数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
- m/ J8 @0 m! h数学建模问题总共分为四类：
3 t/ k) {; q) }( ^: V( L1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
) `) f4 o( V* g; A, u
/ d+ Y; o! b4 y2 j- U3 K# D% ?一、粒子群算法（PSO）
+ j; F7 u2 }" }, ~
算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
$ K9 C# |* z8 ^) F1 S4 |
基本PSO算法
2 l2 r- N/ v1 r" s! i
D维空间中，有m个粒子；
6 _8 k$ \& g7 U) k( @/ F粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

5 O* u, Y' s6 N3 K, j. X  M2 g
) F, H* c$ w/ d) L: c' o二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
) H# \7 A' U6 x! i. ]4 V6 `热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
. t9 A/ b0 C' L. `8 p1 q2 Z
三、遗传算法
4 R9 L2 |9 l6 Y8 }8 G2 s) e
产生一个初始种群
. m: H/ ^/ g/ q. i根据问题的目标函数构造适值函数
' j1 }( ^0 l& {8 ^. }0 ~  ?+ G根据适应值的好坏不断选择和繁殖
+ q3 Y5 H0 I, Z% S% W若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

5 b$ y8 E9 w- \, ?+ m四、算法步骤
+ V; J1 q2 F5 ]6 f初始种群
7 n( `1 V6 w3 A8 @5 U编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
; w2 x- W/ e) |适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
, Z0 s  G8 d$ t6 m( C0 V6 K# V遗传运算，交叉和变异
3 U1 I3 ~% ?. M1 m/ a* C4 a( s! d选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
- P, h- W3 c* k  o/ _* |停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
$ e/ W- N0 {7 I: r( H: ?
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
  T! O" g6 O& _* k! d1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
, ^, H/ _" X' F7 p$ r( F% |2、局部开发能力强，收敛速度很快。
/ t9 ^$ |: B. u2 H缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
/ ?( T0 U$ Y! |a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
0 u; q: |4 \! V" ]b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
/ N- S9 Y! x/ ]' D5 ?. Q8 E7 J(2)初始解的获取
2 k  Z9 i6 v( ^- u6 d8 L可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
% p7 y5 O  K6 ^从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

. }( B& ]' K8 u3 n) }# R
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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) ?( y2 e! W  N作者：_朝闻道_
$ W6 G. q7 v/ ?$ F# z' C来源：CSDN
3 a2 v0 D! K  C& _% N# u" N
7 z9 d9 s+ u8 f  w- R5 V' g
: H9 r# z7 b+ u8 F

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