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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程(ODE)的方法,其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
# `! G) k s' t; g" \3 ~定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种,其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
# _9 ?1 R; l3 _[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
. O4 I$ j0 u: s1 c( Q这个方法的迭代公式如下:
, I/ x( K; S9 q7 g[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
5 Z' A& j. f7 ]6 y# y[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]0 M% K5 e2 H7 u4 F/ Q
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]) ?- e% x* h7 }5 b
[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]+ f1 N" d+ E0 k, |. k
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
5 ]8 a% v/ E0 Q4 Q8 L6 ]其中,(tn) 是当前时间步,(yn) 是当前的解,(h) 是步长,(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
2 C: _5 s4 ]! t& B' \这个方法的精度相对较高,因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用,因为它相对简单且相对高效。- %四阶经典公式,微分方程为f.m2 }0 x3 u( Y$ w% ^ ?% |- O
- $ U& \\" ]7 Y, s9 f) I0 A
- if exist('f.m')==0 %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
! J6 ?( r0 c4 v\" U5 L! c6 w- ?8 P - disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');, b# N. Y! o4 i( F
- disp('function z=f(x,y)');7 J8 n\" S7 J) ~! G2 K! u# ^
- disp('z=y-2*x/y;');
5 ?8 V! p\" w( O, o* O. \* A$ s - disp('并将该文件保存在work文件夹下');
' C# l0 v5 G5 t& O - end 3 p\" r z6 _+ E9 c( n) ]9 y/ V
- ) I4 u R+ g4 ~9 i# R
- X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
( D! _6 Q\" R' d( ?! S - Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=(X=X1时Y的值)');
\" A4 D\" b1 e6 D. \ - Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
3 s/ R: E: u3 J H2 Q7 T1 Q/ H9 C - h=input('请输入求解步长h=');
/ q$ l9 J% f! {. z0 l
1 q! U$ h$ L4 W0 l- X=X1; d5 t1 T/ }6 ?' ^( P) h0 t7 E
- Y=Y1; %运算初始点& l% o+ s1 w3 }# B8 C3 @8 Z6 j& I8 ?
- n=0; %节点序号变量置零
0 s/ E0 R4 s/ u) K d: ^8 C9 c
+ K1 P x0 k$ I/ J' [- while X<=Xn-h% W+ F7 O4 l& P' H4 g8 [
- K1=f(X,Y);
! ^5 F7 m% R& o! P - K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);
2 h% Z/ B# ]. P0 {; k- D3 u) K& v - K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
& H0 e8 m' K$ w\" j& e0 ` - K4=f(X+h,Y+K3*h);1 l2 ^\" \; c$ @9 i
- X=X+h;1 @5 N* Q3 j+ I, y$ Z! {+ E
- Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; %四阶标准的龙格-库塔公式+ F5 A- o) y x* d\" o
- n=n+1; %节点序号加16 H; d# ]6 e5 u6 h3 Y
- 2 V, N7 n+ W- X8 c4 L/ F
- fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);
: s9 c# g* ~2 Q2 \/ w$ V* H% [ - plot(X,Y,'o')2 w0 Q9 l* i& F. c* y% S1 Y5 R
- hold on$ `9 r O: _, D8 M
- end
复制代码- function z=f(x,y)) N4 K' G* ]* {* t* @! j( q/ }9 g, _% ]$ {
- z=y-2*x/y;
复制代码 7 ]3 I! r) s) n
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