【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
3 Q2 I5 h  y- H- m  p# e- i' K# j5 v

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

- Y# q7 g- C2 g6 p! ~/ c! Y; n1 }其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

例如：
max  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念

可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

0 [. u( }1 l, s! H% r% b: l4.一般的线性规划问题

在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
$ ^. i  ]( a5 h% M
5.matlab中线性规划求解过程
  v0 Z0 G( E0 C$ i
) Q, G2 a1 E% @/ W① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。

& |" E% S0 ~/ @7 n7 Y) M5 b* |基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
6 l) N9 h' J: e5 W$ d) }x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6 P9 X' H1 g. e" X4 _- y$ p5 {6.常见技巧

* n6 ~/ N2 u! R- w! L问题为：
& `3 F- f, r7 ^* O0 B/ u
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
. B$ Z4 I) b9 }/ ?令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
( y* o) ]8 P$ }5 B* ms.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
/ Z" W% @5 I( u/ c. k- b7 g7.运输问题（产销平衡）

6 X6 x% }+ L4 r" [& h' @. h

8.指派问题

1.数学模型
) w; i3 S0 {) D3 l

2.利用匈牙利算法
. S+ m+ E( w2 r- O# i. H算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
$ ~1 a* M7 o* G* v& m' h8 S最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
! @. T. D+ E2 b' ~! C求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
  B3 M6 F6 R/ W$ [$ m) ?
/ w5 x5 R. @8 t4 \) F