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[个人总经验] 椅子放置问题

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longde        

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    发表于 2015-8-17 22:43 |只看该作者 |倒序浏览
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    椅子放置问题; i5 q) n5 Z8 B$ K1 P$ z
    8 T0 O; m# x( g
    把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.
    ; l4 E% f3 [. `  X3 D9 |" `$ u6 I% \5 s  c, Z; F% K$ g1 x
    一、        模型假设' W. Y! x6 G/ H
    对椅子和地面都要作一些必要的假设:
      u: I  u2 v; r/ \( L1.        椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.
    7 k, i1 g2 w" r3 `7 B2.        地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面.
    ) K5 j6 K' Z% O3.        对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
    ! u$ y+ M2 ~& V4 ^' K
    / S4 c& a4 ~( ?/ f. V2 y1 G二、模型建立9 X% A6 k: [9 D, ~* k, Q
    中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.! ^/ z+ g' ^. m, e& v) v; y: E. C
    首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.7 |+ L: F! A% V5 f+ y
    其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.9 v1 c& q: A" n7 B" K- b0 Z
    由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为 ,B、D两脚与地面距离之和为 ,显然 、 ,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时,不妨设 ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:
    % H5 z$ J! U. ?! d& F5 }" {* _/ g命题  已知 、 是 的连续函数,对任意 , * =0,且 ,则存在 ,使 .  
    ; x% O- b% U7 s; \5 t1 k  N8 V  z      
    ) R; s0 c8 e  ?) z+ T, G2 Q! n- ~三、模型求解1 g! T9 v1 d. d, o$ ?; k
    将椅子旋转 ,对角线AC和BD互换,由 可知 .令 ,则 ,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在 使 , ,由 ,所以 .
    7 Z; T  D2 j' }- |  H3 }* T& K. K9 j: q2 R4 e# w
    四、评   注
    / j" ^5 u- w" }! m1 B8 ~3 y    模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置,用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.
    0 T0 b) I. n, ?  F& C. M$ G) v# Z" }2 g9 b
    zan
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    木__易        

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