数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
# |! x- K/ C  x1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
; l+ z/ p5 d: O4 s5 r) E3 x
一、粒子群算法（PSO）

: Y- N( G) b) h! p, j6 k算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
4 x8 E, a, E1 M# zPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

, J; ~& ~3 ^, qD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
, s. Q9 t6 k* e+ T3 Y粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
, x' `3 W; a. l5 x( f* K3 P& _群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
. H0 n, E/ `% K3 p, u$ I$ ^1 b
. u4 @+ a& F; r/ J* E模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
+ i) d$ O( g- e8 S1 X) o$ g热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
; m6 ~8 p4 ~) E+ e1 i: C
三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
1 n6 l, e1 H9 f1 z根据适应值的好坏不断选择和繁殖
. r, t6 ~% a. o% t! n; k! D) w若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
" f, c2 m) H* n; Q, m, r! ^! v初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
" }' z' [& ~( ]遗传运算，交叉和变异
/ f+ N- k( Q; Q) V选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
- ^0 E0 h6 ]0 o# ^& K, q" o停止准则
4 C6 ~2 E+ l; i: B1 o6 R" W
$ l; Z2 m" u7 v& R9 W参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

2 {. b" ~8 p0 Q1 Q2 `% t$ I! k四、神经网络算法

4 Q! [) j4 {) T7 I& G* o和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
. v8 y$ y2 A$ `$ A: i" G
6 `9 n& ^0 J- I, y' V五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
4 `% P. G# u# Y
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
" Z0 A) W+ Z; j$ L0 o- X1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
& W9 J5 P* S$ x3 Z/ k- [/ z  ^' q2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
1 }0 i+ ?: H" z; r4 a/ Pb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
, q  N! x2 F1 v(2)初始解的获取
# z0 e; Z0 [7 [) O可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
5 H1 y# c+ m- K, H* i, v(4)禁忌表
( j* \3 L- q* g% S( f禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
8 l# c2 d! s$ X( k! ~A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
+ l; `6 v# @% {3 R1 p3 M

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
2 u2 s$ M- b5 c0 p/ Z* b& D" ?来源：CSDN

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9 n% w3 t9 ^( `# t5 {