数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
* d; J7 q$ x( M" N9 h

1 |/ b7 ]5 c5 m
作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
) @$ C+ k2 P( M' n; p% L! xII、 本BLOG内 经典算法研究系列
: J! ]# ]+ A' NIII、维基百科

------------------------------------------
$ Y% _2 e6 m0 B  e
博主说明:
) s  [$ _. o. L# M1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
3 \# X! [9 q2 N4 V( D1 s' K同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
2 k& a- ?' V0 z& M6 @且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
- K% w! E/ q% e; |3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
2 V6 c. a4 G( u# d谢谢。
0 p( f) W: z7 t1 L6 |) ]
1 R6 h' j" Z+ }4 Z2 P


3 W/ p1 f' G- l3 ~$ Y) H6 J7 J
一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
+ c, m/ z. j& X) G  t

此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
6 W' t6 g5 a( S3 ^2 c# C6 g7 Yhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

+ z$ D3 v: y$ x1 q8 f) e

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

  f2 ]! C2 u  |/ K8 @* a的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
+ n# ]. `5 N7 d" G" T% b
法。



4 `) B/ L5 l* b% i1 K$ L由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

& q" ~: c5 {5 t+ ]. r+ U8 X实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
' t* N* V" q  X* D7 p" i0 w0 @
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
! I( B! }2 b# _" X" c  y" l2 d$ Y当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
! c: s: q* p5 D) q
+ N. J6 z  d% W! ~7 H, L8 b5 j，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

* z# T) u$ @) l, ^为问题的解。
* e7 W( G8 F0 c$ Y
& `. n- ^$ T% P) B% s

$ o2 A  |# C! j  e# ~% S6 n有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
/ ^/ g6 d% \& ]# l& F! k
) s. N; P; ^) @- C4 o0 N后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
, g) [0 b, O/ i' O
，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。


蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
3 b% i" w2 g, h  z3 z
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

  @9 o% V$ O' G! f# G4 R2 \近似解。
" J8 ^  V5 _  s7 t2 I8 I  D; U% w
6 W9 h6 U3 |- l2 F

蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
/ V: ?! y1 F+ C, y% g, g1 w
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
  E* @3 ^+ F: ?# U% [9 S, v' |  ]I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
5 s1 d+ E4 {! E( eII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。


0 v( ?2 i% d3 [- R; U9 K

7 e' J  N2 i# L7 \  G( L% z" e二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
5 V" f' U+ D' T: D
  _9 ]/ p! p" M% ^+ g4 S数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
& L& `: E3 w$ ^' J8 C" Q
- U( U- r! F' S0 J: N% R$ T& }学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

: k9 H9 w) A) S2 w$ Z9 D
0 c- q$ W4 S+ |  L& M6 K
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。



& {9 s" r: P( k0 F6 u
, k$ M) `- i& v# Q三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

; f* \& A1 R" I6 ~6 k3 Q完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。


9 a+ f  g& m' Z/ G# K
$ {. ^, k7 `4 c- }
四、图论算法
" a) Z! ~3 I. g1 q4 B; c+ p' \; e这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

* A3 a" [: s; Z6 a  q9 m& n4 S
/ s2 m1 c7 }6 f
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
  L% L3 h; `4 x5 {6 \3 _
7 ^. k6 Q. {3 |: ]更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
1 ]. ]7 v8 |2 x4 D* X. R



五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
3 }5 s  {, l! C/ e: _  n此外 98 年 B 题体现了分治算法。
9 H1 L% b- O" o6 ~, @) d1 W  a
/ \5 r) y. ~3 X( S8 Q9 [6 N
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
4 I5 I7 x9 S9 |( \/ `推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。



# [  r1 S# `5 r+ ~5 \6 [$ X
六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
. b4 n. k4 a7 `+ V这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

# X3 o5 V+ G- |) y. R& ~在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
' f, f5 @0 K4 T( l3 D; p
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

8 \# E4 k: w# o! N9 i* W说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
9 @% y$ X. y7 M% K6 |03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。



$ j4 w& |, `- S1 {另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
----------
0 ?$ e/ J' K7 L5 k; |( T经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
# f% u4 |1 W% L* zhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

4 {$ `1 K8 M) n5 a) H8 t& i/ E' D

其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

3 ^" S5 b: }0 Y! m* R: w


七、网格算法和穷举法
9 N& I( @  |/ [: N. [- r; h0 M' {网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
& i2 f9 f; X& P6 T$ }; P7 a
6 u6 ~8 r! E, h8 ^那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


( |0 O9 G& q- I" m+ c! Y( B/ o5 j% ~在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
5 N9 a4 S- r$ J, Y0 J6 y' U
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  




八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
0 q: V* B, u/ U: g, L
3 \/ n7 i4 A( O4 J中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
. L* S  U- ?" U- F% a$ k2 ^5 Y" I, m1 H

这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
9 D. U5 d. `+ B3 E事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
# K- k) X4 Y. N



九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

' H: }" _2 E9 m& [7 |7 i1 o6 p算法。
2 Y7 {1 ^* W; L5 Y1 D
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
6 X/ Z6 E$ h+ i8 }' X3 f
' ?; `% ~1 `; \* }$ n3 \$ O函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
6 s$ [& u5 t6 D4 D7 A+ V, X# O1 k因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


% |5 ^, [( G# J5 s8 M" t6 ?! ]
' |3 A$ i+ w6 j# k* V
# o8 C& ]: u; {6 {2 z/ e& N0 }十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
: h* Z- Q. \; ~' F' j  x8 ?  w
计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
7 O, b9 U# k8 G: \) H
. T" V* I% g# }* b3 M$ w因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
---------------------
作者：画面太乱了
来源：CSDN