数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

) V, _9 p% c! `' |一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
, ]' x  x) j. f. ]PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
) X$ i* Q$ ?+ J
' w6 @- S' }9 }, b: \基本PSO算法

& p' z9 O5 f7 t' \2 l; f3 sD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
2 q! ]. q- M, b4 o  V9 ~' e粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
& w) w$ H" o$ [1 e2 i* Z9 v群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

! e& t" N  H" u! i* z! t
二、模拟退火算法（SA）

$ d3 _3 c# d4 Y" Y% \0 Q模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
# k- o5 j/ B2 l热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

) X. ~/ }3 C  |三、遗传算法
! c4 K4 C$ w3 _( f
产生一个初始种群
) O$ v6 H+ D" f) h根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
9 r2 w; N* i& o5 `1 R$ U4 F& {9 [
/ I+ O3 R5 q+ X- \% X) |四、算法步骤
初始种群
+ x! E* h5 [4 J8 ^; W4 _8 X% a编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
: G: W* o; f% y6 S; W5 C
" T4 b, Q% e% r# l  Q7 O参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

. N6 r* b  r; K' Q9 q( n6 J四、神经网络算法
, X4 ]) Z  G, w- ?- e% D4 w5 S( u3 O
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
' W4 Y- z  V; W9 ~! l4 I6 h+ o( A
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
9 A1 Y2 X$ F) T$ p3 E, m, Y1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
, s: P3 u9 S% \1 U7 W2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
4 M4 a; P3 Q$ ^5 K; S1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
$ J. x1 x4 c# [2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
- B- H2 ^7 {3 y/ t# pa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
; U8 N# ?% y1 b1 Eb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
$ C' u5 b' n5 L' O: v(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
  q+ E$ W# r3 H, v  T(3)移动邻域
: `, X9 H8 ?3 @; U移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
& g* [$ O/ T5 x' H3 q" [(4)禁忌表
6 W/ w4 F  i7 `8 N  ]禁忌表的作用：防止搜索出现循环
0 X$ U' D/ j% h2 n! x, z(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
# m5 z$ M. }% r+ T; L
六、蚁群算法（AS）
0 U& s' V7 z/ y" p2 c# v' r
3 x% h2 |+ U4 c5 [* L3 N
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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. O( z# a7 k& |8 d4 Y. y


! b+ j+ _8 N( [( S/ S