【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

9 v! b6 E5 N8 {: v: \
: k0 }  X) ]# d) ~0 x& E* ax1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
5 T; D3 Q6 y0 O, y

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

. v1 y& |, C, h5 K8 Z) k其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
% L' @1 ~' q4 Q# h
( O8 O4 F, D& ?. b: j2 L例如：
5 h/ W0 t$ q3 emax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
* @1 F4 Z: J3 W5 i6 v3.线性规划中解的概念
7 H9 c" n6 P+ I" P# K
, r% ^0 |3 e" v& K* z可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
( O: I& E+ T; j0 l可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
# v, V  X5 C+ w( m" t) t. E* Y
4.一般的线性规划问题

8 q/ j5 o  P& A' ~4 \在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。

: _, ^0 Z* M" U5.matlab中线性规划求解过程
6 t3 C4 a/ U( X* M% l3 T! l. ^( X
① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。

基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
0 [  c! s: v. l7 l) y8 v/ f! @( y[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
( ?; J- H4 |8 q) G" F
& F5 z6 H. ?4 F! x3 o$ ]6.常见技巧
: X0 H/ b' w  K- ], Q- w6 x
问题为：
+ n( [+ Z% [" E$ ]. W, v' f$ ~
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
$ b( ~1 s3 K7 D7 X' E. Z( zxi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

7 K: n% O2 g5 y* O, e转换为：
: ^7 Y% C: h- T1 wmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
0 {+ P9 u1 V# u0 x' ss.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）

8.指派问题

1.数学模型
3 E/ Z' V: e  v( T

8 z( Y& R! q; e- [4 f; C7 e; N% T8 v" w2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
6 E1 I: q0 M, k/ ~最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。