Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
; O) B2 R! X4 Q* u( n0 G5 @4 N
% _$ T- h2 i8 Z- Q1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
. Y" A" ~8 w* ]2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));' |7 L- o6 l4 C. A
   
2. 6 V5 M' ]9 w) d4 o1 N2 `- g
   
3.    for i = 2:n) T9 }! o! d& Z. m4 F* ?; M% ?  d/ U
   
4. ! P- y6 ?\" d) d* B& L# g2 L1 y
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);9 q0 m\" r9 @. ?( K! T2 f
   
6. ) b4 n& [) k- r: m% k$ W; D+ U# E$ Q7 Q
   
7.    end
     ^- a8 l, C6 Y- \8 a! m7 k
8. 
   - ]/ L3 u1 g6 I9 m. A- p6 ?
9. % w/ j! I  N) Y
   
10. 
    * i4 R% X% a8 f/ l8 d, [, E8 x5 d9 f
11.    for j = 2:n
    ; F' o; I2 d4 [7 r0 _7 u& U
12. ) _6 f5 R; z/ e8 n6 U) P
    
13.        sum1 = 0;
    / ]: t/ \' K: ~- S: u( H
14. 3 L: i# n. a8 ~* X
    
15.        for k = 1:j-1# d/ E* D* t' u$ x6 j
    
16. $ g- G; e1 k' C. H+ Q9 R8 B9 Y
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    6 e/ d# y: I0 p* O/ M- K4 J
18. 
    5 e/ n/ U0 x! f  H% n) P( a! a. d# D& K1 e
19.        end
    1 H/ m$ Q6 M; U. D
20. 
    ( G% g' ]1 ]  t0 o0 J
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);- E+ C' v# M4 o- o
    
22. 5 W! V/ M& v8 g: \! L/ a+ R7 C0 v
    
23. 
    $ {* T* I6 l  y4 K9 F
24. ) ~/ F% n; b; F4 M# [\" Y* p
    
25.        for i = j+1:n2 j8 X, q3 q, L) y+ C9 ]
    
26. * K7 D4 C, |  }# e\" O
    
27.            sum2 = 0;
    - _) b. V/ L# d6 Z7 Q- U( {
28. $ @5 V& o5 S\" n
    
29.            for k = 1:j-1
    . t0 r\" s5 j$ H$ j
30. 
      S! }! \/ R+ j3 q
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);$ r* Y* ~- `, ~! s
    
32. 
    : J7 A( X7 t. L; ~! e, `\" o
33.            end
    / ]/ {) Q0 }1 N/ A
34. 9 _& r* G3 x; q/ Q& u
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    9 \+ Y3 E# T: X7 E% L
36. 4 j+ \, u; z4 j( ]8 [7 q& Z4 b) `
    
37.        end3 v* _# c  F3 O# A1 e
    
38. : b3 _# z/ N+ u+ j0 l: ^
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
   8 J3 N8 M: d( h& h! j; {; W
2. \" ^3 T1 F% X- ^& h! f4 X. Q
   
3.    for i = 2:n( r7 C- Z% M) }  q/ x# N
   
4. $ t+ P0 W* |) y) c) p: G
   
5.        sum3 = 0;
   . i, a# J9 t0 H3 Y# M% W% w
6. ) I5 U% _6 S, X5 e* q2 N
   
7.        for k = 1:i-1( T; l8 E4 C+ B8 g
   
8. 4 z' H0 h3 a! m; Y$ Z# D8 f
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   ; B: a5 }* R, Y
10. 
    # u; f' F0 H# m' N' r- k- I
11.        end- a( h/ F. z( i/ I0 E, w
    
12. 
    4 p( \' {6 C( M( l
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    , t' A) M  f/ ^, y5 |5 C\" p
14. 
    # A& t0 ?& W7 u7 d: P6 X
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   ) z! I; B, a\" }: d* R6 A& j! V! A' Y
2. 
   \" c' Y/ n% s\" E/ l% j0 w: |$ h
3.    for i = n-1:-1:1  ^1 A! R; O0 ]5 ^- Z
   
4. - C\" P9 e$ ^% M) @3 x\" u9 {
   
5.        sum4 = 0;4 O! `/ S$ y. K& W/ k& |7 r3 }3 L! c
   
6. ) P# N+ Y* {# ]\" m+ y\" P$ R6 M
   
7.        for k = i+1:n
   , h\" _6 @7 W1 `
8. 
     U8 S5 s  e5 g7 `( a. C. R6 W& ?
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);$ r  b( k0 h' K+ s\" f$ \
   
10. 5 K8 p% f) A( x$ j( u! ^
    
11.        end
    7 V3 N4 N* o2 A  |\" B5 Z+ y/ F
12. 
    . e* Q\" g8 v# r  A5 p
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    , j4 r, Q6 }  |9 l7 r& x& r2 R
14. 9 m3 p; }) g/ \' a( Y& v0 k
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
1 F0 U+ E* r; V
5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));0 Q* P( a6 N( P  M  W' v* z
   
2. ' Q  s2 j\" w9 o( d7 ~) H! r5 V& i
   
3.    for i = 2:n3 W4 E! _7 ?. Y* ^
   
4. 
   4 j+ o$ o. r# x  ~' i# v1 M7 N
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);/ x, `6 G9 S2 u0 T3 s* A
   
6. ) w- W. f1 h* [3 y
   
7.    end
   5 o9 F$ [: j% \0 d/ M, B  T
8. & n$ r; N3 U- P) s1 H
   
9. 8 K( O% |, M6 }' E2 B
   
10. 7 m5 n) T5 ^9 u
    
11.    for j = 2:n
    \" ?& [2 m1 i- _/ G* f( }
12. ' ^3 c$ x* A: V% @
    
13.        sum1 = 0;
    2 z7 H7 A. q, r3 F; a. v0 W& S
14. 
    & k) Y. t% C9 L2 @
15.        for k = 1:j-1
    % ?3 n$ K5 \$ F! R
16. , {' m! L2 j# V, R8 L
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    0 k\" E9 D4 J, g+ V- {
18. ( x4 N+ U3 I$ I5 U
    
19.        end) s* U9 M4 ^0 w* `7 R# \
    
20. & ?' I. f8 N( a8 T& S  a2 d& B
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);5 v  A$ V1 w1 d0 K
    
22. 9 u7 p7 J. n3 z4 m( R8 |
    
23. \" F' M. c& y\" X7 k
    
24. 6 n$ R- o6 C3 C& d
    
25.        for i = j+1:n5 H, i; I6 o( ]1 I
    
26. 
    4 k0 [\" k' ~) S2 c3 I
27.            sum2 = 0;2 P: e5 a' e3 q1 k4 Z. R/ H7 v
    
28. 
    . o2 \1 y7 G. @6 }% e3 Q, g
29.            for k = 1:j-1& M. {+ ~5 y\" l5 `8 d6 d
    
30. $ w$ y1 B1 b9 d
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    - f! B/ E7 D9 M) N) p! ]
32. 
    3 a8 @$ }6 I. T& O
33.            end8 ^1 @/ Q. ]5 V5 K9 x
    
34. ( U) \8 a1 c& E: m$ @0 X+ L
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    ! p- f9 I0 Z: O0 w4 r
36. 
    ( l/ i7 Q# j  f5 {) g/ `' U/ @
37.        end) u* H6 p' C# d: T* I8 R# G
    
38. 
    . j* r' f4 x- f5 Z! e
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
7 O) b2 Q0 A3 V+ t! F- D
$ d/ ~$ G% y. o3 ?8 ?2 i6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);+ w( D. P% @8 r) S% Z\" S9 K\" [
   
2. 
   4 ?) q+ [% O3 ^0 R
3.    for i = 2:n
   $ E8 W( N: j, k8 U
4. \" j4 y! u8 \( m7 U3 C% S0 }# z3 _' n5 P
   
5.        sum3 = 0;$ F1 y% X4 V- A3 Q1 w\" @* K7 Y3 L' |
   
6. / `. C# ?- @0 v% C! o* W: z
   
7.        for k = 1:i-1
   & f3 ^, I  B- D8 g3 O
8. 
   7 U, o4 @4 u  X# W* e) Z0 w$ N: N: [
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   ! v5 J\" D0 d! h7 A  X' ?3 M/ U6 e) W
10. 3 h( R. ~0 q/ N( \4 J) N
    
11.        end
    4 E9 ]/ x$ ~2 L+ x9 h4 O: ~7 G0 _
12. 
    1 z0 T* _3 E, R7 W* ?- U% E) W  e
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);9 e7 h) E* O4 U# G8 \9 |
    
14. 
    ; A5 @! }: F6 y\" S
15.    end

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在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   % K\" o. ]# b) }; S4 K- S  @, k& Q
2. 
   8 O3 E0 N, q7 C$ i1 |\" n' D
3.    for i = n-1:-1:1
   1 A3 i2 [, p* S2 ^
4. , c. M9 H8 Z2 ?: t5 g
   
5.        sum4 = 0;/ w) F9 y( ~3 p! u7 w& Y
   
6. 
   . t; W& ^9 X; v. d
7.        for k = i+1:n, Q! h# }6 Q& {6 a
   
8. : z, N8 i3 Y( Q. h7 i
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);1 i4 f: u, p+ L# e3 ^  G, D7 [0 Z
   
10. # o6 h2 T6 z6 v6 ?# a: A5 t\" [
    
11.        end
    , M0 Q% s3 ?# C- U
12. 6 |& R, t( F- I( M: n2 z( ?\" m4 R6 x
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    8 {# Y: S& w/ j4 u
14. + v# o% ?7 |, @# s& H0 R* u- L
    
15.    end6 |+ d6 ^* z8 Y- m7 @
    
16. 
    0 M- ~1 n  x- Q( h0 |

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
0 L5 l# i" j- N/ b" h8 R总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
" U# N# m8 Y  ]( }
- K4 Q1 ]1 ]* q" a7 D9 Q! y