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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
/ N4 V) A: |6 U2 H/ |0 n3 {边的结构体声明如下：
# J9 T9 P  @( W6 U: M/ kstruct Edge {& n' x* b6 ?+ x5 C4 i
int u, v, w, next;
  i7 i! y5 P" i; O Edge() {}9 ^( t3 k  {9 l' y$ F" S6 J5 V- }0 C
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
' h  c0 t1 R$ n       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
: Y; z  [9 x! H3 ?$ C* Y {
* g0 l3 }9 c5 [; f }( t0 R- @- k3 e; g0 I
}edge[maxm];6 S( \' u- B+ K9 c1 _, I, \
1
7 U  `& s* s9 ?2
! ]1 \, K3 U' r# ~* P) S7 k3
+ D! @% d- f/ d' ]! R4& C! H7 `1 p& V
5
* i+ U( Q2 j1 a& _6+ W8 k( g0 s" T
7+ B( ~9 w6 k0 b4 W
8
6 }" K' K+ W4 d5 \: ?初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
' c2 N6 Y/ w. Q6 ^! \; P& }9 _每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
! c+ R3 B- `0 O2 b/ e- H6 [% Xvoid addEdge(int u, int v, int w) {5 b3 x! r' n8 r& N5 A9 }
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);, c0 p2 R3 `7 U1 K
head = edgeCount++;
/ y# Z6 O5 i! A8 z' S}/ ~) z4 ]7 |' |9 U8 U5 `: h
1
" ]- _  C# _+ i% }5 t. S22 E" [" R' B+ h0 E, }* }- P
3
; M& u/ v9 Y  x' R9 A4
7 J, q9 [) H) w' d1 B  d7 q这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
( m9 x9 a0 M5 X5 z( g; A: i. \: y  S调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
) O% }  J) j0 g, `) l; sfor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {# P/ H- [' N/ l) B7 {3 X4 \* @
int v = edges[e].v;
- e: f. c, }9 D# Q ValueType w = edges[e].w;3 h! e  Q5 x( k0 t" s* q
...
7 n1 Q& t. N* |2 G" Y, a}
3 g$ Z6 W$ G6 k1
0 l2 ]/ J# M- _9 n2
5 L3 O$ }4 g7 H, g- O- o3 O6 i36 h: |& l$ E6 Y: |, T
4
$ I" S. Y  u) b5: z7 C* n4 b8 D5 Y
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。& T9 f: t( Q+ r. {
4、算法入门
# N$ ]$ [. k4 K* m' f8 J- V/ z' T7 l算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。4 M1 n* P/ Y7 [3 w7 o9 Q* Q

( d* _+ o/ z& }
" y8 u( P* V7 E* Y2 H7 c0 W0 e8 e- e入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
5 ]! v* F* j2 h& `$ |对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。* z* J: X0 r, X8 Z# O8 ^  \
1、枚举& e# T/ o' G% F6 z
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。4 B0 c! Y5 O8 L0 R9 t4 f' {
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
% e" y3 u- o  Q& o0 h1 e) Y2、排序5 g6 P1 T) ?" O; h) W
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。# }( P& H) S0 Y( s
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。  Q* t- D. ?0 E! ?
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。* A8 g5 l( P( J8 H
3、模拟
  G2 V$ i: c4 s6 Q" N模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。/ }9 w& d, n% j' X( F, z( v; |
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！! z# I7 H! T8 L- f6 p; h
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
, p# }4 q+ Q& b5 g2 J5 B( k4、二分* T. ^3 h( e) N- L
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。# a8 n5 g' X& b# ]* J( d, e1 g
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：0 ^2 B4 R2 C' [' Q6 |  M
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
( F3 h0 n1 h1 J- c( E2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
6 d" b4 P) Y7 h4 } 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
7 G3 [& V. J) @0 N9 F% G 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；9 W+ @3 Y5 d% Z5 V2 t2 L
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
2 i$ ^8 @0 f) y% Z' \3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
& ^& E. D* b: o' M6 [. W. b' i5、双指针$ T! c) l" M  t! O$ w+ k
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。
) {4 R& s, V! a; d& A( f
3 a1 C2 _" k3 z9 U* l9 J+ Y- Z4 E7 B3 \1 V, `3 d
6、差分法  G5 P* ~. A, x
差分法一般配合前缀和。
9 |1 Z3 _6 c3 W6 W, h* D+ V对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；( l: a" ~* f6 V6 d: }) A' [
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
+ }# K- k6 t! h  w/ \x
1 A. X' l, E4 y# ~+ b& S
7 i* e4 W$ C0 m ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g
7 b, i+ ]' {7 H! y9 G; n! Zr+ T/ C4 s% L) T4 U

4 k, k! T& q, N6 g9 K5 f −g 5 q" s, w) T1 ?$ |: D6 L# }
l−1# ~. ^7 S/ n! M5 X+ R6 u- C" a
5 W, \$ W  }4 N: p8 U' d0 u
；分别用同样的方法求出 g r g_rg / J$ ~5 @  N, z  j! _
r2 R$ P0 C! c' Y1 Z6 P
; K/ j) t2 b. N- ?1 R
  和 g l − 1 g_{l-1}g
7 T0 B7 V: {; l' E) l" E0 [  fl−1- P: I& l) A4 E  s3 h. h
5 f: _2 N' S8 S1 C, _0 `# x
，再相减即可；
1 _# r% G  z0 u) w; h$ Q. T& x8 L8 U3 |9 B6 j

+ U; o. n8 \5 O5 Y; G7、位运算
3 q% ]% A4 x  [8 K+ c( [位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。" E  j' c6 ]9 u+ c& S3 z2 J
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。+ k. M' s; X% _. @
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
0 P" n* x1 u$ K, U( m如图所示：4 k: t% m" ~* r3 U8 P/ h

9 U: p) x$ X9 K& }5 O* H( r2 m, l
位运算的特点是语句短，但是可以干大事！4 _6 I4 |1 F' {1 n9 \% X: b
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
( E% p  x1 S9 ~( F!(x & (x - 1))
, B& {' E# Q$ Y5 c7 {3 P1
& k  ?  y% d1 X+ R0 i8 S2 N9 Y8、贪心
: I/ O$ L! M1 \* O. ?0 O# b' C, @  ]贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。' w# q" l! n% [6 M. v* [; b
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。- N( \3 U9 F9 q5 `
9、迭代- m5 O& l. E4 }+ l
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。# y, s+ B0 J. t/ N/ h: @
10、分治1 ~+ H9 U% u4 E( C& a: I( F1 z
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
2 h- G9 A) I; U3 L3 D* Y8 }2 f5、算法进阶
% o$ {* I# z, v$ s* N3 I算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。& |6 S- }9 T8 M+ o9 B8 Y
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
, E! s( d5 T4 v7 S# h这个系列主要分为以下几个大块内容：# t% ]" p4 C1 O. Q( V( Y5 u' n
1）图论1 v, v1 m$ j8 P  q+ K9 D
2）动态规划
7 R) s0 J0 C' t. l3 G1 E 3）计算几何
/ l$ G. ]0 ~: T9 o 4）数论, n( V7 `, e4 T- O. O
5）字符串匹配1 S: o/ v! [: v# p$ c8 F
6）高级数据结构（课本上学不到的）
' f9 b% `$ {1 o8 J. f- A: Z$ _ 7）杂项算法
* l9 V/ q, n* w. Z, a6 v& x7 {. g# E! u

5 R' D' K! b- e. ]  g- w; D2 F# f先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
8 v0 B3 l) F3 z- B5 T
* ~4 A) z( T0 ]
% X6 K6 o7 {% r  i- K1 D: R: ]- d% ?0 S! V9 X( Q
: C6 A0 U7 ], I. k4 b, p9 I% X
1）图论
$ a' N" p% a& j" U& ^7 W* o, X. v1、搜索概览# d' x: A: r. n/ D
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。4 R3 A7 c0 z( e+ A, U
5 r% u+ V( l) I
! f$ |, ]6 R. d+ L- p0 V
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
  r7 [. \' O# @" Y& B: {" f2、深度优先搜索
+ j! k# ?- ?- d% ~深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；- X- `5 i+ s3 B# m0 o6 c/ B
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。: P  M+ V: K) F6 g9 T
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。" V1 B  u+ g7 f- I
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
) |* L! A) Q; D7 A$ R, \( t3 a# {0 X0 r2 D

+ H, ^/ T: O2 n红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：% l1 F- x- A0 R9 o$ ?
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 61 I& ?+ j: C) @+ _6 {
1: X# K2 D0 z3 H% M6 G
同样，搜索的例子还有：
9 Y  G, [8 G+ l4 _% @: p3 I/ M
3 p" B" E0 p6 q; P8 t$ `  |
0 W+ ~" }. B2 j) H" I* y计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。3 z  t# r6 x* Z
3、记忆化搜索
6 a8 z7 C5 ]' [& M* K0 R$ {对于斐波那契函数的求解，如下所示：
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =  y( p; A0 ]& n
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)  f: c) P6 L* d$ o! p9 \+ r
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)9 h, r$ }- t) o% I- Q" s/ ~
f(n)= 4 f7 v- F; Q+ p3 o9 u
⎩
6 ?1 q2 u: j, w0 s. [+ r⎪, v; ?: w+ u1 I2 f
⎨
( o: \" V" U) D0 z⎪
& W! a  K: D9 I⎧( X: a. [) }5 B$ r
* V6 P5 u& M4 {3 h, M: @3 {+ ?
  & M: R: Q- l. K# a; N4 P
1! A+ o7 t) {* z: ?2 l2 t0 R
1( ?/ [( [* {1 _$ H
f(n−1)+f(n−2)
3 s! D  z. m( q- V & L7 g% ]( n% \- l' w6 r+ H8 H
  + y( r- `' F1 I8 _) q; g' V. N) p
(n=0)
4 z1 q; M+ X6 k1 H! I0 i3 Z(n=1)% Q0 n3 f# V0 o
(n>2)
' c8 X; |: M& R2 W$ i1 m1 ^6 H
/ l9 m* v- n# m
3 M* q# H* Y- t6 k3 F对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
/ S) M- `3 |# D! e/ X) g; N+ }0 ?0 Q
. L7 i6 ~$ B$ J* W) j. p% @9 U% D& [+ h$ F
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。+ ]+ w3 A  U5 k% j: J
我们通过一个动图来感受一下：, L) ~% [; d& K0 \3 X0 q

$ p" E$ E3 r8 `& R
2 s" @# y5 F& _' Z2 E) {, N2 p2 T+ W8 _当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
& p3 I& h" @7 S4 Y& Y这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
* B4 ~- {7 I' o' y# m% s0 M4、广度优先搜索
. Z" B- Y5 m8 R* h5 w9 d5 x单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
5 }" w2 v' l0 |. }5 ^5 j我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
/ O3 O  t6 y7 R# X! X# g- @0 j6 b6 G4 ^

' C2 c7 h0 e, F8 j% z/ N. f* L3 |* `8 C8 V" u- K
; X5 o5 @. d6 |4 h4 N
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。8 y3 A, b& Z$ F& H  ^% q
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
  m% c6 T7 Q/ ?: ~1 @0 @# X5 \这时候，算法和数据结构就完美结合了。
" H1 q: y0 ~. l# B- l/ Z1 C4 a6 R; l2）动态规划
. }" o% ]- M, |( _) |, w动态规划算法三要素：; y' R- ^0 X, \* c: y4 v, ?- j% e: C
①所有不同的子问题组成的表；
( Z1 k, \8 a! f( e; i% `, I ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；  {9 R7 H- {' A. y" b# I
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；1 w$ F0 e' ^7 J; d6 T

5 b3 H1 Z% Q4 d( X6 c3 q' K3 r9 i4 V6 D9 ^
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
' z" A. `" }# k3 c! N' O$ c6 D8 ot
+ a# u0 g, |/ \9 g6 R/ M6 D3 U) i )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
) Y7 K1 y* |  i  ]e( A. [1 C. a9 }  H0 J3 a
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
1 s) t, A. m, a( J1 N- }- u7 T: D8 V1、1D/1D- Z  d5 m9 i1 h
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
/ U" x9 e/ Q* z: ]% u" \d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
& e/ Y1 m. N+ ^: r* B0 ?& F状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：3 M! N( P  m$ \
+ f; U7 [0 Y8 {6 u

这类状态转移方程一般出现在线性模型中。
2 C+ H+ d2 x4 ?; x' _5 Y0 K2、2D/0D
4 [; M! [* G* z# yd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
8 m9 u2 l7 x( W0 Y4 S, _/ Jd[j]=opt(d[i−1][j]+x ; C. c2 z3 i, W! y
i
9 y. d% O/ ^9 A0 h. X& u ; U. j1 C* u4 n7 }9 a+ R5 l
,d[j−1]+y 8 _& a5 Y9 m1 @4 ?& {
j" L% p- {0 Z, l& C# f
. v5 N3 ]: K% V4 y+ h0 G
,d[i−1][j−1]+z
4 }5 X) v3 z0 [0 Z, Dij
. y- b4 l! l* Y5 Y6 \, U
, R) r0 u8 a- @. T$ | )
1 f1 j. ?% N' L3 J状态转移如图四所示：
( k" L. T$ [; }  A
9 a. L( `* I; ]9 H, h
( |( k( Q+ U$ i3 d$ |) g比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
# n/ `: R3 b8 u& q* G有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
" l7 h( I- U& ~7 q有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离" k' ^8 [5 _0 o1 {
3、2D/1D
" s7 T/ v, p9 B; `# u" hd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )  I$ T9 y# G8 B) O
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
% H! n6 Q1 u  k3 N2 O, w区间模型常用方程，如图所示：
3 L) ]6 D% q- J8 `% R  ?
  h7 d+ w' @# T( }# `6 R- V
4 Y& X0 b* H( L* K$ _  c另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
" x  H) l7 n0 |" l4 c/ o1 J# p+ Gd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j ). }. q, V, L! s+ a( y/ r. v5 M! t
d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
% W* Q4 J1 Q% q* n, _区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP0 B* j$ ]) A6 |& R( I
4、2D/2D8 w/ K8 W$ N- m' X" c" c7 q3 Y
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)* ?7 {8 U0 P9 {# m* _. f
d[j]=opt(d[i
, K, w9 M& ?, G5 a9 z′- I7 H2 a9 {) N' I& u4 [
][j # j- [3 ~3 I5 s8 z, I
′1 x) z% H& H/ \. r- _1 K; ~
]+w(i / O* w0 ]/ n( ]5 X9 p6 ~
′
+ g1 b; g" {  g. _ ,j
* o; K8 b, ^" v4 w′+ h' D, j! C) N) a/ m8 d0 E
,i,j)∣0<=i ; s0 a# m( Y( V
′( F8 x2 m: h. ^, z
<i,0<=j ( f" A0 I# ]3 _3 g- h
′( Y/ o$ @) o  ^- [% G% X% v( W* q
<j)3 @9 }  ~7 q$ @& a% G
如图所示：
6 n/ R' J$ b0 k$ {- N" a0 r7 C3 L- ?8 G, N0 ^# _, Q# C0 }) O$ D
( {# B$ ~, R3 S* ~7 J
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
9 V+ ]" x' q) a$ W* H9 e" g对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n & Y! d4 a, C+ o  q5 ?% N
t+e
/ m; [+ K* d  D* D6 F )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
0 T* d$ g! Q( ]7 a  v' b& N+ Xt7 c+ d1 w* F) M) [% A2 _7 ?) @# P
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。
$ z$ Q- T3 I. N: Q3）计算几何& @1 Z3 @5 j" }- I
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。; |5 l( [9 C- P) i1 p
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。; t2 R2 h) ^4 C# U4 Y# I. w7 M$ \
1、double 代替 float
2 G. J$ V1 i/ N; i6 rc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
. X/ }# O2 J: y2、浮点数判定4 l. }' `- t6 L# N
由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；9 |1 b# j& ~' w! L) e  [
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：6 @) b4 z. m! S& G
const double eps = 1e-8;* ?5 U, C  c/ X2 }
bool EQ(double a, double b) {
1 i* }+ O; U  ^1 p! i return fabs(a - b) < eps;2 N2 {7 X9 u! {- R& l0 n. \8 F
}( Q2 r2 R7 P7 h
1
" F1 J$ r# r/ e4 p) `# N2- C- y: k& E8 M# r9 F2 h  c  F
3
) {+ z) @: s7 v; }& ^4$ D& V" l  m4 \. M
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
; ^. ~! f" k6 o7 z! Z, Uint threeValue(double d) {; y. F& |! t' M8 s
if (fabs(d) < eps)* \, O+ X8 v9 K
      return 0;
+ o2 G/ H+ h5 p: D return d > 0 ? 1 : -1;
0 g7 y( v6 m# E) Z}/ ~4 W" B, r4 O% p  R
1# P; T; ]9 w, B' r. f& R
28 O* [* x- m6 ~( v( R! H
39 I; a5 O/ O' _  k6 c% E
4
0 y6 w" e/ Q: Y6 a8 I5
: c+ t6 F3 ~! \; O7 X' N0 }& R3、负零判定' X" O- D; J0 i
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：- w' o# C  W8 h$ U2 m
double v = -0.0000000001;
: X2 v; Z% L& }5 q4 i; ~ printf("%.2lf\n", v);
$ M6 l3 g- x8 _5 J. L  K' k2 L1& R6 u2 I# y* q
2
8 @1 N4 t5 P/ \- S避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
' K! h7 I7 h* J7 W6 ^! y) T5 Q; h double v = -0.0000000001;% m5 N7 s% [. V# E8 B; |
if(threeValue(v) == 0) {
7 z; ^) }" L- X9 H- L  z       v = fabs(v);
' X. a+ n# P$ Z/ z/ b" V }# O* B! i7 Y+ U8 O' F% t
printf("%.2lf\n", v);2 i) ?+ ^1 S' V0 i4 f- M
1- U+ k1 ^% Z9 P! I! f- T
2
4 x. O- _+ E0 ~4 a1 j, f1 r3- x. T/ y/ ~+ F7 @) B
4
2 w% K7 j. _* N4 Q# l7 q5  w) H: c5 r. U: i+ [
4、避免三角函数、对数、开方、除法等1 P$ X$ O; e/ W. @) F
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
9 B5 v  @  r: Z  w除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。8 Q3 y, \% _" K/ @% t9 r6 {
5、系统性的学习
* }& L# a3 s1 H2 `' C4 e% b; j基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；2 _/ b) I9 L0 f6 e# |. E7 M2 P3 ?$ k
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；! V. W5 f7 J& |. a* a& k# m& ~: v0 g2 P
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
& F8 a6 s  ?/ h' _
& {0 o# @% b3 m* ]$ X4 x% B3 Y% h  D
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。0 _2 k/ w0 Z: H: R$ c
4）数论& K- u) B  A7 B- s& u( N# k% o
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
8 v" W) \4 E  [& o6 L数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
: x0 P, d- i7 d- N1 B8 ~当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。- ]  f0 a$ ^5 k: W+ D/ F6 g' J
1、数论入门8 A$ Z9 s, s3 t" l
主要是一些基本概念，诸如：, b8 o) u1 _$ T* Y; f/ X& a
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
( o  w: h  f7 r6 a2、数论四大定理
9 _# p  t9 _, \( J这四个定理学完，可以KO很多题：( f. E& O, o# p1 L  u5 {
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理4 P, a# V& ^, s% d$ G- \# w
3、数论进阶0 ]6 i+ X9 \# F7 e" N4 X
系统性的学习，基本也就这些内容了：
- p  r4 v) G3 b* U% V3 p扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。
$ S5 S6 ?; \& m5）字符串匹配7 V  H% i9 B# v0 |# h  d
字符串匹配学习路线比较明确。
) J, k( r: }/ P. A先学习前缀匹配：字典树。, {9 W& _5 s1 z0 s# ?
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。; q) o( B) L7 c
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。( j. ^" L& {. L4 Y0 |
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
8 B  F9 R4 Z. o2 ^9 E* {8 a  \然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
. n) t: Z7 y% E  H% J关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
) T6 o% S/ K8 E. U8 e' B9 @如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。/ h2 R4 A* o9 d; w; R( X
参考资料
; f; D) m% F* d2 w/ e; o【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
) ]7 d2 K* X$ J+ F& m3 l【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）" J# }0 @' @' }% i
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
/ Z% J+ x7 y. |- ~9 p# S【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
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