数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
3 c0 e% B' c( p# g; d& X+ \1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

% @- l, H0 d3 |& L2 p0 M5 [算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
& r! e. q4 v7 U% l1 a; W) \! ~' }
) e3 d) z' B. J7 O; p基本PSO算法

4 y9 y. v' U1 _. x5 OD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
6 T& R3 \, Y' I+ J' K4 b* @粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
5 F! v) z; j! L8 x, T
0 j- W7 F! T0 l: f
; x; Q, k$ u9 H1 N, G0 @; u二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
( A3 i- |  ~5 ]' y' V+ q设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

' g* R6 B9 N: ?三、遗传算法
4 }$ x% v) N  y
9 k$ ^1 z9 R" l! `! r产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
& a* k1 f# c# z  A- g" U  u根据适应值的好坏不断选择和繁殖
6 P+ X: f, j% P6 g7 L若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
8 ^" s- n2 I0 g+ s$ z, F7 D
四、算法步骤
初始种群
9 @9 {* Z7 G, O* O编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
) b, `( ?  R9 @( N* e7 K3 l1 y适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
  b: x" Y. L) j2 ^8 m6 g) {1 ?遗传运算，交叉和变异
3 t. v, b& N3 |$ V4 I选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
/ D5 x- i1 ?# u3 o停止准则
9 v# @4 L% a5 r" K+ ?
- C) Q8 L  E1 o/ H# e参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

* N- J4 R  `: G; ^5 |! k四、神经网络算法
# ~' r  b" s1 D$ V$ N0 c4 H
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

' W# x/ d7 c5 w0 c五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
9 R( e% K, O+ [) u3 e1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
# _1 H% a7 I# u" I* M* }7 S缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
$ J3 N, s$ F: r4 r  ?
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
+ B3 s8 F3 p4 n) Q: R0 W2 Ia、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
0 G1 a3 _  R! x/ c4 }b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
3 {8 M/ R2 k4 B" S8 T( x4 C  v(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
1 z' Z3 w7 R/ U/ z/ w3 w3 [禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
) L: R, Y8 t2 U) S3 _A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）

; S8 ~; d& b' P, }
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
6 N- A2 V, }/ f1 D! [' i---------------------



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4 d  U" s+ h4 D  z# g7 l0 K