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数学建模学习笔记(6)用积分思想建模

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    发表于 2018-10-31 08:46 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学建模学习笔记(6)用积分思想建模  R$ l; U4 S) _* u2 }3 E

    . y0 U6 \3 S: B3 f产生积分思想的源头问题:
    4 l! b' d3 E' l5 s8 j8 ^5 r& q  J' V  S5 U: j1 O7 \
        求曲线长;求曲线围成的面积;求曲线围成的体积;求物体的重心;两个物体间的引力
    8 ]5 F4 V5 d% z/ o& G2 s" D. U+ Y& M& t+ U/ M2 A, b1 _

    " X9 j: c3 L8 {( \    一维空间:求密度为ρ(x)占据(0,l)线段的直杆的质量+ n0 L4 H* J' R
    - m" ?& i1 j8 A) N
    9 x/ R  `( T: |2 x  {
                         把一根直杆分割成无数小区间,每个区间的密度看作常量,求积分
    ( L: f- Z/ P: K& w9 R6 ^1 D" f( x. g4 u3 ~1 W0 W+ L0 g
    & W3 R: ]" G# W3 ]( K9 @8 b
        二维空间:求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量0 g" A) Y+ H' d4 o) F
    ; q- {# s  P. b, t

    ( V" `/ A( T& m" [    三维空间:求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量
    1 W7 O% c$ w3 t& c" n% _6 a& ?) @9 ?6 L2 w" o
    这些方法不止适用于物理量,还可以推广到自然科学和社会科学,比如人口出生密度,交通车流密度等可以用于求总量。9 k; q1 c0 ^7 I' h% a! T% w- w

    $ H& _- Y9 |6 W6 j: X0 ]+ t案例
    % K1 W! z. E: o( V
    ! A6 N8 y# J0 ?消费者愿意付出的价格p=D(p),q为需求量,p是q的减函数(类似反比例函数)
    0 e# L, j% n3 m% P1 p; @
    2 |. o  X# O& s) ~; n) P消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
    ! H! t3 @7 v- ]! d( a% i% F& z" i# d' ^- e. u* D% p: A
    实际付出的金额为Ao=p*q*% }. q0 _5 J* D6 O# J: \

    & g" }' ?3 e( @# k5 E; [/ N消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额
    2 ~1 h: ?( ?4 n
    - s- C7 N& Y* i- y+ l0 N即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*. u# W8 h' f* _0 @: e/ {
    " q9 I, [, L) b/ s$ b) G7 g" p

    5 H& F( A; _# g; b
    % Z, X) w, t/ p" O8 V! q
    # k* w. p/ X+ L* s4 u6 X3 G* r
    zan
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