定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
& L# w! P3 {: L; c7 X[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
这个方法的迭代公式如下：
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
8 Q4 z; W# J( @- x0 z$ C, d" ^, W[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
+ ?: Y; O% s2 v$ c/ z0 x, ^' j[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
4 c% @" [) D0 p) h[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m, D1 E6 @# p. a3 S3 ]+ m9 E/ D1 @
   
2. 
   ' A; \\" z  X1 j- g\" H! ?
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
   5 V* w' V% h0 P1 F
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');! V- ^1 h* ]3 Q1 U% @- W
   
5.    disp('function z=f(x,y)');
   7 r& a; j5 D+ D\" R3 p# j
6.    disp('z=y-2*x/y;');
   : |* _0 Y9 a\" z( [1 I+ r
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');
   * D: t% M9 o( P. j
8. end 8 u, T6 v. {9 F9 u1 A
   
9. 7 q: H2 o  B7 I: O0 H
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    . M: a! l/ ^+ H- @, _
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');/ `5 A8 c% k+ h. ^2 q* C+ L& _
    
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
    3 P( E; L/ U2 ]
13. h=input('请输入求解步长h=');
    0 T$ v) P7 }2 X
14. 
    3 p# y/ r: J4 ?* U/ o! A
15. X=X1;7 p: w, w3 Y+ L7 u/ N& l# S
    
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点1 g' ~9 E  T# R8 u% F6 V- q
    
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零
    3 V% t9 g3 S9 F! K9 P0 l# H
18. ! L; O) f& O$ h1 u0 t
    
19. while X<=Xn-h3 i* e; B6 Y0 m2 {+ [, Z
    
20.     K1=f(X,Y);
    7 K8 w& U7 J. u
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);, e+ z/ @1 N+ P3 h, C% H\" m  ]
    
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);$ q1 P4 w4 \( A% K6 C
    
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);, K8 B1 `5 P- Y! D$ B3 g\" j
    
24.     X=X+h;
    ' w5 A8 Q. `$ p# j6 ~$ k9 y- N
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式9 `: e/ y1 l; i2 V2 ]
    
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
    : T/ s1 x; u  v8 b$ T1 m
27. ! _- e( n/ C5 z$ R1 v
    
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);1 c; V* I0 P9 f1 i4 M! w
    
29.     plot(X,Y,'o')5 j9 k6 C; r\" P/ }& Y/ I# |7 A  {
    
30.     hold on
    ) b2 j. j  O5 ?& r: \6 L/ `
31. end

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1. function z=f(x,y)+ k6 S1 H  P4 }. S& c# o& Q
   
2. z=y-2*x/y;

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