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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布:无体力赛题下载地址:www.tzmcm.cn
- @" {3 v; B7 q' }& ]2 j1 U/ }" q# X4 Q! \% U6 R" g0 B
j" z+ E7 ~1 T
& A. n0 C h7 O2 ]A题 安全的后视镜9 U V; y( K. Q2 D* r
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
6 ?$ e" K: t1 L! j/ M Z6 _" U t良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
: G1 x- x7 \& g* |6 Z& j镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.* b+ [$ M/ a) w7 E' v
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
1 o6 H$ {' M# y W! E. w+ e- f- F但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
( R' d1 I% j7 o2 |* }2 E获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的 V2 u, q6 k9 h4 w+ b
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.! U8 }% c) j' {+ L B, a& ~
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
+ w) j" y3 `* O z ^造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距+ n2 r, S, `/ k. E0 m$ a9 ^7 v' W
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一+ ?1 o, N3 ] n
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了1 |, N4 V/ k: O7 A
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线( ^9 N8 X& k5 m8 ~+ q
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
( S0 Y d+ G( q0 y8 f4 e: @- r+ ]能也会有所不同.4 @ J- P9 l1 v; [, @+ d
第一阶段问题: 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
) D$ x) e4 e2 C; Y4 h; @% a外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
3 V8 m+ H( E7 ^2 M5 G3 k: G设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
! p! b) ]4 H2 j给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
+ A5 @ j5 J) J. n: A/ M8 i. o种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有0 }% O/ n; h3 n: D8 v6 u
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
2 W2 N9 w" ^+ Y应的国家标准.
! G( Q6 M' w% B0 t, t1' R) M9 N. X5 k. W" A
图 1: 变曲率后视镜的例子
( ?# g6 H% G0 u' _5 t" B( d; L. T7 c& \5 y6 Y+ x! e* s2 |
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B题 岁月的印记
* j3 U& _$ p. n3 P* p0 z" o对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经2 I, J5 X. G- i# p8 J
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
( g+ B5 }- C, o5 s5 H4 X. _' J2 u出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
& b! z# @$ z. G+ U8 t来也就越困难.
& u* [( W: T) i+ o第一阶段问题: 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
- K' h. l6 b* B! N3 h. |+ p部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以7 m# S: B/ B5 @ G8 T# [5 O
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
5 M6 A; b! v" U3 Z4 a+ j: y- c' L6 f$ v; W0 x8 j
- R: K* r! o {$ zC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗?/ m" f4 m+ D$ Z' S( y3 Q
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加,比去年增加
" x! Q6 e* _1 [0 \- `了 24 万名考生,增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来,而考研教
! y3 j$ H* `3 A0 Q8 \0 e# y: T学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来,使得许多考
% W6 v9 X( Q4 H# K研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中,纷纷
/ w; E6 g. Z. ]- P- m& H涌现了依托于移动互联网的产品,如教学 app,手机题库,单词本,错题本或
! @- w+ d& r6 q% ?+ F; O* x依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
+ J4 u3 L: j1 ]. n% J更高,使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的$ B% [- L; p, x Z o9 F3 _
市场占有率和发展趋势,开展了网上问卷调查,问卷格式如附件 1 所示。共收 ]7 x+ Z- u3 E0 F+ T
集有效问卷 38182 份,我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
$ k, f$ F0 e' o) Q; l你建立合理的数学模型解决如下问题。. i: }* y0 h4 z- D3 ]
第一阶段问题:: r3 c: T% i; p l& Z- h; z! _& s6 V8 }) G* U
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘,找出影响移动端考研产品发展
7 y6 g$ K* F5 e) a的主要因素。' o K! ]4 U% {9 ?, G: `
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间,预测移动端考研产品的潜在7 {/ \4 z8 {* b! {. B
市场占有率。1 `' ]. c5 C2 y
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象,充分考虑经济、社会
! V2 x7 k$ b8 Z3 @; t情况和考研教育的特点,评价移动端考研产品投放的可行性。
' w3 I( ^; R3 O, W* m
$ J( H% Z- g, e& ~- YD题 教室的合理设计
3 \, m0 D# }8 S* L1 k5 E(本题仅限中学组和专科组选用)
l: a- m5 s2 z3 v1 x, p+ C7 _某培训机构租用了一块如图一所示的场地,由于该机构开设了多种门类
9 |2 n$ O9 }. L# n: r8 k: [5 Y/ c& D的课程,所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和% j: c+ y# s' o4 P0 Z) T* }8 v
活动区。请你建立有效的数学模型,为该机构完成合理的教室设计。对设计
; S9 o; ^' t& R2 t; ~分别提出了三项要求,分列在下面的问题中。
& u: o- V4 ~, z& o3 P+ w$ N第一阶段问题:; K- e; t; x5 G+ S' G+ f* G
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室,2 个能容纳至少 4 个
& Q* R$ l8 V8 a% K6 r9 x7 h1 d座位的接待室,不少于 10 平方米的储物空间,不少于 10 平方米的休息区,不% d2 J# _' S3 u! Z
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间,教室与接待室之间的出入不能相互
1 G, m2 P/ F$ L7 n影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米,每个教室的第一排和黑板之
5 J; z! ~8 J b- f' t# Y间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见,在8 x- S( \) z0 U: R5 \
设计中可以忽略墙占用的面积。
8 f+ F8 \' t! D2. 在要求 1 的基础之上,考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
5 @& P0 L; b- v9 @) `3 D3. 在要求 1 的基础之上,考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教7 k+ F0 ]8 i* W: v- ?2 w x
室。
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