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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
3 K  u- Y' l3 |边的结构体声明如下：
5 u: E- ]! T7 Q) g2 O0 e* P" X. @struct Edge {5 E7 l! E" }. s% _" P/ T! q$ X4 k6 p* ]
int u, v, w, next;5 `  h) a1 M7 c- s
Edge() {}
2 L6 z& D- V3 f+ q# K6 A Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
9 X9 H7 L0 ]: u" J) i- A       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
" |8 c( S  P- i {6 v/ K& q; Z; c- e' d/ {7 M
}
0 j& c5 Y( B* E}edge[maxm];9 w, w4 @/ `4 r5 I) l/ }5 g
1/ M; `4 I8 l& S7 i. M2 M- {  I
2
6 V1 ~9 A6 K: O  \+ \/ i* @3
* ?$ s  @7 A: H7 e4
% S1 |' F8 E" o! V% j: k57 l2 i% `8 f2 |$ S! T, Z6 w$ X8 @' r
6  u8 \- n  A" L  a' `* r" B- J: V
7
, c- U: J* I, w1 o' m/ y- Y0 H: W83 a# t6 ^* u/ r. J$ A& S2 V0 _' j
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；( [% P4 X8 d6 Y! }% X; f# R# E
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
; p* Z+ }/ Y/ j' a! C1 Avoid addEdge(int u, int v, int w) {) }2 Z8 A7 }) S7 B/ P
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);0 e/ L- o; ?# F$ ^
head = edgeCount++;
5 Q" x, Y. g+ A7 v: |}
4 R0 l+ ?9 M# H- z1
. O+ y( u6 V$ D4 X4 u2
4 P7 G6 M& Q+ w8 q5 [/ Q3 t3
6 @% n$ m7 b# @3 K$ \4
6 ^; [; a7 h3 o- ?# g这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。! x5 k9 r- `3 k1 b" x# x# e' i8 A6 A
调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
2 ~6 ], \4 m* w0 rfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
% k6 g2 H% h+ ?" W int v = edges[e].v;
7 w5 B% R8 l+ X) {) v ValueType w = edges[e].w;
3 e0 u, u" [* p) N* U6 D ...) O' p4 b* R2 \1 o6 c
}. T' r8 l0 ~  @% L. k
1
* u2 D/ j2 y  U% Q2
" h( R% U# L6 D3
. F8 \3 S) }% u+ }- i; M4
/ U" e' H& I; |6 E5
3 O- w! x3 q5 X' K  F文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
+ G! a# W: d  V! i: U! Y4、算法入门
. v+ n2 _; b1 ^, w- }# u算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。2 B8 R. ?( s; ^( x; }% ?8 f
/ }+ N! s0 A5 U- n+ M2 A
8 A# \! r( e, d1 J% Y* g, r
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。& q' {0 O8 Y2 X5 J/ D
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
% m' |, |/ }" c! a1、枚举
3 T; K4 I( U2 s枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。7 j0 p. {1 L4 W1 E; l! m3 f& }
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
9 P9 O6 G6 d% d2 w3 b9 q! ^1 T2、排序
  g7 G- D2 Y1 L1 B既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
! e9 n# I: v$ N5 p( j6 Z冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。7 V" M9 {' ?# g! m- ^+ z
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
1 w1 w) n% O0 _# @0 }; {0 ]3、模拟
  U" l( N: Z2 H  ^8 i0 j模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。/ r, d" m# a6 W. g) ]
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
) S# n& o/ M9 u( q6 H. R6 n但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。5 D$ ~- D5 z) h- n/ h" f+ k
4、二分
, P* K4 V" q. B二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
' d/ ?9 w2 l6 j. ?  U/ b0 Q例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
6 H, O$ o9 [* H# E+ L1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；; F4 f  o1 u4 a
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
- z8 ]% h$ {* Y. g6 N9 \ 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
& ~2 [& h. a% E 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
- q7 q$ j% S. Z% M 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；3 w6 c  o4 w& e$ M- A0 F1 a
3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。; {1 H, ^" E; n0 L* S- k
5、双指针3 E- Y3 s$ {1 B: j- b9 F; S, W
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。# ~& [7 }3 R9 N  y& {: U* {

' |- U' g9 D3 ^8 s3 m6 Q$ O4 N5 h& |
& e  u) P! |; s# o4 K$ R6、差分法; `6 w' z9 h, J% V
差分法一般配合前缀和。
7 e4 ~! ^* g) H5 W对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
3 E' H& q) c) b" ^6 v$ q假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg : a  K& A7 v+ v8 ^6 i
x: }- F0 f' S/ b

; ~7 }0 C2 v+ z4 X- g ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 0 K8 V& r/ d; l- F* W
r
" v1 ?  c. I/ V: S
/ J6 u5 A9 H8 c( ]# j9 O7 `& l −g
% I4 G+ ^7 g9 _- {0 w: ul−1
6 H* w" N4 R5 D- Q/ @! T6 u
) [0 q1 P+ E. s$ ^ ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
9 d1 ]3 `8 G  @( @# dr
7 o- z2 G" G  h  g( B' u/ ?. Q
9 t# v6 c& ?" ^* G  和 g l − 1 g_{l-1}g 7 U; j! ~! P+ g( T$ |3 l
l−15 L) Z0 K- P' \; X" b1 q6 a: z- k" U

; ~. g  }. G7 p7 g ，再相减即可；' l  L& f! t, x! C
8 q; E& I: S2 q  f; O

8 O& E# N) z( ~3 d% t7、位运算3 f# g# b0 d; I# p: R( z1 ^
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。) {9 ~! W. G5 q' i% G3 `( R- J
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
) d. Q7 m- W/ U. ?8 d布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。7 l' J+ D  K9 K  n) ^6 i% R
如图所示：  s5 g/ n5 I% ?9 a
- T% l7 ~3 z: [$ m' |) t4 F

/ Y% P" s; j% b2 m0 i* s3 v8 o位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
2 F4 ^+ q( }5 S8 K6 x/ L9 L& C比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：0 [# ]% }+ i) r4 D
!(x & (x - 1))+ _$ h6 ?; s4 K8 Z: d( ^
1
* p5 |- O% X( I1 e8、贪心$ E# ?+ Q& d2 O0 G0 i/ \# _3 t1 `
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。: s- ^3 y8 t9 C5 A) j
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。. p+ m1 D6 M) [4 r, M
9、迭代
9 {% y+ I- ~* ^; j2 g# m每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
) r1 `- T% L' ^$ @10、分治
1 z9 D1 G6 i# I& H# k分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。6 r0 t3 `" \. `9 f
5、算法进阶
( X0 S9 N2 j5 d" v算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。
$ |: Z; H8 K1 B. ^' v5 s如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。" x" c! W) A; S" D$ h0 @0 X, x. S* L
这个系列主要分为以下几个大块内容：
! {$ T) \1 j& d6 j/ ?2 n7 a+ y 1）图论. m( ?8 o* I9 Z6 _: {0 g0 d
2）动态规划- \: B4 V& `2 A$ Z$ S2 G! ?
3）计算几何
$ _+ Z; n+ `$ ^- h2 h" N 4）数论% N# |& ?. L- A% l5 D
5）字符串匹配4 \6 f3 }5 t+ n# B
6）高级数据结构（课本上学不到的）+ z9 S6 x) m$ F3 o! V7 m, D
7）杂项算法& w: n+ U3 f  ^% Q0 y5 \3 H$ ^

$ o2 k+ {1 u9 i- R* L9 k0 l1 Y& s1 B$ A9 f* |0 D4 _
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：6 T: l1 g" W( J1 B( v$ B

4 }. G/ d' K5 X$ I" j
, N; ?8 C) Q0 e- {  z; f' Z, g) J, l5 z6 L5 j: a; K/ ^7 b- b

) Z- ?$ [& j+ N5 i1）图论4 }1 [" [$ c4 Y- Q& d) t# @
1、搜索概览1 }. n7 \9 F* ~$ {4 y8 r  e, E
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。0 O* ]$ U' _- M5 K) _
( H/ m7 W8 s1 y
0 R9 Q" Q5 W( X7 T4 E* G5 \
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
, L' n4 g1 W1 g/ v) G2、深度优先搜索. z% h- u$ |; I4 d& s
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
6 a3 Q7 G) ?$ o  b$ H原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。0 C" @6 Q- N6 j- P! R$ F
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。& _7 [0 f) I# g8 l4 ~) @$ _% O
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。# J2 K& ?% c5 r: C

& g- C$ c/ U) U0 _/ R1 u! d2 B6 e
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：/ ^- ~$ I5 j$ t0 i9 ]
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 60 o! [2 d! I2 V5 I% o$ p7 j: @
10 j9 H/ c  A5 f2 u" q( {! U
同样，搜索的例子还有：0 g4 s% ?& g- X$ h8 G2 ^6 A$ ^
- l( U7 G$ @# I5 ~* t
1 M' I1 B. Q) l
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
& w/ |3 i4 q# y% H# ?) z3 K$ E3、记忆化搜索
" M0 h4 s, N  s对于斐波那契函数的求解，如下所示：
/ f" U' j3 u3 P' cf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =" R! T" ~6 |( D; d# b( x
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)% X4 v4 y, U8 T/ z, `% _7 x
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)5 v4 f' [1 ]/ Q$ }6 u! l- A
f(n)=
  k; P5 }5 K  X  ?⎩
1 \; u3 {  ^- X3 P⎪* Q2 `# D1 N$ [9 g  E$ M# C- q; a
⎨: z2 w" l7 A& Y! m6 m  M
⎪$ {; g: G5 `0 i' X2 y* w
⎧
( N- {* E4 z- e& j- N
- W! H$ x! W6 w
3 W% G: f4 O) a( b1
( K; w# d: X. n/ z. i( s, J8 t1
) f. W/ A/ ~  a% tf(n−1)+f(n−2)
6 K6 p: x( I3 P0 r5 e) K8 \
8 w% ~; r0 B; |( j  e  ; Q4 _  y/ k. ^" z- I$ f
(n=0), ?* _8 P" K  J; [0 n
(n=1)3 D# L& L' F3 i1 C' f+ v3 A
(n>2)3 C9 h- H  Q, ^1 T& X1 G( [7 V
. P1 V3 ~) J( C( r; A
! N- z& C% e7 |/ G
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
2 s1 M! _$ g& R$ d2 ?* J5 @- E  A5 s' W- b6 k. R/ c

# j! E0 m2 H3 x4 @, K1 @这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。% X% [0 C. e* ~4 r2 r, E# h
我们通过一个动图来感受一下：
1 @& c" Z  {* l, m- R9 J- m: p# r, r' B* j* ~  M- d; c& J
, I3 h) l2 \% p( J3 A' W" r
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。: I8 t$ f7 |& N& W# E: p
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。$ v+ l" b; L' o& U  _
4、广度优先搜索% K$ _- ?" t6 B% \+ [; P
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
" X% M  f( R7 r1 I3 w6 u我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
+ a5 G, y0 A+ x, B) Q6 b7 \+ i4 M, V+ Y

( C+ P( u1 i+ m& v: v* T+ d1 Z5 W' \
( D  o+ e6 f' Y# H7 B7 O
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。! `6 }3 e; B5 T! Z, a
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
! h. Z$ d/ V6 V" F2 i这时候，算法和数据结构就完美结合了。
1 @& R; H" Q4 x; [' m2）动态规划/ [' r7 \! o1 Y0 ^
动态规划算法三要素：
) t& z! n: T# S- w9 c; p9 R( e, j( L; h ①所有不同的子问题组成的表；
8 Y! z/ c% I" z2 v) y$ ~ ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
$ ]8 G+ I( x. S, ] ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
' a( U5 w. |0 Y+ {4 C# b% x9 A4 D$ \! T- O! G. l9 k
& F( B$ s) s- i" T) |
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n $ L6 E1 K3 R( ?; [! t- @7 y6 p
t
( P7 C3 d; b4 p, N/ j )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
0 {$ W, e0 M1 f+ `0 ie: b4 [  U% j! u9 h5 V  w5 K
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
( L$ }/ h- u9 d8 i* `1、1D/1D. O7 ~# v9 J+ t$ B' D% K1 \# y1 s3 u
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
+ `/ f+ i; q" _$ w* H& e  @" Fd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)& _7 S& G$ s. h. J) D6 D5 ~
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
# J  ]) f7 ]- u! G
; T! V9 W, K+ ~
5 i( j4 ~2 Z' K3 ^5 [$ G6 ?  b这类状态转移方程一般出现在线性模型中。& F3 u# G/ n- ?' v3 r
2、2D/0D* H, b6 I& s# T4 Z! Q' u
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
- \8 I5 g+ D6 Y9 U) c6 E6 c3 Bd[j]=opt(d[i−1][j]+x
' H0 n* x% g! X' H: ^* b) _9 ni
7 _- V/ e4 g' w0 V
; w6 E4 B. U/ v& c ,d[j−1]+y
9 x) F: n) L- }( gj, s7 _5 K$ L/ C: `9 Z
6 z- J4 J, ?* I& J5 h8 R3 Q
,d[i−1][j−1]+z . Y6 q( y5 j  I, E- g
ij
  A. f" V: D$ {% U3 l2 O0 b3 M
" N9 J3 E$ k9 o  z' G; X* M )
5 }9 y1 i, m0 c# T# \; \状态转移如图四所示：# ?2 F, O6 i, N* X" T# H
* o( |/ d* J4 T. H) _
6 P( S# G! r, I* C
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
8 S, t; {+ Y# }  m有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
, }  l: L& U& j+ `有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
* s# z: h) @1 X( ?5 j; ?) |' F4 h: Y% ^3、2D/1D, G6 g7 C6 h2 ~# s  O
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] ). ^/ g! s' u# A8 _5 W
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])+ b' k+ X- X3 C5 \8 n% {+ K
区间模型常用方程，如图所示：
3 j' J9 }; h7 E; g6 _
3 ~; k" i1 W! j2 M
( i. d! h( P7 l# z1 @( U7 K另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
7 @( z4 }: h' B" d& o/ C1 q8 ?; fd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
$ H" Z# s9 w, Y1 ]3 S4 rd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)% r" [3 l; g& R! l1 n5 c: |
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP" A: l( y8 B9 M0 n4 o9 p
4、2D/2D) W! ?) U9 [$ Z# ?2 Y; y( k4 q
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)- y8 r/ ]& `1 `; s8 U
d[j]=opt(d[i & I0 d- }3 X/ k
′! r! Z6 j/ P) N( l! ?
][j / g* B! b5 \# h7 v+ j9 K4 L( J9 a6 f
′, y8 R9 Y, d# X) k: j
]+w(i + t8 T, z* B* V7 _
′+ M8 i- S) b8 F$ _
,j
* n' d, ^/ G! ^& {. e- ^" ~′0 E* v9 z0 R1 T/ r5 |
,i,j)∣0<=i
6 q# `7 p7 D) n0 |6 M′
2 t; z  ?+ x5 K3 x& r! m5 ] <i,0<=j
/ k' n/ n5 N9 S′
" c" f, W% G0 H* ]! n# T# H7 T <j)
) ~0 S5 m/ Z2 a% m0 B* U如图所示：
! u) R: I7 p' M' p' u* T7 C, I5 ^" f) E+ ^
& o- w  a) {7 m$ W4 `8 e  @" G
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。, L) c/ V( T' q7 v5 X: c
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
* S2 e5 t# O  P* w3 Jt+e/ c9 d7 S  }8 w# ^% I& H$ C2 I
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
" f" ~8 B  B, _: I3 g- Nt
" \, o  I& H$ a) \; ?' B, l+ p ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。$ w! k$ F- n" q6 J  h9 ?% a# b3 z7 s
3）计算几何
2 }/ H; ?1 m4 Q" m/ N, W) I7 Q计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。( _- }& e- h, l. ^
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。+ V# ]2 {# L" b: X  @
1、double 代替 float
9 g. o  f- f) B; [' p4 ec++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
7 q, P. M% ~7 e0 T, ?! g2、浮点数判定
; O9 w4 d' Q# q6 v* v2 Z3 N; z由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
' s# M, T: O- J" S, y; R两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：. M0 F- f2 s5 Q, {" D0 N0 [" `( _
const double eps = 1e-8;( p1 G$ Y! H! u+ e( C$ h
bool EQ(double a, double b) {& @' _9 V0 ^. N$ ~, v: G
return fabs(a - b) < eps;
( @7 k* [, U, e, B% X8 N}
9 V7 ^) h& _% F4 E1
' y& {9 l5 p6 I& `) ?% \3 d2
* _2 r& F, x0 I5 v% Y3# z8 D! b- b4 E
4: o& e2 c# C) E1 m4 M/ D
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
: F0 K- B: }" k5 @7 z3 |& Dint threeValue(double d) {1 p! v8 b7 \4 M! ?6 Z
if (fabs(d) < eps)
, P! s( g0 z4 {- Q) R0 c: \       return 0;. _, |: e5 O0 l- B+ {6 P
return d > 0 ? 1 : -1;
' H4 v# \: T  b- B; q$ h/ b) @}
" p5 a1 Z" ?* m9 i1
- J, }8 w1 A* y& ?6 E  C2
* @  q3 |) A4 `3
) a: K* |0 p! T4
! U; R; i2 `9 Y* Y4 i' ]: L5
4 A* y: D2 Y  S- u! B3、负零判定6 d+ O! L6 t% J
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：6 j4 T* g% F; U4 ~
double v = -0.0000000001;
* g" L/ ?1 O4 p: i3 N: o( y* t0 | printf("%.2lf\n", v);, j1 m$ m6 x# \& }5 B
14 q! C- h) A+ |' V) w- `8 U. [
2
" _3 E" t5 a3 f6 @  N避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
' `3 ~9 W$ q) R& y; H2 _- T double v = -0.0000000001;9 @0 n, o" S# W& H
if(threeValue(v) == 0) {
0 D- d! K+ A1 a5 A       v = fabs(v);
  T3 x7 K  N2 k( ?3 y }
/ p" c3 n  P) r3 ]' Y, Y( p, X& ] printf("%.2lf\n", v);" r2 B/ S; \2 t7 z3 G  k( e) Z; G& t
1
) K- P& }. v  `2% A! `  Q( J( m7 o2 l
3
$ ^7 N; Q2 b0 W2 o4 u8 @* O2 f) ?4
, V; v: F6 @! \" `57 R5 p: l/ L; ?. {# f; d
4、避免三角函数、对数、开方、除法等
% {7 q7 w5 k* U5 K  a; s3 dc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。; H$ e$ M/ r5 C+ n& y  _
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
/ E" J( c% z& K; A3 u3 ?5、系统性的学习: C5 x4 y8 [/ @, v% Y. ~! I+ V
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；# o; M/ g" r7 N+ B
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；, e+ V+ Q  R7 Y$ E: W
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。1 }5 ]+ J/ L, L( I+ G0 S: {

9 X/ C; Q" s  a9 K) H5 ^1 \2 G$ p' j9 R5 S" S! X6 l% F$ a( \
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
, f# U# K! E3 m( }4）数论: J5 P5 M" _2 F
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
1 p( u* _+ M% A2 ^数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
0 ?5 k3 p1 K. O! r: ]  ?% v) U当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。& C. v4 L4 B& K  a" |
1、数论入门
' Z* t- J& Q# N9 A( K/ M主要是一些基本概念，诸如：
/ K) F) s4 i2 t整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；2 g- t6 ?6 w; B$ l
2、数论四大定理: ^) {. j0 O7 X$ ^- j3 I0 F" q
这四个定理学完，可以KO很多题：$ V. E$ `3 b* m/ f- Q1 Z
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
8 |" m+ D* S% y3 _8 N3 P$ H( L3 a3、数论进阶
1 c. Z* x4 T3 }5 Q$ I系统性的学习，基本也就这些内容了：
% l  F5 {8 W1 ^% G/ @扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
2 t/ V% O8 J$ F$ }# F* ~5）字符串匹配
9 j) |) ?  a) o# d" a* V字符串匹配学习路线比较明确。
7 Q) d8 i: P8 z" o先学习前缀匹配：字典树。
6 c+ ^' }. `' a  v: @然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
7 L: e1 W5 f, t& A以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
$ p, |' w" F) D: X实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
# V1 {1 [( E% l然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。  m: B' j  K# f' q# h
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
; ?% e6 H7 H& x7 v" [3 H8 K如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。
5 y7 W, k' n& c& f& A% P0 V参考资料6 {& m2 z6 e( g* w- S6 a& ]
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）( c* p7 t! P1 q2 d9 S
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）5 l) r; D3 j+ P. P: V
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）% a# D- P/ d5 \* s0 W* |
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）1 |# Y9 H, g* i( l& U; ~
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