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数学家的故事之高斯

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发表于 2009-9-7 23:58 |只看该作者 |倒序浏览
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本帖最后由 丫丫爱数模 于 2009-9-8 00:01 编辑
( _  {+ X  M' P2 p2 F; O; l% z" v! c2 s3 v$ A% T) O& U7 H7 t
[quote]高斯-被譽為「數學王子」的德國大數學家,物理學家和天文# j* Y3 a$ h3 q- z7 G1 _
    學家。
3 D) C) ^9 V1 y2 f/ @. U: l. Y+ R1 u
  德國大數學家高斯 ( Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ) 是德國最偉
% P& H& U4 a" \7 B. d. {8 J大,最傑出的科學家,如果單純以他的數學成就來說,很少在一門5 b- o. A3 E& i. M+ l1 b
數學的分支裡沒有用到他的一些研究成果。% ^9 A  _( e2 O- t# _

( D8 L. p, t1 z4 b, z' h5 o3 Y) y      7 H; U" H2 Y5 k  P
0 n  i, D. Z1 U. j9 F
貧寒家庭出身
* n1 v! ^# p9 x0 N: `
' k, {; h. C" p: ~8 m  高斯的祖父是農民,父親除了從事園藝的工作外,也當過各色7 M5 ~  U7 d' Q9 E! Y
各樣的雜工,如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮,本身沒有受
7 S/ g# M+ H% S# c% b' `: W過什麼教育。
  o! t3 I  x3 `3 p
3 d& \, A1 x- Z" s  母親在三十四歲時才結婚,三十五歲生下了高斯。她是一名石
7 _) l# E: e7 U. z. A+ m) _匠的女兒,有一個很聰明的弟弟,他手巧心靈是當地出名的織綢能4 k) \3 |4 F9 h2 X
手,高斯的這位舅舅,對小高斯很照顧,有機會就教育他,把他所/ l2 Y- i( n5 k7 `/ m
知道的一些知識傳授給他。而父親可以說是一名”大老粗”,認為( n0 F- g* M% f
只有力氣能掙錢,學問對窮人是沒有用的。
' Q: T" B% H( Z# w& V
2 U( G" x8 g' d& o1 j  高斯在晚年喜歡對自己的小孫兒講述自己小時候的故事,他說
- d) @# B5 }! R2 z# U他在還不會講話的時候,就已經學會計算了。
3 v# c) k0 i; a0 {: ]
3 `# c  W  ?4 O; w3 P. W  他還不到三歲的時候,有一天他觀看父親在計算受他管轄的工
% g. }% S/ V# B! v人們的周薪。父親在喃喃的計數,最後長嘆的一聲表示總算把錢算
* d: c& d; z- I# l出來。- E) U& m/ x% p, y& n, v8 Z( \- H

& F/ n( R% V" k' i2 B3 d  父親唸出錢數,準備寫下時,身邊傳來微小的聲音:「爸爸!& A6 i+ X% N7 x- i2 ^: X% i: s9 {  d
算錯了,錢應該是這樣.....。」' M4 {9 ?5 m% ^7 ^; _! S

/ ?* o1 _6 W5 P5 p8 H4 {& W& V+ k  父親驚異地再算一次,果然小高斯講的數是正確的,奇特的地! ^) p3 E; a4 ?3 ~# {* M3 a
方是沒有人教過高斯怎麼樣計算,而小高斯平日靠觀察,在大人不
$ M* w& f# y" K9 b8 E. U$ F知不覺時,他自己學會了計算。
- ~. Z5 j( z+ X% e& o
# u; c9 m) ~- |& q( y) x* b5 X6 R6 M  另外一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能6 _0 l* G  [) O
力。當他還在小學讀書時,有一天,算術老師要求全班同學算出以
, d/ f- r1 M3 V9 f下的算式:% T  n( n8 l% f) q6 F
  1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?
- B+ ~0 G5 h. w; X在老師把問題講完不久,高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答
/ Z% C2 ^$ C  u3 g; d8 ?: v案5050,而其他孩子算到頭昏腦脹,還是算不出來。最後只有高斯7 G3 ^& L# Z, n5 q: v/ _
的答案是正確無誤。
4 E3 {! z, o1 \: K
7 t. x" H# O, P  P( k  原來  1 +100= 101; Z/ |! p; C) [' G" D) c  m
      2 + 99 = 101( q  v: O7 [$ x% c) ]& T" V$ Q- d
      3 + 98 = 1017 Y1 W# x: }( k# m3 n) M$ d6 N
       .* W) G* }: g# V1 y& h
       .
; A0 ]/ T8 E; c" e6 H       .7 g* r( m) c3 A# q  |0 r, O6 o
      50 + 51 = 101
2 G5 x# o! f+ S6 R$ N0 r+ T* `$ o& X' G
  前後兩項兩兩相加,就成了50對和都是 101的配對了4 c: {1 w  o2 _9 d
即 101 × 50 = 5050。
- L/ B' w( t, m. z$ b. Q8 T$ W+ @9 f6 V
  按:今用公式
1 X/ P$ A8 H' s% t% o  v4 L! V         " x* }. c9 \, @; a( T! `$ H
    表示 1 + 2 + ... + n9 g% E% H" F" T/ b
- N0 }1 B9 K; e: d& ~
  高斯的家裡很窮,在冬天晚上吃完飯後,父親就要高斯上5 f, _2 w) ^: t& O* r
床睡覺,這樣可以節省燃料和燈油。高斯很喜歡讀書,他往往
$ W9 \$ W9 U. h3 ^9 x! j帶了一梱蕪菁上他的頂樓去,他把蕪菁當中挖空,塞進用粗棉) l+ q  i$ O6 H' Q6 T
捲成的燈芯,用一些油脂當燭油,於是就在這發出微弱光亮的
' v- ^# u, n; [$ L燈下,專心地看書。等到疲勞和寒冷壓倒他時,他才鑽進被窩3 a2 k# S1 N+ R: f6 y9 ^
睡覺。
* S. `. o" w5 t$ }; O" D  [$ k3 n0 p2 s, ^4 K
  高斯的算術老師本來是對學生態度不好,他常認為自己在
% q0 y4 X& b# ?8 ]1 {窮鄉僻壤教書是懷才不遇,現在發現了「神童」,他是很高興
# @- m! B( ^" d, T: M。但是很快他就感到慚愧,覺得自己懂的數學不多,不能對高9 h4 ~- N/ K/ s" L
斯有什麼幫助。4 {2 \4 f9 Y  x* Z+ b7 ^
; T5 y0 i) Y/ C- r9 G  z
  他去城裡自掏腰包買了一本數學書送給高斯,高斯很高興% j4 ^  n2 V, U3 J0 J
和比他大差不多十歲的老師的助手一起學習這本書。這個小孩2 |  A  x! o" y! {/ c& |  F
和那個少年建立起深厚的感情,他們花許多時間討論這裡面的
8 u0 U" N7 F: Z4 H9 o東西。
5 ~7 q, n6 o! j) p5 K- k8 Q6 o& t1 ^  g/ _7 s2 L
  高斯在十一歲的時候就發現了二項式定理 ( x + y )n的一般( l9 x6 I( Z- s5 q4 H* r/ w; u
情形,這裡 n可以是正負整數或正負分數。當他還是一個小學生3 n5 V6 i+ h' t
時就對無窮的問題注意了。( p9 f/ k% q/ |% R$ {" L1 N1 d

8 O/ T0 e7 L) ~  有一天高斯在走回家時,一面走一面全神貫注地看書,不
% l" h$ G5 C: }知不覺走進了布倫斯維克 ( Braunschweig ) 宮的庭園,這時布倫
: K) m' p) h5 t2 p; w斯維克公爵夫人看到這個小孩那麼喜歡讀書,於是就和他交談
* o$ I+ @! k3 E$ C,她發現他完全明白所讀的書的深奧內容。  d; e8 f+ l. {8 X

# I2 g5 K. P. X8 `" X2 g+ U  公爵夫人回去報告給公爵知道,公爵也聽說過在他所管轄
0 X% K  R. u2 x" t的領地有一個聰明小孩的故事,於是就派人把高斯叫去宮殿。; x" w1 ~. |8 c! f7 o

# O4 _2 {# P# l$ T4 d: L  費迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜歡這個害羞的孩子,也
4 J& L9 G& y! c3 l' Y* `" {2 Z. A賞識他的才能,於是決定給他經濟援助,讓他有機會受高深教: N% l2 D4 Y" R8 w! N" n2 [) Z/ c
育,費迪南公爵對高斯的照顧是有利的,不然高斯的父親是反
/ u* v: b+ j+ O8 i) H對孩子讀太多書,他總認為工作賺錢比去做什麼數學研究是更- [5 ^  Y1 q( A' T% W  R5 m
有用些,那高斯又怎麼會成材呢?$ L/ v0 V7 `9 p7 k  q

; l, z+ r' V6 u. W# C, o( ^高斯的學校生涯& V7 d4 j: i3 L8 X& x- h" d5 h
( S/ A/ E8 Y' \5 F( l) w/ T6 C( Q
  在費迪南公爵的善意幫助下,十五歲的高斯進入一間著名
6 I1 Y( n3 K* q$ W的學院(程度相當於高中和大學之間)。在那裡他學習了古代
7 i4 s! F3 N$ s) O! N' }和現代語言,同時也開始對高等數學作研究。
( Z6 e6 W* G) \: i, j( `% T$ I% z  \4 y. D" O7 F0 B
  他專心閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日這些歐洲著名數學家的
( R/ \; s  K1 p1 U5 s作品。他對牛頓的工作特別欽佩,並很快地掌握了牛頓的微積" {$ R" l! k7 r. `  j8 B: ~7 D  d  }5 v
分理論。$ N# d- a/ N9 y( b# u- W# {' Q
5 Y3 k4 e- @! i. @2 N
  1795年10月他離開家鄉的學院到哥庭根 ( Gottingen )去念大
0 ?, F# T2 i' J- s( p5 |$ Y學。哥庭根大學在德國很有名,它的豐富數學藏書吸引了高斯2 F, t9 Q- _# U! Y9 b, Q" `
。許多外國學生也到那裡學習語言、神學、法律或醫學。這是
/ z* r5 X3 X! G# l) _$ L一個學術風氣很濃厚的城市。
6 x1 b- d8 q: i. ]1 |/ ~4 N
; S% o. [) Q4 r$ V: e" A  高斯這時候不知道要讀什麼系,語言系呢還是數學系?如- p/ v* j( |$ v
果以實用觀點來看,學數學以後找生活是不大容易的。
% z4 v, C& f# f% K3 n" L" e- B4 P% F( h5 A+ W5 N
  可是在他十八歲的前夕,現在數學上的一個新發現使他決
, ?* S& C( [1 m7 R. C' I定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的。
( e7 Y$ L) `; O. K6 h3 E
7 G& H8 E6 p% v# ?  我們知道當 n ≧ 3 時,正 n 邊形是指那些每一邊都相等,
, x7 \7 z. K; A5 S$ V- Y內角也一樣的 n 邊多邊形。! `+ ?  ]' |# k+ B9 H' ]7 j3 u

2 b$ ?( c5 y: w  j/ {1 l6 U  希臘的數學家早知道用圓規和沒有刻度的直尺畫出正三、
  v: Y( v% W4 o/ f  I4 f, h- j0 Y四、五、十五邊形。但是在這之後的二千多年以來沒有人知道# g  k# G9 v& J  B* U& R! R
怎麼用直尺和圓規構造正十一邊、十三邊、十四邊、十七邊多, z8 `. U- J1 ?6 c* w7 q
邊形。
5 _2 u, T2 N  s3 y
, c% L! a6 P) x0 s* s; V  還不到十八歲的高斯發現了:一個正 n 邊形可以用直尺和
6 x% ?2 A: @" Z: \0 F3 s2 p9 R圓規畫出當且僅當 n 是底下兩種形式之一:$ z6 h! G: c1 D" p6 i
  / D% \- J1 l4 C
     k= 0,1,2, ...  N% x' L3 o# Y

8 r( v) E. S' w7 F# d  十七世紀時法國數學家費馬 ( Fermat ) 以為公式
8 m9 j- L' Z3 }/ ^2 A6 Z- I, B在 k = 0, 1, 2, 3, ....給出素數。(事實上,目前只確定 F0,F1,F2,F4
9 `. s( e6 J6 b. J/ M0 p是質數,F5不是)。; b9 M. c0 c: b  p5 Z3 ^
5 @4 i) d# e; Z% J2 X3 l( L
  高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題,而且找到
/ _5 a7 |/ x9 c" q: a- f; c( K; y正十七邊形的直尺與圓規的作法。他是那麼的興奮,因此決定
/ w8 O( c  ?4 p6 o7 B) w, A  v7 ?一生研究數學。據說,他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上
% D9 i- \/ n1 r* |一個正十七邊形,以紀念他少年時最重要的數學發現。+ z! z; k0 L: l- W- ^( n6 Y
$ M9 s$ j" @! p; g9 Q# \
  1799年高斯呈上他的博士論文,這論文證明了代數一個重
8 f/ |% b, N; W1 J要的定理:任何一元代數方程都有根。這結果數學上稱為”代. P; p1 \1 L$ w; U8 u* q
數基本定理”。. I& S( h$ v2 G. E6 V
3 y2 u! q7 x! Y7 u" c
  事實上在高斯之間有許多數學家認為已給出了這個結果的% N  U% y3 a0 s- c
證明,可是沒有一個證是嚴密的,高斯是第一個數學家給出嚴% o7 k; }, F' B
密無誤的證明,高斯認為這個定理是很重要的,在他一生中給
* N2 ^$ K! a$ T6 i; V% q  g了一共四個不同的證明。高斯沒有錢印刷他的學位論文,還好" q5 f" A5 j6 j' A2 J
費迪南公爵給他錢印刷。4 J) g3 A6 N. X# z; g

0 G2 r' }0 a: {% f7 S, m  二十歲時高斯在他的日記上寫,他有許多數學想法出現在
; f' c6 f3 r2 Q6 P0 i  s- e1 g腦海中,由於時間不定,因此只能記錄一小部份。幸虧他把研
+ b% y) G# S8 a1 h0 ?& i0 Z& ?究的成果寫成一本叫<算學研究>,並且在二十四歲時出版,3 q& ^. L2 s( Q6 b
這書是用拉丁文寫,原來有八章,由於錢不夠,只好印七章,
7 l9 j/ S0 N$ J7 L4 ^/ R& @這書可以說是數論第一本有系統的著作,高斯第一次介紹”同
  n: m# a) F. w  c& z餘”這個概念。+ Q$ O( Q7 V  M5 I* U2 ]

" g6 b2 J: x2 \  h这是  高斯
zan
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