数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
# o, H1 u% v$ r数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
9 E4 T0 i% X$ \5 G" C1 T# S
一、粒子群算法（PSO）

0 M. O" B' j, D( `+ P算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
6 g$ V, W( ^5 Y& bPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
8 B1 H1 ]4 E5 z* e7 l) R
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
' d: W  i1 L+ D. {  L6 w粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
/ c$ Z4 e* U9 ~5 M粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
9 g# F+ e% F$ g9 V群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）

# P+ d) d1 q: h) R, B& A) C7 \- U模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

8 [  s( T0 `$ @7 I三、遗传算法

, r+ S- L" l9 F+ e" M产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
& ?  i8 n* |, p: z6 P根据适应值的好坏不断选择和繁殖
- a* ^: ]$ O4 o& c1 o若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

9 ^. |+ [2 l2 I* s3 l1 x, P四、算法步骤
初始种群
* H  m: C: e$ L1 a. A2 Z# [编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
" s' Q' _. H9 b% h8 P选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
9 ?. r( o- ^: }# M/ u) u5 u
$ L- U* G, ]% W0 `/ @2 V$ T2 l2 @四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
7 X* ~& D. k# ?# J8 J  m
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

$ @$ H+ Q4 f# f又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
0 e3 ^* S' ?! n- O9 g: R优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
: y( ~" q- S4 ?3 K5 Q: r2、局部开发能力强，收敛速度很快。
' b; x1 E$ ?' C/ _缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
/ k! S3 }+ O; z+ |+ b2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
5 d0 ^, ]) h6 T6 f5 ~
% M3 S9 V1 s( K将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
: l# h* o3 A! h& A; q3 }* Q# e  Ob、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
/ h  O# J; e3 U可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
/ H+ y7 c7 ^4 g从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
  `% D5 _4 c% _, W0 W8 B(4)禁忌表
; j8 `/ U& x  d! O禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

, b* [7 C& i: T5 E) p$ f' H六、蚁群算法（AS）
' k7 b: Z' R  M) b( S1 d

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
, a( g" }% o: A: K9 ~---------------------
作者：_朝闻道_
来源：CSDN

$ q" D4 D7 p8 v5 S4 F" C- p2 p