【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

% Q/ ~3 g8 w/ `x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
8 W* F! x6 n; p8 L' n. j

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

$ r( E- j% t/ C- Z
其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

! R$ E  D) w  C( v3 x例如：
' D* k, X' ?) U. Cmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念

3 P3 T( c9 e. |5 e7 o2 L$ p& z可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
+ [$ B7 Q) W  K  N7 g. Q1 O
' H# b3 C% N. B+ ~. }2 t4.一般的线性规划问题

8 ]( H5 X# m/ o) e1 r在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
( `! K4 C" b# g7 U/ Z
6 A* V; l- I2 @7 Q  y, j6 F) t5.matlab中线性规划求解过程
$ ~  h& S4 F! }: |1 m: }3 W4 ~
① 利用linprog函数返回最小值解向量。
② value = c’ * x求最小值。

基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
1 F# P$ V: t- r( W1 J0 L其他的函数形式：
# L+ z" N' ?4 N8 ^& q[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
5 l' U1 e! p: D' `x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。

6.常见技巧
! }) V7 I+ A* T4 I
) _& Z4 S; B3 [: H, ]0 u; c) @问题为：
8 @0 D- C1 K; a3 X
/ X$ P, \9 w9 O! b/ Umin|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
4 R* e4 ]5 C2 c事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
5 j7 J& g$ ?2 Z9 a3 Hs.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
! Q: v  e( F- k" c& e( n$ ]$ Q7.运输问题（产销平衡）

$ Z, _% Z, Y; V% A) r3 m: O* T( z

8.指派问题

1.数学模型
# F6 v; ?9 u+ R$ D. |# U! b4 J

5 c2 M' c/ f- Y2 M" {2.利用匈牙利算法
5 G9 i8 _+ k6 v0 z算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
! x6 i/ y3 Y: V3 }9 Z+ ~最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
0 y! a" K: e; W7 V1 C' P求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
( c4 Z5 M0 }8 L# J* [$ m