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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法(forward substitution)和回代法(back substitution)求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵,可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能:
3 m3 G, `' R' i* }" g( }& M; c6 }# g! [; R, B8 k, Y! F/ B
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
6 J3 P0 y0 I+ Y9 M2.初始化了一个下三角矩阵 l,并进行 Cholesky 分解的计算。- l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
' E3 b3 j! ]0 C( J, t - 8 f! @- l) C\" Q2 F
- for i = 2:n
6 N' ^) m8 d+ H* ^ - * Y3 {! k1 L0 V
- l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);2 t6 j8 |* ~8 t+ k2 ?
( p\" _6 I @' v! M5 d; B- end
; U+ |! ]4 J1 E4 b. k
\" m9 m0 j* Y2 @1 [! _8 W7 _; k- ' k9 o% n; @; P! z( b
- . o. X, V4 I2 N
- for j = 2:n9 ?8 x. B+ ^* h0 ^7 v& H
/ C9 Z/ `! v3 E3 O\" P- sum1 = 0;& i$ T* h1 Q% J8 o; R
- 1 \$ J( M3 }9 t
- for k = 1:j-1
: v! S+ ~+ s* c& P J8 i9 u4 R - b0 g, ]0 w% g; `, n4 ~
- sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
0 `2 c/ P. \+ m! T. z7 T' | - 3 y; \9 _- s6 C7 b4 Z' W6 D8 f
- end
6 q5 P& ` B$ o/ E
) N! E, n5 Q2 T8 Z. f\" P# z- n\" O- l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
3 \. C5 q, d/ r E5 f5 S
5 U: a* h( x! M2 r; o\" U7 w3 v- ' j: e; x- |( {: c0 I
- \" K8 ]9 @% e8 i7 f. w h; P
- for i = j+1:n$ y: l. ?7 o( R' O
% a$ g* {/ o, l* G2 ?- sum2 = 0;5 x1 H3 N. |( D+ B) Z+ z7 i* c
- ; d5 H r% z& g0 N6 I) }
- for k = 1:j-1( f& k3 l% _* t' y% \% u
2 @) a6 E: n& G- sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
+ x4 n4 v% n\" D3 o0 U8 n% [3 W- J
0 F$ u! t1 h! C* a. d* H8 I- end6 C/ a% Y* ^$ s+ Z
- 5 m% E5 D! c* C( T
- l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);# [6 V! q( [' y1 q' _2 D2 Q
+ c$ f6 x) R( H4 Z0 ] G3 } c7 |- end
+ k o2 p\" d8 C4 J& B: c2 U
\" K5 A0 g0 q I$ L, R\" c+ z3 I5 g- end
复制代码 在这个过程中,通过迭代计算 Cholesky 分解的过程,最终得到下三角矩阵 l。
. \" B8 e. ~3 {' O; Q5 z
& `# W4 R4 ^; f3.执行前代法,求解下三角线性方程组 Ly=b,并存储结果在向量 y 中。- y(1) = b(1) / l(1, 1);
4 }/ ^+ |3 d& K4 u% k0 X
/ [% p) `8 @) c4 }- for i = 2:n
5 y5 q6 H# l% i& v- X6 P( }
. v. E4 F) V# b- R5 _* s# Z- sum3 = 0;
8 _. k0 I3 r# {1 k - \" r8 R7 O9 T4 ~) y$ x
- for k = 1:i-1% c5 Y- w1 ?# A1 X6 D
- 4 P# v0 B% P0 F/ u
- sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
1 h, S! w\" c6 q7 j: f - 7 ]! l3 a# ]0 l$ h$ e( q
- end
' t\" E- [* T _, }) v/ I
# [0 U% f+ q: F! N% t* Q9 N- y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
- q) g6 B4 r2 Z* Z; m - # N1 P- {8 W) H d9 y9 q. b
- end
复制代码 4.最后,进行回代法,求解上三角线性方程组 L^T x = y,并存储结果在向量 x 中。- x(n) = y(n) / l(n, n);
' [* H& Y' o\" q; S, Q# D, f - . t7 Z/ [( q1 q1 ~0 M
- for i = n-1:-1:1
, _% m# y& O+ \# P- A
2 q1 }1 B. W. L9 Q3 e- sum4 = 0;
c# m9 g5 i* N# I9 H6 C/ i! U1 c# a - ' p; y\" O& d3 S1 [( p- j
- for k = i+1:n
# r6 r# ?1 W; \5 H) ^\" z
+ d3 C2 h) F/ h- sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);: j' c+ D* h1 U N4 z4 @1 h
- . O& k! b9 F! N1 N, D
- end
8 p1 U f1 E\" V
! b1 x5 H$ t\" W X% T6 \. n5 c8 `- x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
! \# t9 @7 K+ j9 f2 W/ u - 2 \* i% w- g4 w8 J& c
- end
复制代码 这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b,其中 A 是一个对称正定矩阵,通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积,然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中,执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释:
9 M! `3 e/ D' F- R7 B6 a! u: w! G2 Z {, G: K9 j+ p
5.Cholesky 分解:- l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
5 D# f* H8 p2 b# g/ J4 K - ( A' P& m1 a; [4 ]% U# n
- for i = 2:n0 t9 v; @% P7 x, b
- 3 v\" ?$ I5 S6 Y
- l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
V, u2 f3 Q# @
+ @1 [+ @+ Y# I0 V) \1 Q- end0 ^: L% D( P% P2 P\" Z- C9 ~. L! D
- ( [% z1 I o8 n: e
' p6 I/ U1 ~) T% E! M+ ], ~
( n% _! z$ x# n- for j = 2:n# z% k+ Y( }- K( \: L) {. N
, N- }0 u& X' I3 f: ?\" a) @7 t- sum1 = 0;
* q% u( f5 v6 s) x - - b: p1 d1 i- ^% R/ F
- for k = 1:j-1. U( O+ w0 E& N- ]
- ) n7 K\" f) t5 S5 A* W
- sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
3 Q6 k: R- M2 r5 u& t - / P1 K4 W8 z s\" V8 y
- end
- J: U0 X. n) d: [ M9 d\" s: N$ x
( H+ A4 Z& C6 k! e. v- f# u- l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
$ m! Y0 _: b) U% q. f\" q8 f8 D9 U: Q - * h3 z! v$ f( ~% `
: m+ D, N3 M; g5 [8 C7 E- % h, W+ |& C+ {! P: s
- for i = j+1:n
3 y/ O* L* E' Z - : c- ^3 m! ^' Q& E
- sum2 = 0;
- S) | C* E P* `# j& n4 f
4 Q# @. L- x! e# p& }- for k = 1:j-1\" j9 z' `- I) i4 X z6 J
! n; I6 I! o6 U. K- sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);3 `( @$ V {& ]
& a/ q! {8 Y; Q\" Z- {* I' E- end' E% m% P) {\" }\" r T- x
# H2 |. W/ c8 G/ `; W7 ^7 R\" ?) B- l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);) D# _5 H) l; T# w) W* Q
- \7 `' O5 \) i: I1 |' e\" Y& m, H
- end' c. r2 l\" j7 x4 B8 }
- i t, K' Y6 c W3 y+ e
- end
复制代码 在这一部分,计算了 Cholesky 分解,得到下三角矩阵 l,使得 a = l * l'。
+ Y+ ^) [, ~! L& s- n8 Z* j: g
, @ D. j8 Y7 g! P+ |. H6.前代法:- y(1) = b(1) / l(1, 1);- G9 L& E0 i* W; I
Z/ f0 j7 ~8 p4 _, }- for i = 2:n
# Q3 o+ D5 d! z6 v9 d2 ? w
4 t' `$ D; O( Q7 |- sum3 = 0;% a3 o) C+ y( d9 m0 R
- 1 m7 ?8 J* g8 ~4 u- m
- for k = 1:i-1
, D; c- m2 {7 A4 G+ ^
% p0 k0 T t- Y# G) p3 ^- sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
( y! J5 Z) Y\" W
5 \8 c* r' i# N: ^6 Q2 F# M- end, f8 ~1 ~ E& C* A: t6 }
- $ q6 h- J; r, d0 C
- y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
: C! I7 t4 \: B8 k\" ?
G8 s* {0 L* I- end
复制代码 在这一部分,使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b,得到向量 y。& B* W4 u' t% h3 N' F5 p# t7 G2 ]# R5 w
: Y) n3 `; v$ p- h- v' e4 U
7.回代法:- x(n) = y(n) / l(n, n);; b4 q% n$ d& }
, d# h: Y( I/ _/ k4 C- for i = n-1:-1:13 j% N' a, J, ^6 t# T' v
8 S% @* n# Y5 a: F. i4 Z( h/ Y- sum4 = 0;: {2 p/ R5 r0 q( T7 G
; |. S\" e# d; F1 w- for k = i+1:n8 p! B8 w. _& V
- & E6 ]& K3 Y% V- P T
- sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
# p! z7 Z& r; C2 f' k - `, T4 A& R3 Q, ~, k0 D
- end\" C: T; m* E8 X6 E
. Q9 j( e/ o6 N5 h8 Z- x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);7 N/ p5 n\" W+ F9 Z) g& S# S0 d9 {
9 ]\" S1 Y* _4 R: f\" n) D. E6 {- end
6 D! x; M\" p: J V - ' O) q+ {\" F/ J& l4 C
复制代码 在这一部分,使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y,得到最终的解向量 x。
3 S9 Q% ~; c8 I$ ~% T总体而言,这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组,其中 A 是对称正定矩阵,通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合,求解出未知向量 x。
3 Y$ G, y! \/ f! g3 l4 T1 |9 O6 Y/ N$ O, w$ a; d, V
8 [" I7 j& {5 k* F/ x3 p) i
C- h! k' T5 V0 T5 b+ Y5 n9 E |
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