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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
4 N* P" l# H6 U! b" g; ^边的结构体声明如下：
" Q/ O3 F3 ]  Z0 D& Gstruct Edge {4 B% r; P! d: ?) ~7 n* X8 X
int u, v, w, next;
0 S" q& z1 W& z% E9 `* s! w Edge() {}5 B* I( M& B) i5 P  Z! V
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :' B8 g2 |: |, p$ b# @2 J9 [4 J
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 7 ]. v  z' [+ M. t7 Q- X; |  n% e
{( v1 W5 k& f: [# A
}
7 z( h$ O" x0 m7 }}edge[maxm];
7 `# _, f. w0 l* }" R7 e) b1; p! |+ r7 e4 V* T
2
6 K9 n; d3 f; R  ^2 \' n' a# u3
# l7 H8 e5 q4 e& K, l+ X+ K: j, \4% W* [1 \6 C  n
5
; x3 |0 ^8 r. @0 W# |7 z6; U, E0 K& o) l' V
7
2 z$ R' o# k' M7 L  f8
9 P" G# d4 G. W! P1 r, x3 C初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
3 q# a7 J' Y7 h5 A) k每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：! U' \8 p! G; I+ X
void addEdge(int u, int v, int w) {+ J7 y  ?2 @4 V! h% k
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);: v, D5 ^9 W8 x6 y% v( C9 q0 i
head = edgeCount++;* r/ D4 V6 P' Y& D
}* L7 F% k5 l+ v  H. ~+ Q
11 n* N% u: T) i2 C; L, h- ^5 E3 N! {& l( L
2
& A% \. y/ k0 [. B7 c% \# ?/ x3" `0 Y' o: R9 A1 @
4
$ \- Y# U, l( o' x1 b8 i这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
/ }2 q2 u. [; Q) i1 P" e  f调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。5 @2 A! Z' r, j6 E  r2 o
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
' x7 R1 [: H# N# G int v = edges[e].v;
" u  U, `1 T! ?0 \ ValueType w = edges[e].w;
( ]" C% b% C! `7 N5 F- R' o ...
2 n$ T/ _( k( [}
0 }5 S1 O) @0 ^$ {' G) @9 n/ z7 f14 N- ^( \3 A; y2 ~% N% N
22 X, E& s7 P) o* n# u
3: o7 P% }  G% Q8 }# C! d& }
4
/ u5 _2 Y- D8 P7 O+ _9 C5
4 n$ k# W4 t- @; A文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
8 j' u* y0 s8 Z3 e. ^0 M4、算法入门4 p* q1 f1 Y2 X% W. n
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。1 q2 {4 H, `* n/ s
' g; R" f# j& I1 ~

8 a0 O  q8 c+ K4 s4 s& Z7 y5 e) `入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。/ u0 i1 v% K8 D. }7 p) V
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。+ R6 M" G2 Q3 V, P4 b- f5 ~7 u
1、枚举
( [' _2 Z, @2 u  b6 t枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
: ~( `+ p% u# o- b# s4 I( z  j对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。! x" D# O/ y: N) z& @3 E# [2 \
2、排序
3 Y3 I" c6 ^# n9 p4 i既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
2 u0 I0 w2 \6 H  E1 @0 c4 F& s冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
5 A- s: [( P- p( X* O+ t+ vC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
' M5 O0 }  s1 W3、模拟2 I  U7 r) M* _* w3 Q3 }3 {
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。# i/ c4 K5 J9 u5 A& S! x
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
3 {2 q. x' q# c" T& Z% ?' ?但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
- \' f0 x, O! K" J8 {4 s4、二分
# a/ f" _6 }8 |二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
* q) w9 X7 S; S% K5 @$ T例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
" v) |& P# m( B. X5 |1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
* {7 B! _; I# C3 M/ y. s( @2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
, K# a) O  j% b( {2 \ 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；  F/ _0 B- d! K8 o  i: K3 V  X( E6 z
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
3 M$ \* a+ ~; M 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；0 _8 [0 b' W' w( C9 t
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
9 ?6 ]1 C4 W- o7 V; P5、双指针5 u2 }! G, n0 J
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
: T# b( o: y$ D& Y* M' t- E
. l6 n. y2 f+ W, Z: P7 p7 s9 a! y+ I5 ^
6、差分法
) B) |) L4 w$ l* c6 }差分法一般配合前缀和。
: \" m( t, R* K2 k/ s' e! _对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
8 T9 {! T# J$ P1 Y2 h假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
! C6 j7 m! q; z+ g) j. z+ ex
  |" [! \+ l% v: W! s3 w# U9 K# W; E
. ^  ~9 i# ?, }4 k! D ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 5 p2 _5 m5 L; \0 |  q7 k9 I
r
; c" m' H- E& S+ ^+ U0 Z 9 y; T% H/ y/ B% N- @
−g
6 ~4 D; C* {$ P) x4 X) cl−15 L; b, @# b* w; ]2 g# h
, P% F4 S" x/ k5 A% v
；分别用同样的方法求出 g r g_rg ' A3 J* n4 L6 }9 y
r+ x4 i3 U( z6 f

/ V/ `' b" P/ D  和 g l − 1 g_{l-1}g * v  X) q' ~: O# x8 r
l−1
% C2 u' Z& F9 n; w+ {" F- N 3 F% S, \# `6 _, g1 O. X' E
，再相减即可；0 i% P# ]" k0 I4 `

# v& a7 @. C$ F# w1 \7 J1 w# F, w, C2 q( l. }, h
7、位运算
! q* D$ U) w1 L, K7 E# s+ i+ |位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。
" I  p0 s" F0 g; }1 M5 c位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
: X5 t+ i: A" D7 n6 y) K$ E布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
2 p6 `% t( d& H5 Y. Y6 [如图所示：! A# ?/ x) p: G

0 p/ o" }5 }9 B" o6 d4 u! |3 u% V$ i- [/ i# `" D6 E3 H1 v) F
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
; T3 P0 M4 y" h4 }; R/ M/ I比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
1 \2 j  w5 r3 @& t; v  C0 c!(x & (x - 1))
2 {5 X5 X8 r1 N1
: O% ?$ @9 B; K; K: H8、贪心9 m! b# H1 Q; j9 u# N0 o+ c; C: Y
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
' j5 W! U, c5 g所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。; W0 f5 _! C7 w- k9 ?  v3 }
9、迭代% |+ M$ r5 x" k) ]
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。( y; }2 O: H8 n! O/ Y
10、分治: @% a+ o6 R* i9 R' d1 T5 t( V" ]
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。0 T8 q& U% n1 P1 o7 q% z6 b  O) c! M
5、算法进阶
. c+ x8 r7 a* t/ j8 ~6 s" Y算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
' {- Q3 ?0 _" n  l+ F7 j9 Q如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。9 P2 E8 u4 I5 @6 ^
这个系列主要分为以下几个大块内容：' ~. @- L( f( z
1）图论
& D4 H' n2 n0 c# W) V 2）动态规划: N# y. `  T( t( I: V
3）计算几何) ]% K/ W& \& S9 L: M: c* R
4）数论
2 x0 H, B" M# a9 O7 V 5）字符串匹配1 W! v# F' M" w
6）高级数据结构（课本上学不到的）( r0 s- r1 i" }( U3 A
7）杂项算法
5 ~! N' {3 R  c' j6 O! }/ x& d  H. d1 j3 r6 y% Q

- K& `& P) e8 d! o先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：: \8 T! B3 O1 t

  l( M. Q. ?7 Y1 j
3 w' q2 L" I- `/ m6 N# i5 g- a/ m8 ?# n  k0 r: S

4 x0 H1 O- s2 I/ @1）图论
/ I9 p" ~; L' p0 |" Y' L1、搜索概览
$ O4 K, ?" T/ u. Y( n( C图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。& E9 T$ S; }) n

1 F$ r1 z3 s5 W1 S9 @% l. E% X1 w
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。/ k3 t: U! F" D2 N# {$ B* ]0 N
2、深度优先搜索) N8 f0 h: D1 I- @5 q8 v- J- }
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；" c# d& o) B* H) b
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
4 Y# N4 |% ?; U: B6 G' C但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
! T$ T% P+ _  p9 y2 j; w+ @" J如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。; I7 ^$ Y& X5 W$ q0 a; t9 D
5 o# z1 h* X( f2 Q' B; f
! `& u# i8 P5 M- M  M4 {. u
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：2 x3 V: ^1 b+ P) N* S2 c
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6+ }+ j( Q7 K' J' G# b6 |8 @2 ^
12 m' G' Q& Q- I* F4 A
同样，搜索的例子还有：6 ~0 M' q0 r$ ]) Y* i" K+ L

( Y8 P; W& h2 F# o4 |2 T+ l) K0 P  b2 f
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
7 Z$ E" H" f, ?0 v: I0 @1 D  M0 t3、记忆化搜索% W- E2 J8 m6 j% `: Z, m2 U
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
! p# d! Q. I1 C# u+ lf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =6 R, q2 L" K9 z3 u
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2), u# s' A% a1 y5 I& {/ p+ a; [/ i
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2); ]& W5 H! w0 Q' [+ {* T
f(n)= $ R$ |4 E' k! Q. v' X
⎩
+ m# I( l% b1 q; i⎪
* P: u0 t8 P' y7 p⎨
9 c/ |! H( J, E/ l6 H7 f& n⎪
% h; V9 |9 t( J( \⎧
% v4 @) h* c; K1 A
: Z- t1 K; K: @0 @& ?. h
  V/ U. J3 \- e9 i1, ^* D4 e7 i1 P7 ^
1
# H2 I! I: g. b5 {3 V0 O8 q3 xf(n−1)+f(n−2)
* G$ X5 I6 M$ L( {+ `5 |. _  Z' h 9 d: {% n/ A& m/ R

' s. G& l3 r! A$ Z5 q(n=0)
' Q+ M; W1 s# y! o$ V! L5 e0 N(n=1)- V/ ~- {( L) [9 d4 M) {
(n>2)% m, A$ r# M) A3 G8 i  D7 V: ]

: s" D5 [+ l( v4 j- A
) {; s1 P8 E0 }/ l- Z对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：1 ?$ ^9 G' L. Z  u1 [

; H( o& p, z* K* M5 E! w: I' W- Z" c8 h% w. I  P
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
' R3 F  F% @; Y  S4 V; x, p) h我们通过一个动图来感受一下：
) c" Z! p( k+ {, |) k' g4 B% |6 S! G
9 o. L, d; P* ?
! s3 ?9 x4 s  Z1 V, @当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
7 _1 b) R6 B" j; n6 q" Q这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。1 u" X. P% T7 f7 t' L" g) H( @5 q
4、广度优先搜索3 Z  C, H, y! w9 I" n1 g! w
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。4 D& v. p+ D% v6 `: f6 I9 M
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。7 \2 r/ I- F' E5 s) J

$ {2 v1 E- J" ^1 }4 o4 t7 @! U# h3 N' U) f* _

% K% V5 O6 k' j; r: X: n
% x! u' {) E8 w: H" }+ ]) F从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。9 {* p5 ]! i: @' q
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。& h- G4 D# ?# Q
这时候，算法和数据结构就完美结合了。: C2 u" g1 Z: l2 }" y0 k% g
2）动态规划
$ \1 j) }: X- T动态规划算法三要素：
2 Q5 _& l8 p) v) @( L7 D) p ①所有不同的子问题组成的表；2 ]$ a' v* K. ?
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
' g7 D6 [1 N3 \- N- Q' a ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；& g, a  l4 ~0 Y5 C/ P+ ^

& G: M. ]& `' d1 [
2 o: E6 K( ~/ p0 x: b+ \如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 2 v, R) Q# b- [/ p! ^2 y3 E0 o
t
' ^) }; p3 L( N- j3 m )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
2 I& d8 \, w% s2 k# ye, @* n9 v% O6 L6 Y$ Z( b
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
. O/ M% P6 n/ M2 Y! s6 k1、1D/1D9 Z8 k+ f5 @% j3 W
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
1 H  e' R  S4 f, Bd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
6 p: `$ c  V- W2 |" T( \( o状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：2 @  ?' I9 s7 x3 L. D# k# W/ [! S
1 R. h6 `6 I# U" y
6 X- M9 g! X# j0 d: \. g+ U
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
0 C% M3 D% X2 S2、2D/0D" @4 g" n0 T4 L* X& w4 V+ _; `+ _. N
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )& r' O  d# m$ Y/ h& f
d[j]=opt(d[i−1][j]+x
8 [9 T, f2 C9 p7 M+ D6 mi8 U* q2 P: M2 a) X

7 ]! N& @3 b9 E; {, ^# q ,d[j−1]+y ( e$ E, R8 T* U* R- [
j
9 g" Q6 T7 B. [: ?# K- }# N # c/ k- p9 C4 c4 @( k3 {
,d[i−1][j−1]+z 6 [/ y0 x$ J1 x7 d# I8 L
ij* n" f( R9 A: `8 J: s9 W

$ U0 j" s7 ^7 }# M$ ^6 j! r- d& v )
; \! c1 j8 _2 ?0 m状态转移如图四所示：" o& k6 V0 |2 z0 o# _  q8 Y1 L

. V9 h5 ^; Y% `* X7 J; I2 t1 W7 x  }3 A* r7 r: p1 I$ N* Z. G
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。5 l* L" r+ s1 s3 _) W' _
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
" Z4 X6 |" `) }& d5 r有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离4 J) q8 v4 Z0 E6 {1 x" y
3、2D/1D' d1 }) D; W; u, Z
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] ); T% g( e, O1 Z& @
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
2 l  W& @  q' Y4 k2 V0 P' ~  B8 ~区间模型常用方程，如图所示：
+ F5 X* k3 h6 G8 ~3 H% T5 J7 |2 V! v; W  \

! y( ]& p) ]8 w, N: z另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
9 L4 \5 J7 }5 pd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
" `/ O. S# [1 x/ y2 zd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)) D/ v2 k$ T: \# R2 B+ [
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
" B- O1 d: w" g3 H9 N4、2D/2D( a( U, ~- B  v: w4 C4 @
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)3 G# Q# r7 W! N* I" ~4 o
d[j]=opt(d[i
. W: e. @* J4 J5 O′& z3 n3 y/ J$ C2 L3 L$ T# b
][j
0 C) H9 n* k9 i; l5 m′: ?& V. l2 u4 B; u
]+w(i
% e% t2 h: l3 @& m2 m! M/ f′; s# Z, p# u6 X6 e/ L, D2 V  ]+ c
,j
, ^1 a4 _5 M0 a" ^: P′. L" y/ t9 g6 q+ U( |
,i,j)∣0<=i $ k2 ~( t& i9 g$ X  _7 T+ m/ ^
′4 ~- M1 J" @: `
<i,0<=j
2 h# ?+ K% h+ l' @: u+ R. v4 m′) \1 T3 n. r5 r4 [$ Z
<j)
) g; x6 d, g3 [( U. c+ B! B如图所示：  z" W: c% e5 y; Z, g1 L9 M& z  V

# i+ v9 U' m) w/ [4 j) i5 P
: t. I$ W  W/ K! m4 ]- U常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
6 r! n  c1 p! l) f; w) \2 K# i对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n : [; [0 v/ a/ Z7 b% [
t+e+ Z: s  t6 @4 G
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
" w; Y7 }" k6 \1 p$ Mt
7 e4 K2 [( p0 D/ ?# Q( i! q7 d: C ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
, e& L( |) `! t1 z3）计算几何9 E. y: l1 m! f8 T# d
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
6 |8 U. H8 {0 ~如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。: `& u- H5 l9 B( O$ d5 j
1、double 代替 float0 v$ `! \* N8 ]7 S6 p
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
( l# x) _3 z, R% X9 f2、浮点数判定
# X3 t% g4 F' h! O* o0 M由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
6 v8 B3 x0 M6 x$ z0 v! E& B7 m/ w7 n两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：% p; F- t& ^- H8 {3 R
const double eps = 1e-8;  C: l( \, C: C) Y4 T" c
bool EQ(double a, double b) {
) X# Y. ~% X: g return fabs(a - b) < eps;
3 B- b& x; A2 O% t8 }}
# \- R- C  f8 O* t1$ T2 ^& `* g1 Y- Y0 ]
25 }+ B; D; }& Q1 n; L* A5 \
37 o' k9 h* N  y! j+ u: `7 m' ~8 w
46 P( f: I, D" r# b$ D$ u
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：1 ?6 T; Q" b# M. p& w
int threeValue(double d) {
0 X; U, H' }  D9 g% z  e if (fabs(d) < eps)5 p. L7 `  r' X, w! r/ Z' L
      return 0;9 Q  Q+ U, Q8 `3 [  Q
return d > 0 ? 1 : -1;
, M$ g, \  D/ D  ?3 g* n8 d" x}: f0 u( U' D# z( M& v
1
3 x$ K2 M1 e2 K& $ {3 L* f: N23 B$ F) x# j- T" G$ i
3
1 Q7 ^( u) o" q; I7 F8 B4
8 \: S2 a$ x6 V( U5 Y: B5
$ L9 ]/ F9 @9 |/ G& W# G5 ^3、负零判定2 \7 m; v5 K* @
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
1 s. j2 g, w0 R& N, h double v = -0.0000000001;3 Q$ O' X1 s1 H) M" @  S& w: y
printf("%.2lf\n", v);
( l& x7 k8 {. C" o. ]0 `1
' H- P% C1 Q/ u$ s' a$ g2
/ g# J# H& {# W6 E6 N9 e避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
* _* r! r6 y% c, L0 B- U double v = -0.0000000001;: v- ]' r( N8 j3 o# k' x" G/ R
if(threeValue(v) == 0) {
$ o! P3 j$ J  d( X, M" ]       v = fabs(v);+ M' W* E3 |  B- T
}
/ |. O8 A- J4 u* e printf("%.2lf\n", v);
4 K3 q& g: ^! C$ S1& l; W" y. Z4 Y# x$ |
2. c$ Q% j* f$ {  g0 b$ x
3
! ]0 A% S. A, |* K* P# ^4
/ T6 O6 m8 r% j  [5! k. g7 $ j5 m& q6 }6 }& M$ T
4、避免三角函数、对数、开方、除法等0 G- f( {: {# a2 q% V
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。' c+ @' U+ }, R& [) R
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。) X1 U6 x3 z) i) Q
5、系统性的学习
: a- W7 s# j: C% ^3 \# C7 G基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；) \- c  H; ?1 c& \5 z8 H# b
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；, U1 q6 u( S) H% q* l8 ~4 g9 N
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。' ~8 v, o8 V' G7 `
9 b/ z/ G# p# }  E

4 m, V3 T2 K' K8 v, e2 z学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
2 x& ?5 j+ d0 M9 O4）数论9 d( E0 `6 \8 h* g% h- D& _
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
) I! _" [7 L: K; d, Y2 S数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。4 V/ u4 _" C- f: v  Z, I2 K
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。2 F4 j7 ]( f3 R5 R% Y4 `
1、数论入门
" o: Y2 x. j% r% t" q主要是一些基本概念，诸如：5 m: N& u4 b! n: F4 s
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
$ L$ W. w% O/ `2、数论四大定理
3 v8 X8 e: n7 x/ Z这四个定理学完，可以KO很多题：
3 ?9 r7 q, B; z$ T- t6 s欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
7 p% P! _. W. u% e* t0 M3 o! i3、数论进阶
/ t+ B3 \! b! m系统性的学习，基本也就这些内容了：
0 i; c2 |5 a5 v2 C4 n3 a  a& U* E扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
  U! m9 s0 T% V; B. p5）字符串匹配& }# W$ q) X4 {, a" E+ L
字符串匹配学习路线比较明确。
% I$ |* Q7 [3 c3 k, p/ t  _8 U& S先学习前缀匹配：字典树。
* S0 W, S, _6 t2 K7 ?然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
* Z6 w7 q1 s8 l9 E! z以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
; r- X4 _# _- j9 w实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
! X8 l& x5 O" [9 [, u6 K7 c% C9 M然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。$ D! {+ ~  J) v
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
( M. q; w5 G8 ^6 c7 [( n2 I如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
" W7 C( X: c' H& y4 q! X参考资料$ v$ @( x# |2 S$ m
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
- P  ]( N; B3 }2 N5 s' G【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
6 c" m6 ?. d. ]+ D! N0 \【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）, ]3 A) ~* e% H+ o! i
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）3 y! Y$ z. @" J8 O
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