数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
9 v" G; |4 t' _" z$ F1 B! m( i+ B1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
7 e. N$ [! T  g
! a4 O" `! G) f; h. c一、粒子群算法（PSO）
. N8 J( \$ C+ e; M$ q& h9 k8 n
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

5 }( g9 U/ ?& b+ W1 \基本PSO算法
5 l9 L. w) ?9 b4 l2 q
D维空间中，有m个粒子；
. b8 J1 n" }  |# I粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
2 q$ l$ ~+ D$ f  ?群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
4 x* y( b7 P1 P6 [* _
$ a, a8 Z2 D% V! A7 ^# P
二、模拟退火算法（SA）
8 x1 a! G; w  A# J0 p# S! X
7 @$ C8 ]1 i! N3 _3 |: m- B3 r0 Z( W" w模拟退火过程：
; F3 t/ B( H6 R/ x% O2 H7 W设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
1 \! v6 F' C' H+ p根据适应值的好坏不断选择和繁殖
# K9 S5 V7 ~: _4 ?; ]- h4 }若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

; Z8 S" H2 [0 I# v四、算法步骤
0 k' }! R9 `$ A6 X( \  `初始种群
" b9 a; P/ {  l编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
8 y! s: A7 M. H  T遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
9 U* U& }( U6 n: Y! y4 T7 L停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
4 I0 |- F8 Z& t. `
四、神经网络算法
; D( O0 I2 Q& G9 x
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
# H# \) }* O& e8 m# q6 Q
! ~. [) F; O4 T9 ~4 }8 m$ q五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

& Q. M" L7 X& o2 }' P又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
/ Q) h6 f: y# ?3 h# q优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
8 D! I; b" U) b! w+ Q2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

" p: e* |6 ]0 K将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
3 \2 g, _1 G) w. E' V3 u: l1 Z  N0 l(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
* {, G8 T# B- W. I! [移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
9 I5 Z1 \- t" r# n. v! }! p5 M从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
$ d% k+ P& e1 K8 K$ g/ V" k) V
' c+ \5 D! j$ K  g2 `* W% P六、蚁群算法（AS）
$ N3 h$ r  r9 H( }5 }

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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作者：_朝闻道_
来源：CSDN

9 f/ ]2 j  j0 V


2 {* P% M+ I3 I( a