定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
8 k/ o" n* S3 N定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
8 R7 `; W) o$ O6 L9 }[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
2 @+ T9 @* B# ^0 F) ~0 ^: V) w6 ^这个方法的迭代公式如下：
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
4 C& k- O% O) s. p2 j' Q$ U+ |2 H[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
  S& Y9 l* t8 ~9 Z; q[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
% x: O" X6 I$ `. C, |. [其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m2 h1 M: [- u+ A' \! X. R
   
2. 
   ; I4 X' ~- l; t- |: R
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)5 I. B, t( M3 v. Q\" e: }1 J; d
   
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');& \\" y7 j\" L' X$ d. w1 E
   
5.    disp('function z=f(x,y)');
   % W. J& G3 c! Q+ n# j' ~2 ?; D( V, [\" a
6.    disp('z=y-2*x/y;');6 [- x$ A4 I- J! t- J; C
   
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');
   8 B$ y( G5 u, _
8. end
   & ~% w8 _, l& ]7 f5 R/ s' K
9. & P! ?! C\" A7 F; M; h9 H; p; u
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');6 Y\" H/ h8 c, R7 v7 R$ d4 \  N
    
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');
    / A0 A: u' w( i7 a+ e  S  M- w# a6 Q+ a
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
    $ U4 i( T0 U6 O% }
13. h=input('请输入求解步长h=');+ C\" K: ]' q$ S. u
    
14. 
    ; k$ t5 S5 Q\" E/ y! s' ?6 m
15. X=X1;2 O1 C7 X3 X! L1 d1 e# X% ^. r$ ]
    
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点+ d# X8 `! w* N/ h
    
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零
    9 y( S* S4 N7 Q& `! a' M4 G) _
18. 0 i9 ?6 C2 ]1 s1 ^
    
19. while X<=Xn-h
    2 f6 s- G* Q# b; l) r! p
20.     K1=f(X,Y);, E5 j6 u7 Q) r) s9 s
    
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);5 N7 O6 L+ V0 X- l
    
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    9 U\" m% @. {! {) Y' v& H( f
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);2 s+ R# Z: f  x/ J* ?
    
24.     X=X+h;
    , H$ W( I; U* }+ C2 z: l( _: |
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
    % y7 R/ o2 i' E
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
    ; X- V* `& R% ^  G; q4 W6 Q6 D
27. 
    4 {7 E( z+ q8 b! [8 L. p2 d\" o
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);0 }\" `- ^% W2 I- Y1 ~+ ]
    
29.     plot(X,Y,'o')% P3 V- ]% S. h; a* T5 Z
    
30.     hold on
    - u3 y) _5 n: @9 ?, B/ N5 \  w
31. end

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1. function z=f(x,y)
   ( n$ M1 `& R# w* o
2. z=y-2*x/y;

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