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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程(ODE)的方法,其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。# w3 w0 S0 G* \6 d+ l
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种,其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
& L# w! P3 {: L; c7 X[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]8 t5 A' V- a; j! a; i/ v
这个方法的迭代公式如下:% Z5 x0 J) q: k# j1 {! y8 B% Q0 P
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
8 Q4 z; W# J( @- x0 z$ C, d" ^, W[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
+ ?: Y; O% s2 v$ c/ z0 x, ^' j[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
4 c% @" [) D0 p) h[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)], y' s7 m9 I8 ^; t
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]1 C' R' u' A A$ K1 {( _
其中,(tn) 是当前时间步,(yn) 是当前的解,(h) 是步长,(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。5 c$ d z8 j8 l$ t4 ?1 {( ] |
这个方法的精度相对较高,因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用,因为它相对简单且相对高效。- %四阶经典公式,微分方程为f.m, D1 E6 @# p. a3 S3 ]+ m9 E/ D1 @
' A; \\" z X1 j- g\" H! ?- if exist('f.m')==0 %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
5 V* w' V% h0 P1 F - disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');! V- ^1 h* ]3 Q1 U% @- W
- disp('function z=f(x,y)');
7 r& a; j5 D+ D\" R3 p# j - disp('z=y-2*x/y;');
: |* _0 Y9 a\" z( [1 I+ r - disp('并将该文件保存在work文件夹下');
* D: t% M9 o( P. j - end 8 u, T6 v. {9 F9 u1 A
- 7 q: H2 o B7 I: O0 H
- X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
. M: a! l/ ^+ H- @, _ - Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=(X=X1时Y的值)');/ `5 A8 c% k+ h. ^2 q* C+ L& _
- Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
3 P( E; L/ U2 ] - h=input('请输入求解步长h=');
0 T$ v) P7 }2 X
3 p# y/ r: J4 ?* U/ o! A- X=X1;7 p: w, w3 Y+ L7 u/ N& l# S
- Y=Y1; %运算初始点1 g' ~9 E T# R8 u% F6 V- q
- n=0; %节点序号变量置零
3 V% t9 g3 S9 F! K9 P0 l# H - ! L; O) f& O$ h1 u0 t
- while X<=Xn-h3 i* e; B6 Y0 m2 {+ [, Z
- K1=f(X,Y);
7 K8 w& U7 J. u - K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);, e+ z/ @1 N+ P3 h, C% H\" m ]
- K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);$ q1 P4 w4 \( A% K6 C
- K4=f(X+h,Y+K3*h);, K8 B1 `5 P- Y! D$ B3 g\" j
- X=X+h;
' w5 A8 Q. `$ p# j6 ~$ k9 y- N - Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6; %四阶标准的龙格-库塔公式9 `: e/ y1 l; i2 V2 ]
- n=n+1; %节点序号加1
: T/ s1 x; u v8 b$ T1 m - ! _- e( n/ C5 z$ R1 v
- fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);1 c; V* I0 P9 f1 i4 M! w
- plot(X,Y,'o')5 j9 k6 C; r\" P/ }& Y/ I# |7 A {
- hold on
) b2 j. j O5 ?& r: \6 L/ ` - end
复制代码- function z=f(x,y)+ k6 S1 H P4 }. S& c# o& Q
- z=y-2*x/y;
复制代码 2 l+ |& }; ^+ \/ S1 S6 ~
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