Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
3 m3 G, `' R' i* }" g( }
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
6 J3 P0 y0 I+ Y9 M2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   ' E3 b3 j! ]0 C( J, t
2. 8 f! @- l) C\" Q2 F
   
3.    for i = 2:n
   6 N' ^) m8 d+ H* ^
4. * Y3 {! k1 L0 V
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);2 t6 j8 |* ~8 t+ k2 ?
   
6. 
   ( p\" _6 I  @' v! M5 d; B
7.    end
   ; U+ |! ]4 J1 E4 b. k
8. 
   \" m9 m0 j* Y2 @1 [! _8 W7 _; k
9. ' k9 o% n; @; P! z( b
   
10. . o. X, V4 I2 N
    
11.    for j = 2:n9 ?8 x. B+ ^* h0 ^7 v& H
    
12. 
    / C9 Z/ `! v3 E3 O\" P
13.        sum1 = 0;& i$ T* h1 Q% J8 o; R
    
14. 1 \$ J( M3 }9 t
    
15.        for k = 1:j-1
    : v! S+ ~+ s* c& P  J8 i9 u4 R
16.   b0 g, ]0 w% g; `, n4 ~
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    0 `2 c/ P. \+ m! T. z7 T' |
18. 3 y; \9 _- s6 C7 b4 Z' W6 D8 f
    
19.        end
    6 q5 P& `  B$ o/ E
20. 
    ) N! E, n5 Q2 T8 Z. f\" P# z- n\" O
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    3 \. C5 q, d/ r  E5 f5 S
22. 
    5 U: a* h( x! M2 r; o\" U7 w3 v
23. ' j: e; x- |( {: c0 I
    
24. \" K8 ]9 @% e8 i7 f. w  h; P
    
25.        for i = j+1:n$ y: l. ?7 o( R' O
    
26. 
    % a$ g* {/ o, l* G2 ?
27.            sum2 = 0;5 x1 H3 N. |( D+ B) Z+ z7 i* c
    
28. ; d5 H  r% z& g0 N6 I) }
    
29.            for k = 1:j-1( f& k3 l% _* t' y% \% u
    
30. 
    2 @) a6 E: n& G
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    + x4 n4 v% n\" D3 o0 U8 n% [3 W- J
32. 
    0 F$ u! t1 h! C* a. d* H8 I
33.            end6 C/ a% Y* ^$ s+ Z
    
34. 5 m% E5 D! c* C( T
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);# [6 V! q( [' y1 q' _2 D2 Q
    
36. 
    + c$ f6 x) R( H4 Z0 ]  G3 }  c7 |
37.        end
    + k  o2 p\" d8 C4 J& B: c2 U
38. 
    \" K5 A0 g0 q  I$ L, R\" c+ z3 I5 g
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
. \" B8 e. ~3 {' O; Q5 z
& `# W4 R4 ^; f3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
   4 }/ ^+ |3 d& K4 u% k0 X
2. 
   / [% p) `8 @) c4 }
3.    for i = 2:n
   5 y5 q6 H# l% i& v- X6 P( }
4. 
   . v. E4 F) V# b- R5 _* s# Z
5.        sum3 = 0;
   8 _. k0 I3 r# {1 k
6. \" r8 R7 O9 T4 ~) y$ x
   
7.        for k = 1:i-1% c5 Y- w1 ?# A1 X6 D
   
8. 4 P# v0 B% P0 F/ u
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   1 h, S! w\" c6 q7 j: f
10. 7 ]! l3 a# ]0 l$ h$ e( q
    
11.        end
    ' t\" E- [* T  _, }) v/ I
12. 
    # [0 U% f+ q: F! N% t* Q9 N
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    - q) g6 B4 r2 Z* Z; m
14. # N1 P- {8 W) H  d9 y9 q. b
    
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   ' [* H& Y' o\" q; S, Q# D, f
2. . t7 Z/ [( q1 q1 ~0 M
   
3.    for i = n-1:-1:1
   , _% m# y& O+ \# P- A
4. 
   2 q1 }1 B. W. L9 Q3 e
5.        sum4 = 0;
     c# m9 g5 i* N# I9 H6 C/ i! U1 c# a
6. ' p; y\" O& d3 S1 [( p- j
   
7.        for k = i+1:n
   # r6 r# ?1 W; \5 H) ^\" z
8. 
   + d3 C2 h) F/ h
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);: j' c+ D* h1 U  N4 z4 @1 h
   
10. . O& k! b9 F! N1 N, D
    
11.        end
    8 p1 U  f1 E\" V
12. 
    ! b1 x5 H$ t\" W  X% T6 \. n5 c8 `
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    ! \# t9 @7 K+ j9 f2 W/ u
14. 2 \* i% w- g4 w8 J& c
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
9 M! `3 e/ D' F- R7 B6 a! u
5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   5 D# f* H8 p2 b# g/ J4 K
2. ( A' P& m1 a; [4 ]% U# n
   
3.    for i = 2:n0 t9 v; @% P7 x, b
   
4. 3 v\" ?$ I5 S6 Y
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
     V, u2 f3 Q# @
6. 
   + @1 [+ @+ Y# I0 V) \1 Q
7.    end0 ^: L% D( P% P2 P\" Z- C9 ~. L! D
   
8. ( [% z1 I  o8 n: e
   
9. 
   ' p6 I/ U1 ~) T% E! M+ ], ~
10. 
    ( n% _! z$ x# n
11.    for j = 2:n# z% k+ Y( }- K( \: L) {. N
    
12. 
    , N- }0 u& X' I3 f: ?\" a) @7 t
13.        sum1 = 0;
    * q% u( f5 v6 s) x
14. - b: p1 d1 i- ^% R/ F
    
15.        for k = 1:j-1. U( O+ w0 E& N- ]
    
16. ) n7 K\" f) t5 S5 A* W
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    3 Q6 k: R- M2 r5 u& t
18. / P1 K4 W8 z  s\" V8 y
    
19.        end
    - J: U0 X. n) d: [  M9 d\" s: N$ x
20. 
    ( H+ A4 Z& C6 k! e. v- f# u
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    $ m! Y0 _: b) U% q. f\" q8 f8 D9 U: Q
22. * h3 z! v$ f( ~% `
    
23. 
    : m+ D, N3 M; g5 [8 C7 E
24. % h, W+ |& C+ {! P: s
    
25.        for i = j+1:n
    3 y/ O* L* E' Z
26. : c- ^3 m! ^' Q& E
    
27.            sum2 = 0;
    - S) |  C* E  P* `# j& n4 f
28. 
    4 Q# @. L- x! e# p& }
29.            for k = 1:j-1\" j9 z' `- I) i4 X  z6 J
    
30. 
    ! n; I6 I! o6 U. K
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);3 `( @$ V  {& ]
    
32. 
    & a/ q! {8 Y; Q\" Z- {* I' E
33.            end' E% m% P) {\" }\" r  T- x
    
34. 
    # H2 |. W/ c8 G/ `; W7 ^7 R\" ?) B
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);) D# _5 H) l; T# w) W* Q
    
36.   \7 `' O5 \) i: I1 |' e\" Y& m, H
    
37.        end' c. r2 l\" j7 x4 B8 }
    
38.   i  t, K' Y6 c  W3 y+ e
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
+ Y+ ^) [, ~! L& s- n8 Z* j: g
, @  D. j8 Y7 g! P+ |. H6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);- G9 L& E0 i* W; I
   
2. 
     Z/ f0 j7 ~8 p4 _, }
3.    for i = 2:n
   # Q3 o+ D5 d! z6 v9 d2 ?  w
4. 
   4 t' `$ D; O( Q7 |
5.        sum3 = 0;% a3 o) C+ y( d9 m0 R
   
6. 1 m7 ?8 J* g8 ~4 u- m
   
7.        for k = 1:i-1
   , D; c- m2 {7 A4 G+ ^
8. 
   % p0 k0 T  t- Y# G) p3 ^
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   ( y! J5 Z) Y\" W
10. 
    5 \8 c* r' i# N: ^6 Q2 F# M
11.        end, f8 ~1 ~  E& C* A: t6 }
    
12. $ q6 h- J; r, d0 C
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    : C! I7 t4 \: B8 k\" ?
14. 
      G8 s* {0 L* I
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。

7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);; b4 q% n$ d& }
   
2. 
   , d# h: Y( I/ _/ k4 C
3.    for i = n-1:-1:13 j% N' a, J, ^6 t# T' v
   
4. 
   8 S% @* n# Y5 a: F. i4 Z( h/ Y
5.        sum4 = 0;: {2 p/ R5 r0 q( T7 G
   
6. 
   ; |. S\" e# d; F1 w
7.        for k = i+1:n8 p! B8 w. _& V
   
8. & E6 ]& K3 Y% V- P  T
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   # p! z7 Z& r; C2 f' k
10.   `, T4 A& R3 Q, ~, k0 D
    
11.        end\" C: T; m* E8 X6 E
    
12. 
    . Q9 j( e/ o6 N5 h8 Z
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);7 N/ p5 n\" W+ F9 Z) g& S# S0 d9 {
    
14. 
    9 ]\" S1 Y* _4 R: f\" n) D. E6 {
15.    end
    6 D! x; M\" p: J  V
16. ' O) q+ {\" F/ J& l4 C
    

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
3 S9 Q% ~; c8 I$ ~% T总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
3 Y$ G, y! \/ f! g3 l4 T1 |


  C- h! k' T5 V0 T5 b+ Y5 n9 E