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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程(ODE)的方法,其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。- B- [' Q+ A! o* ?3 y7 {) b4 P
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种,其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
4 b9 ]0 m* G# R9 @, e# B3 j$ X4 ]6 K[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
6 I8 I: v8 K- M1 H这个方法的迭代公式如下:
$ K/ B: s$ o+ z[k1 = h \cdot f(tn, yn)]4 r) D5 Y/ i# G# U* m' V3 n- l
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})], ?! m- f! }8 O
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]9 @0 ?9 U4 E4 z3 e
[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]! y* j( D" X) I1 t! W) e
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]! Y+ v* z E3 Q
其中,(tn) 是当前时间步,(yn) 是当前的解,(h) 是步长,(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。1 M6 m! i T- n8 A: X& Z
这个方法的精度相对较高,因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用,因为它相对简单且相对高效。- %四阶经典公式,微分方程为f.m$ R6 [( p9 J/ _- r
5 I9 {) j9 R4 T- if exist('f.m')==0 %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
+ S% n/ ~! F* v9 F4 @ - disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');4 z4 j+ `5 f7 A7 W, ]# [
- disp('function z=f(x,y)');
: l3 \% X5 K2 j\" | - disp('z=y-2*x/y;');
: c2 q' j1 k* L- Y - disp('并将该文件保存在work文件夹下');
* N2 ]$ n% {* O - end
* T4 L, G3 `2 ~# E- t! b4 z
0 \, U' U# D$ {( p' o- X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
4 I9 ^6 b, k5 B, t8 m, w1 k: ?2 f, i - Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=(X=X1时Y的值)');
& q& M: Q, p! V - Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');4 M0 s# {% L' M, o8 _0 A2 S* l
- h=input('请输入求解步长h=');
\" B& `8 a8 K' O
5 X1 O9 J6 x1 L9 f a9 V- X=X1;7 \! G3 f+ s( P) ~
- Y=Y1; %运算初始点
: h6 O* r8 F! \/ G0 N - n=0; %节点序号变量置零/ s/ }, [/ w( ^\" a' n1 Q& R7 o\" g
Q, e1 r) H( x, z! |( q$ C: U- while X<=Xn-h. w5 B4 ]# k7 _( a0 s8 a- @7 K. S
- K1=f(X,Y);# P8 |8 G6 w3 B+ P1 F$ R
- K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);
! V3 |/ P6 U\" u- f5 | - K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);! U- ~# H) K9 P0 i7 b3 r1 `5 L) v
- K4=f(X+h,Y+K3*h);5 @1 B\" G Z5 t( m
- X=X+h;: P+ i, H& k( H# m
- Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; %四阶标准的龙格-库塔公式
0 |4 G8 D! U+ C Q0 s) Q$ p - n=n+1; %节点序号加1
9 F1 L( ~8 ~2 Q& I l
* Z, A; u% L2 F* \7 ]0 b- fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);
7 v- Q( z# P J q# t7 |- C - plot(X,Y,'o')5 K- }1 K* }9 Q
- hold on
; R( ^4 U) F* N. v3 n - end
复制代码- function z=f(x,y)
/ j& a% q8 d5 I$ v* } - z=y-2*x/y;
复制代码 4 L5 }/ z6 {4 k1 g6 f
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zan
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