Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：

6 L! F( D% H/ m! T1 u1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
0 l7 m/ o6 O3 u8 K: F# J2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));1 d: L( f4 I# z6 G
   
2. \" N) j0 ?/ ~6 W8 [
   
3.    for i = 2:n
   , e: w  U. ?0 s
4. + s2 H1 @+ O8 l7 K
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   ; ~; s2 M\" w  B6 Q
6. 
   & J0 ?/ @3 R6 Y8 I
7.    end
   5 g9 ~& g\" d\" r9 \
8. ! P1 T4 v7 z0 |
   
9. 
   + @2 Q+ P# i5 t% Y; G
10. \" O, c8 z, A+ r1 {, r, R
    
11.    for j = 2:n
    , w4 f. m  Z% I6 O3 ^: F! h
12. 
    1 u0 \7 u1 D4 v9 T1 o/ i+ v
13.        sum1 = 0;; o1 c0 a9 X8 i, i- @
    
14. 
    0 {1 m\" o7 w\" Y+ ]! @\" @
15.        for k = 1:j-1! [1 |3 s1 t1 N2 z! R' J  F
    
16. 
    9 t, {& m: G; l4 S* F  s! L
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);7 \  P; ?$ C0 v\" @
    
18. , F  n2 n% S5 g: m! ]1 G
    
19.        end- z* E* M4 A- N8 z; |9 @& x
    
20. , V  N\" ?  }. a/ U9 R7 b# K
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);& H4 W- X6 H% B- n7 Q! V
    
22. 
    % _) h6 Y$ k6 O) b) ?$ t& R4 [9 @, ]
23. + t5 z$ J7 M: b: f' e. `, P7 h
    
24. 
    % M, X7 Z0 q( x
25.        for i = j+1:n
    ' n! @: J2 i( f5 j
26. 
    . X, J; V  W3 Q7 Z6 _
27.            sum2 = 0;* S% b$ z* [( X9 l! H' h8 W
    
28.   [7 w; I\" q6 Y8 |
    
29.            for k = 1:j-1* L. g& k( w+ V2 M( o, o# g( |+ U# A7 S
    
30. % g: {. |5 v2 r+ t3 X4 S, L5 d
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);9 V\" c* q% u9 N1 h' d\" A7 E9 ~
    
32. $ @5 R& R/ l* [  E$ o( t3 K
    
33.            end/ G0 o3 X8 S. Y, g5 c
    
34. 
    6 _( K( e\" _  j; G) y, u
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);\" [0 W2 H! x; @
    
36. & e& {1 k0 l& u& M9 |
    
37.        end+ r+ U8 f. C+ m7 ]* D& w, B
    
38. 
    % v% l- d# {% `4 ]0 K2 W2 V( g5 X
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
) P" X( v. U1 I
7 W, D" x4 {+ R- `3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);% m  _+ n/ [/ J& I) g) U6 v
   
2. 
   $ F5 y. H5 G* o  ?7 K$ ?
3.    for i = 2:n& g0 E7 G- R/ E* w
   
4.   A/ u. _# X6 `\" m
   
5.        sum3 = 0;
   / H, E4 h) }( s! z1 n# `, i
6. . }; T! z: k$ M1 `1 B
   
7.        for k = 1:i-1, q! M\" P\" o\" y
   
8. 
   $ }' N$ x0 E, V$ B+ ~8 M/ C
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);; G  g8 E3 i* \/ v9 g1 M) ]  f/ Z
   
10. 
    * O8 |8 p& p2 `$ I8 P- B8 o
11.        end
    $ G  W\" T; E- f, k; _
12. 
    $ f% Z; ^+ R6 e) H\" o; k( W; C* W
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);; O7 {# H1 H' O. _2 G7 X* Y  W
    
14. 
    : z4 r* J3 g- G1 [2 O) y* r6 ^\" a
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   0 g# h' L% y, r& C( W1 A
2. + |) m9 L3 {) [! W2 `6 ?3 J
   
3.    for i = n-1:-1:1
   ) D  |  F+ B) N' W5 d
4. 
     {% c9 a) s\" C8 X' @' W9 T
5.        sum4 = 0;, p, r8 k$ y* ~; v
   
6. 
   4 f( N. S+ n: S& S' c5 _
7.        for k = i+1:n* f7 F; K0 t% e3 H
   
8. 
     ?% F6 S( j7 i2 n5 W, g+ A* ?
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);( E5 m$ f# C7 q) O& y
   
10. 8 q' q0 p& {! ^& X- K' D6 ~4 _
    
11.        end
    7 W+ {) c# [) [8 F( h
12. + f8 W5 U1 R' ?\" H+ L1 a5 n
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);$ t8 |- X  y$ N; N  g: X$ j\" ]
    
14. & q4 Y2 J0 o- j! q( a5 K
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
$ A7 t( r* F+ W1 a$ g- S# f
1 A# h3 D: j, l! a( }6 l5 v8 Y$ P5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   ! C2 m/ w' Z, a0 s! ~8 k* r& L: C
2. # v! N\" r% t0 k. _: }1 M
   
3.    for i = 2:n
   2 }6 z# `6 L8 v: W
4. \" O2 i5 T8 v0 T& h
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
   7 l/ r$ j) J* a& l* L+ N
6. 3 g0 b9 v7 x- w! M$ u9 [7 a
   
7.    end( k! K5 H( M4 }1 O+ O
   
8. ' d$ F) o* u/ K  k, ?4 z! J
   
9. 
   5 P3 ?, f4 {4 x( D( c5 Q* v, L1 }  u
10. # y: [8 G# J: S9 h
    
11.    for j = 2:n! [/ K! H: L% `. I) ^
    
12. 9 y! Z  i  D' r7 A) e5 [6 U
    
13.        sum1 = 0;
    - P# Q5 M  h4 l! p, |. m% M% p* q
14. * x3 R9 V4 C+ ]6 |
    
15.        for k = 1:j-16 q3 H- m* G\" F; {' q
    
16. + H( C! X6 Z2 f3 n# T) R- v
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);' f! G\" h1 ]! G9 u& P7 M* u: \
    
18. 
    6 i9 |5 ~7 ^5 G/ [- R$ h3 D
19.        end
    + D' w; H% P. d7 f: s
20. 
    7 j1 r4 P. M: n: S: I( _! J; {
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    6 u$ O) M: k* L# O4 y4 O. k2 B
22. , q, R; J\" T  f) w& W6 }
    
23. 1 B* N/ c# j- @4 p  I* i# q! S
    
24. \" @+ U1 G& I' B4 F4 b1 T' D
    
25.        for i = j+1:n
    ! x+ n# y( |( x% N
26. 
    3 L( u% S8 t5 C) C; m
27.            sum2 = 0;7 C# I\" j3 T: y! \+ `
    
28. . C, |8 b7 L7 H5 V0 ]: G! T
    
29.            for k = 1:j-1
    ; K, R7 ~, ?* q  L2 ~: X
30. 
    - Q, B/ S, }) [\" L* m% A
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    ! q. i7 C' n/ {2 |1 l7 Z! \, w
32.   v+ X5 _! v0 i: K3 N# N& }
    
33.            end
    9 P* a5 F2 p. \, `( y* k
34. 
    & g  ^* @) U* T: U  ?, `
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    + K* y( `2 P% S6 v; ]
36. 
    : t/ t- o: t. s' r  o- Y( X
37.        end
    ) M! c3 S- ?; h& t0 T( D$ H
38. $ R7 [7 _' ?9 R- Z9 U& L/ A
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
1 D" ]% T: b1 L
6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
   5 i! B: g& A# d
2. 
   8 F+ p* H7 L  J/ N& V' N4 f. S$ {
3.    for i = 2:n4 [7 ~$ A& x5 m' [
   
4. 0 q) u! x7 N( H
   
5.        sum3 = 0;+ u6 F4 F1 J: o) ^7 q5 r
   
6. 8 c- i* I, L, Z( C, I) i
   
7.        for k = 1:i-12 O6 d0 G  W$ s% W: Y9 ~9 @
   
8. , k$ i. f. I( H$ `. s. ]3 B: Q
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);- ?  M4 E8 L9 d9 f! L
   
10. ' {$ X& A% S9 w\" [! D( l; f. P
    
11.        end
    ( o! w/ O\" f9 T+ Z5 B0 X
12. 7 w1 L3 W* u$ P
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);2 Q4 \  I( {; U1 s\" {5 _: N
    
14. 
    ( y# x8 k' T2 d/ T% }
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
$ _; A+ }% X1 W
7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   - ?  u6 Y- j2 Y1 ]4 T& f6 P
2. 1 C6 d1 U% E3 m8 _
   
3.    for i = n-1:-1:1
   ( f8 e; G- l1 z% j
4. ) @0 E- I- M# A  H% [. X, N: d/ r( `
   
5.        sum4 = 0;
   : z0 v& i/ ]+ m. U# w5 C% t+ a
6. 
   + |$ k) [( Q& Q' Q4 w4 d
7.        for k = i+1:n  Z' T% E0 Z2 P# t' K
   
8. ' `2 K\" d+ n0 @+ q7 {
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);2 E  Y- I; L0 Q! \0 ~1 P% S3 q  v2 R
   
10. 0 C- z. D, s: F$ s& t' S' Q% N
    
11.        end
    # K' l9 X: V$ e7 H9 l
12. 
    % G\" \9 ]4 P5 W4 s
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);0 p( f( y; h: I) |
    
14. 
    \" m$ r6 o. j( ~& a\" `
15.    end
    \" M2 k2 e3 w0 X
16. 
    # f% L7 h& N2 \! U

复制代码

在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
" l7 u$ O' k0 I1 O& I" T+ y2 x3 H6 l总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。



7 t9 j: ]+ a4 F' Y7 C1 |