数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
6 C5 }. R4 H. ^$ a: g  h1 y- _


作者:July  二零一一年一月二十九日

& K0 |- {! M2 {( E5 P8 W: x7 X本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
# `7 N# D2 L- j8 kIII、维基百科

- F- X" t3 O' K7 y, P2 y  i( o------------------------------------------
7 d, ?: s7 B. V4 h5 b' \
博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
5 [" S3 k3 g+ M这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
' D& L2 N' P4 Q; Y  C2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
& e* @5 ~9 X# M% m3 h0 n同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
* U7 A; k0 `, E) e毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
0 y( ]! M, Z! o& r" P2 }( D# \且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
* t$ C4 \/ v! Y: G; ?# x. _) b3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
, z$ U. h5 m( h# C" G7 J若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
: a- e; a6 b# v0 j/ o谢谢。
/ D8 l% l$ v8 A% O6 F. t0 ~! }
- L  V) p: G7 O8 z: m

2 t6 e" Z  t0 I3 n4 [# P. K: d

一、蒙特卡罗算法
4 \% Q& X0 `* @9 N% o( |1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
' C* P' ]7 z$ z# T1 F$ D共同发明了，蒙特卡罗方法。
# z3 o8 M& M7 J3 c  S: l

此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx


0 O+ b8 M+ G- X  p& S# X
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

' m' N, }7 Y& U& n的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。
7 Z% q: L! w2 e* v0 z% k
3 u1 W4 B2 _1 b: g& f+ H) R
: }) `& \5 }: w2 O& J- f/ o
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
$ e' l4 B4 q0 S2 g; v. B2 y" d
8 b: U% t- Z' G/ _% }实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
* \; [/ M$ @* }1 X1 g, W0 I" S' |
$ b% @* t! C( [& p) \% r8 B蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

- |# \. f( G4 k0 ?# A，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

- C9 t9 }+ {( `) ?为问题的解。

6 y$ D: Y" G: G+ Q

有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

! Z# S. Y2 C/ Q) `1 y7 `# N! Q! i，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
) o' H- p& n7 \. K* f1 K0 d+ i: M

- [; n, O1 {) R; c! n1 _蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
4 n: q: y; K6 V
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
0 G' L" A5 x' \3 G! t% e
近似解。
% n; _, ~# R1 x# r
2 \" m9 X5 ^% }7 s* m
9 I0 s+ R4 R' G# X/ D
: D3 Y' w# k2 U7 B7 V蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
1 S) e0 |2 @2 n6 b& p
蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
5 P* _4 i+ e' f5 v0 _# p" h; hI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
: t1 b9 w* ^  y8 \) VIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
/ A7 R" }( M, E, D- D. l: N# x! S
此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
  p; r- S" K, k


! q3 u" b) y5 n5 k- l
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
" z" c. I" c# ]) C& j我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
( s% d. }! z3 q- ]+ F3 m
, S/ _* g2 J2 F+ Q3 P- |吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

5 Q- j" B, i) t1 W, ~

0 n3 i# w( F' g. p& C* T" T) R5 N此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

/ e" _/ M8 U9 Y" P
# Y! L2 a, }. B$ j" Y
# o+ k6 g, u% f: E: X
/ |1 R- K2 ]4 z三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
5 x0 i* u0 R  Y6 l# q/ a) s' M数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
/ i. h2 S, O/ d
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

6 d+ q( I4 s" r! Y; f需要熟悉这两个软件。
5 }, P5 x# j! |% H& o" Q8 Y" _



四、图论算法
这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
' C, |" J* G0 M& v" ^; _' h3 u: M6 @

- ~- S8 k9 s/ c6 Y+ h2 V
关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
; R# G+ z4 w& k. ]-----------
, E* |8 g* z. ^. w经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。




五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
/ y, n4 n( ?. ?4 J" q4 ]& h5 [# e在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
' _/ C' l/ ~. q: \+ L3 a& W+ R) ^

& X6 _3 L" |6 j" [2 E! w* I这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

) R- _' ?/ e; _
" O6 _; @; q3 ?! Y% s

六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

; _  ^0 X: [# E$ T在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
+ m2 A8 C# x. G' h; g
) g; h% ?  T/ e, A以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
% A4 J7 V6 `! F4 B8 f1 t8 o

6 g2 _& v3 e$ |0 k
另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
----------
0 g& L& m! b) W  E经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
% M" Q' X( K7 q  r1 F7 P
  A" c+ x  }; B* ]. }& Q
& ]' d$ k; B& S1 j, e7 A
# S, {+ Z/ D, }# S) R其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
9 Q% P. a9 U# k/ ^. L; j


0 b  A6 L8 d1 |( ]" |
七、网格算法和穷举法
( J  q& ~" M2 v& ^1 ?% b4 l网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
- |5 {* g( }' ?0 y8 R比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
0 M7 D0 _4 b0 X, J, b) l; r: j9 L
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

: G7 [- J1 S6 y4 A# p
1 J# i6 K- i+ Z& \0 d* P0 G在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
. \, r$ I' m6 Z: f3 F6 V& `
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  



' }$ v/ e$ L, H* e3 X% D. o2 r
8 ]6 _8 r8 N( Q3 c" s. l* C八、一些连续离散化方法
8 F' H) ~% @' F/ [% P3 L/ e大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
& N5 |% {+ `' V. E+ k% @+ h$ k% [$ I
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
& Y6 g3 E9 K2 O0 D/ K# ?
1 R* ]* O) r! f5 m! s- Y
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。


- k) _) y; ?+ C6 B* c! ~
' W' O8 U7 s2 F) c
九、数值分析算法
% T: L: |/ s  L9 U5 Q) R. A数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
/ O* j; a0 e2 G7 h
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
; Y! i* {  B% g- e  P' r, l因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
) Q; U# l4 P: b0 y7 d

& N/ U. W6 T" ?* m9 M  D

' s8 i1 H* t% a6 L! G十、图象处理算法
) {% F! b  U3 X. f在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

7 [" a& U, C4 h- c, a计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
3 N) P) d; @- X8 i, B' g9 y
因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
- \5 C- G; B. U5 D2 ~- b---------------------
作者：画面太乱了
来源：CSDN



" o/ w- a" ~2 R+ Z3 x' k( p