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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。2 A! a8 k0 {, O$ V7 `3 P" A
边的结构体声明如下：
  C* Q: V3 o9 K- O6 {, fstruct Edge {/ c, ?& R: o: h* D$ I' v
int u, v, w, next;: o$ Z+ E) @$ B4 q
Edge() {}& `- {6 A! U  C. g( L
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
& h. M! B, p  B! U, J& [& f% S9 N8 {       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) , d  t" L1 W7 v) a3 l
{1 H$ \" e, I1 V( S9 i$ m
}/ k6 D4 z" D; r
}edge[maxm];7 g% Z. W3 S1 L' [5 `! a( c
1" v- v0 M  Z. ?/ R2 z3 R7 k
2. ^2 n" j+ _0 J; B
3
# v2 q4 K. ]4 R& ^) ]8 _4
" l1 T. O' s; \, |/ p3 c+ ~: s* q( k5- x& p+ D4 r/ U) ~4 `0 D* |
6" M6 F) V  }0 f
7" X2 i, P! q3 {  I. q" f; a8 I
8+ o& G: C" j; I2 [$ h
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
; S1 u( C0 o& p  y; E% S7 W- h每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：2 Q) g7 [' Y8 C( z
void addEdge(int u, int v, int w) {. W3 P) P8 C( S+ i  w! Q4 X* q
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);9 |  \6 G. i1 c! j1 c" ?
head = edgeCount++;9 c4 k) g* ]; _3 l1 S
}
3 R% \, |7 ^/ ^' J+ t! d( l1
! J# C9 e/ f2 o* f  I2 P0 X2
! A* ?; A- H) J& V2 H" I& I3
8 V1 `- T5 }( _. ?" r" u5 n# U4% K5 _6 A5 U" ?  h# K& h5 c9 g
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。8 _) \: a2 k/ V3 h6 w
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
5 i7 o. u3 [0 gfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {5 V! k6 @( q; _- I# N) o8 H
int v = edges[e].v;, P) B3 V9 r, \0 r( x
ValueType w = edges[e].w;
& ?5 C) Q$ W5 M0 @) L7 [4 s ...$ ]( Z1 e0 O( _( V' s
}9 _4 T& g/ \( u! G& v3 V
11 O& T. Y9 V, D
2
$ n4 E" c! G; z8 R' p3
  _  e* W5 Z% ^2 p7 u7 y5 k4
8 h  n% B0 a; X+ |8 w: ?4 B5
" i& Z( X" q4 Y7 E文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
' k8 J, @9 O% K4、算法入门
8 H/ x& }: I) P算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。$ e: H& j0 J- P8 n4 z( a# i0 H

1 }3 R/ T% l+ W: y+ l) \" m3 [7 q" v* V2 e
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
+ L1 W# X% v( ~% p+ |( u  \对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。" O3 j% T5 k. X: q4 H
1、枚举9 L5 o  v9 e8 h4 b. k* l
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
( X% k: ^6 r+ v5 Y2 P' G对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。8 V9 C! W7 b4 X; L
2、排序7 ]# A8 w0 `7 r  [/ Z# U) U& `" e0 S
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。- H. n, ^+ @% B& N& m
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。* b9 U7 C: M8 k) H& a
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。2 ]- e) ~: Q: t7 w* m8 B1 O
3、模拟
5 R8 d9 F) G) C5 s模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
* x4 x; Y% \4 s. g不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！3 h8 n$ O7 Q& D
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
/ F: `! |; ?0 p7 S" w3 x4、二分
5 E+ n4 {7 u0 E' v( \  i3 J$ ]! M* J二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。% \1 X" G+ T) s5 i- }) L
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
; y2 v) T9 s0 o& e- J6 a# W1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
' I2 U6 @: H% [4 Y" r) h2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：+ z. L, G2 P- m# P4 z/ Q% t# R
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；2 m* z+ v* k) b: f7 |& E+ j
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
6 G+ @$ t. U( S7 Y; l: X# | 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；; u2 g# C  B# n* v
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
- j2 r, g: T; c5、双指针5 k8 Z& i( V1 N5 V5 T% j
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。- T6 C$ W0 N  R0 X  c, g& F
: ~# M/ N: d! ]/ s5 @

8 o) H, t1 u; j3 F* [. }2 T/ x' Q6、差分法! T' ~/ z  A% T% J4 H
差分法一般配合前缀和。
# k: |- \+ W8 S* i4 R5 k对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；$ A  D2 W8 t' ?0 u3 u
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
9 W# D, q0 F/ G% Q. O0 qx# ^/ V( I7 S7 r& k3 a4 G
; l$ h' @1 I' s7 K) Z
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 8 a6 ^6 J: v/ m: ^" k7 G  Y
r
! F/ t; F6 R) F
5 m* {5 E7 o, p1 ~ −g 6 B$ u: o3 c, C2 j+ v
l−1
7 [8 C2 W" C( S! ~* S
0 k( P' r3 @& K& G- b; O4 f+ O ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
( ]" v$ ?9 q) q9 E! `- P2 m7 Xr
) G9 e( v2 M) j: X! V/ A" M , Y2 @* ?( c2 C6 L1 R3 f
  和 g l − 1 g_{l-1}g 4 L2 O. v2 v0 A8 E- G* x8 U; T4 I2 X
l−1
+ Y! s/ _, Z. T4 i7 d 0 t) D/ o/ K( L
，再相减即可；1 T4 n  \6 v$ i: B6 ?% D
8 ]1 C* i" ]; \5 K. v; d+ Y. t

# E8 l7 g! \0 ^' c7 e7、位运算
; S) l2 p7 h. @, R位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。; ?  L% x: D& _, \
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。2 \* A5 i( o. `
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
9 D" S$ o% p4 a如图所示：
  ?1 u( Z$ b% c& q; W3 v) g- H4 b. y- z/ M* n7 G5 X

; \5 {  M9 @5 V* {位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
8 I" I% g3 p! Q9 m6 A比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：/ j0 x+ c+ J* d; u
!(x & (x - 1))
$ d, V/ |8 N/ p1
6 B, ^# D; [& V; L' |- F8、贪心  O% s0 C4 N2 A4 L9 h& q
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
% g; a* J& U; A" h所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。0 ?. J! y  \) t  q
9、迭代5 N- {; h7 p4 X
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。# g6 y$ o& z  @# T' z
10、分治
" u2 S& {1 h" y分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
* [5 {! F- Q3 j% S7 v2 N* e5、算法进阶6 D- A: h" W. S# t- J; `
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。4 b' j% V2 c- \4 M: t
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。6 p( K+ ^# S2 g& K$ |
这个系列主要分为以下几个大块内容：% T! E) J5 R# O* e0 F
1）图论1 Z7 p3 z! `9 h" Z5 t
2）动态规划
3 E7 h- L' f, [7 b) \4 F0 X0 \( G 3）计算几何
+ y( K/ s1 c6 B# b3 O 4）数论7 d6 [/ [# C1 h: {$ U9 j# @+ B0 v% O( u
5）字符串匹配" P# S8 z" u6 X# o+ ~' S
6）高级数据结构（课本上学不到的）5 J- H2 ?3 m( w+ C$ h& i! \
7）杂项算法
# l1 i7 Y& ?6 Y1 }1 \# F
- I+ C4 @  ^4 A* R. z1 ?
( T9 q& a$ Y- U0 f$ P* ]% y- {" B先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
5 Y( Y% E$ I% W1 ]8 r) e) S
$ h7 {2 @4 v; a; d) F- T7 Z5 v
, O. [# H, b) L& G9 Q5 L; e% N
: v0 O6 b! ~5 B1 P0 k
& o- A1 L$ k6 |1）图论  z2 T! H) i/ v# x0 s: y
1、搜索概览1 r6 S! G' \/ F; |3 R% G
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。  A0 p2 Q' ?! m' E9 s1 p5 ~/ s

* J9 _* ]7 f8 L7 N! R
0 K! o0 m' C! V+ e比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
. ?( |2 W# K- R+ u1 A. X+ U. w2、深度优先搜索/ v9 {4 O( y! K/ X
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；4 d; |0 U9 ^' F8 w1 s9 I
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。, U3 S& y7 w% G$ A% r
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
! T. z( o) c, }3 m4 q0 s! c如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。% {' }+ V" t) m, ~/ R7 c
$ G% V$ J4 f- E2 H5 d9 d# H( c8 _
* l+ d0 b. Q/ G) N# ]/ m, V1 b
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：- V2 U# N9 m8 r# \7 Q2 X
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6- u/ n: m( t+ l" x- q
1
$ ?+ B! {& {% q+ f5 Y7 Z+ l同样，搜索的例子还有：
2 f7 N8 Y; m) n, q" Z5 p' v
. |# F7 j. l% a
6 I! u9 U9 r9 _4 d计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
9 o: B* `& Y" ~: i( o9 G3、记忆化搜索+ `. N2 ?0 _: J* X
对于斐波那契函数的求解，如下所示：7 H1 h0 D5 {/ O- ~4 r8 y
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
3 h" ]% {3 F' M2 O8 b8 E⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
  Y( l, F+ q  h# i9 t: O; |4 }, n{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)3 k, F( c$ \- m1 X
f(n)=
( ~/ a8 q) \& G⎩
) W2 G$ K, ~6 V' o3 M3 j⎪* r" I3 D# u$ H5 A5 H8 F$ e
⎨
( v, E2 B) }$ N1 K$ ^5 `( }⎪/ k; o5 b* N  R! }3 M  G+ C) p
⎧
5 @; k1 N, t% a) K/ i+ H; z- E5 Q) | ! {! r2 V. ~! }( L

* @1 a; T3 j  i3 z0 R1
. F0 r3 c1 c) C) }5 ~' r4 b1
/ V& z' X6 \/ Y: I/ s  c! v! Rf(n−1)+f(n−2)2 ]+ [5 V) @! |9 x' A/ m/ f

$ ]% Z  r5 e& x# G$ l  1 h) W$ s$ I  n' c; X) N6 I7 _5 r$ y
(n=0)
3 c) ?! O7 _2 e# ]6 i7 u5 g! \/ q" ~(n=1)
% S4 v, d9 g' a  n9 K) k(n>2)1 F0 S, O0 y; U/ p3 r
4 I2 G2 q4 J% I; T3 B
- S" _' H6 A) ~% N# Y! X5 T
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
0 I% a$ f$ J/ ]" }* k- f, }% A: b$ a" m. W3 Z

" u3 B# Y0 o  i# p2 l+ R# V8 d2 O, K这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
5 y9 B6 ^# W$ n8 C我们通过一个动图来感受一下：
  X; t7 f! z3 [& y! \% X
8 S) I  w6 o; a, b! j  y
7 B  N; R$ H! x1 [( J5 d: e8 I. M当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。, w, T2 [: T5 @& ^7 x/ J
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。+ [  U: z* @3 P) `& {9 \+ ]
4、广度优先搜索
8 Y7 I1 K; @. C: @. h单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。: a. p7 X4 U* ]4 U! C' |
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
! G8 N, J' E; ~# z) p/ D* P4 R9 \  v3 v( O0 @- A

+ I, M* C2 g# L0 D6 E* e$ Y/ ]" Q$ ]) j1 a2 H# O- Y7 I

; N9 x( P  q; j# y' B从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
& ^7 ]" l: a3 z& h) H. k# _那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
' q" o' Y& _/ `7 j这时候，算法和数据结构就完美结合了。+ g' q6 l/ @% {# @2 F
2）动态规划
5 J1 D# h3 X# b动态规划算法三要素：
6 A4 I  r; [5 P. s! a/ J2 ~ ①所有不同的子问题组成的表；, a! e4 U' |' i1 t2 a$ G% B
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
( n7 v7 C6 R# Q9 C/ `7 L# |9 E) y ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；8 ]( u6 y4 h! n: j
8 W9 E; \4 [% O# n
8 y% |- [. Y# }0 T7 o: a6 o$ Z- F4 C
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
4 w2 X7 ?* r! At* V9 Y3 j  \0 o* ?( ]! j. |& l! D
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n , i" ^( e( D) J* d( o9 r
e
1 z4 B5 y3 p* H. k/ n# F. c4 d ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
+ t6 L2 P5 f& R0 m- }1、1D/1D
/ V/ E- d1 q0 e1 v7 M( Ud [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
$ L1 p: T3 h- f: U' Qd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
7 G5 u# F" [0 X5 G$ M: N! d状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
, C  w0 W  p, u0 }/ a: l) x+ i* \
! J1 J" v) m( j
6 G# u% D/ Q' f5 D9 Q& T8 e这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
' U; F( Q# Z; o( S2、2D/0D0 J2 j* w4 e% }% a4 i
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )/ W  n: O+ X: l; x; n
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 8 \( J+ g, N* E. c* Z/ L0 @6 N
i$ J9 L( k! {4 b( ?5 N

7 g6 h. q9 G7 l  q ,d[j−1]+y
; D) q( l& N! r# ^9 ~3 Jj
& \! C+ Q, K. C. T( {
: v( f: U8 x. l+ X ,d[i−1][j−1]+z ) f8 F- x# L1 q3 @0 h3 ^
ij! r- L8 }% H1 t: M. _
+ o( p1 p& T% d4 M
)
7 |3 D7 [9 S) ~状态转移如图四所示：
! }9 d3 r5 p+ o) q% Q( ]; o  l& s$ j0 v' T6 B' ^2 n) b

. Z+ |4 R( i  \比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
" _+ u' O' g' |9 t# g: b! ^有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列8 N$ S) D+ X: `3 L
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离- F; @" j7 H/ D! H
3、2D/1D) X1 O( |) A  R& h
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] ); }. |: [' G, J6 f. w5 l
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
; u2 J6 S+ u1 ^0 u区间模型常用方程，如图所示：
) R) h5 w! b& Y% n: u# }
, g9 b+ j! \# k
" T9 ?! M! G9 s9 S1 t8 b另外一种常用的 2D/1D 的方程为：, z- C: K4 W/ ~9 M
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )- J8 {2 Q! ~& r( M2 ^- M" Z$ g3 ^
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)& {' |# p; l& W' Z+ `- U% G
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
* |* b+ ^5 e6 y5 G3 P$ M4、2D/2D# z8 f* D3 t0 f- X  @
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)3 ~' {* ^0 T) f8 k% ]3 q) ?5 Z
d[j]=opt(d[i / j2 y5 u5 E7 W" X5 R4 f+ Q0 z
′# c. L2 `( _) |% V7 A3 L+ k/ o
][j 9 d$ J  c1 p& t. k- G
′8 O6 m- o+ {( M/ r0 ~$ l
]+w(i 8 {# y) K4 s1 F3 ~2 A8 ^* o& y* ]
′* G+ N' T/ i6 v  O% D
,j
1 d( R* z* \$ \4 V& s. j. `′
% ~+ g7 I4 b2 G ,i,j)∣0<=i 0 c2 N! H3 {1 a7 s1 j5 \7 [
′
; d  o% D5 f  P5 b. M <i,0<=j   R9 x( w% b. y% O
′
) g) g$ ?& C! v0 ^. B7 M <j)" V1 b% U% ~( v1 v* x5 }4 {
如图所示：3 J' j9 V) w3 ~+ ]2 L) T; c2 x5 |& P' r

, i! ?+ I# d% L+ _1 N' h! E% y- L$ h- e: E; `+ \( ~
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
" L! H$ h( @# W& B对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n & }% X% v% `) e8 g" R% _+ m* A6 q( y
t+e
) @0 q- y8 u+ @; N; h )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
7 M4 X7 n5 E3 h( e* ?9 m& w6 ut' G0 n5 J! R* W" `
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
1 ]$ q4 V9 X+ j% y: h+ d3）计算几何
" x/ P1 e+ W/ u计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
3 F) m' Q+ _8 q2 j8 z. u6 q如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
1 A* p3 O. p4 C8 T- D4 Z1、double 代替 float
5 h# k; z" H/ P( p: dc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
# z% C8 L% ?! O% c2、浮点数判定8 N0 D: p6 N2 }0 O3 d1 W/ o$ W
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
8 V( J( [' L! V( z两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
5 G2 w4 n3 x* ^9 C4 T' F" P# ?const double eps = 1e-8;
" R7 b9 B1 {  I% r! U1 Rbool EQ(double a, double b) {; w/ N- r5 q( m
return fabs(a - b) < eps;
6 @& S# P9 U, r8 q}
! F* i9 Z% A& y2 \# y9 U1
$ L6 ?6 e; h: x7 E- Z2$ u! _. ]6 W$ @3 Z) I1 s& _
3# G  ~. T1 l8 [% A. ]: ?4 G
4
4 Y/ o& |9 I+ r1 Z并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：. t2 l4 S+ g/ W5 b9 q, q/ n
int threeValue(double d) {+ D' _" @5 C! o& q
if (fabs(d) < eps)$ L$ T* a& q% Y  ^
      return 0;
' H6 L2 E; v+ i, w2 M) ^ return d > 0 ? 1 : -1;
, I  y  t8 t( d+ `  G' P* q}
8 c6 m# z) s& A4 T# o, M6 V1
0 v( Z) V' z2 ]; L% c2: s. s* u" d, c  F5 K
3, Q8 [8 r3 g( m& J0 S0 `
4' ^1 p6 l- i) N, |$ k3 u/ g& H
5
! ?# v0 V7 i# f) \3、负零判定+ A# y9 ?( X6 I9 w+ s. i
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
) [6 \0 [2 h6 F% s7 U& c' N2 I double v = -0.0000000001;
7 n* l$ W+ T4 F printf("%.2lf\n", v);& w3 c# U2 Q9 l8 ]
1
# H! r  Y# O! y" O: |2; w3 A8 `; W/ Q9 d* G) w
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：# i7 C# B/ M  O
double v = -0.0000000001;
5 y4 H' B. c6 Y$ k8 { if(threeValue(v) == 0) {# z4 U- {* j& d! l9 B( q
      v = fabs(v);
) d5 @' q. N$ z# `! K1 M }. P) t; I$ G  A% Y$ q
printf("%.2lf\n", v);
  Z( C7 o1 v* C/ y1 n1% H- P* b% }" h- ^+ w: G
2# \/ J4 p7 h2 C& Y8 H$ w
3
; c6 Q( y8 Q3 E, v; E4
1 J/ d7 D, m5 E# V/ {5 b4 q5
5 v. F8 \8 \2 h4、避免三角函数、对数、开方、除法等' N4 _1 I" F5 F* x- B
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。: `& p7 h9 J* b& J, e1 k; X  }
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。( ^% a4 x9 [& A: M/ G9 A6 n8 \6 i
5、系统性的学习
9 a% \6 [6 h9 e2 N) d5 I9 N0 l基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；. y: P1 K& A- a5 Y1 @+ K8 ~
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；- j( S+ q2 H3 T# r4 W
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。- ?' ^9 S. c7 h/ X  U
8 ]/ A1 i1 B* ^* c5 Y

* U/ U+ z  P1 t* Y6 O学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
0 s9 c* @( q# v4）数论
1 o: M8 L- A* s. g5 f8 W* w刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
) w( p1 b% s( b! V4 O数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。) R; I+ h6 P6 t' N
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
" j- y; L' n+ O, i1、数论入门
. f3 ?8 c, M5 u! ~2 E+ ^# V主要是一些基本概念，诸如：
$ q% j$ }6 Y+ w% g4 p# u整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；7 N0 r: y8 E3 c
2、数论四大定理1 v6 L- x8 c  Z: F' F  u, h+ m
这四个定理学完，可以KO很多题：
3 w; s# U9 h+ S( [$ x欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理, J8 @. i  o  T# ~
3、数论进阶$ R$ R% }* m2 ~# o# F5 V
系统性的学习，基本也就这些内容了：
7 x. s% Z. j2 m( ~! k扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
2 V1 w" Z- {3 H6 c( p  a5）字符串匹配( I: }0 \+ F1 X5 t$ {, r
字符串匹配学习路线比较明确。
8 _+ [$ C; T! j! O+ O先学习前缀匹配：字典树。
6 j) |& `% u1 u! b2 a然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。, ~* o- e# {  o: o: e- j7 M
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。8 U& n" r, p$ d' x. i$ A+ b
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
2 m$ R: h* P7 H. z然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。- O5 ~' E0 h2 @7 d
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
$ n% I3 ]4 H" \1 ]/ R3 G9 O如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
( u! K! A) M+ l  I8 W4 C' l7 {参考资料
8 F# e, b8 H# g0 M- ^( i6 M, W+ q【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）4 O3 p7 p0 @7 |1 w
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）  ~% O" b) v( h& J+ F
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）7 x& `& M2 ~+ D8 S" Z2 h/ M
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）" {' s" M' i2 {
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/ a6 _& {9 @8 t/ z版权声明：本文为CSDN博主「英雄哪里出来」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。  f/ l. }* L" g6 `
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