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[个人总经验] 椅子放置问题

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    发表于 2015-8-17 22:43 |只看该作者 |倒序浏览
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    椅子放置问题
    - @% M& [( @+ c: Z4 @8 D5 i9 s5 `' s- _
    把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.
    - ^. w. K  d8 v% p: |0 }+ i* h! T! U4 f) b/ r
    一、        模型假设
    ! e/ v0 [( b, b! ^! [对椅子和地面都要作一些必要的假设:
    . U0 ^. R$ ]# M' k+ L0 T0 A1.        椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.% z) u& _% o+ I( G- ~3 t/ X
    2.        地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面.) S# W/ e5 h. P' D- _+ ^
    3.        对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
    . k, D9 O, D- l3 }& |6 H5 u8 l6 p
    # x9 g* H. L) ]二、模型建立
    ' t% a  Y3 p. t中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.( g& ?. Y; i( s; o6 c
    首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
    5 B' x' T( H$ ~9 r+ k# H其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
    ) C5 x8 f7 j& o5 q" I) b* c由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为 ,B、D两脚与地面距离之和为 ,显然 、 ,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时,不妨设 ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:
    3 Y* ~5 F" W3 w% a( x: d/ W命题  已知 、 是 的连续函数,对任意 , * =0,且 ,则存在 ,使 .  
    0 n0 o* M$ r/ k, N# f9 h      
    ) P+ f; H9 n: t6 E" r/ r三、模型求解6 H2 I1 D4 a* T6 d4 N! u) q; B
    将椅子旋转 ,对角线AC和BD互换,由 可知 .令 ,则 ,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在 使 , ,由 ,所以 .4 w0 C3 \4 z$ Q) Z/ q2 f! s
    " s& ?( F" F0 W
    四、评   注; V% `) {( X5 @2 ^
        模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置,用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
    : O) e1 D. D& Q& B
    . |8 \$ d# y/ i* K0 ]2 t$ r9 X6 ^
    zan
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