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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
% g; u9 T8 U5 W/ l; }边的结构体声明如下：& H+ p; }" F; i7 J, B2 z, |% \
struct Edge {
# F' p! `/ O2 D8 s# V int u, v, w, next;
( }! C6 q; k- h: F! | Edge() {}
' Q) s& m- E7 ?3 K; r5 i Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
9 U2 h7 }5 ]' j& i  G       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
: g6 X+ Z% }) ]1 c4 l {
$ }  k; [# y  M2 c4 J1 N }
+ f& W" D) p5 ~. i5 A}edge[maxm];! Z5 J! N/ z1 h
1) X6 G8 H3 p/ f' h  M- A
2
' B& N, k& |- g; a+ O2 n3) d7 a( ^' a0 B% j, @
4- m: S2 Z: J9 A2 J) \  F
5* X* V- j* z. f: j" v8 o& O
6. |1 l7 d6 z/ [, V
7
$ \, |( ^* O. i' ?- k8
' ~9 V* a7 v/ [2 Q: k  `7 J初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；- n  U1 p# G/ L$ L9 g7 C9 C. H
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
3 L: p  x  x6 [' ~  Y6 m1 c1 Dvoid addEdge(int u, int v, int w) {% |6 [* W& E! M% [, J/ @
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);/ F0 L4 s5 e9 ^5 s: c# Y
head = edgeCount++;  f. |: I3 O+ d) d+ c
}
% o% y' J: X- B/ o0 @; g1
/ |. S! z6 a6 L% G2
# v* l- E7 w- L2 f; O. z4 @3
" `/ \8 q% S4 U# B$ \5 T, x4
' A% I- o4 ^! R. J/ J( p7 Q这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。4 `! c+ @7 s8 d0 J8 \
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
) p* k4 R: P5 y: X8 i' @& o1 dfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {* Z3 U/ o" j) n4 ?* h% s/ C9 G$ h
int v = edges[e].v;
( l, J4 _# h3 M0 ^* I ValueType w = edges[e].w;" _" W. V% ]/ }0 `
...
4 g' F  b) `# x4 K) R* P* ?1 ^}; X9 U3 |% L! g$ ^
1+ R9 X' m0 W5 Q0 O/ a2 `( O! B/ M
2
. G: J3 E& p$ m) O) \3; c. \1 O, ^4 w2 A4 L: B$ V
4
4 ^2 z( U1 E  j5 K/ L  Y: m$ b5 l5, j* w1 U$ ?! p+ G$ j
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
  h2 l( Q# z( M2 E. ]" F% T& v0 F4、算法入门$ j" W" K- {, y
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
; N/ ?3 _! a! _/ ?  r1 \0 u* \
) f/ o" U3 b/ U' |6 a8 u- ]- t  g# x' E
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
. j" `6 L1 u2 h对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。% b% }' }3 a6 s( i6 o. T) [
1、枚举
( [+ r0 K2 r$ c  H# _' K- r枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。# H4 o; r, t) R( P( q" {
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
+ r) W8 z+ b$ v/ V, t. [. _2、排序4 X! g* b* ^, x' ?5 {, P! a3 X( y
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
# y, ~; C  `5 g5 ?2 G( O冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。3 N  m: h( P7 O* b; n3 K3 N3 x
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。) S# |6 c  C: V$ ?: W
3、模拟2 w" Q3 z3 T( k
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。5 J9 O, f1 C: \$ G# K
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
/ a" B; o& X3 W' l  o# {$ ?' T但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。/ a' ]! u" Y7 a4 t* g, z
4、二分8 B( z9 t1 s3 D0 ^
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。7 I" t& B2 n# `6 D* \
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
8 m9 ^* B6 m) z, ]1 U5 O  U+ d1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；$ e4 }1 @- i4 b
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：' F- u7 D0 W4 u& V' Y8 l* `, U
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
! a) M7 Y# O- i9 `9 b8 C/ }) w% L 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；6 w9 r: d% A( C0 v
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
9 A6 x7 v! O2 @% |% p% O! u1 G3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。7 v* [2 f5 u8 c3 V) n* \; E
5、双指针
; h) j. f) m/ Q% b) X3 c2 d, z双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
) b# D2 x" U: ?
, j6 i1 s" [7 Z8 a+ U" k% Q7 O8 {& h- R
6、差分法
7 [' ?5 ?, f5 _7 C, v/ ^+ b差分法一般配合前缀和。* a) a) [8 @; Z
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
) [; B0 E! A, }% S8 K7 `4 S假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
+ n9 ]3 f- A; S5 q  x" }+ kx
& f- k6 h  e4 S8 G4 c - P& n7 c7 [  O0 R% K+ o& t; D
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g - _3 {8 i1 D5 R& o: K4 t5 o
r" u! ^( m  Q; E! `. s

) e4 b2 H, b& d5 }2 m* c) A, e: t$ ~ −g
7 M0 \) S9 u; J, C. P% _* L/ Bl−1
. y9 V( K9 k; @2 X8 L2 H * X7 W% }- }8 R( d
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
+ X" {8 M' N! P$ nr
( u* }2 o8 d: W  u2 h& N  v. S 9 O, a1 z1 \5 |* `8 T/ _
  和 g l − 1 g_{l-1}g
# e& C5 p3 r; ~7 \l−10 g( t: p0 q7 U6 G- o# N

: W- k3 @0 j+ m# c# U ，再相减即可；/ M3 F8 x& c( s) `8 y

% O# @6 C7 w9 v! i6 W- [3 L. V( I0 i" J9 I" Q- {  ?( x3 x  C
7、位运算
* }7 P' N/ B0 l) U4 }$ c位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。( T2 q, C; ]% [# U4 I
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
, b, v  s3 {/ r6 W# X# o+ W0 k布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
2 ?9 E2 u4 {- u& h# B7 x% p如图所示：
5 |$ |& A1 v# b6 i  i7 Q* \8 u% k4 o5 Q
5 J% D* r, [- _1 d
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
. _! X- l9 p9 P0 {6 |) [& C比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：( @# _; m( @0 |0 T+ ~  c
!(x & (x - 1))# v* E) W- Y% G, M
1+ T! H! p- W8 k  O
8、贪心: P! q! i5 q/ f( G8 d/ K1 x6 M  s4 A8 N
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
- ~' @, r6 X9 d) s1 X3 ^, q所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。$ \! M& N1 R3 L( y: n  t( W
9、迭代+ F+ Q4 P6 v/ j5 x9 q* z* F
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
5 f$ O4 S5 E' X8 |10、分治
! V1 `- z/ @) Z2 z0 o& Z/ _分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。) p5 Y$ C: n, v$ j
5、算法进阶( G& M; {" p: i) T
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
2 J% F, {; v; _8 ~# N如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
  ^8 z& {1 B4 f! m8 T这个系列主要分为以下几个大块内容：
; q' E6 e5 D' Z* c% V$ I 1）图论1 o; H/ }$ c2 V. c& Q
2）动态规划% N( k' x) ~  K( m
3）计算几何* x" f% o; g- M5 E4 \: s4 D
4）数论
+ R; D# L8 ]4 i" d2 J9 o 5）字符串匹配
6 K  Y2 P$ J0 p3 |  U 6）高级数据结构（课本上学不到的）& H# a; W# c& A' P( P
7）杂项算法5 k8 ]* B8 M6 M9 [* r1 i

0 E" l& Z. X4 ?  d) v0 Q" ^% I5 E! t0 D* |: f6 Z
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：  W6 L) J/ w; G+ r

1 g. Q& o' M) X# w! T! H' a& V8 k/ d% Y+ y) C4 A0 s; D  c/ ?
- @3 n% y: |2 D- ^9 J" i: c

4 q+ Y! }& i) K' T) P# S) A1）图论$ |( P( s  C2 l/ T' U9 _2 u. z  ~
1、搜索概览( k7 K" {) l  A2 l1 Z8 r8 ~# `
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。7 g, ]- I" |% o6 B% ]
# ]  n. O9 q) V3 ?
) @$ I' q+ w: B- i8 {3 w' {( \
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
1 m4 D2 f0 G- s: K2、深度优先搜索; V% _9 _- B$ p7 s
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；8 v9 b9 T& M) ~2 u
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
, t  _/ K& m- X/ m但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。8 N. _% d8 p" ]) R; B/ C. m' o5 ~/ b
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。; k9 @0 t& ?3 x, G4 P
& R0 l4 f* r9 ]1 m
2 \2 @' D# Z* s0 k2 O
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
% K$ e& e  a- t- i9 v7 q 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
9 C, M- j4 ?! W5 `& q- K1
- e4 F, C& o/ J同样，搜索的例子还有：
2 E4 W2 s& ~  R; w/ F, u* @. e2 l
, V5 _5 s) ^: k& q7 K# c  K2 t  V; i/ I% K! N/ {* A4 u
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
$ O( H" W; ]: c: J( Z3、记忆化搜索
3 K. P( L: _. T+ `对于斐波那契函数的求解，如下所示：
; R- w; p+ H+ p# A' u" Wf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
9 N* k. K, g, n: q) W+ ~⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)) s- O* _" j9 F' ?# h/ {9 M; [; v! ^
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)9 Z( A3 `3 J9 `) D- Q
f(n)= 8 z2 T' P( t* e: r
⎩
  @8 t9 R* z3 q⎪- `! }8 o+ S+ x7 T* N6 x$ D3 N
⎨
# J/ W, j/ y4 G2 M( x( j  {" ]4 T⎪% |3 }1 C# {' N  W5 E6 F
⎧
0 [" ^3 ?8 S8 `2 z6 z- a& `- \ . X  ^. W/ k2 U, R' Y
  ) _* k$ x. d7 b. ~
1
  [$ a+ B& t! o1
1 o& b! u  i0 X/ W8 |/ _( Vf(n−1)+f(n−2)
9 ^& r: e" l$ G* ^
, N0 w& `+ [- j5 D( t
9 t8 Q$ }) ?7 ]  h$ E, Z(n=0)/ B* L/ }: L& x2 h
(n=1)# o9 X- T, y; L" c' Y
(n>2)
& N# o# i* m  i+ J- \. [4 H
* x% o/ R$ H! D
! g5 ?: r* g$ |& k对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
# |1 K3 L* D" c9 g6 L2 I5 @0 Z* g! l4 r& n; }7 A: h+ w* U
! X$ r; }7 W( h& m& Y3 k% V
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。0 z( a- _- D* c
我们通过一个动图来感受一下：$ t( {. M: {4 ?

. n0 B0 ^( Q$ \; i" o$ Q" t
; R9 q. U0 l6 R+ W3 }1 p1 v当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。9 F' [+ [% i  `1 X
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
6 i1 r& R! r9 g: [6 l- h/ R4、广度优先搜索
  n9 U6 }8 t1 a0 t7 W' R单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
# D, I0 w) E: p我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
* f9 p" |0 M8 o& v
/ x0 h9 C+ t9 C/ K! L( [" Q' z+ _# O( [( f& s$ S

1 Y: @9 t4 \+ {  c* |2 o4 i% m. b. g: x
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。- U2 W4 x; [7 G. E% S9 j/ z3 c9 i
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
4 ?; a2 w9 S+ k这时候，算法和数据结构就完美结合了。5 i- [* u2 D! Y5 a0 ~
2）动态规划% j) j# L2 K) [: m7 f! p# X8 K
动态规划算法三要素：* S1 ^" A' ^8 s$ F/ w
①所有不同的子问题组成的表；
. j( G- A+ \' u. O# s( B ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
3 ~; h- r4 K; g8 f3 P ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；5 ]2 K/ T# \( A' u5 P/ D) ~
% M( k4 z9 f0 i( I, C' _8 d

, E) n' d& A( _+ t如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 7 h2 i! X: H1 f  T8 g2 e
t+ T6 X; ?+ z% i; C. F
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
) d# x1 a4 m+ v2 Se
. Q3 {2 E* A" f0 S/ X ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。- C# B" g: l7 {6 j3 w
1、1D/1D
& o9 k  f8 |# }; @" Rd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )9 Y- N% j2 }. o9 B1 j3 q1 N6 @9 m6 p6 S
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)( y3 E/ S( a2 D5 y1 r! [" [( X
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：7 u, H$ j/ F& ]0 w2 ^( w+ E7 |

9 h5 x' h# ]5 U& C' A- ~5 H" C0 g% x: X5 l
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
% i1 ~4 ^. n+ S* _2 [' ^2、2D/0D8 ~* M1 v- O2 e% n
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )+ R1 O4 ?& T% E7 Q. t
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 3 V$ x1 |" ?  u" y: |; `/ Z5 ?
i8 \1 X: U3 L: @6 G0 Y

0 W& c9 O  X3 {( B ,d[j−1]+y % f9 Q) e: R) n* E- Y; k% n
j
5 \/ P. B5 w: }- J. c; b: }
' w3 z2 g# n4 h6 r, B ,d[i−1][j−1]+z / z! G+ r) v0 I/ N# T3 g
ij
# B' d, v) }, W: ?% `: Z   I7 M5 }- t/ E% u
)9 r5 b; A* b; V
状态转移如图四所示：* P# t0 k; N, j! P8 T* p
; i. Y: l, w" z6 j9 m$ k

/ K/ s: D- p3 `6 P1 q7 n' p比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。( d6 u) H$ \! u
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
2 d( E: X- m  u7 a- f有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
. _7 M; ^" g/ w5 o9 o# }3、2D/1D* H, ]% m# b3 |, K& j% P2 |4 T  ?
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
. u  \! ?! u  p) @d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])$ n6 F( _+ Q8 l+ Q. k
区间模型常用方程，如图所示：
( l1 T( @& N" W
  X7 L3 I0 g$ z* p8 ^: T5 Y2 N4 r( q) i& x7 {
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：7 I: p( Z) h( T2 g) ]1 ~, e  Q
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
2 N2 ]# A( C* e* ~8 wd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
1 O- |! ^! H8 t+ K4 @; v* g$ n区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP+ |6 C. M% X% X$ y* W4 W
4、2D/2D1 O1 J3 k0 N3 B
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
, a: i  X/ M( }+ O% {d[j]=opt(d[i
# r2 r2 L2 ?# g% G5 ^& b' O/ S# T$ c′
$ v# o4 Y+ r4 |* P8 g/ @ ][j
8 ^8 V9 P3 f; N: G' d& ]1 j′& J, M8 e- X# ^# R8 u
]+w(i
' M+ \" o6 _" X7 P5 N′0 e0 D- M8 P$ w
,j 1 B" P5 u* `  ~2 {2 O
′
/ X7 T6 b: r2 E7 s3 M" \! I$ t ,i,j)∣0<=i
/ M8 y4 j; U) A  k′
' U+ d7 F) L- X! `* r6 k! z <i,0<=j   q, f0 g7 T( h( z* R
′* W) [* O3 W2 p: j; d
<j). h" V; S) c9 r, F: J4 C& S1 o; c: k* ^
如图所示：" ~, G4 K9 Q( J1 P  w- ?: m  O% z$ c
# ^5 L# {. t; k9 b; |( }6 A1 N
- X$ O3 d! T1 d, n
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
" k: q7 Z! m  e对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n # S9 t6 L9 J3 D+ O( ~5 H# U( O" G
t+e; ?! k, m7 }8 M0 p0 M
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n $ i2 A8 y4 ]! ?& G) P8 \' f0 j, _
t
' x" D( L. a- n2 O, d. d ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
. T) L% H& j! e- V0 G3）计算几何
1 f8 w% v  {, Q  A" q# ^计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
' u" w' ^+ u1 V/ }! K6 s如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
0 w( \4 `' X- z( n1、double 代替 float
2 u0 Y) g! g' O% b- jc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
9 k9 ?! t, l, X  h$ K. a3 J( i2、浮点数判定1 n, t# \9 q$ h2 |: p1 T
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；* u, V" T% n( A9 I
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
9 _! B- J" n, G$ e" z2 b2 qconst double eps = 1e-8;
5 @- B7 z, ?$ K- d' l8 \bool EQ(double a, double b) {
6 {% }2 |. L. {" l# X7 Y return fabs(a - b) < eps;
4 S- w7 F$ W( R' }- }: Z}
1 o* _' X( z+ X, s( M0 U7 Q9 i1# a! Z9 V! T+ N, _, S8 ^2 h
29 f% F3 J! i) o5 g( {! i$ i4 ?
3$ v: s9 O) V, t! \
4* n2 {: o8 g$ E( j
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：7 D4 N" B& O( J2 Q
int threeValue(double d) {
4 F- k! l: s/ _/ z& X' k# e% e if (fabs(d) < eps)/ l: g5 w7 T/ g
      return 0;& A7 ~  @1 r# o- R! l
return d > 0 ? 1 : -1;
. T8 R; q- R9 o}
/ }4 ~4 b: W! k' I9 ?18 S# q9 ~. R0 m% K7 U. t
2
9 t0 ^& u! X$ a" l8 ?' ^3
/ f3 i5 m' J7 b) v4 Z4
0 |1 {* Z- q" {- s! |) |3 u8 b5
7 |/ n6 g% O$ x0 ^) f! x3、负零判定
4 h/ |2 @2 i* t/ [9 G* R因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
+ k9 y" \0 _1 J double v = -0.0000000001;9 F& _6 n6 G) S& w! d9 H9 b8 s! n
printf("%.2lf\n", v);5 P# e( C+ |8 O4 v$ s  V
1
- B0 ^* g( o9 B, I" K5 @6 m2$ i* o+ t+ A! O- U& L8 X  i2 ^! H
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：) Y" @4 C2 f' B+ Y  v
double v = -0.0000000001;
, |5 R* M9 [- `/ J2 ~4 e; P if(threeValue(v) == 0) {" @  k5 c5 [) m/ q4 M& Y
      v = fabs(v);
# [8 R0 A9 d9 g5 _1 i+ R  T( K  B }# i8 }: E. O3 E$ y  ^
printf("%.2lf\n", v);% u6 w) R9 ^  m8 O
1
: a8 y. y, r- Q0 H  h2
/ Y  A# d: O. ]0 y3 X3
* A8 h/ h$ N3 m4 _- Z4
* l' Y; o+ v8 i: _1 J5
0 K: E& x. h5 X+ f; U7 w, D' f4、避免三角函数、对数、开方、除法等
9 Y# V! l' L5 N" n* H0 ^c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
3 O, y/ A- K, F: C9 ]/ u除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
" w( l8 W# |, i; H* @3 ]8 V5、系统性的学习
1 r, o# E: Z1 @! x1 Q9 e  O4 k" Z基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
: p" W4 d2 a! V进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
" }( u: z' m0 ?) F相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。% f" w# s( c& U( c
- ^7 _- G. ~/ I* Q, ?, ?
1 \( Q2 q" R- O( e6 c
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
! L0 R* B+ h' }4 Z7 w4）数论
7 ]6 U" h7 x; Q0 v$ u5 `# i刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！0 ?, K1 E. Z, w4 x% n' d9 |3 n
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。- o+ `8 q0 }2 s- `/ R
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。& [) C5 j" V. Z- q
1、数论入门
5 X' i5 j7 G2 Q; Y' i主要是一些基本概念，诸如：
2 x' A7 _  C% R4 q" q! _( B8 |% j整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；, w/ w; O' y9 v
2、数论四大定理
( i  K7 Z2 O: Z2 x这四个定理学完，可以KO很多题：
: J# G% r, R- ~/ p/ S$ ]6 W5 T5 i3 Z欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理7 I/ K- @, C! q' p: o3 S$ a" f
3、数论进阶
# Y( @) V# j% a9 j$ r. q; d+ j系统性的学习，基本也就这些内容了：
$ g3 V' ?- i9 a( V1 {% X4 G% ]2 \扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
, j% i; c8 Q6 L, O5）字符串匹配/ ^7 R' ~4 S) q
字符串匹配学习路线比较明确。' X; r/ t$ l# N
先学习前缀匹配：字典树。( B1 S! @, \: u+ d. E# R# x# c1 G' D$ b
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。7 v" @% ]# Q& O1 G* ^5 F5 i
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
0 U1 k9 K6 _% F& ]* o' {2 a1 F实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。1 v! |$ v  z0 k+ c
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
% s+ L3 l/ _! M, h- }$ `5 F2 G关于算法学习路线的内容到这里就结束了。# ~+ v+ @) F* m; h
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。1 [4 r$ b. S" S, _/ P% L
参考资料
$ q4 T7 V# P7 M- v4 ^. q2 C  d【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）* J9 e* @/ c* P  B1 Q
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
! h. Z  W1 ]8 q6 x/ b8 a【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）5 d: h/ R8 g' g$ w/ I3 V, X
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
' B5 L. t& e# h# E- s————————————————$ a* J; G- o9 B- B% |/ {
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