数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
2 h8 P# k, q5 v) y' z: l3 b似乎丘成桐先生做学生的时候
4 L( {0 N' k4 J: x& c也曾收益与此.
到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
可能就是上面的书的新版,交大的
1 g. \! O! Z$ w试点班有几年就拿该书做教材.
% C1 [! v  i* \$ g% }) d! e; T另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
课本,好象后来数学系不用了,
计算机系倒还在用.那本书里面
据说积分的第二中值定理的陈述
有点小错.
0 Y2 N2 X; S  U1 f4 T( L- w, [总的说来,这些书里面都可以看到
一本书的影子,就是
; b- R9 D9 A# h* z  ?+ z1 |菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
其原因,按照秦老师的说法,是最初
在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
是辛钦的"数学分析简明教程",
而复旦则选了"数学分析原理".
后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
& E5 w% E' r0 s, R5 t) X那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
来看数学分析这样经典的内容在国际上
的确是一种潮流,但是从这个意义上说
该书做得并不是非常好.而且从整体的
  ?, F/ [. Z3 E! R, z课程体系上说,在后面有实变函数这样
7 [- f5 l9 Z, @; V) j一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
$ |! Y' X3 r8 v, C+ L积分值得商榷.
$ I/ W, P/ W4 T: X3 p7 X  
4 X- t# F1 c+ G4 I( X: m下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1.菲赫今哥尔茨
"微积分学教程","数学分析原理".
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
8 l6 `* Q  }9 L+ o& e  {6 s后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
此书堪称经典.
"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
1 O7 m. v! g1 v: [列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
能够做教材的后一套书,可以说是一个
1 ~$ `3 D  o1 G精简的版本(有所补充的是在最后给出了
2 Z3 r$ C) b( o* y一个后续课程的简介).
相信直到今天,很多老师在开课的时候
还是会去找"微积分学教程",因为里面
的各种各样的例题实在太多了.如果想
比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
+ j. u- Y- F  X' T) K4 B- t例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
" O  m6 B/ Y- t7 G题都可以这么办的.如果你全部做完了
1 |) h* G4 S7 U; a那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
可别怪我.
) u# D+ @& j- J' A1 Q毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
$ r% w5 k' N% _1 i( f" q计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
+ {/ ^/ I. r' Z$ c这两套书在理图里面都有.
2.Apostol
"Mathematical Analysis"
( z7 _0 r3 V  B0 P# r5 R: A在西方(西欧和美国),这应该算得上是
一本相当完整的课本了,在总书库里面
; G1 N" G' v) N$ n% f# z有.
3.W.Rudin
' n0 c' K* p3 Q6 R+ \' ?"Principles of Mathematical Analysis"
; U: t" q/ h# k. U9 G8 l* q+ _(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
2 g% T4 s. @/ M这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
9 h9 G- z( q5 W虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
/ ?1 s5 z! f4 h想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
1 Q6 h6 i8 q$ d4 Iddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
0 u* x9 ^; K, T6 x9 U& z找一本西方advanced calculus水平的书来看,
基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
曾特别指出Rudin的书.
说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
可以一看的,就是
L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
" J; G9 P, U+ y8 \其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
! d1 d1 w6 @+ I: I这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
% F7 \' D' H1 Y2 R& l课本.
  
1 M2 C5 E# W6 n. m0 R$ y4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
  X% Q3 F7 f( Y9 `4 D7 |"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
6 @$ D2 X$ x9 r6 p- n7 C北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
/ c4 L  B3 ~# T; R" X+ [(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
5 j' d* o" c3 n习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
: S7 I" M  V- }* Y原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
" o2 f% y$ n! r% s# Y收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
3 M5 V' G3 ^9 X- l( r2 O1 z( s4 ?* X  |96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
5.克莱鲍尔"数学分析"
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
理图里有.
/ g4 p7 S: W0 m; S$ D' F3 A5 j$ E, N6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
) {1 Q2 l: I1 J# L9 _处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
% G4 ^1 U/ w# p  W3 {理图里有.
  
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
2 u7 l, j1 ?, K! ?, R人家是苏联科学院院士.
7b."数学分析"
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
# n) O. l4 x2 J理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
8 |5 \0 E5 H# z7 W' S( [% U# o4 ~1 I的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
8 ~$ m% z: X, z( Z4 G到观点非常的"高".
1 M- w& G( n4 F$ p- O8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
$ c* `$ Z' @9 s  A, n, l那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
9 N* D. F5 P) P: c; n+ B用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
9 i# K3 f: S5 y9 O# |# k  E3 i% S回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
% z& x6 @  s1 I- e" v5 o: Z因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
9 p: x) _4 a0 @' Y5 g* {4 C其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
之间.
  
10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
5 R( V5 t6 t6 D"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
其详细讨论,似乎仅见于
鲁金(Lusin)的"实变函数论"
里面,总书库里面有.
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
8 G( |* v" w! j这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
0 k! T; L! u& _1 o负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
3 t% j1 T& C* a/ y. F4 e是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
理图里有.
6 H9 {) c1 Y" U" m" J12.何琛,史济怀,徐森林
" _; b% z. U) }' q3 c& E"数学分析"
, K3 M/ Z, w/ Q6 {/ {! w, S9 [$ [" c这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
- Z6 o9 f% S5 ]) U( X) e7 R$ p/ I) ?印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
/ |1 Y3 L% I$ K3 U0 w6 b' I' p2 n放在最后.
  
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空间解析几何部分：

空间解析几何实在是一门太经典,
6 r- u) `7 X8 q! |7 f1 N7 f或者说古典的课.从教学内容上说,
可以认为它描述的主要是三维欧氏
* X3 B7 ~. f, i# e, J* Y5 a空间里面的一些基本常识,包括最
基本的线性变换(那是线性代数的特例),
- j2 P- P  u$ h  }! d* |+ Y7 c7 D和二阶曲面的不变量理论.在现行
4 Y. C7 x) Z& m  `4 V7 j的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
8 C9 s6 F1 x( m4 c" z) \"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
的内容还不是很好念的.
7 ^4 F0 S5 v$ X, C$ |当然,这里还要提到十来年前大概
做过教材的一本书:
项武义,潘养廉等
"古典几何学".
这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
  o' B+ E" @& t0 {  j可以考虑的参考书包括:
& e7 _+ Q7 D( r1.陈(受鸟)
  \% C& {( A3 \% G/ m1 C( @4 ^* x5 I"空间解析几何学"
" S- y0 P. K. I/ U" ?0 ?2 F" B; @& I4 w内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
0 |; ~9 l3 Z& ]; |5 b5 j陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
* }7 E# O2 f4 K& B/ e8 J; c& |4 p的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2. 於ρ*
) `% W( ?1 z5 G- j* G7 V3 t"解析几何学"
5 ~$ a  z3 v3 P1 @这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
+ H+ w4 _+ C+ L" h' `连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
  
# X: y  d1 I! Y9 k$ Q* H关于数学分析的习题,还有一本书,就是
8 k: y9 D4 x# w& \9 }7 [- |7 uG.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
, i: w. O" @, h7 P在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
前面一半,后面就全是复变的东西了.
! o$ \% P% U1 u5 f- }$ D2 _2 `9 y该书的内容还是非常丰富的.
在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
; \5 L  z' e6 |9 v0 |题目难归难,后面还是有答案或提示的.
"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
到总书库里面去看看吧!
Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
7 \7 T; {% F# T( N$ ]; m6 w2 f  
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
3.Postnikov
5 I- {3 t1 x# l) B"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
2 q( C" A8 B4 s' m& w, J2 ^5 \这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
, J; c+ T7 M7 q# }/ U6 c学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
# j: p, s8 |8 j. z" q5 u/ v4 b是要给吃到线性代数里面去的.
# }' K6 T2 i: F/ ?8 F( ~( }) G2 L$ B海外教材中心有一本英文本.
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
1 R1 @2 j, y$ \) V, b糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
$ s# _$ }; o7 S) |3 D我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
下放到高中里面去.
; Q* t4 E" o# O  V; u1 g. d上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
相当深刻的了解.
4. 衣∧*
9 u. D- n5 e- _- w1 c"(解析)几何学"
. g6 `, F: f  y' ?, n; v$ s这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
, C, z& V+ A/ N" x0 S前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
写的.总书库里面有.
5.穆斯海里什维利
"解析几何学教程"
. ?+ Z; E7 h' @2 j: C- y/ {" W2 R& j这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
3 N- d" ?: X" h而已).
5 |4 W6 z" w/ z0 b  
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: L: U! B6 O) e" K# s高等代数部分：

$ m+ s& n7 ~- q& v" y5 \: A% I高等代数可以认为处理的是有限维
& o. j7 p% p0 W线性空间的理论.如果严格一点,
1 ?$ l, {  ]/ V+ o8 U  _关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完
全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
' H5 Y' S/ n/ o$ p' }" Q, O就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
" T$ w# H6 ?( y$ G- @. w/ Q- E. F, W教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
Higher Algebra.
现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
/ T4 Z* G/ N4 T2 T7 }9 [2 k用外校的课本在基础课里面是不常见的.
( \0 G. i% I9 U4 H* y1 Q这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
的特别好,恐怕说不出来.
: p6 Y8 T+ s  t( I值得注意的是95-96学年度,北大现在的
校党委组织部长王杰老师(段学复先生
的弟子)给北大数学科学学院95级1班
开课时曾经写过一本补充材料,把空
9 T2 K% _- Q; V! C间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
1 ]  l. l% \, N& }的话翻印出来是件很好的事情(我的那
, [& s; [  f, Y: v0 g" |+ k本舒五昌老师给96开课的时候送给他
& r- D( y5 U" c* K# x: P了,估计是找不到了).
  
7 n1 {' Q- C+ p1 W4 ]) i9 x好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
" Q2 @: J. {( j% @4 ^" z& W+ S8 p线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
- z3 k7 t" E3 I4 A定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
建立在矩阵论上的.
而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
1 g& J7 [/ m  J8 J' U# `9 Z. E复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
"线性代数"
" [: Z6 [# k5 e! h  R# L( J这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
数学专业相应的课程要高的.
, _0 `6 b+ D$ G0 \5 [因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
2. 啦 埙等
"高等代数"
7 _% L) J" n7 |# [& ?! k4 [这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
3 T. b9 V" {1 R2 o9 N+ L讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
可能可以买到翻印的.
" X6 b" B; H' a! Q& t; S; R这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
$ ?6 Y5 @% W3 _( I8 z习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
的习题做完对于理解矩阵的
& r' Z9 q% l+ Y2 X8 T各种各样的性质是非常有益的.
$ G3 z' A! u9 K4 R$ ?当然这不是很容易的:
4 {  ~/ {- {: s: G, E据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
# ?% o, R; m0 s# g9 C开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
可以来找我."有此可见一斑.
  
% _/ g2 K" b* X% n: h  j8 f, {如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
9 C/ Q% |, L  A5 Q那么下面这本应该说是比较适当的.
% h: P8 y- g& k2 {7 _3. 啦 埙等
"线性代数-方法导引"
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
) s2 z2 e! [; j  |: x$ |更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
0 Z4 _4 ^/ r$ f1 }4.甘特玛赫尔"矩阵论"
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
% F) R8 H. Q4 M& g是柯召先生.
在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
$ ]2 t# Y4 w  l1 E+ L3 n入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
" k; S! B, W7 H: d阵该怎么求?请看"矩阵论".
* j* D/ p% H( w这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
总书库里有.
9 `6 w7 C2 n9 E0 i% J图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
5.许以超
# h) v: m' p( b  w( R, X4 R* K"线性代数和矩阵论"
  r/ _- M2 |% ?6 ^# L0 B# \虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
  
- K) \# Q; X3 @$ U0 z6.华罗庚
"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
- W6 m; T( l9 Z3 d4 I矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
- k$ `  l+ f3 C/ u4 ~/ m(不记得是不是在这本书里面了):
5 I6 M/ E  K# L) f: b* ^7 ln阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
把一组标准基映到1的反对称线性函数.
这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
("抽象代数学"第二卷:线性代数)
这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
7 J# P, f  m8 f; ?' T$ d已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
8.Greub
  o9 h% F' J  g$ }" |Linear Algebra(GTM23)
" w1 @2 h. _+ y- i0 c1 ~' d3 x+ G2 `: \这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
值得一读的.
  
% s3 P6 i# S- Y5 P还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
/ H0 T2 Z& j+ I. Q6 f  Z北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
* \% k+ Q) g! A没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
/ T4 X* B3 {( o, r& x# t4 `0 ?几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国
"线性代数"
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
9 H9 H7 o; Y. ^: ~) ]内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
  
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0 W4 f4 _8 S% l常微分方程部分：

" t3 E# |3 w9 L0 O从常微分方程开始,数学课就变成
3 `3 L: l; ]. O! H" p没底的东西,每一个标题做下去都
' _7 F; w! ^! N4 S是数学研究里面庞大的一块.
: [- L* Z8 m% ~6 e. z; f对于一门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断.
1 m6 _1 |3 |6 Y) Z' b' b这里我打算还是从现行课本讲起.
: o  C, E  U9 z6 N, f常微分方程这门课,金福临先生
和李迅经先生在六十年代写过
一本课本,后来在八十年代由
控制那一块的老师们修订了
+ a# S- U: {6 M: T一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
上海科技出版社出版.
应该说,金先生他们的第一版在今天
8 d* {" E2 L# T看来还是很好的一本课本(这本书估计
受了下面的一本参考书
5 ]) P7 E) O* k( U% z: }的不小的影响), 该书在理图老分类的
那一块里有.
$ ~2 J& A; T/ w% ^* Z但是第二版有那么点不敢恭维.
( |( z8 d6 E1 Q不知为什么,似乎这本书对具体
. t% S, _; V* g0 z, l4 X方程的求解特别感兴趣,对于一
些比较"现代"的观点,比如定性的
讨论等等相当地不重视.最有那么
3 \! o7 ]2 i/ L' q' K点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
后话锋一转,说"这个题其实按下面
的办法解更简单..."
而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
! ]! L6 g) x0 P( G  
现代数学的一大特色即是已经
完全建立了一套自己的表达方式.
没有一个学科象数学这样创造了
. y3 N$ h( e4 f1 b) L1 F$ o这么多的概念.
/ R& S3 J- s3 ?) s- [; L" f+ f现代数学的传播的一大困难也在
+ ?* [  A# e$ U与此,要向一个非本行(哪怕是
数学里另外一个分支的专家)解释
清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
但在另外一方面数学是如此有用,
而且数学的抽象性使得一个数学
观点往往可以表征其它学科的许多
看似毫无关系的对象.所以现代数学
! }, v& ^$ q% K/ t4 i  K' V还是挺值得一学的.
( p' h( y& k. L/ E自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
1 H, w1 y+ L9 F( X, Q从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
! C/ K1 x; X1 m: \0 l  O以前上海科技出版社出过一套
1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
3 U+ ^  x/ p4 Q/ P1 a至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
( W+ Z- j1 h, T0 u& o2.赵慈庚, 於ρ*
"大学数学自学指南"
赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
: c: f1 l5 c# S; d6 o) F7 S% b关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
6 @9 e) B8 Q  ^" u9 |& q好象是高等教育出的.
  
6 E3 m( I- l0 b+ k- s下面转到欧美方面,
3.Coddington & Levinson
"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
  Y3 i2 d/ z7 m0 T  Z这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
( o) W5 @% {' @2 \* d/ \. g着办吧.
' ~4 s1 x1 ^3 t4 @1 d2 f2 y比较"现代"的表述有
  j0 \4 J! Q* E. }% k( [% d. ~: ~4.Hirsh & Smale
"Differential Equations ,Linear Algebra and
, g! q8 d  \7 W- `Dynamical Systems"
(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
* i, y! i, @" w非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
% ?$ x  ^3 H' |1 x关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
: E% N: \; a7 v$ v! Q城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
没有什么疑问.
1 _" b) I. p, [& `8 f2 ?图书馆里有中译本.
  
5.Arnol'd
: A& V. \& E* j7 ]; t9 l% Y"常微分方程"
必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
  Q& V  g" j) T/ d9 `以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
6 W# g% t+ m7 O" U$ A: c也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
1 G' F& [! B0 M, [就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
. ?/ u$ n4 R: I教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
3 o  H8 T3 c" G  N5 I: uArnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
5 [% O: n% c6 p( u+ v# m' M8 r  I4 Q互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
$ U3 |/ q  r- ?5 w化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
们都是这么说的.
. B. Q1 y: p6 K) y8 w这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
  Q+ q- X9 x- t- q2 c竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
2 I& F1 O: _* l3 {! s2 H再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
+ U; z  [- {0 u( `' w+ A; Y$ c的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
# j/ Y( J) ]6 {- m自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
6.丁同仁,李承治
7 Y1 w% K7 r0 @; n+ u"常微分方程教程"
( C0 j$ \9 p' h+ q# K1 l这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
/ Y5 \3 {/ @6 @附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
% w( u: h$ e- l7 K5 V  
0 U  Y$ \& A( w, X, \再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
7.卡姆克(Kamke)
常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
理图里有.
* |/ {+ X) R2 S3 c' q对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
7 m* u2 g$ t+ M: J# ~这些特殊函数系的"完备性",象
4 k4 o$ ^0 P7 L4 {! V. ?8.Courant-Hilbert
& K: |9 ~9 y. D: n5 t"数学物理方法"第一卷
可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
2 h. q3 g7 J7 w8 c4 M可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些.
4 q( r+ y) v1 f# g7 Q) v$ i而且,
+ Y) S& Q- F) @! s0 `1 H9.王竹溪,郭敦仁
"特殊函数概论"
的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
3 ~. B6 E% X. ^, @6 q"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
连他老先生都如此,何况我们?
上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
# U1 q1 D  q2 l0 {有一本.
  O. U1 v/ |% Y, X3 P  
' t! ]5 Q( h9 ]; j: Q) \! p下面开始说参考书,毫无疑问,
我们还是得从我们强大的北方
邻国说起.
1.彼得罗夫斯基
"常微分方程讲义"
9 @) g: F- ^+ G- T9 i1 v' v在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
5 K. b$ i$ r8 t& b( F; g占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
8 u, z6 S8 ]3 q8 {" K. W他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
, m1 k9 s" {& b, R  }的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
9 F  P: Y0 Q1 M' V1 G3 j1 w, P利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
  Z2 H0 @' ?, r# @他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
5 }; D$ g; f4 E3 S/ D和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
官僚作风,讲法不是非常活泼.
2.庞特里亚金
/ ~5 P# i% ^# `3 ~# j3 A4 p1 L"常微分方程"
庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
; q: i/ l" W$ _2 {的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
1 L  o- s6 S, Q) S$ a3 q你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
. o* [  Z1 f0 R: e此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
* U6 H7 S' X9 i  ^' p影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
+ a8 F  Z4 A5 E, p& b3 L  ~不感冒的话绝对值得一读.
* y- `; A; m7 d  ?% {( H$ c* g# Z: m
==============================================

# C5 t) _0 v  D. B1 v4 A' p复变函数部分：
  
单复变函数论从它诞生之日
(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
- m( z9 P+ T! {, H. B9 a0 ~一样的地位...")就成为数学的核心,
0 j# Z+ u9 q3 v6 e( o( B上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
留下了一些东西,因此数学的这个分支
+ M9 O7 q, F! Y在本世纪初的时候已经基本上成形了.
2 ?- \  c0 [5 l  p2 ]! ?/ M; j到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
必修的东西.
8 u" ]& W( b, w7 _复旦现在这门课是张锦豪老师教.
张老师是做多复变的.毫无疑问,
多复变在二十世纪的数学里也
* h9 u5 w  j* [0 _' `占有相当重要的地位,不仅它自身的
2 ^9 i9 r$ U  L6 i; s+ g0 \) b) R内容非常丰富,在其它分支中的应用也
# [- k7 n* ?- E5 J+ T4 }) F) }8 o是相当多的--举个例子就是Penrose的
Spinor理论,基本上就是一个复分析的
问题.这就扯远了,就此打住.
张老师用的是他自己的讲义,那
书要到今年夏天才能印出来.所以
还是这两年上过这门课的ddmm来
; S$ G2 E8 [1 ^. Q3 g1 X谈谈感受比较好.
现在具体的情况我不是很清楚,复旦
0 y7 [+ Z# i2 B, G. _( o9 f4 p以前有一本
$ {1 f8 Q7 _, e4 y6 m3 z1.范莉莉,何成奇
"复变函数论"
& v/ Y0 p1 m5 F# F& k1 H3 R$ [/ u; r这是上海科技出版的那套书里面的复变.
" p! e' V$ z. X1 P- Y( ?! a; I今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
8 ^8 S! G5 V* B, Z& Q很难,包括那些数量很不少的习题.
但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
总的说来,从书的序言里面列的参考书目
就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
6 C& q7 [$ O$ b& f7 y; H上的先进课本的.
% _- \3 ]" b" d, ]. s不知道数学系的学生还发这本书吗?
% g6 Y6 M1 {! E6 V  
如果要列参考书的话,单复变的课本
真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
2.普里瓦洛夫
"复变函数(论)引论"
这是我们的老师辈做学生的时候的标准
  P% L& n2 {6 f) D4 c+ w 课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
8 z1 b' H3 d' E* z8 u% u# X' m 课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
* @$ {+ c/ r0 L7 E. n, U 普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
: ?0 g  d6 ^! V9 b6 x* v2 f* b1 v& c 期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
& C8 M# q' ?/ j 无论是从教师还是从学生的角度来说),
+ B; L9 O9 Z' Z+ g0 W 有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
般地问了一句"sin z有界无界?"此人
  `( X) O& h4 z4 A; r3 y( e( R% d 稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
6 t. q& o1 [7 }' X. ]! ^. e, R$ ? 被开回去了,实在是不幸之至.
3 X: A' d# P0 |5 _4 j 这书不在理图就在总书库里面.
# F# }* @* ^& V) V  i 3.马库雪维奇
"解析函数论(教程?)"
这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
. v0 M0 F- x$ W7 j: y 它比上面这本要深不少.张老师说过,
以前学复变的学生用2.做课本,学完
后再看3.,然后就可以开始做研究了.
  w+ j6 }8 C: d' H 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
8 U! S8 o- }0 S5 X4 l  E: Y5 S. }$ A 一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
7 X1 Q1 t( y" F2 y0 U, @ 它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
) ^! _; I3 S+ G8 s0 V 吧!
8 u) x+ ~* s; N1 B4 V, X0 `5 G, `  
再说点西方的:
4.L.Alfors(阿尔福斯)
"Complex Analysis(复分析)"
这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
Alfors是本世纪最重要的数学家之一
(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
他的这本课本从六十年代出第一版
/ y: o% |4 O- K9 i% u5 f开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
4 {8 I& j0 P' a" _' H3 S9 P* O7 C# U; t理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
记不清了,建议还是看英文的.
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
$ h6 I* q, F) g5 f" D  V代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)
/ J6 x' Z8 L+ M# t8 Z& G4 \"解析函数论引论"
这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
0 q3 H" o8 b4 i+ c" ]3 b在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
要的地位.他在多复变领域的很多工作是
开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
- j% B% j' E9 M4 E9 `& o方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
  K6 U* E1 Q0 H5 n(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
  
6.J.B.Conway
' m3 _8 e; v* |$ I$ U6 S3 }"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
(GTM=Graduate Mathematics Texts,
是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
4 C* Z+ p7 W8 \9 W) F对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
要到第二卷里面才能看到.
7.K.Kodaira(小平邦彦)
"An Introduction to Complex Analysis"
" e9 M$ l# I. N! R- _! f, [0 P' o这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
# r1 u* q- m) V1 p是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
4 v" A7 g/ W/ {; w8 [; M相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
/ ^- @. h7 j; \; W% S! D因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
我就找不出什么错.
  
人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
& Y; y. O: ]$ I5 N( J! h"数学分析中的问题和定理"
第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
" A* O. K/ ?* q. D- K习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
2 Q6 j! A, L3 b) h2 N0 T太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
, t1 }1 D2 W* p- O$ n' m( M体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
" K2 l' q. u$ l9 U) |% o独立做出来的.
10."解析函数论习题集"
3 j, C6 ~5 u. w8 A实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
  C- ~( ]" ]" t8 r忘了,这本书里面的题目相当多.
. L8 X) J/ l2 H: S7 n% p理图里面有,系资料室有一本英文的.
其它的书我认为可以翻翻的包括
  }$ X: L9 M/ n3 d11.张南岳,陈怀惠
! B; U9 b  W! @, D"复变函数论选讲"
- a) x4 V: ?$ C! D! i: ~$ M这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
9 J0 t  R1 n+ j# d上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
  H9 r- s. F' [% y* c/ U, d从内容上来看,
& H) Y8 u6 x$ p* I. N9 T7 W6 _1 Q- B- j第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
" s8 m  ^# Z5 e$ Q4 H都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
) H8 r# Y0 }1 b8 _: n, V5 c看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
1 J1 v/ {* x6 v' s(这部分内容在6.里面也有),然后去看
* Y  z/ H$ K: e% K9 K) M6 y4 |& a8 j12.J.-P. Serre(塞尔)
- [/ W1 ~9 t1 R, \$ r"A course of Arithmetics"(数论教程)
' D2 r6 F& ?' \3 g' o9 v第二部分的十来页东西就可以理解下述
Dirichlet定理的证明了:
"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
+ T& ^- c, z9 j代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
  
' L9 T- D8 K) \3 c' [# r发信人: unix (  ), 信区: mathematics
* u6 A# C+ }, f) f- F0 h偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。应该是不错的， 习题较多。
& ~1 Q# |) ?  X4 @; o; Q科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
. Q7 k$ ?; Y3 p* k' \其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
  
. J  z, ^1 m* D 在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
& w8 \1 ~  s  G$ Q& P* q) l8 P 理图里面还有
13.庄圻泰,何育瓒等
"复变函数论(专题?)选讲"
8 I' B+ O! z& w7 f 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
% v: u% J  u1 ^4 b 里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
* k% S$ X# X% k$ o$ _ 同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
: D8 v  G7 R7 Q* L8 [* B5 x; P 本记忆中就觉得太专门了点.
4 @2 d& j% v6 {9 `" X 除此之外,讲单复变的还有两本书,
7 }. F( Z2 v* e" @' J% s* x 不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
图书馆里面都有.
14.W.Rudin
"Real and Complex Analysis"
必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
4 }" j0 V% j4 L, E/ l 对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
' i4 v0 X/ n  [4 h& r) e 你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
; m% s* Q0 |- Z! z8 N7 } 才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
2 s8 `0 t0 v% Q% N* d, t6 a. u1 Y% O2 } 再谈吧!
15.L.Hormander
"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
9 @( m  u# J. p 可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
, u* }: `5 f# o% J5 r. u 这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
- t& }/ S1 f) T& T7 |3 g& c 奇异积分.
  
" o, _8 |) l% n4 o, l1 @16.Titchmarch
) C  X8 E7 u6 a+ }) G"函数论"
  R" P% G: m8 _. z- w这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
6 }( z+ C! H6 |除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
- B: o1 k* ?; |' |1 {17.戈鲁辛
"复变函数几何理论"
# C' Y  ~- O/ ^+ K$ W" V2 l- D4 p这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
7 I) P( W) O3 E7 @8 @8 _6 _% ~最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
总书库里面应该有,标题可能略有出入.
# i  A- V3 x! L7 A$ W% h最后讲一本书,不知道复旦有没有:
17. R.Remmert
"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
7 H& b& }' C1 c- ?) v3 VRemmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
/ f  `& g( ?( n' [% I其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
  
. o+ l1 P4 g( r5 |5 a5 r==============================================
" C3 `6 Y( m# p4 L
组合基础部分：

这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu
"组合学引论"
& z0 v' N; Y6 ]+ T的话,倒还是想说两句的.
8 ^$ V" E$ L+ m8 B3 W首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
就该知道这些结果不是那么平凡的了)
( g4 U5 Q7 B! ~5 g1 m9 ^; S作为补充,可以考虑
5 N" w' h' W# N3 W2.I.Tomescu
) A9 [0 z( b' G4 u- m4 ^"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
) [/ h* [, A  e3 e! n这本书有比较详细的提示和解答,
' z4 }7 {+ f/ u里面的题目也非常好,
高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
8 J( Z  s: n6 u% Z(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
不过复旦是不是有我不是最清楚.
! S1 n1 G  f8 |3 y( p: [但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
有很多:
0 e4 l) R6 j' E3 {) k& _3.Lovasz
! ~/ b. ~* w1 b5 V  ~$ W$ `' ^9 i# p"Problems in Combinatorics(?)"
; s# ?1 h  t: J3 m: N这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
唯一一个得过wolf奖的组合学家.
唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
了点,不过千万不要被吓倒!
/ m. Q7 O7 g, b' O) L  |* I8 f- D+ b2 }
==============================================

8 j. m2 U! q( m: }  U; _: o实变函数与泛函分析部分：
& T2 r' R0 w, p& k/ r* Z) E! J. ]
+ ^' o% ?" Q. z( p, |1 G+ D这是数学系的学生学到的第一门
$ d) L( ]5 H5 ~4 q* a完全属于二十世纪的课程.
这门课程的重要性是不言而谕的.
对于这门课程在中国的发展,
许多和复旦有密切关系的前辈都
做出过重要贡献.
5 [# f; ?9 y( n2 l0 K& b; O在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
+ I' ^, ?! J3 D' ?% J0 q陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
( g( ?2 x5 H2 ^+ X3 x/ q9 F9 X李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
0 v# ]4 e  r+ H- tCambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
8 b9 T' ~/ j4 @- m4 |桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
7 P2 L8 P/ |- y1."中国现代数学家传"(第二卷)
里面做了一篇传记,不可不读.
' A# Q* ~* q9 c% A陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
+ A/ Z7 [( p, n他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
! f5 N9 |( `3 r3 Z$ c0 Q2.陈建功
) D0 p! }7 u( {- R"实函数论"
今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
, g; z) ]4 R' {; P* E+ {# ]) @4 s  U龚升,李训经...
前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
2 ~5 [) o9 q7 ~& W9 ?8 e五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
2 p  r' a% S- ?. C3 ^那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
1 O  W  f  \3 H: F1 D% H$ v: o另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
; x; d; Q7 S" [) s) F0 j某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
  
今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
6 V3 O- J0 V2 M比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
图书馆的(见内页题字)
现在用的课本是
2 u$ u" J1 q8 A# M8 b7 @( C3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
; u6 k1 ]) s  g+ l- t: N"实变函数论与泛函分析"
第二版,上,下册
4 I- a1 H9 f" D: u1 G" t这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
) `' o, _9 E, a贡献的最重要的课本.从1978年第一版
- H; I# @  z6 I% z; ^出版开始,这就是中国最标准的实变与
* W2 m' y8 E3 m0 ?泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
4 R1 e0 {: i9 \2 E1 V% ^当年陈先生开实分析课的时候夏先生
( v  \1 [1 g- N1 l6 d! h/ `& z4 r做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
% n3 p! K( P; X# o要求差不多,不是吗?*_^)
' q* Q7 g8 n! w% z5 q2 b$ Y夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
) Q3 ]% O; Q1 N, C那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
- F7 l9 c, ?# q/ N在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
6 A# S* G: r8 B" j/ ?! W' q: ^而且回国后在复旦建立了一个相当
: B# e) L1 u7 m7 Q- P- ]# A强的泛函研究小组.具体可以看
4.杨乐,李忠编
$ I8 ]( H: E! _: x- o7 w"中国数学会六十年"
( q! F) k' a$ s# i里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
9 m" U* v8 ~. t! s数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
的学术地位!
# h0 F- t; r6 ~$ y& X夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
: M* @0 \7 D; J; `在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
: n  }. u) }1 Y/ E/ o3 U5 d是这三样.

  
我们一章一章来看:
第一章"集和直线上的点集"
: v+ \4 \: c3 o这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
% q! z) H/ I1 ^# E( U开始严肃地接受关于无限的教育.
具体的问题是教师一般都要在这一章
上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
+ S/ p2 H" z! i7 o/ K/ f东西学生以前根本没有接触过.我想今后
" Z9 L( e; B1 y# ]3 ]* v可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
+ _6 u  v/ u: Z' W% ]. f  D的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
也能看到这些内容.
- i% g0 z/ D- H5 D2 Y' V) s大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
在
5.E.Hewitt, K.Stromberg
6 b  A* E3 [1 y9 k% k"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
2 r! E& q+ s1 z& Y4 j- {/ D里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
  J6 `& _, ^& x# e! P" X7 Qdoes not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
% g4 t* C7 }6 W( C% J; Dneeded most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
- F5 ?2 S5 x4 _6 b5 b. v" k6.那汤松
"实变函数论"
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
4 d- }0 p8 R" R% Y8 Z这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
6 G: Z1 @$ y6 t6 U/ @/ B; H建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
% D9 s  n/ d7 S2 ^徐先生不幸于文革中自杀身亡.
总书库里面有.
另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
书可以参考,比如
: T; K. W) u8 O! m  u  b7.汪林
"实分析中的反例"
这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
一本讲例子的书!理图里有.
9 C6 u3 a% L0 m/ ^/ X和一些习题集和解答,比如
% q# u. G; f: H4 ^8."实变函数论习题解答"
这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
不过好歹是本习题解答吧.
/ O. _6 U* J1 @9."实变函数论的定理与习题"
& @, W! B$ x, J记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
里面有详细的解答,质量相当高.
  

0 G' K$ C3 C& j# g: ^7 y第二章"?舛?"
这是这本书上册的核心.
" g4 w/ C# e" G  j) [8 k  p+ j测度在这里的讲法,
从环上的测度讲到测度的扩展,
基本上属于
, ^7 H) F* N3 r5 s10.P.R.Halmos
"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
; h, m' \. y9 d! v的框架里面.这本书实在不敢
评论,自己看吧!
这本书里面还有一些精选的习题,
; v  D/ k0 o, O+ V' ]' o& Y) ~' a有胆子和时间的话值得一做.
* ^& L& x1 H' ?" G8 V$ d集环的理论
6 ]. R4 A# H1 R% R1 n一本相当有趣的书可以看看,
& h# ]1 ^! ^) k. j2 b就是
11.J.Oxtoby
Measure and Category(GTM2)
  f8 o0 p5 q6 U5 P这里的"category"不是指代数里面的范畴,
而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
6 h6 p/ C" p; f: ~$ B3 X现在可以来谈谈
8 \% J. U" i( [1 y" l  ^12.周民强
"实变函数"(第二版)
* d8 ?' Z% p: v/ C这本书写得不错,总的说来最大的
  g  D* Z% Y0 b- ^" x% h9 e, [好处恐怕就是习题很多,
而且都是能做的习题--复旦的课本
里面的习题初学好象是难了点,
3 i+ O4 E2 q* N! z! |) N7 O特别是在没有答案的情况下:)
, o; E3 {& L* S: j" T还有一本很好的书,
可惜至今只打过几个照面,
但是可以肯定的是绝对是好书:
9 t& ?! O$ L2 E9 l/ ^13.程民德,邓东皋
- L1 y1 \. y4 u"实分析"
我见过这书里面的一个测度的题目:
* I' K7 Q* y& c* z$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
# M) h  q) c3 E( e' F* a还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
# v/ ?8 y( N; p需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
- D. B2 k0 d2 m2 ~; m的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
1 O0 g  I3 x; A0 u/ O  A' V的差别还是有用的.
( [9 |5 s- j, A& h! ]7 ~  
3 X" f& w5 S1 q第三章
$ x$ n8 n4 I4 L2 l这就是真正的实分析了.这里面应该说
! u. r3 a/ i, P8 ~5 R8 t, w# j5 n每一节都是重要的.
在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
下面的:
14.I.E. Segal, R.A. Kunze
"Integrals and Operators"
和
; W) c6 Y4 d; O0 }% y; H- o15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
' [# Z& J  [* I* C( ^5 M& Y"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.
% c; h; d6 B7 h+ E2 d6 {比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
7 |( u0 @# a7 h$ T2 ]4 {8 J- H最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
/ h9 j, q7 W, l" B8 Q东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
+ w* d- s4 C0 [! c9 r8 |  u7 w) v最后问个小问题:
$ W; M/ k7 d. I$ R. q, I7 q"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
8 c3 _5 z1 k  |3 Y4 Q: D& i1 G这句话对吗?
! B7 a8 V0 \1 Q" V# }  
( I+ h# i# z8 ~  Q# U 在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
% c% H1 a( f+ A$ P% V  s6 Z 先建立积分理论再导出测度的.比如下面
% r3 W- V6 {2 {8 c* k7 n0 R 将要讲到的
8 V6 W& ?& ~6 t- v0 C& i- K 16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
6 Y6 y: w7 A: }2 l6 J' y "泛函分析第二教程"
$ ~& S2 F9 X; x9 u0 M& |3 ~ 里面就有一些这方面的内容.
此外还有象
/ k9 y; K7 W: T5 R- b- a 17.夏道行,严绍宗
3 U6 j/ q0 ~7 r6 f5 O6 W1 v "实变函数与泛函分析概要(?)"
+ N5 E$ F& V3 O& Y) S/ M% F (上海科技出的那套教材里面的一本,
理图里面有)好象就是按照先积分
再测度的办法讲的.
" Z: e0 u2 N) n! Z) m1 T' z7 Q 另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
7 k* f4 [! c# q "泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
- p+ q# b: e! @  e, ?" i 这也是不错的书.
* c; ^$ Y- i) c0 u7 m 对测度感兴趣的话,还可以看一些
- |! y5 z% R$ n5 P 动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
4 s9 V% D9 G' T' D% H  
第四章
& ^, Z. l) b0 s1 Q从这里开始算泛函分析的课了.
不过这一章是不是一定要以这样的
篇幅在这里讲值得讨论.
其实很多度量空间的概念在数学分析
% @5 F6 N% k6 l课里面就可以解决掉,在这里应该只要
/ I% U4 k7 P3 T1 b强调有限维和无限维的差别就可以了.
上面的许多参考书在这里一样可以用,
还应该加上的是:
3 a& `1 X$ L- d' w, Z! l! ^( @9 h( ]9 z19.汪林
"泛函分析中的反例"
  g' U6 [5 [9 G" E$ Y第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
0 X: g$ }8 h3 T: Q整个泛函的体系都可以建立在上面,
6 l2 f8 i# O* f! |$ x2 r  X( [理图里面有一本
. V- H5 y; z( @" n4 m20.夏道行,杨亚立
"拓扑线性空间"
不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
有兴趣的化还是看下面几本
. p+ M# {7 T# Y: J21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
- o& Z6 m3 f& ?; u* f+ N! @9 ^布尔巴基写书是一章一章出的,
这书能一次就包含五章,实属罕见.
# ?. [' H" H, E8 H6 W而且估计今后也不会有后续的内容了.
  
7 y6 s# A3 }9 w  GGTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
; [$ l6 Q- H. d22.H.H.Schaefer
Topological Vector Spaces(GTM3)
和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka
Linear Topological Spaces(GTM36)
16.里面有一章也是讲这东西的.
7 w3 K9 s- D! `( d3 ?9 N其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
* q1 I# h0 `1 P; f3 g以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian
0 i3 a* i# I( R# O5 V: S1 J"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
" ~! U/ w& E: f: xBerberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
' _8 @. g/ S% t! V- M5 _是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
或者
25.W. Rudin
, @7 Y" u- h. M# p5 y"Functional Analysis"
这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
"Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
% k7 T- ?2 u( P/ q! y中译本的质量也很不错.
此外还有
: Y& u2 P" L, A5 w* o27..J.B. Conway
+ D2 w" k% X3 ]1 v4 V4 J"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
  
第五章
. E3 v. l8 k! y1 ^7 S, O* Y/ {4 ]. w这一章讲述Banach空间上的有界线性
1 u" T/ K% u$ z. \算子理论.这一内容的框架性著作
- k8 i/ N$ L- X3 `  m8 X+ K8 W" ]毫无疑问是
& ]1 L6 p/ i2 [$ ^! P28.Dunford,Schwarz
& H5 l0 Y% [: F4 i; U6 s/ U"Linear Operators"I
这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
  R, `8 W, F. J& s' ]5 x3 E) a为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
% L9 s7 ^* G# @1 O其它用得并不多.
1 _, K. i' Y% M- G& _前面列的各中标题是泛函分析的书这里
( P3 }% k9 G  }8 @+ Q, W8 G1 z) [都可以用.
汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
不自反的空间的例子在系资料室
, Q/ o- Y& t! @0 L可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin
* N: X0 q' J1 Z, i"Real and Complex Ananlysis"
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
2 w  s8 y# e6 `* }6 {老的版本总书库里面有很多.
  
第六章
Hilbert空间由于其上存在一个内积,
可以发展的性质比Banach空间要多得多.
2 R% W3 X3 O! V8 b0 K从空间本身来讲,线性代数学好点对
( S/ E3 o) }  ]6 E本章前面几节有很大帮助,学的过程
中密切注视维数无限导致的各种反例
就是了.
算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
有限维的性质是可以推广到无限维的
对整个体系的理解很有用.
本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
如果第四章能省下的点时间的话还是能够
" h9 \: Z, z+ G, o5 u6 Q* W$ n讲一些算子谱理论的.
这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
算得上一本杰作."The only way to learn
( o& `! e) T; L. i5 I* W# v6 Tmathematics is to do mathematics"就出自
这里.
0 R! H% R$ O! c6 \: ?  
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
5 y/ _2 I2 O0 W3 c/ }" t在16.里面有一章讲些基本概念.
7 \/ y) {) Q) Q3 F& a/ r这一块的文献也是浩如烟海,
因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
的联系,可以看
32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
0 w3 K6 i4 C0 p, i' k2 j8 g"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski
"Noncommutative Geometry"
8 O- X( x5 ]6 n- AAMS Notice,v.44(1997),No.7
) C- n9 d& U# L: Y4 I, a8 B还有
* j, U- K$ W8 |+ }3 k34.Irving Segal
Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4
  g' m6 i$ l) _. X因为
35.Alain Connes(Fields 82)
; q7 _: N) v. n2 m# F# k9 ?( E"Noncommutative Geometry"
可以说是这一块的里程碑式的著作,
5 ?( z+ e( Z4 @(33.中甚至说今后人们会用今天看
Riemann的就职演说的眼光看这本书)
! o! W# b/ \" F4 m  s所以对于这本书的评论很多也就
. g% h# }# E( X5 B5 U把整个分支都评论进去了,不妨看看.
Jones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
; c3 C* F4 @* omost aspects of `classical' mathematics
0 U6 Q: F/ K/ mand sets us out on a long and exciting
voyage into the world of noncommutative
mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
有一些批评,也值得注意.
6 g! P8 c0 G8 z( d  
& q; C- [9 h2 ?- d4 n6 [- I1 @12.的作者J.-P. Serre成为第五位
既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
6 y5 f: q/ h* ~(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
+ y& b; J4 P  f0 K% G& c  
第七章
; B1 y  l& u6 a  e" x这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
* j7 a8 @4 s' ~$ \在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
3 [6 k& i$ M! C# T& Q' h+ z主要问题是,就事论事地讨论广义函数
% Q# f8 M! l4 x6 }6 ^; O1 B恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
5 ^, K% D# r! A, t) j8 N. P听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
复旦的偏微是很强的...\\sigh
4 P# q% z: [7 F) `1 z% X- m在广义函数的标题下最有名的应该是
36.I.M.Gelfand等
6 J0 n0 |. f8 Z2 d1 s$ n/ l"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
( D; {8 @' x! G" F9 W, k2 Q2 h6 f* Y第二本最有意思.
: x0 R  J6 t+ r( S) M另外还有两本好书,不光是这一块内容,
从整体上讲也是很好的泛函课本
6 }1 R9 U6 D4 U6 Q37.K.Yosida(吉田耕作)
"Functional Analysis"
! @: [. j" v  y+ ~9 a0 J他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
去年世界图书刚刚影印.
38.H.Brezis
"Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
如果能念法语的话绝对值得一读.
( _7 M/ i. ^/ J7 x" W+ N- ~$ s4 X在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
: P" @7 m  r2 G% X! D2 n特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
4 ?2 ^% o5 t0 V# A* _' R  
/ l8 q7 `( m& d; I0 d( X& x8 f==============================================

" r0 A( Y3 ~/ p# @; W( `抽象代数部分：

有的地方管这叫"近世代数",
1 N9 J6 [9 }  ]- D! w反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论
是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
写下的那封著名的信件(里面有
"你可以公开向Jacobi或者Gauss
提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
1 @4 d7 E. |# L法国国家图书馆).在后来的发展过程
+ q" W  u5 x& f0 b) b& U中,代数结构话的语言逐步渗透到
+ ?( L' a" |; E2 v5 f0 h数学的各个角落.到今天这已经是
一门无处不在的分支了.
  H9 m1 y% T0 G% z8 [不止一个老师教导过我们:
在复旦,你们受到的分析训练将是
2 ~0 a. E% L7 ^7 I# z很多的(充不充分要看各人的要求了),
$ L# N' v6 D5 q7 F2 M+ @但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
7 s0 X+ \6 k1 U现行教材是我的本家写的,
; B  Q" e- i2 b& J总的说来作为初学还很可以一读,
# x/ O' R1 t' N原因将在下面说明.
  
$ i# R6 M- `1 K( x北大的课本是
% y' B& t7 G6 e1 Y, x* S3 F1.丁石孙,聂灵沼
3 T7 }8 R4 h" W"代数学引论"
' L" Q! k) m- ^/ W# ?这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
; E/ n" v+ @$ r3 U7 @7 ~就是没什么自己的特色,原因是这本书从
" r) L4 ]9 V3 r! ^' m. G- A体例到习题在很大程度上参考了
# i- D9 s. d  D9 \* g2.N.Jacobson
"Basic Algebra I,II"
7 Y: U9 I2 U! ]2 z3 Z这书在总书库里面有不少,
* L% O. z" M% a4 t; }" K4 v( B( B1 u理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
5 j, _) j, y8 a+ m5 V8 R# J"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
Jacobson在代数领域也属于权威,
- ?) j& w! y  ], u+ F$ z2 e是华先生同时代的人.这本书从观点
上说是相当现代化的,比同作者的那本
: D9 F& s* O  c2 y3.N. Jacobson
"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
/ y8 b+ z) j, s1 Y(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
* _0 U6 v6 S7 r  ^要改进不少.
有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
( ~4 s! ?* W, d, r比较一下.
  
2 K% B" h0 O! h  s% `6 q从习题的角度上说,可以看
4.徐诚浩
; E  I& e* m6 }5 n7 X* q"抽象代数--方法导引"
这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
可以罗列的参考书还有很多,
' v  L: a0 O& v. N- r综合性的课本有名气很大的
% N) d! J( s5 M; `7 k4 p/ G3 w+ a5.S.Lang
"Algebra"
Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过
# v) Z. S& D: r6 x1 w  VAMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
"代数学(上,下)"
北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
5 N( w4 S7 x+ F, a推崇倍至,认为比1.写得好.
% @8 c9 b- i" P4 {3 B7.熊全淹
"近世代数"
/ q* p7 a% |' T8 o- k% ^+ ?* X这本书的好坏不敢评论,
不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
比如许多American Mathematical Monthly
) ]1 n. C' C3 N* E1 d4 S4 o& e上的短文.依他开列的参考文献到
系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
" ~/ ~2 B+ X' @- F7 |, x  
其它的就是比较专门的东西了.比如群论
就有影响过无数学者的
6.库洛什
"群论"
  j3 K& j9 g/ r8 V9 E/ d" T) v注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
或者段学复先生的导师Robinson写的
" g: P7 q0 }  U0 {: u7.Robinson
8 r4 v! C" D4 D6 t( Q"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
% N4 b! _& |' V4 E1 k多多指点.
对于Galois理论,有一本
+ N, j) k4 a4 g( W3 ~1 G& L2 E8.E.Artin
"伽罗华理论"
非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
! d& V0 j3 _- {6 l: b3 l9 ~还有
6 p. \0 h2 }- M) I+ u2 E9.Edwards
9 k" y0 ^- w* }+ N"Galois Theory"(GTM 101)
8 {1 u: p2 g+ E8 v这本书很有趣,它是循着Galois的原始
想法写的,因此和一般通行的教本里面的
& T- i  Q7 i/ x讲法不是很一样.

=====================================================
, I/ ^* [8 z/ l) w' B4 i  
( [8 {' D. `; z数学物理方程部分：
0 S9 ]' m8 j8 l9 D$ L" O; A
# q' p0 E1 _, W3 F) x学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
8 D1 D8 ?" I7 c0 P3 u1 B4 [' R故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
. o& m  Q2 V, D3 h! F0 u2 T看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
; U. x9 |9 K7 M等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
* C" H% k- k/ b7 F0 ]7 p# ~5 P  h2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
特别指出这本书的原因是在复旦的课本
中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
习题解答的,那是80年代初,油印本.
7 ?  ]! z1 B3 r1 J5 W$ e$ {% v能不能搞到就看各位本事了.
8 c' J3 t5 i1 S0 q4 ^2 }$ X那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,
' {/ T3 x/ g: [  T3.陈恕行,秦铁虎
3 E; d6 ]6 p2 W2 V"数学物理方程--方法导引"
# i: \2 i3 ^5 E$ }$ R是一本非常好的讲习题的书.
: j% W$ ~" Q9 @8 {$ ^里面的习题如果能够全部做一遍的话,
# X' q3 z9 B( |7 _1 ^- |应付考试是绰绰有余了.
  
发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
3 [! s6 d+ |$ B. L8 x0 D说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
里面有翻天覆地的变化,古典的方法
- M: N! B; r& ?' z和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
+ v4 V/ _' Y8 w, T# C( h$ j0 _我想说起古典的,
3 ?3 V, q" _* @; I4.R. Courant, D. Hilbert
! k9 k% F1 ~! H. c) L1 Q; @"数学物理方法"(I,II)
可以说是毫无疑问的经典.
2 O5 S/ d$ q: ~按照洪家兴老师的说法,
  T: X& ^2 }8 `8 z不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
- f( I  h& [$ W7 v  n( ~这本书里面的相应章节都是经典,
问题就是这书放在一起你是没办法
4 g) d& H$ N  p' [! h当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
, F& s( `' B) l- a3 F  ^. T0 U4 o5 Q! u( n经典的教材,大概可以算
$ M! ?- i' B# X# d5.彼得罗夫斯基
# w4 G& c! v  ]( b% D& C9 I: c"偏微分方程讲义"
* D( T2 ?) S# S8 F5 ?+ p% m这本书从风格上可能和他老人家那本
"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
8 y- L( s; w$ J3 u5 ]6 B象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
' U+ n: i# q2 h" p$ W复旦的本科也好象是不讲的.
我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
/ H5 }' o& H5 j+ z/ T, q不怎么做东西了,主要的精力一直放在
为苏联数学界构造保护伞方面.
8 n0 d) G& g. v3 _) `0 i" T! r# f- q他最后去世的时候是这个样子的,
某天他到莫斯科市委会去开会,
- j3 j7 D4 S' m; X6 A跟人家大吵了一架,因为基础科学
研究的经费的事情,结果出来的时候
在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
是:"我嬴了".
2 w% h6 Q1 x9 j; l7 Y8 o  l2 I有这样的人存在你才可以想象为什么
人家的大清洗没有对科技的发展有
( t, I- A4 g" q' h太大的影响.对于这个问题,建议看看
6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
' D2 ]% A. k/ L1 m8 o和
7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
  
/ u1 ?* v0 K! j7 v8 q( ?' p& t6 a还有
$ S( S- H  g9 N7 Z) f+ T7 W2 ?" z8.O.A. Ladyzhenskaya
"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
陈旧我也没话可说.
既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
3 Y( u0 w% h3 }" O1 T在这个方向上我以为
5 t3 @# i3 f' i. [7 O; ~9.李大潜,秦铁虎
9 Y. [# R: X# M# G"物理学与偏微分方程"(高教)
5 f5 f! Y" V# H5 w! U1 u1 X5 r5 s# c8 l还是很不错的,上册已经出版,下册
也就要付印了.该书的起点并不高,
所以应该比较容易看.
* r/ h0 R2 C6 O& [  ^1 F据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
& o. z; R6 _9 m6 Q& ^* l4 y认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
7 F2 g* L- |+ B从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
9 r# d2 N; w9 _( v6 z) z本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
比如
10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
- n5 ?, K8 v/ F0 u( r. o"Partial Differential Equations"
' V1 c; J/ @5 C9 ~9 w/ bBers是个很有趣的人,
可以看看
7 Z# D2 ^. d$ s! L11.L.Steen, ed.
9 ?5 s  T! M- [, Q. f"今日数学"(Mathematics Today)
9 b. {* N) g# ^" {" P/ p里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
; o* P& ~3 v4 }! Y数学普及读物之一,绝对值得一看,
中译本的质量也不错.
; M6 v- }8 a2 \3 F6 m( ]% p  
$ c3 W; }7 h4 G1 _12.F. John
"Partial Differential Equations"
6 l/ B7 l- O$ j这本书系资料室肯定有.
剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch
0 v  U) ^# k! Z+ S"Partial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor
"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
; S+ [- k  `% i8 V: l5 ~# r) U6 b( G后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
5 O3 c6 D% C2 W% L' u引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander
* z/ g  d) J& {* Y0 y5 C"Linear Partial Differential Operators, I"
要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,
5 h1 G- C5 X3 N+ N2 v- ~, e# m  p只不过这位的来头比较大而已
--法国科学院通讯院士,46岁)
, X2 r# F1 ^- B  
这是讲偏微分方程的课的名称.
, L% Y# G% S, Z  Z# j顾名思义,就是说这里的方程原则上
最早都是从物理里面来的.
这个分支里面的东西丰富之至
6 M  r& x  H4 V/ H1 t* g(当然往反面说就是有时候会显得
+ a1 ^% n+ {5 _7 ~结果比较零散).
; A; W0 F/ t! u# V, j现行课本是
' g4 ?. B' G1 e% N1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
9 m: Q4 F+ M6 U- I: w- I"数学物理方程"(上海科技)
这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
" K; y. V* C4 L; R+ q# {: c弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
注意那些经典方程的推导里面多少有一些
2 p  u; I) X9 ^' A' Z9 {近似的过程,这其实从某种意义上反应了
( I3 N: G; r& _9 s0 \$ E% ]* x所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
9 {: n) b! x+ x* C% X比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
5 t6 k: B+ _7 x: r6 {经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
5 y$ P2 }7 a6 q+ j证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
; L/ s6 p7 c/ g% ^) E0 ]" X/ i6 h差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
0 B( `& G- w) ^+ o5 ]1 E有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
; d1 _$ S* R1 O的推导里面是有近似的,这说明什么?
一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
5 d6 Y9 ^4 _* Q& S常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
( C+ ~) A, E: X有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
$ X; Y5 w9 k, f$ X' V. \存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
  
. c" f" J+ n. ~/ R========================================================

拓扑学部分：

我拓扑学得很差(从总体上说),
因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
1.李元熹,张国(木梁)
"拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
1 p0 ?$ a. B& t' }! o/ Q0 ` 都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
什么更好的形容词)了许多习题,
做上一遍是很有趣的一项工作.
) P& E/ E5 }+ I4 J) ] 中文的参考书里面好象
: |/ e. U6 H, Q7 s8 w 2.熊金城
8 b' a, p/ q8 }. H% _8 B "点集拓扑讲义"
是比较好的.该书也有些名气.
不过要好好学,可能还是看下面的两本
比较经典的书:
# H/ o+ ]' E4 t8 X3 B' c 3.J.L. Kelley
"General Topology"(GTM 27)
9 i! J; J: n/ E- j  n 此书名头很响,55年出版的时候应该算得
上是把这一领域里面的结果做了个
  ~* D& D* T( H5 T5 z6 n 很好的总结.该书是想写成课本的,
% S! z$ h. A& J3 i% } 因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
3 o- @- L6 F& K8 w+ _; B+ p/ F 编号.只是....真要做起来未免有些困难.
听说过这样一个故事,就是曾有一位
- S" {! h8 S; J: \1 H 华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
因为大家都明白这目标不是很现实.
) }! X- L; V  N 我个人的经验是,在那个学期陷入各类
考试的重围中之前,还做了前面两三章
( Q$ K: J+ n- H5 Z! e( w 的题目.是比较困难,但是做起来也非常
有趣.
1 \' A, i1 k# p- e  
) C8 c/ k1 r3 y  V7 C再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业
"基础拓扑学"
是北大的教材.
4 _+ o. p  f/ a& _( T5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
0 b0 B! X( d, j# ?( Y2 A+ g这是本极好的教材,应该
7 `9 R) M9 P0 w可以用深入浅出来形容吧!
) |0 |4 q- ]' R. K, r6 m第一作者Singer就是和Atiyah
一起证指标定理的那位,说是重量
) a% j8 Q, F1 R/ ?2 a$ `级人物当无疑义.
3 P* F& ^$ M3 t+ v0 F如果你只想查结果,我觉得可以去找
* r& j) j; F: f9 V' `6.R.Engelking
; P* D9 S$ F! b9 G"General Topology"
" U8 S& N3 b% v* a+ k1 J" o这书是七十年代末写的,内容翔实,
4 I# A4 V, [9 T9 D4 P7 c" R4 F至少对我来说是有包罗万象的感觉,
* Y1 `% C6 J4 N: H  w当然对做这一块的人就不一定了.
  
: [0 J2 ^( n8 ~1 A" Q按照萧先生的速度,大概第二章还是能
! i( e4 H. K2 E+ X. I% ?4 {讲大半的.
" R  J- P8 @' }这里属于代数拓扑的起始部分,
参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
" T" ~; {) m- `5 I9 U; y9 E7.Greenberg
% T& x9 _4 N8 ^6 S. A# |"Lectures on Algebraic Topology"
" h  d: g4 w2 E1 O/ O. _* t, C% m属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
" s) B; U" I: |: {% {" w还有象GTM里面的
8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
: N2 p2 V* g% i; @* L8 u; D也是写得很好的书.
我能写的大概就这点了,
9 A" q' n# |5 n% [7 j" a还望大家多多补充.
  
% G9 O# I/ n7 E2 P* e发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
- R- p: `) a% e; E, k* v3 a这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
, `+ a" r6 d0 w* M' o- _5 [+ Z% ?的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
0 a* O( G6 M: c5 j当代数学理论的三大支柱。
1 _$ c/ k% T3 `( L+ e如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
; V4 `/ C4 ^9 |( N8 U6 X《拓扑学奇趣》
巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
& M; S6 T3 P2 a) M数量的有启发性的题目。
M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
+ v; y% u, C: s由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
8 n3 h# [! g' S# y' s. c! B* V有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
+ `$ W. H- q3 O# j+ J由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
  
" u( u5 s& H. f1 e# F======================================================
* c2 z' G2 g; E/ B" B
以下是北大的一位师兄做的补充
数学分析
欧阳光中,姚允龙
"数学分析"
这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
糊涂"了。
高等代数
' W& ]. p% ^8 n5 @1 [: I9.丘维声
, S! p3 i$ G3 W) Y"高等代数"(上,下)
本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
8 \; e# n: }0 E6 |. E经常至夜里二,三点.
2 }# n# Z$ P% A& I单复变函数
. i: h5 o) M: b9 |' M11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
2 s; O# h0 Y# N9 h这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
微分几何
陈维桓"微分几何初步"
( l' y+ [% M8 P( r8 v这本书确实写得不很清楚,陈
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
& c9 {9 t* ]- I# t/ Y; G还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
. W( X3 j; ]' V3 j$ [/ P=============================================
  
* b5 F1 u7 m7 ~9 N7 j# T大学里面念过的本科的课程,
基本上就全部写完了,
, k3 p, S- l0 E' A& \5 Q* ^7 e+ ?感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
- g( i! d: L- N4 N/ T% Z  \3 y6 [+ N我的"酸"劲.\\bow
0 r. Y6 _7 S9 j' I$ e其实严格说来这里面除了参考书的名字
; m$ T+ {; |. d2 a3 Q+ A- u3 q4 f和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
  v+ M/ W, Z9 p/ ~& X! H在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
: T# q3 T8 [+ U# }0 V9 c; q8 A数学还包括了为数众多的数学家
的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
8 q/ d: L* K  W! u是做不好数学的,我以为.
从技术上说,大学数学系的课程还有很多
$ a9 d8 N! ?2 B0 V; Z  d没有写到,即使写到的这些,也有很多
需要补充,修改的地方,只不过...
! @1 f- }, ^+ g. K, h我是没那心思了:-)至少在近阶段.
3 f2 I) d3 b% W5 j/ K希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
' @6 V9 R& m- X! i9 L& L多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
% a3 j- n; d: R0 {8 }, f' W... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
& S2 O8 @9 M4 R/ K( t" c# t4 W, A(为避免任何对于\\bow的数目产生
误解,文章到此分成两截)
- x" A, P  J5 g- \, J今年一月,在经历了三个月的情绪极端
; b( R. o5 j0 j9 X2 n  e+ A: W1 C低落以后,我打算开始重新规划自己的
未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
3 k3 p- M! J8 T6 u7 ]. k精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
7 s# W2 z" F+ o8 z6 u原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
4 u6 ]) W. q4 e$ p% l3 X0 f这时候就有想到了BBS.
BBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
- }9 j) `3 |$ F上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
$ @  q/ W' r. {. g4 C$ _" m年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
水是前三年灌的水的总和的三倍.
0 ~  A5 S: _- A' y+ B- J可能和心情有关吧!)
1 O& \& a* x: Z: L突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
9 |" r0 J  t. K# s( {# y9 @0 J5 `点的水,去年底写的那些94理基的故事
" Q& L# L# V: @0 F5 P. {. O7 Q从效果上说,让我很好地把心情整理了
一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
( I: \. V2 Q6 [6 ~0 R应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
+ n6 j' u5 R% s( K$ t修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
因此一稿三投连我自己也没有觉得有
什么不妥.好象这也不违反站规吧?
写着写着也就到了今天.又是一个可以做
"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
4 U( X, w4 d* P8 B- bzyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
* V; ]0 F7 ^; i& Q9 L- Y: ~) Jstandby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
4 Z: d& h+ |7 ?6 Rdarling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
) v( t: W4 k, D6 h9 ]* l3 g+ smax, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
DblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
希望明天的太阳--无论是巴黎的,

: |* F: I4 J2 L4 `  v- q& E还是上海的--升起的时候,
大家都能有个好心情.
再次谢谢大家!\\bow
2000.6.6 2

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！