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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法(forward substitution)和回代法(back substitution)求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵,可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能:
; O) B2 R! X4 Q* u( n0 G5 @4 N
% _$ T- h2 i8 Z- Q1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
. Y" A" ~8 w* ]2.初始化了一个下三角矩阵 l,并进行 Cholesky 分解的计算。- l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));' |7 L- o6 l4 C. A
- 6 V5 M' ]9 w) d4 o1 N2 `- g
- for i = 2:n) T9 }! o! d& Z. m4 F* ?; M% ? d/ U
- ! P- y6 ?\" d) d* B& L# g2 L1 y
- l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);9 q0 m\" r9 @. ?( K! T2 f
- ) b4 n& [) k- r: m% k$ W; D+ U# E$ Q7 Q
- end
^- a8 l, C6 Y- \8 a! m7 k
- ]/ L3 u1 g6 I9 m. A- p6 ?- % w/ j! I N) Y
* i4 R% X% a8 f/ l8 d, [, E8 x5 d9 f- for j = 2:n
; F' o; I2 d4 [7 r0 _7 u& U - ) _6 f5 R; z/ e8 n6 U) P
- sum1 = 0;
/ ]: t/ \' K: ~- S: u( H - 3 L: i# n. a8 ~* X
- for k = 1:j-1# d/ E* D* t' u$ x6 j
- $ g- G; e1 k' C. H+ Q9 R8 B9 Y
- sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
6 e/ d# y: I0 p* O/ M- K4 J
5 e/ n/ U0 x! f H% n) P( a! a. d# D& K1 e- end
1 H/ m$ Q6 M; U. D
( G% g' ]1 ] t0 o0 J- l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);- E+ C' v# M4 o- o
- 5 W! V/ M& v8 g: \! L/ a+ R7 C0 v
$ {* T* I6 l y4 K9 F- ) ~/ F% n; b; F4 M# [\" Y* p
- for i = j+1:n2 j8 X, q3 q, L) y+ C9 ]
- * K7 D4 C, | }# e\" O
- sum2 = 0;
- _) b. V/ L# d6 Z7 Q- U( { - $ @5 V& o5 S\" n
- for k = 1:j-1
. t0 r\" s5 j$ H$ j
S! }! \/ R+ j3 q- sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);$ r* Y* ~- `, ~! s
: J7 A( X7 t. L; ~! e, `\" o- end
/ ]/ {) Q0 }1 N/ A - 9 _& r* G3 x; q/ Q& u
- l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
9 \+ Y3 E# T: X7 E% L - 4 j+ \, u; z4 j( ]8 [7 q& Z4 b) `
- end3 v* _# c F3 O# A1 e
- : b3 _# z/ N+ u+ j0 l: ^
- end
复制代码 在这个过程中,通过迭代计算 Cholesky 分解的过程,最终得到下三角矩阵 l。. S8 P& j# c0 R( U4 U( e
) F& k9 u' K: x! ?
3.执行前代法,求解下三角线性方程组 Ly=b,并存储结果在向量 y 中。- y(1) = b(1) / l(1, 1);
8 J3 N8 M: d( h& h! j; {; W - \" ^3 T1 F% X- ^& h! f4 X. Q
- for i = 2:n( r7 C- Z% M) } q/ x# N
- $ t+ P0 W* |) y) c) p: G
- sum3 = 0;
. i, a# J9 t0 H3 Y# M% W% w - ) I5 U% _6 S, X5 e* q2 N
- for k = 1:i-1( T; l8 E4 C+ B8 g
- 4 z' H0 h3 a! m; Y$ Z# D8 f
- sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
; B: a5 }* R, Y
# u; f' F0 H# m' N' r- k- I- end- a( h/ F. z( i/ I0 E, w
4 p( \' {6 C( M( l- y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
, t' A) M f/ ^, y5 |5 C\" p
# A& t0 ?& W7 u7 d: P6 X- end
复制代码 4.最后,进行回代法,求解上三角线性方程组 L^T x = y,并存储结果在向量 x 中。- x(n) = y(n) / l(n, n);
) z! I; B, a\" }: d* R6 A& j! V! A' Y
\" c' Y/ n% s\" E/ l% j0 w: |$ h- for i = n-1:-1:1 ^1 A! R; O0 ]5 ^- Z
- - C\" P9 e$ ^% M) @3 x\" u9 {
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- ) P# N+ Y* {# ]\" m+ y\" P$ R6 M
- for k = i+1:n
, h\" _6 @7 W1 `
U8 S5 s e5 g7 `( a. C. R6 W& ?- sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);$ r b( k0 h' K+ s\" f$ \
- 5 K8 p% f) A( x$ j( u! ^
- end
7 V3 N4 N* o2 A |\" B5 Z+ y/ F
. e* Q\" g8 v# r A5 p- x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
, j4 r, Q6 } |9 l7 r& x& r2 R - 9 m3 p; }) g/ \' a( Y& v0 k
- end
复制代码 这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b,其中 A 是一个对称正定矩阵,通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积,然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中,执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释:
1 F0 U+ E* r; V; R# ~8 I! \/ ^2 N3 f
5.Cholesky 分解:- l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));0 Q* P( a6 N( P M W' v* z
- ' Q s2 j\" w9 o( d7 ~) H! r5 V& i
- for i = 2:n3 W4 E! _7 ?. Y* ^
4 j+ o$ o. r# x ~' i# v1 M7 N- l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);/ x, `6 G9 S2 u0 T3 s* A
- ) w- W. f1 h* [3 y
- end
5 o9 F$ [: j% \0 d/ M, B T - & n$ r; N3 U- P) s1 H
- 8 K( O% |, M6 }' E2 B
- 7 m5 n) T5 ^9 u
- for j = 2:n
\" ?& [2 m1 i- _/ G* f( } - ' ^3 c$ x* A: V% @
- sum1 = 0;
2 z7 H7 A. q, r3 F; a. v0 W& S
& k) Y. t% C9 L2 @- for k = 1:j-1
% ?3 n$ K5 \$ F! R - , {' m! L2 j# V, R8 L
- sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
0 k\" E9 D4 J, g+ V- { - ( x4 N+ U3 I$ I5 U
- end) s* U9 M4 ^0 w* `7 R# \
- & ?' I. f8 N( a8 T& S a2 d& B
- l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);5 v A$ V1 w1 d0 K
- 9 u7 p7 J. n3 z4 m( R8 |
- \" F' M. c& y\" X7 k
- 6 n$ R- o6 C3 C& d
- for i = j+1:n5 H, i; I6 o( ]1 I
4 k0 [\" k' ~) S2 c3 I- sum2 = 0;2 P: e5 a' e3 q1 k4 Z. R/ H7 v
. o2 \1 y7 G. @6 }% e3 Q, g- for k = 1:j-1& M. {+ ~5 y\" l5 `8 d6 d
- $ w$ y1 B1 b9 d
- sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
- f! B/ E7 D9 M) N) p! ]
3 a8 @$ }6 I. T& O- end8 ^1 @/ Q. ]5 V5 K9 x
- ( U) \8 a1 c& E: m$ @0 X+ L
- l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
! p- f9 I0 Z: O0 w4 r
( l/ i7 Q# j f5 {) g/ `' U/ @- end) u* H6 p' C# d: T* I8 R# G
. j* r' f4 x- f5 Z! e- end
复制代码 在这一部分,计算了 Cholesky 分解,得到下三角矩阵 l,使得 a = l * l'。
7 O) b2 Q0 A3 V+ t! F- D
$ d/ ~$ G% y. o3 ?8 ?2 i6.前代法:- y(1) = b(1) / l(1, 1);+ w( D. P% @8 r) S% Z\" S9 K\" [
4 ?) q+ [% O3 ^0 R- for i = 2:n
$ E8 W( N: j, k8 U - \" j4 y! u8 \( m7 U3 C% S0 }# z3 _' n5 P
- sum3 = 0;$ F1 y% X4 V- A3 Q1 w\" @* K7 Y3 L' |
- / `. C# ?- @0 v% C! o* W: z
- for k = 1:i-1
& f3 ^, I B- D8 g3 O
7 U, o4 @4 u X# W* e) Z0 w$ N: N: [- sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
! v5 J\" D0 d! h7 A X' ?3 M/ U6 e) W - 3 h( R. ~0 q/ N( \4 J) N
- end
4 E9 ]/ x$ ~2 L+ x9 h4 O: ~7 G0 _
1 z0 T* _3 E, R7 W* ?- U% E) W e- y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);9 e7 h) E* O4 U# G8 \9 |
; A5 @! }: F6 y\" S- end
复制代码 在这一部分,使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b,得到向量 y。3 W) w" H) ^; ?" C
- D$ V; S8 d* _9 y* x4 K3 a5 f
7.回代法:- x(n) = y(n) / l(n, n);
% K\" o. ]# b) }; S4 K- S @, k& Q
8 O3 E0 N, q7 C$ i1 |\" n' D- for i = n-1:-1:1
1 A3 i2 [, p* S2 ^ - , c. M9 H8 Z2 ?: t5 g
- sum4 = 0;/ w) F9 y( ~3 p! u7 w& Y
. t; W& ^9 X; v. d- for k = i+1:n, Q! h# }6 Q& {6 a
- : z, N8 i3 Y( Q. h7 i
- sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);1 i4 f: u, p+ L# e3 ^ G, D7 [0 Z
- # o6 h2 T6 z6 v6 ?# a: A5 t\" [
- end
, M0 Q% s3 ?# C- U - 6 |& R, t( F- I( M: n2 z( ?\" m4 R6 x
- x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
8 {# Y: S& w/ j4 u - + v# o% ?7 |, @# s& H0 R* u- L
- end6 |+ d6 ^* z8 Y- m7 @
0 M- ~1 n x- Q( h0 |
复制代码 在这一部分,使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y,得到最终的解向量 x。
0 L5 l# i" j- N/ b" h8 R总体而言,这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组,其中 A 是对称正定矩阵,通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合,求解出未知向量 x。
" U# N# m8 Y ]( }
- K4 Q1 ]1 ]* q" a7 D9 Q! y z5 @; ` ~$ U9 p$ b2 Z
7 _! ]8 u/ v. `4 f! i: D- G/ R0 d+ i4 X
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