数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

佛自业障

数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
) d6 Q$ X* q# {' R2 |& {
产生积分思想的源头问题：
7 K# \: I& p& k3 P6 ?" t! d' F
. W  G" J5 ^" m& g9 \    求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力

$ p6 R# q; o0 A/ t" m
, {! Z0 {4 e7 D3 m) D- E% d7 R    一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量
& r' P' U+ w4 x
& l5 S1 A9 m3 ]3 X5 L
* I7 K4 g6 @6 d                     把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
( B4 m8 r3 s5 @: Q* g2 `

. D. l; x4 R( M+ `% ]    二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量


    三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量

- m0 [6 S$ \7 i这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。
* ^* q# ^" F  w2 x, F/ ?
案例
+ x6 L! q9 r8 J  f* v: b8 ~
消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）

消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
8 ]9 b0 A& ?! X+ f- C' k
实际付出的金额为Ao=p*q*

8 V1 _4 L$ g" P! [消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额

# u9 y8 a+ C- [5 l即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*

& Q$ G4 d3 K9 A

6 P- _; |* W4 Q+ o) ?
+ A9 C6 A" f2 Y, e: b1 [6 I