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7 v2 E7 v' K( }, T: B+ N0 a
A题 安全的后视镜
A# e- |5 p; U p! o9 T0 s汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
, r+ I+ ^1 \: e* P5 O0 H( W良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
! g6 Y" U9 K$ S0 o; @# @3 m镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.* j! {; B$ y: Z; x! i
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.7 y% e7 C# Q* h4 m" t6 a0 a6 L1 B
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
/ v% h6 ?7 q$ V' i2 u获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的7 g* `7 A* t) J) {9 n+ t
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.0 ?+ e1 \& _1 I) J3 c
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构* k9 [% r3 s8 G2 I+ c; Q9 y- C
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距$ g. _. N) b# ?8 x
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
# j- r0 X& G8 S( V I: |3 e3 t9 O种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了) T2 ^9 V6 D$ n" F) n
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线4 i( s4 T# J; B5 Z! X& [0 b
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
$ D- _, z+ \3 w1 S( F1 r/ y能也会有所不同. ^& ^: i/ q, ?' s
第一阶段问题: 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
" |! L* i- Q+ t外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都' [/ b" G8 D: J9 h% m4 Y
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
: D& N# j. U5 G ~" I5 S: M给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一% ?& S/ e L3 M
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
) ]# ?& B1 I" }! P# I# F的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相/ G3 r! b6 E# g @- P. |
应的国家标准.
6 N; Q8 P. T' `: T! \% O1
8 d; p: {: c. |, \' y3 Q; e图 1: 变曲率后视镜的例子
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: y) H$ Q% R) Q5 ]- `! a; }8 _6 z) j2 g9 c0 }# A1 M. R' B7 k! J
B题 岁月的印记
5 u$ t% z, K, I) A- ^( a对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
$ {) t" I, s0 }- L- W: z历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨. V" n. R% }0 m" t1 x
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
8 ], f; W& M* I来也就越困难.
: `# c& E% a. a4 N9 s第一阶段问题: 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
! r( a7 }: g" H5 N部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
& f3 A. b* \$ l* c假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
# J5 P. \ x5 S( e
% l+ T2 o9 G4 F- u- W# X. u3 z/ I) g1 N7 l, n
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗?
2 `6 y4 C5 T" l2 q3 N& c9 ?2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加,比去年增加 m* g& U% B$ L. k
了 24 万名考生,增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来,而考研教
8 K( l7 Z: t. W学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来,使得许多考, P/ O, f! ?; X+ E! ?
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中,纷纷! {( {; @4 m( L8 Q5 |$ A: x8 i9 u
涌现了依托于移动互联网的产品,如教学 app,手机题库,单词本,错题本或
) [' E4 ]2 V3 h @7 z. f依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
1 u1 _/ d$ O: A( S更高,使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的( o( }. Z, Z" V9 Y Z+ C4 V/ R, n2 O
市场占有率和发展趋势,开展了网上问卷调查,问卷格式如附件 1 所示。共收, r0 ?3 [. `4 n2 M' N5 R
集有效问卷 38182 份,我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
" h- q% \* p% ^9 n你建立合理的数学模型解决如下问题。$ ]" j4 S' F' w2 t. _
第一阶段问题:: I/ Z' V. Q& r& y& A8 M
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘,找出影响移动端考研产品发展
6 F+ i: F- ?4 F的主要因素。7 T% j* U" o+ ^( h5 b
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间,预测移动端考研产品的潜在
, [( p2 w. H# c, d# m市场占有率。
0 p$ N; C- \ M. d$ B4 ^1 M3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象,充分考虑经济、社会
% X2 K+ |1 z; n5 M* H* e情况和考研教育的特点,评价移动端考研产品投放的可行性。2 h. d- `2 y1 G. Z7 b8 Y% e
# u4 ^5 A! j- H: M9 Y8 \, |
D题 教室的合理设计
: y& ~9 }: f8 Q9 u! e3 h2 e& [4 ?$ [3 e(本题仅限中学组和专科组选用)0 J% Z* F$ M9 Z6 Z3 V1 ^7 }+ y
某培训机构租用了一块如图一所示的场地,由于该机构开设了多种门类
# j9 g. W; y' h& D. ~& b2 u7 ~的课程,所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
) v5 ?; N# K+ O1 F3 Z) U, j& K# `' m活动区。请你建立有效的数学模型,为该机构完成合理的教室设计。对设计
3 Z O- s7 a" p分别提出了三项要求,分列在下面的问题中。 - D: Y" e7 X* _+ z2 _
第一阶段问题:
# K8 b1 J4 c$ Z) `2 s3 H' [2 }5 h1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室,2 个能容纳至少 4 个( W4 F: V5 ~, t
座位的接待室,不少于 10 平方米的储物空间,不少于 10 平方米的休息区,不5 q' V @7 |9 U- t4 o) L
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间,教室与接待室之间的出入不能相互
7 K* J* J1 ~& T: J* k影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米,每个教室的第一排和黑板之
# T1 E4 ?3 M( P( p8 h; o3 h间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见,在4 n, t6 L& T; ?4 m
设计中可以忽略墙占用的面积。
$ ^/ w8 v7 l: D1 q' k2. 在要求 1 的基础之上,考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。& Z3 c1 W- D8 N3 h' o7 U# K# |4 C
3. 在要求 1 的基础之上,考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教# t. k I" n0 R
室。
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