数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
) f) M5 r( _8 E8 p几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
, _9 a# J+ |- k' W# r4 L静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
/ K; [" m+ n  V5 Q! C' S7 \性模型和非线性模型等。
5 ?" ~! J( J, D3. 按模型的应用领域分：
& `& F7 L& m( ^. f人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
% d1 _1 t- J) a1 Q/ F往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
2 O$ a- z; a5 Z7 m- _) k: i比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
. Y7 s! G& P7 ]  X, L) r国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
' x* G( F# G" r  I  w数学建模十大算法
" ]$ H  w' [9 t8 _1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
# F( f8 a; e! p( l6 ]7 z以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
% f# C' E+ ]5 S4 、图论算法
/ a2 s% d9 E8 `7 z这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
7 F8 E9 {" w! S+ t5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
, K4 V2 W! |* J2 T6 T$ |( f. o7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
" z/ n! z+ S4 z/ _8 i. z1 P8 、一些连续离散化方法
$ w: {& i! Y$ }; L很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
' k7 I& \0 A6 w7 T0 [9 、数值分析算法
! `3 {& \9 M6 z: ]如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
! A6 w$ ?+ Y  G8 G8 `- H. W; X如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
7 Q. j% h9 N- g& ^/ f+ e4 B) ]解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
+ H9 F) H+ V, R+ y4 @* [7 {& M' [" k  e8 F个条件可用：
/ t3 U/ h4 I+ W7 K1 M+ ^9 \①数据样本点个数 6 个以上
1 o1 V9 I+ }# ~9 _! @% R: |* }②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
) y& s  j, n* ]! Q- Y- Y2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
  q& h( q. R7 g) o) e其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
3 A0 E7 P* W9 f) w8 d( g①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
7 {* `! E6 v9 U7 T+ A1 x! E! p9 |8 d$ U②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
6 Y! P: J  M# q; E一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
5 q' G) \6 @# t9 [/ ?6 J% N* ]互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
2 L! T7 B. F7 y: w8 z8 D% V: u预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
4 S% C& H5 c2 o0 l. J5 }3 x. K适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
* }% O' k  b1 ]+ Y9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
: }. X( O, B( l3 c, t在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 I9 X: J7 i: `) f0 s逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
+ d  Y& _& T! G: X0 B10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
& B& h2 H% P2 [0 l评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
$ r* _4 D* e+ x11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
* S9 m0 _. n2 J, p1 K6 q3 z$ p13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
1 E0 L9 g2 Z+ X秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
' }! M( y, N3 P8 f" N, @0 u3 t8 r似。
4 g5 b' `0 T5 v. {14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
- [/ _- b' B: m" R- _/ @3 B5 |评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
# Y1 l( B4 v+ f4 j9 f解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
" i+ o& G' v! c( ]的最差值。
3 s2 S8 k  J0 Q) D$ t! d15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
1 ^. S$ h. e- D8 m可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
7 `$ a+ Z. [' R0 w7 K7 d6 t来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
  B7 u# p0 t' p; _6 P: i8 m该方法做评价比一般的方法好。
+ y1 q. u! c: X6 A9 U16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
; f. W# o! D$ d方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
- Z: P& Q7 Y9 I( q. W" ^# {% u模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
1 S$ g' H( S5 ^优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
  O6 v$ a, h* \3 k( K+ l非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
& t" b8 {, B; a4 ~3 d" G  L3 }. U; l/ W智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
; D1 f1 n# m" o+ b其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
( y+ A. i% V$ f+ W离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; {; {% A, [" }6 Z& G即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
( D: p4 J( }. `8 h5 R4 c* k般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
0 E! ^5 B) o- ~4 _5 h21 、图像处理 （ 较好） ）
/ v- n0 a& j- t- [6 i) }- @  zMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
8 P7 k1 I6 J- N; L' l  c例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
  h9 U( u- ^" H! E支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
9 J/ H. }4 ]2 _; Z' C射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
/ [) U. ]7 s: Q0 v23、 、 多元分析
( h5 p$ B2 V) ]5 r/ R# Z1、聚类分析、
2、因子分析
& T0 }; y/ r$ w3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
7 `6 C6 K2 N5 F各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
+ U9 Y* T- a; K/ G4、判别分析
5、典型相关分析
- j# ~! X& t+ H6 n6、对应分析
7 j  g  V' ?9 V4 ?7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
% k& ?; k7 A4 x: F5 @' b0 `1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
/ H2 K# p3 l/ M- Y3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
5 S8 t  J5 f/ p' y4 n7 R" q7 K0 Z6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
, o- @9 |" m* L" F; x! V' n8、模糊识别
7 A, u3 c& p  G( H" T. v25 、关联与因果
- a1 P$ H( z) V: x& o  A+ ]1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
. L3 E  {: D4 H' X$ D0 r2 Z4 k5、典型相关分析
- g, l* `0 S: u2 U# h  `7 V（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
: S" O( p; f( a一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
( i, ~& d1 Z" }% n. u' h+ k# G! c数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
  ^1 _/ b" K# u: ]6 @: x8、格兰杰因果检验
1 J; N$ j7 |' I/ f计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
9 T# P9 m4 W* c1 N26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
( _7 O4 g7 j- R/ y/ k6 n2 B/ O量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
3 _$ z6 p: x1 ^' ]+ [. t
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
2 k" D* b2 A9 q: m5 j
# p6 T2 R* d* n; Y8 F, I
$ Y+ B; k4 c( a