数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
6 \. R* t: i7 k2 a9 m1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）
! ?' ^0 V6 }& r: P  g
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
- h3 O* j1 k6 [/ z2 X% UPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
+ S4 U% v# W( D; c
& Y7 Y6 n: K6 R' A1 H6 @3 R/ _5 U基本PSO算法
* C; z& w; Z# v) B) U
% Z5 _" b" U( f: v" i) TD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
$ _: N1 q! _% h  z/ k粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
, G. K& v' e7 u/ q. T粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

- v$ U1 y4 p. J! L
  U/ ~( t' r, m2 u二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
+ `& [# ~. _( v/ s5 K( }1 x) d降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
# b7 Q9 {9 g4 w7 l# ?
产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
$ ?9 m4 y1 s( |1 h; L若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
8 [; R  r" E* H
四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
1 T8 Z+ u6 k6 @3 w% P9 ^
. C# a6 X8 `' z! o参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
; _0 `( b: r1 g
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
( o) b1 ]" M+ {  x% Y* S( ?
% L- R; M7 r) K9 ?3 Q8 h1 n五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

) {" [) x! z, C& w# H5 ?' y6 h3 G( a又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
1 n) C4 o+ o# n2 B1 ]2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
; \2 n/ t  o$ x% m: U2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
' b+ J/ h* j" ]4 Y
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
3 @- V1 v  i" c3 ^; d3 z2 H! P, ma、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
, |) {9 O3 G, l5 v/ }9 b* Hb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
' Z: C8 W) |7 y% s可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
+ p) f) C2 B. \7 _; L( K(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
: S6 Z5 y* J' n3 M: v# n; U- Y! k# M从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
$ J! b- g5 o2 V8 X2 G* H- @; O(4)禁忌表
% n. t5 I. ]7 k! J禁忌表的作用：防止搜索出现循环
1 v) B# Q5 S" _9 I(5)渴望水平函数
8 e2 K, O$ d3 ]: e: F$ [A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

8 d+ S9 N  o4 o6 S# L& ~
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
* O2 s2 `& A' x* E+ A---------------------
" g5 j$ M7 J2 k- O1 C2 H  r2 g7 h# s( q+ ^作者：_朝闻道_
2 ~* a8 N) u4 e5 b$ d3 j来源：CSDN

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% d# D( W* V% {  Z6 T  u+ b' f8 Z
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