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数学建模十大经典算法漫谈

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

    网络挑战赛参赛者

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    自我介绍
    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

    群组2018美赛大象算法课程

    群组2018美赛护航培训课程

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    1#
    发表于 2019-7-8 10:46 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta

    - k, K1 p3 n% }2 j, z' Y数学建模十大经典算法漫谈
    , Y" a0 [* I1 P9 T. S数学建模十大算法漫谈
    1 j( G/ t2 y# ?- v/ r8 `% F7 X
    / c2 I9 [7 A0 W. m5 G# m$ I8 D; o6 }# h$ O& Q' \9 W

    ! v0 Y/ D0 V# m作者:July  二零一一年一月二十九日
    8 W5 {- [  u: d" e* u& \* [  M. n. z" n: u
    本文参考:
    2 F0 g. V6 f6 U1 BI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者:本人July]
    2 {1 g% A% _+ \3 _' g& }II、 本BLOG内 经典算法研究系列( ?- k& m* x( r9 X
    III、维基百科
    " D# _" v/ r9 Y8 ^# B: y& T- q2 q) I, `3 g- ?" M0 P
    ------------------------------------------
    2 W: \- d. U8 q" g4 ~+ [$ [4 j# P' a/ O4 ^$ Q
    博主说明:
    - L; l  g% `$ N6 |1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写,本文对此十大算法作一一简单介绍。
    4 E1 x7 m! b* f' u( s这只是一份榜单而已,数学建模中还有很多的算法,未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
    ( i2 {4 ?6 s+ U# G$ b2、在具体阐述每一算法的应用时,除了列出常见的应用之外,& T" \) _4 i9 v# A& I2 H: h
    同时,还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
    3 U! _( f5 E& Q# a* k/ V# M) U0 g5 y毕竟,此十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
    ! H: k6 a  [2 _- X# J# A; _且,凡是标着“某某年某国某题”,即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。( K& q) J; P& e+ |
    3、此十大算法,在一些经典的算法设计书籍上,无过多阐述。
    4 ]# Z9 ]* B9 A. H8 {. q若要具体细致的深入研究,还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。. G. |7 [' w0 O: P" Q/ Q9 o4 L# ?
    谢谢。* ~) x) ^/ Z. n& n8 h6 M/ d9 |
    4 g# [: n  x5 n) |. ]
    . Z: b5 a% @' p3 m

    9 s! T% c( C4 [- I5 Y+ G6 F6 M
    # f0 Z# x& u9 ^" [5 q! N+ g$ T" J4 Y/ Z' x" q
    一、蒙特卡罗算法
    - O) S0 j6 R( B( S6 C2 _8 ?6 [! j1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis, v7 J8 I4 I; d2 v% x
    共同发明了,蒙特卡罗方法。
    5 b5 v3 e! ?- K4 q* |# A+ o( ?% i9 y( {( L

    / O/ y3 I& a' T: F+ B  \1 d此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一,详情,请参见我的博文:
    : ]( X; J+ O  F+ j1 q3 ^http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
    7 B* b+ h3 d8 ]' q  A) [8 \4 S4 ?( c+ X/ j8 J
    # [7 ^+ g1 Y7 G/ J6 @; r5 g2 Q) ]
    # j" g$ U5 A6 H7 X! z3 D
    蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导1 E; z, h2 W$ W4 U* Y9 V
    , S% |1 S4 W. @3 R
    的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方; B& O! ]) e% B

    $ \; O  B& N& l* ~& s法。
    7 e& F% b1 {" `6 P$ n2 R7 D: Z1 A; B
    1 d6 Q4 }" V* g3 T1 c

    - I3 \( ^: p( Z& {由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真1 v+ R6 H5 c( C6 E# @5 H" s
    8 i% V$ b$ _: z# J+ x5 T9 c
    实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。+ v' G/ C+ O5 s' {5 V
    / {) g6 e/ C. g3 Z: W) }
    蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:
    $ K7 H( M" t: J( {$ J& X& ~当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法1 |. y! W; }5 p8 D, M; ]; j

    / O" E6 x/ p6 L2 t, g,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作+ k& M3 L! Z4 _, D, ]
    ) N2 M" F" k* N5 }0 C6 Q
    为问题的解。
    $ n8 V. d. [2 R
    7 B. H0 h- b7 U. Y& v5 ~
    / M3 i% R0 `5 L9 E9 G% j* H: f
    ' x! [$ p: p0 X有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法:
    ; d  B% D  U( y& u/ j5 G) j假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如,积分)的复杂程
    ! Q* U7 O  z% f( [) L4 h3 X
    ) e2 e% E0 D* y$ d& }, x/ p度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然
    / [9 k  X; \9 l4 K6 D1 Y- P7 O% c, K) M
    后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候# H+ K: ]( E1 f' d

    ( j, t; d/ Y% J9 u,结果就越精确。0 j, r* ^% |- M3 P
    在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。
    ' q: s5 v! {% Y  D
    . @& v$ m3 ?3 y+ f. |! h2 a, ?8 x
    " j% w, O6 O! J4 P# F蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模
    0 l, ^( v5 @: E2 ?% E5 B+ g& l/ S5 z1 ^; _7 S
    拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的
    6 m6 j% C4 w. O3 V$ ?; _( e0 f7 d6 s1 X. P" [! a
    近似解。  o% f  T8 d0 ?% }7 g

    0 i7 q& \8 O5 R8 U4 {5 [; y6 B  Y2 R# c9 U. f( E6 n! c3 u" Q) ~
    ; U8 _! \# U% \% Z3 G- u% w( G
    蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而
    . u& I( M5 I7 R  e+ O, N" X3 ?+ G7 k) y
    蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
    8 B3 X, s7 r% o; Y3 [( kI、  直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。 5 d9 E( u  x  b7 a
    II、 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。: B" }# Z% ^5 n6 o
    III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。, g3 ~/ x  j1 _+ b2 d2 {8 S( G9 F
    等等。
    2 O- ]! a2 H2 z( l# ]. l# @1 n+ h) U  b" R
    此算法,日后还会在本BLOG 内详细阐述。7 Z3 A0 @( h; }3 L! `, T
    0 k' @& W1 b9 X0 c3 _  r

    ( V8 y, u/ }9 G3 f, R; l, w8 T4 Z( ~  k2 e  W

    3 `1 ?& P, ]# t  B, T5 a: E二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法, T/ Z7 h2 Y9 P, S' O6 P9 m& x
    我们通常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。4 H2 i6 ?& i6 `6 |

    - E5 G. r# y  T; V8 T8 i数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年数
    0 s5 o9 ?- q3 g
    & E/ q9 v( F1 h9 `6 B1 N; g7 o学建模美国赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有7 N1 b, y4 q$ Q" y3 }7 k! `

    & F7 `3 f7 g1 A" @吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。
    ' z: x5 ?5 s( a, f4 L
    , f; e7 n/ j; W4 d4 |% L2 S/ r) ?$ S/ a9 F+ z: T1 \
    6 P0 R: a4 d% |4 l
    此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。5 \) E/ G& \) L! X

    , ]" E& n" w# B! }1 J7 O# K5 A2 }1 }1 ?! N; o' j7 Y# ]* j' `: h1 V

    ; s6 M- u2 w. w- ~: k6 N! o7 ?: C5 F# D+ \
    三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题3 D+ D! a* {4 h! B
    数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
    & v/ f) q: c9 S, W; Z' C
    3 r% j4 m/ G" D、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如98年B题,用很多不等式
    # k* P5 H$ z0 t* u
    7 u6 }5 ]: C, R* E9 J* z完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还. B( E& x; P6 }* x9 Y' V0 o
    5 g! X% H: ~) U; A6 \
    需要熟悉这两个软件。, }- j; R" ?- v+ _; G, K* ^
    1 `) h- L6 A: h! s& b% X' \
    6 a1 a. H9 c) Z. [4 e
    & s4 ^0 t/ T$ y2 U: W( r
    ) H" \8 T. e4 \, Z& g: R9 a
    四、图论算法5 Y. ~0 m% @5 i
    这类问题算法有很多,$ o- J+ |6 z4 X, k2 `" S( y
    包括: Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ,最大流,二分匹配等问题。
    # K3 O- Z# C/ K, @# _
    7 G- j: t0 I; O* A) ~; @( m0 k( l+ M- G/ Z: J9 i$ W/ P
    6 a0 h3 m8 ]7 M9 h
    关于此类图论算法,可参考Introduction to Algorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。) m" D: z( U: V% ~! }  d
    同时,本BLOG内经典算法研究系列,对Dijkstra算法有所简单描述,, D- V! v8 E4 z$ W0 l5 Q9 w: o
    -----------
    & n; e/ u( f8 z; s8 c0 A经典算法研究系列:二、Dijkstra 算法初探
    ' u  z$ A. j! |9 d- W" H+ |http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx* ~. M+ T% S0 D2 ]+ _

    9 |3 L; t1 L+ H. B, ^1 V更多,请关注本BLOG 日后更新的博文。
    & G) F; B& |% C7 o/ O" z0 O5 ~1 V) T' Y" r" X

    6 l5 L7 {  {6 I+ e
    + }+ F! f( v" \8 l$ @1 z' B/ q% t; O+ O+ b- z* f- L
    五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法) T, a  a7 h# I: P6 L, H7 o! s/ ~
    在数学建模竞赛中,如:92 年B题用分枝定界法, 97年B题是典型的动态规划问题,
    % v2 ?8 s2 V1 a, d( o& I* q" |此外 98 年 B 题体现了分治算法。, P+ b6 R, }! T7 C

    $ W8 r! G: N; u6 h+ i7 B( o' V# S2 x( \" h; s& L: f' m4 h
    这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,
    & ^8 L6 {0 C9 R( T+ R# U推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。
    ) C, r8 R7 h/ {3 c! q
    6 l$ o% Z! o. s" u/ c+ W; ~. M9 o  ?( R

    3 d+ i# ?/ E  C. n! v# K7 i6 R' }* I: @# w+ x" ]- R, ]. }
    六、最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
    ) D- [7 k9 l, @8 a7 Y8 G这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
    * j% F5 R" _: j: Y# h. d0 O1 F3 n5 [8 I
    在数学建模竞赛中:比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法,01年B题这种难题也可+ p3 G: M7 {3 ]& W% l) R
    , L5 j0 _" b8 W! p+ b
    以使用神经网络,还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系,当时是86年刚提出BP算法,89年就考了,5 u: r) W8 N3 z6 c- o' z" ~! l

    1 P7 v( X, S2 r, P说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 : P* H  p/ A$ h3 w% \/ _
    03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。
    ; @' S* I% l4 x$ ~4 i
    ; R3 ~1 v$ _3 T5 f3 {5 A/ A& t& B: E2 ~& ~# K: r3 W# H1 J$ D- r

    ( _3 [& @" O% T3 w. M3 O另,本人对人工智能非常感兴趣,遗传算法已在本BLOG内有所阐述,敬请参见。0 c* A: {' g7 M) y2 f: K: v6 u
    ----------
    - N6 D  I9 W4 i3 C经典算法研究系列:七、深入浅出遗传算法,透析GA本质
    : ]4 d% v2 D# g6 z2 ]' Hhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx6 B7 Y7 V. E, n) F5 _

    1 M0 }6 K7 p+ m, b# t( F. @6 i% m9 b
    5 `8 B) v" y7 r3 \/ @) i
    其它俩大算法,模拟退火法,与神经网络,也定会在本BLOG内日后的博文更新中,详细阐述。
    $ p" j5 c! u  v* M  h
    ' o; J& K2 [2 E/ [* t6 M4 x: o' H% A2 n3 _/ o( b9 `

    ) M. @4 \4 Q3 a9 b; v" ]% s
    * d; }: `; a# l) p% P7 e七、网格算法和穷举法
    6 ?! V( K* R- [" J网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。
    . }2 Q" B; s* t! F比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,1 M3 S4 W9 `, K/ C( Q0 p& c
    比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点,就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ¢ ( b ? a ) =M ; …;b+ S9 G1 l. }" Y7 }4 v' d) t/ h7 @; l

    ! w2 |  t9 j8 ^那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算,所以计算量很大。7 o6 L* [- i$ D( P$ t
    - D* {7 }* f: b. K' q

    1 V, h4 y) Y: ]6 B, t/ }在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较# N6 P% _4 Q. ]8 p

    3 u% V5 X( l- H. y快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用 MATLAB 做网格,否则会算很久。5 K, B# o! Q* W
    0 r# V. X% T! V# g" X
    穷举法大家都熟悉,自不用多说了。  
    8 ~* T8 e: @% q
    7 A& Y0 n" i! ], h0 y; j' l4 f8 ^1 ^1 ^1 i
      \' @. r* V4 H
    8 U& }6 \1 {5 Y9 \, p1 ]
    八、一些连续离散化方法8 L& K0 d) K* }2 k/ B! |' y
    大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
    ' n: x4 q4 V' s+ G# e9 d9 s9 Z) d) U% O$ V
    中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。3 D3 q5 P! B+ C- b; [7 c! U0 Q( [
    + \; b, \+ W& Q7 ^
    % R; {+ K; I( Y% a$ q# P
    这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。
    ( d+ v' {5 h- d% z) J1 W事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
    & }: H. f6 u+ ~& m& _9 g# Y7 F3 S" {2 c6 d' s4 y- U; i
    : q9 X) ?! g# p. D
    ) Y0 h6 z# K; B8 w

    8 l' c1 s' v8 U0 r九、数值分析算法& T; V! s3 Y& ~$ s9 ^: U, G$ x
    数值分析(numerical analysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的
    * p# O: x( ?+ X: B# x7 l4 e0 K0 B* t# Z* E- G/ S; u& y
    算法。5 i( k3 ?2 P6 Y' F- @8 k

    ' m+ _' A0 U/ @2 C$ h6 U如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
    8 e. t# {6 U. ?2 G, S- u9 p5 C, R' W) G+ V1 I
    函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。6 N% b* R5 B" A( F9 y( z" b
    8 E! m; L$ I, L+ P: a& y
    这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ,大可不必准备,- Z' E; ?& _8 P) c0 A# u
    因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
    ( M# u4 Y/ m, S4 i2 m  M% H$ z* A) {6 N. c+ A) p

    8 D6 N0 L) h2 S* V/ P& H+ F6 `- P
    ' s2 c# ~) M' h6 Z8 X
    ; V9 V) t. s! T, Z( ^- z9 q十、图象处理算法
    ; K  a1 N3 g7 j5 P在数学建模竞赛中:比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值% `1 D+ l2 i2 a

    : n, V' [) F1 }% M7 P计算, 03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,
    . D1 t) c2 a4 g# g- x$ i
    & g  W( A- Y7 [因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
    * Y# j- ~" g0 ~0 k( Q% d--------------------- " `3 U7 X& F9 ~! z0 P
    作者:画面太乱了 + V9 ]; \. M" j" E- O9 O( p
    来源:CSDN
    ; [; ^/ c- u% P
    / B: }5 ~1 H5 k8 \! f
    ( w0 ?7 d: n  n' T  b  o6 K# Y3 q6 e$ x* f6 b8 _
    zan
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