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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
2 M% m. z5 `3 @, A8 ~( i* p边的结构体声明如下：
* Y' l/ V/ l6 bstruct Edge {
# n; X' v9 K8 Y( [8 K0 Q& N int u, v, w, next;
- l8 J3 J/ D6 ]0 b0 w Edge() {}4 S, Q$ H" O# j0 u& b0 H
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
6 Z4 U' \9 H' X* k       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) $ t! S- l6 J4 @( L; a9 ]$ C( b
{3 h2 y+ u  v+ \1 X
}
' ~1 }3 W8 Z2 m8 J" e& z}edge[maxm];+ |2 n- z: t6 W
1
2 E3 @( j6 S8 [5 f: _28 z% }% @5 y1 x- T0 ]
3
9 a8 e0 V6 |* l44 }( f1 Z( d9 C! c9 b
5  X. k+ C& p, Q8 @1 h
62 j! t! [, X$ C6 p
78 ^8 d6 T  S$ B  D
8
- m, D9 U: d$ _. P" V# I, z初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；0 I2 Y1 r2 a. y" P& ~# v
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：- s  F- Y5 D! ^: L
void addEdge(int u, int v, int w) {$ E# U8 n& i- L, P+ r
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);; i& {  V! E- t; G8 ^/ Z% Q
head = edgeCount++;
, \6 H* l5 ?3 u$ n/ W}
1 S( D1 Z7 u1 U% Q! f1* R3 c+ ~# o; ~! P$ [: H- l
2) q  z% G) m* w" p* H% ^* @9 f
3
# Y0 O; S, h" m7 Y. R  X) S' d) m# X4
" @$ ~6 p0 m0 M) q) G这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。+ C- a5 ]: e& M5 }+ Z8 e
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。/ n5 V. H& k0 E% m, V5 l
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
( z! G& x/ d3 c4 D( {0 z: h. ~ int v = edges[e].v;, g. ]( H4 }- z9 T9 `1 c: x& K
ValueType w = edges[e].w;" V5 p7 p* }. ]" K
...' [0 @$ w0 q% w! }) i! h3 ^
}
+ T! s6 o! g1 s6 P! F1
+ e( a; i2 w, h5 N& O) C9 H& K2
  _8 Q- x/ Q1 S- R  p) u3& u7 O. t7 q. s8 ~  R) F
4' W, Z" C8 w% z4 P# Q% T
5$ L$ A5 f  b8 S0 C0 i
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。. N+ ~2 W+ e6 x: w& B' B
4、算法入门
3 u+ d4 K' `: ^7 G* t4 h  ]算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
5 ^! h5 n/ s- V  G& Z' \0 l
' e8 A5 p7 L- E2 X9 T
, g  W5 [$ e2 ~: ~% N9 L, d9 @5 n- Q入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
. N, N5 Q  c0 Z! G. @7 ?对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。( b* b4 Z- C7 z% s. M% {
1、枚举
: T% D& ?+ x, H) J1 P; I: j枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
$ ~* H& g- q# b对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。1 g; P+ M$ [7 f) V( a
2、排序4 M+ a/ ~2 H; D+ R
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
6 l5 c" {9 ?# E2 [" q! n* F冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
( u# h+ x- f% V9 \% w5 {" [# CC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
/ h' x; P: K& j  j$ [2 \9 ?3、模拟2 Q( ?7 g) S4 u+ Z) ]
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
5 j4 L- g1 @8 V0 s3 G( G4 g+ }  B. G不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
0 \, b3 F# o  P) P& x5 y但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
* W: a  l* w- X% x. w4 i* Q4、二分' V9 W5 q+ s$ ~# M0 ?* K; k
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
: I& |8 ^6 x6 `; Q+ m1 |例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：$ b9 }# s1 u2 u$ C1 N
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；8 ?2 }$ f7 e1 v) n
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：8 E& ^. z: G; Q) R5 C
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
" ?0 d' d, [$ E5 x: X 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
2 y+ e0 C- W( O' A 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
* g+ k2 v4 b) S, U  Y" q/ o3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
0 Y! E3 d3 z! m6 ^5、双指针) Q3 R. ]6 j2 N* X6 ?, m
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
+ k8 M! }* |( M9 T1 q% q0 m* T; @

0 r% C1 |5 g0 p* f0 Z6、差分法+ I5 _" D9 j- ?9 n/ ^- l1 `
差分法一般配合前缀和。
9 x6 \9 x8 V& P* b" c& U; _对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；( g" c7 i  y9 M& j& _
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg # Y' k+ K' c! v) Z
x0 Y) w: S5 G; ^
* `' H7 h' x' E" I& [
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
% N7 B7 L1 S, k, jr2 J! o% W* r" {; F# n
, `' T) m# {+ p# b& @
−g - X. M: ?$ H. C
l−1
* `  }. Q& a  k( {, X
1 B# |( k( j* j ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
! b; C( ?  F  k7 Z) r6 p, @; [( Tr: g5 v7 ~) Y; h3 C+ @! M7 S9 J
: i; F' E- V1 U& [- {
  和 g l − 1 g_{l-1}g
- v( b7 I1 p; j% s! Yl−1; u  b4 x7 Z' s; h, J
7 D- b! t. Q' h$ q# b7 `
，再相减即可；4 F' H3 M+ X$ w- |4 X
8 P% |: g9 O$ l
7 I: H4 Z  ^4 ]) O4 Z5 I) D
7、位运算* p  ~' F' t& |! i6 }0 G" M/ G' b
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
6 F- b+ t% Q, ], Q, L/ o位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。9 R" H/ D9 ?: `$ W3 `
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。( ~, u/ F. f3 @2 U
如图所示：
! q( v9 y3 ^5 b6 {  n, v9 A; `0 u" b( ~  \0 w) A
- O4 ~# Y1 n  Q7 `8 s( w1 F/ W6 O! x
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！3 T1 Y2 e( j3 K. k. s  V
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
5 J" R( G6 X) _& r!(x & (x - 1))
1 V4 J7 ?' ~* a( M- t2 B1
! m, Y# ~# I' n+ t$ J1 W8 f1 z8、贪心# ~$ A2 H  Q9 p2 J5 }
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。: I# R3 I# e$ a  A
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。* F8 X! j; G. ~( u
9、迭代5 v2 _* h) J7 O- d3 c
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。# {8 M  R3 I  r' U( s  q
10、分治2 e+ p  ~6 V$ T1 [8 R; h
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
! b8 o" t& h6 r7 t7 M5、算法进阶
; ^9 i/ q4 V- p/ O8 t9 o6 K算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
' `% T  f" v, D. L- K- t( y如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
2 ~5 Q$ R0 n: P! m" _: A' C这个系列主要分为以下几个大块内容：
# O! c' L/ M8 a9 S% D8 [ 1）图论0 a5 E& ]" n/ E4 A1 `% e- w& z$ `
2）动态规划
5 @+ b" I2 |( J7 ~7 b  _+ |- Z5 ] 3）计算几何' d6 B1 X3 d; u3 o! H4 h1 B" n
4）数论
2 U: P) Y. I9 B& L6 V/ C0 | 5）字符串匹配% U; L( ~  v! T1 E/ S7 z! v
6）高级数据结构（课本上学不到的）+ U* r' U8 Y- e) Q
7）杂项算法
! ]( e: l9 V  l+ q' g/ Q- ^: ^4 m
# R; v  @0 _5 f2 J, Z) W. n
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：1 d3 _2 g' o' S3 b

& e) d, u6 ~0 L+ ~  N. x# Q3 f
/ W" |$ H+ }& `% W( Y* _( p0 L* }
2 {- k/ Y) B- @+ G; X& M8 ^+ s6 R0 W/ |: l
1）图论9 k3 C5 I- V+ u) B
1、搜索概览
, t5 A* g% _7 u  c图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。3 d1 f: E7 [) }) Q5 l1 G. H
& U3 I& x2 K" a4 e/ }/ c7 ~
9 z3 m6 j! _! M
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。0 ?5 U0 x. X8 S1 w( p
2、深度优先搜索
, _0 ^# k; f: D& j$ X# }, F. B3 a深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
. H$ S: X4 f3 J7 a* y原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。' A7 q1 R% d3 y
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。0 s! u4 B# A+ t
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。) W; a, H" u+ I7 y% L

9 T/ A* R7 v  L0 O- o0 d
( z: r$ Q- j, \  p2 u: ?( [% j% G; A红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：" l9 ?4 d6 {2 _6 p6 ]5 U
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6! E& k/ m& q' ?8 H3 c: g
1
4 Z* x4 q( a9 ~' I同样，搜索的例子还有：
( m; e& M# @4 s# {( _* F
, Y) @( ^2 n+ i
  a2 {2 ^1 Y6 H) Y计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
% \; L! Z+ u( F! W3、记忆化搜索
6 o# `5 Z" s( [9 C' T对于斐波那契函数的求解，如下所示：( J. ^. i0 |' i3 `1 G& s1 i+ v: ?
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
+ u7 [8 ~- i3 |' c, k⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
8 F" u* t1 ~& ~{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
) W8 j) }7 S. X2 G. W2 ?f(n)= , z4 i$ W% F# R( H
⎩
# O6 G" m7 B- u# ]0 P⎪+ ~6 P( D7 W8 S. A9 F! q
⎨
! B; E" Q. r" O$ y# B1 k⎪
9 O* B9 `# A* z/ S0 K⎧- X3 T) l0 Y+ a
" Z0 E& _# |8 |6 p
  7 r; d/ Z  I8 T. X9 c
11 Y7 X7 C: @: c: v) }0 y; \# ^
1
% A/ M- G( a4 T# M  df(n−1)+f(n−2)
9 Q, E* ~; D& ^8 ?( I 7 V, R& U6 ]& e0 a& v8 s& m" L

" H. a1 W: H) J8 ?. H(n=0)
( x7 A9 R" u6 X0 ~(n=1)( e' L. V6 i: T5 T  J
(n>2): {8 T' k5 M/ A. t3 `
) I+ L) X. p9 }  f; F) K0 y. @" y

. {2 P" |; B6 D6 D2 D6 h对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：6 P, \! ?, K+ f$ Y( l6 r4 U

5 }8 ~1 Z+ t5 A: s+ I# F  E* {7 }1 r6 n1 m0 }1 ?
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
8 A. N9 [5 s" R5 B我们通过一个动图来感受一下：+ d. B  I  z/ ~& `# M, N

. _) u. Q( ^% \- g0 y: l! |8 Z% ~8 u9 P" S. A
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
7 Y- M* Y1 B+ \# O+ U  ^& F这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
+ A! u0 Z, c% l, ~3 r% N4、广度优先搜索
8 {9 h) a2 W$ b) R) n# D  }( e单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
3 e0 j4 Z, l0 @6 ^: S$ r我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。: |" ]+ d+ u0 K' T1 j8 t  h# S

1 l4 A; q# O9 p. N* n
$ W; Z3 ~8 p# f; x
6 x7 d: o, E2 s/ U. u% i3 e" H$ K% {  g4 t0 j& v4 R
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。/ `4 N' _& Y# k5 W# I  I
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。6 B/ o" _; h0 F
这时候，算法和数据结构就完美结合了。! u4 \+ l3 K) y4 U9 O
2）动态规划* r& @/ r' h8 t' Q
动态规划算法三要素：7 X+ L$ J- Y& J. P0 \3 X
①所有不同的子问题组成的表；; b7 h' L* d$ D; t, R
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
5 q" D8 q( E) Y8 ~3 N ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；  x+ V% n2 H; p
0 q; L8 t( [- O- N- ?! H

2 H) ^, @7 a1 J如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
& Q  H5 K7 N5 m' P8 J5 l% a3 |t: Q2 c3 U9 ?! W9 H
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n 6 z) c: [+ f7 D: h) `, |
e
: K+ D* y# \& _- L! O ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。/ A! j* c* i' q
1、1D/1D: [- y0 e8 r5 z; O
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j ). I( j6 A+ X% p; X# p# r- T8 T
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
8 }3 J# t; a# R; m状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：4 a# w* N( m0 H1 e0 q
5 L0 ~* G6 a% ]0 K/ \0 e: x  k

8 G, F  z/ C, i( Z& o, V这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
" w9 ]( ]8 E, R+ Q. v. ?5 b- B' F/ P2、2D/0D
2 }7 x. S3 s/ hd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )# G1 n% t( m, U7 k* N- ^
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 1 h2 W2 T: k6 D( Z2 _$ X
i
% v1 r7 d% j1 l- a' i ' H4 `8 }! s' }2 S. F# S
,d[j−1]+y + Y6 O6 V  X1 j1 c0 W
j3 c  S/ D" L6 J- E  V

" g8 c6 }- h; P3 B; i! G+ w% s6 u ,d[i−1][j−1]+z
" `' F9 i/ K5 X7 ?- C' @. Nij
- ]& _/ y  a. O. I- s5 y * a4 J: b+ G  @
)
# Q% Q0 M+ \: J/ f, p0 [- m状态转移如图四所示：
2 T- F/ U* `: @# R& a
! [, @2 x# R# r* d8 b. Y; w; e# Z3 z! l0 ?. b
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
$ Y7 O3 u! z$ U, e  `8 \# d有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列. D1 T5 R% b. b9 ^" g/ w0 |
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
: ]9 B; A1 l3 U' u  D1 p' K3、2D/1D/ b( L( ]- s! {. k* y7 a
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )3 R8 r* o1 y5 m5 z9 }. W9 S
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
6 a. p! }! r" I' v0 f7 d区间模型常用方程，如图所示：5 t/ }5 Y: h% K) A& j7 Q: D

1 U  n6 q- m; B4 X
% _( i0 l0 z, W, x& S另外一种常用的 2D/1D 的方程为：/ p0 W2 X8 c7 g# h
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )5 Z6 S9 M9 M. B) [
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
) ^& h9 [$ I+ e% X* h( z区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP; S5 \6 a+ ~1 x. n+ p3 h! s! T7 q
4、2D/2D, ]. v% r8 D! d
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)5 j0 ]/ X: b) ?9 _
d[j]=opt(d[i
/ A) A: K  E( Z% H4 l′
' a; a  b" C& B# t# V) h ][j 0 {2 Z9 e& J- A# [% i
′# n0 K  @, B- k, N) p" c
]+w(i ' v" V: a2 W6 U* T7 d5 N5 R. `9 B
′  ^' N8 Q4 |& ]! `+ T! X; E$ o
,j
5 v5 s- W1 }: V' j! t* W′
' d* }6 R/ ]) A" j+ `! } ,i,j)∣0<=i
- F( h" x! R3 E! o0 g- s$ K: s′. Z; P3 q6 d* k3 J. I1 Y! w
<i,0<=j % W$ |& |6 F% X/ v0 h1 I
′
2 z; i# j! `  k2 N* n# F0 d0 {( D( { <j)
/ f; C5 J- E, }0 C4 J7 D) u8 J如图所示：
/ P; u1 O8 P. J9 \. _* q
3 B3 j4 v. H9 C) I; P  e
8 \5 o# [) v2 t0 p) N3 ?8 Y常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
& r" E2 s1 n6 y5 V; d对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n 2 M6 R3 G5 N/ S1 Y0 Y, |% s! z7 C
t+e# l& H9 ^  {0 T
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
; ]- ~5 d( ?) |: G7 q; K" E6 M- rt8 h* ~) n) w" x
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。: E/ {8 z( h4 p, G2 p/ n
3）计算几何
% {  g; D0 r7 m0 l计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。# D8 K& w1 z+ B
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
7 s& ]" P; c4 w) |4 f0 r* i5 @/ l1、double 代替 float
. |, |! F3 d" g# U9 |/ h% l1 o2 Pc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；* ?$ K1 y' M5 M* A0 @
2、浮点数判定) d( H5 g! W, b1 ^  s. p% S$ ]
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；! g% o) b5 o* p7 |% z
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
0 O5 m4 S* r0 w# |4 a/ i4 w+ Fconst double eps = 1e-8;9 J  A" D6 ~  A6 D  V* ]
bool EQ(double a, double b) {
" h' D* s) t7 `2 c0 ] return fabs(a - b) < eps;
4 n) w  D# J1 |4 N8 [# ^}, U+ a% n3 H# f# g
1; K, z5 e/ i8 N3 v# V
2( t" D/ q4 R( y9 a4 C' N, r6 ^) A
3
& ~9 G1 b6 {4 x& H8 {4
, p/ g9 I# i( y& Y) Y5 \" f并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
+ m+ N) ?6 _* n. G) gint threeValue(double d) {
& S6 g$ C9 w" U# u% c* F if (fabs(d) < eps)
! B: Y1 M3 v, c0 f0 s2 I" x7 C: a       return 0;
+ e) S& X+ L$ a+ d8 l: O return d > 0 ? 1 : -1;$ r4 @+ |/ o+ ?" J5 S+ b! \: S
}% b( ~3 ?: y$ Z3 B0 E* L; `0 g
19 L# r7 H5 q) S, ?" H. `4 D+ A9 E4 r
2
% X0 `) T- m& T3 g" L" {6 l, |30 L' n3 U9 c7 t! o0 t6 v! t7 V
4
0 F1 _- ?2 |4 c% V5
7 k' [4 \+ [6 v3 {' ^9 D3、负零判定/ q1 z  {  j5 e
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
8 e5 P" F1 N' s! r double v = -0.0000000001;7 H1 e# A0 K% V% a+ \; f
printf("%.2lf\n", v);+ Q* I7 i' X; X' d( D5 m
1
: u: t+ o$ U7 Y2
2 O+ }  k( v& |( k3 W避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
% l! B6 j0 z/ w* d; X  \# c double v = -0.0000000001;
/ }* x" c( W& b; h if(threeValue(v) == 0) {$ n$ \: p" q0 N: c8 Y
      v = fabs(v);' Q8 y* b0 [5 E8 S0 {
}
7 O+ }7 n& Q! \, I. k printf("%.2lf\n", v);
9 d2 c; z4 i6 L; H* }( l1
$ W% e4 {& q* V: N2, `* g9 T7 b( J  T2 S/ J
3& ^- \; Y' h! L! p# Y- d
41 g- h+ |/ D" F, t
5
* L) O% I# p  [; \. S4、避免三角函数、对数、开方、除法等
. z0 S! p- g" B0 y* {: \9 p+ |c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
, p, w# R  w3 ^  \( A5 k除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
% r' M( B" f# @8 U/ n$ ?5、系统性的学习
. Y* U9 l* B: j& z/ T  J基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；( a3 ]1 g+ t$ t. E, U% i" O
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；; }) p" f" n4 {/ E5 n) n6 w; ?
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。: y: G" s) T8 ?, j
$ j! F" ]3 u3 [5 P: |

, T* u3 l( b: v" \# S) z& D学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。, e8 ?# `& Q! O
4）数论' V+ O- u9 j. r, `: s3 I
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
" v$ X- Y$ a3 b. G# G5 d数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
) \8 g; k# @0 R6 J4 Z( U9 z" j当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
$ C7 z4 b- Y1 ~7 D1、数论入门
% Q; y! t  k* ^主要是一些基本概念，诸如：
  X( O. X4 R$ {, S" d7 Q整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
5 z' @+ b+ T& a% E2 k. }' M. _* t2、数论四大定理, E; W% u" n7 W" N6 l
这四个定理学完，可以KO很多题：+ b3 y0 p9 R3 V# [6 f9 d* o
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理7 A" F3 V* _- W. C+ M
3、数论进阶2 t  W4 _( g5 A  h7 t9 k" f; E7 h
系统性的学习，基本也就这些内容了：
' U6 n4 a# L9 J扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。6 u+ ~+ C' {( N' Y6 V/ @  W
5）字符串匹配6 V# q- A* O+ ~; g
字符串匹配学习路线比较明确。( q- ?$ l( d" o9 M2 x
先学习前缀匹配：字典树。# c- {9 N- a$ ?" K
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
9 E1 k  d  ?' F: X2 u9 n" x6 v以及经典的单字符串匹配算法：KMP。. c1 O( ?5 m* I3 ?& n
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。; w! W, V  x! {( }: f; F
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。( W9 R4 \# b$ s! ~' i7 J, d# G
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
9 O' }' E- j/ @7 l% e" x0 h# a6 ~如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
) d$ V  z- M1 I! F4 e参考资料& r" @; u5 o9 r; C
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
' h0 a& R1 N3 W! S: u【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
3 q7 q3 C, j: [! c【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
2 b" o) ]( r- H- I* w【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
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( I. b/ t4 P8 z1 X版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。; n$ ~; W+ K; L# Y' ]
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