数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
  a) K" z: q# {% H) P0 [数学建模十大算法漫谈
( U6 @! n6 X; m/ P5 b
- I. l; q' y/ C, |  u0 ^- o1 `
; X. S: p$ v. r0 i2 v$ F# b+ ]* u
作者:July  二零一一年一月二十九日
! ]) p; V9 S, [( i2 h+ t
; P! f4 f: i8 N3 K" R本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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8 k! g6 b4 z% M) m  ]% A* u
5 W- _2 d, c: C2 u% G* ?博主说明:
. p. w% g& F9 f! p1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
& g$ F9 c) C6 N' m这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
* f/ ~' O" ?+ F且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
- X- F9 A6 s. C若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
& C" c# k: l; V: T- H" s谢谢。

/ Y4 P) d6 \0 D' ^/ H( P' I1 \
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( X7 {) t6 s5 q' ?4 B
0 s3 F4 y3 W3 v( y+ W
( K6 ~6 }+ T5 v" C' T; U' s一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
' S, C0 n  K4 g' o
( T7 K' q! O- @% C' U2 I
  \5 ~; m( s2 U  x此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
; k1 a( w6 I4 g2 \http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
; g/ }% t* G" q: }


6 U( D6 M& f% z  o- E& j; v蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
5 x4 d: V. [( C) J  l
$ s! O% y) n0 X' o( z法。
8 i8 J6 H& e6 a3 b& u* s
; ]  x. \- u1 Q* g, Q
" E0 B3 E) M2 U3 @
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
# q1 I' S% B' v. j5 q
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
  B1 I) W6 W5 {8 S8 b当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法
, Q7 m7 n# }3 ?5 Y0 \
8 T6 j6 G3 l5 L( a9 Q. a# o$ o，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
" _$ ?1 [- k* R( [: r% V" o2 `$ k
为问题的解。
, [+ i' Q# j4 z5 s
* `* N- ]- D" m, J

/ M4 u7 y6 w; V有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

4 D- o% l# |% i3 U后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
1 p, J( I! T; }
8 F* ]5 o4 C- {+ j- b" x+ |9 ~，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
6 `5 r) O/ U& l! L9 n9 ~

2 P" G  S) C6 S/ f7 P8 a8 \蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

5 i9 r0 g# k! T* S  _  n5 \近似解。

/ E; s! V, H! y9 b' }9 E
. O! K: W7 Y" m; S$ v
* T0 A' ^' P  ~蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

* f9 ?2 T" I: z, ?" a$ W# z蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
8 }; @5 K+ j2 zII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
3 [8 N5 ]. Z) Z: c# gIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
& [* G: r+ _! x  R4 R2 }等等。
# U' C% [8 P8 I* \: n- a- m
0 H# R9 U6 Z: u; v# o* L2 b3 E此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

  T8 s! I  N- r4 B- l3 Z


二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
; G( y* y8 O5 S; N0 K$ c' [
学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。


: x5 x# y' N4 o- P% j, f

' N7 A8 A6 g" f: c三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
7 {8 Y. s. N$ J) y  i  J7 c# [数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

# H7 S6 B: B# I6 A$ ~6 [6 H, J& |、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
& `4 F! ~! q% H0 e% I6 I
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
" ^7 {- Q9 m1 K) \, N: M# b; ]( a( ^
( W- ]# s& b8 T+ G需要熟悉这两个软件。


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1 k' [( z% Q: N' K6 [7 w6 |# Q: l% M
) E' A$ e& O: I3 y8 e  n四、图论算法
" Z+ P, R! T  a0 y( S/ ]这类问题算法有很多，
8 r2 u2 u+ `, [9 e- m9 t8 G0 p. M4 \包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。


' C) O* i- z' F4 ^
; f9 [( [  U5 W$ S5 T' Q: _关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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  H4 h& p/ _6 h1 i4 o9 Q% l经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
  k6 J3 R( q2 N( h- V4 c3 whttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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7 o. f, ?* e- J; j5 g
7 Z2 s5 m8 S' {7 _! B% W
, P! u" Q) P) i$ [# {7 m* e五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
3 i/ z; @8 {) t  Y( C. T在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。

0 @& R# r' i8 \
( E- |5 V' L5 v这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
$ @# b3 y; b2 n% [推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
8 t' a6 @  H! Y  Y1 W" U% x
8 U0 V& ~/ B8 i2 W% V5 Y! G
" F! `  t, d7 D7 ^) ^

六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
* ~! P, M" B" A这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
: Y1 u; [* a: Z1 E
+ t/ F  q( {# D# E在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

+ i5 ^1 d; e7 i2 l以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
& K6 j* q0 \# s
说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
$ g+ b3 ?. Q% m- \03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

4 K3 i' z, k2 E' K1 l( L) q
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4 \0 x! J2 `+ ?另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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2 k& p- l; o# G经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
4 ]1 v+ v; @( n& e6 C# Q* H+ e3 Y* _http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
) C* }+ e" z8 Y4 Y
# }) s6 o) S" a
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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


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/ C: s) Z) l, G+ f( @0 m) N
七、网格算法和穷举法
! i8 |) {. B) `8 f  G网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
2 e3 B# z$ [% f* @, p1 I' J比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

* U$ Q$ T! d3 j3 F快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
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; s' ]8 }) d* S& R3 T% Z
八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
4 t+ q2 Y6 y5 d4 {) q
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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九、数值分析算法
+ f# |3 F8 G1 R数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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算法。
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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4 O. x+ s% |2 v这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
4 d( X; H9 w% [# ^+ Z6 u% t: @9 p因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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9 T3 u: m" k% {+ M+ w# N计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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7 A# f5 U; ?  F因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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# E6 h. h$ _: a* r作者：画面太乱了
3 I! P8 k/ r( |% X; t# |4 Z来源：CSDN

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