数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

! [% Q6 \5 t4 L- R算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法
$ O" d- t( R! ?# S) y# I" d( \
# y$ E- l' W. |& }' @* vD维空间中，有m个粒子；
5 j* P7 z3 ]7 v5 t: k0 M" h粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
  ?1 j- d, _' C; j9 u" ~% V# P粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
3 m: C2 n( Z. F) |/ i群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
' j" n, x& {+ d* S
0 R* r9 L# V1 C2 H
7 g, n( t! F% e5 r6 y7 {二、模拟退火算法（SA）

模拟退火过程：
: S% R% G) ^' |: w0 t/ I设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
  t) c5 R, `' t3 J4 _
三、遗传算法
1 b$ E8 Z" ~/ F; g
, w) q, Y$ H2 g* C( D/ A0 p产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
% @. }" B' [7 r根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
! \8 {9 |7 b$ K1 E# t$ r! O. S1 Y
$ H) V4 a! y6 E* B: K9 L) D3 Y四、算法步骤
! K$ x2 B' H1 c初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
0 X$ z7 Y! ?- d选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

. A4 K5 c- `& M6 e+ T参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
& x1 z/ H9 i5 Z% j& L+ S2 V
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

1 m$ I' h. {, r" m+ e$ g- n五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
/ Y# \) ^2 ?- _# i. ~7 E% g3 C5 Q6 _. F优点：
' `/ B/ C9 f! A. X* e1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
( t7 t' x+ q5 k3 p1 o& n* L# s2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
4 Y- i+ C6 J# p2 _, A! u! J1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
' u8 V, ]% {- R: t5 z! o, F2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
$ ]  R$ g0 D3 d
% ?0 S5 m( ^9 z1 |! u将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
1 C! X/ f6 b+ T, W) nb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
4 J: a, n# u7 L( }! m8 r(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
4 _5 `7 O- M! a/ i$ T7 c' y/ c(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
; L; T1 g; d& ^# v! A5 B(4)禁忌表
; b) f3 t$ S' E& ^禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
$ V" N9 p* [3 f0 F; R% C. PA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）


' i& N$ L) K& u! S参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
, `" X2 G% J* d9 V! A---------------------

/ \9 [! y/ r6 ]4 p6 y
, r: A' E) F. F1 O  }
" l4 c8 R7 D& v5 {9 x; S