【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

# P  \. v" z& q
x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
7 N" k0 W1 G( {% g) \6 ]

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
1 W$ V( z$ s# e" ?9 |) P( |
- @# q" ~/ y/ x( a! [$ r. `( O1 d例如：
1 x2 N# i+ @1 V! u7 Bmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
, c1 D7 Q8 C- D% Z' `min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
0 m* R, h' O1 s* l$ Z3.线性规划中解的概念
; u2 d5 e8 [: ]9 f7 C" S5 j
9 d, M; c) U+ W/ A5 S8 ^可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
# |6 l/ {: J  l# z( F9 g可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题

& P1 f2 X2 w5 ?7 W; l在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
/ l8 C* ?& ]9 G' h' m
5.matlab中线性规划求解过程
5 H8 y# o& Q% P& q
① 利用linprog函数返回最小值解向量。
* w, Z5 S6 _5 }! a4 i5 Q② value = c’ * x求最小值。

基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
) s5 G% w4 i  G6 O! E  w* o) n[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
+ r8 j' d: E( u/ N( lx0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
7 \3 ?2 x& I0 y  a  {) v
1 G. P) G7 \& R4 B3 r6.常见技巧

* d  S! c, Z/ j  u0 F: V8 t* L0 @问题为：
. r4 {  x% t% J( d- A1 y
3 ?8 X$ y& j5 N+ u' fmin|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
/ b, _3 Y, m# _xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
4 G" m0 [. x/ q6 ^. T5 b令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。
1 w  B+ U( ?3 H5 V& p6 V
转换为：
* I/ d  T" n- U+ M8 u$ v7 @min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
( K: l2 r8 \# k& f% Ps.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）


; E( |; f2 c0 [

8.指派问题

1.数学模型

2.利用匈牙利算法
; H" P; a7 H* G3 h算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
, i9 Y  i+ G0 |$ B求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。


# F7 a1 d9 v+ o+ V) A. X