; E+ O* a* C  C秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
$ |! ]. F* K' Z; f3 S- B似。
! T  Y, H6 g! H3 Z# e5 d& d14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
( b8 i, H' `4 S; Y评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
. ]/ P  F2 f5 u1 g解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
$ ?% s# E1 }7 m. X5 v* g/ u15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
+ G; |% v3 F1 i2 u' u可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
2 {7 M! S3 D" U: [- F0 l: o方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
( o( g8 ]" X$ Y4 M7 i2 I. Z8 N4 ?  }量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
0 w; D# O& c+ S, g2 \/ g素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
1 f- p% _2 v/ ^% [. R3 K! G. n3 E此外还有灵敏度分析，稳定性分析
5 B6 N9 k0 v& Q& \1 e. |17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
4 E2 z% b/ O: u, v: {  j6 a  h模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
* B+ l  p4 R) I3 J% E/ a/ v' |优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
1 {5 g7 z5 h1 P/ E3 j0 [19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
. S# R5 n, L2 V9 k1 B8 Z: V排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
/ s/ k! E  t6 l. A4 V' t即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
& S- e, t/ M/ |7 i7 K. m) \般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
8 }# f# J8 k) g3 V) F$ I. HMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
  v5 [9 F' u  ]* ~5 ~6 O# i; _) A- r/ w射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
. W, E1 j: D0 {" Q! o/ q0 S2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
: O0 i# F: p6 B( Q* D# U从而达到降维的目的。
4、判别分析
: N( _7 _+ m9 s; ]. m5、典型相关分析
2 _4 Y) d* V8 ~# X1 g6、对应分析
' Y  `; {$ w1 T; J- Z  l* G$ y$ Z" ^7、多维标度法（一般）
( A) e' [* c  h* h3 X8、偏最小二乘回归分析（较好）
& i# ^/ e* H- s% y7 s9 ?: V4 X. \3 J24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
0 \% d# J# g7 T1 M6 O1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
' T0 a! ]1 T6 ?3、层次聚类
; h& n8 s9 h: {' C! Z: \) m4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
) `; d) E1 S1 k7 ]* C( }7、费舍尔判别（较好）
* J( j# b3 O6 ~. _5 E9 C. n8、模糊识别
25 、关联与因果
3 F. y4 U" G! Q# \5 `1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
* b: u, j0 F% K2 y（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, {) E: H' j! u) Z6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# Y6 f. y% ^. \  k' \' g9 m1 W7 A9、优势分析
. I7 t& b$ x! t+ w  U; \. X26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
* W0 R# r$ u) N, N9 B量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
% E2 s% \9 B! b# \7 }) w* g1 x. g率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
# F- h5 P  g% Q
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964