定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
( b" `# i, I$ n8 ]& }6 Y/ Z1 M& {: j定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
. w1 Q% q! x# V9 Q: C8 C1 i[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
这个方法的迭代公式如下：
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
! C* N3 W2 u& d! y' M# U0 \[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
! \- X% g+ F# f+ G9 v. J[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m) [5 I: j4 W8 ~. o\" ~* F* ]  l! L
   
2. ( B# w; ~5 s/ q2 c0 d. F2 R
   
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
   5 q1 L4 t* V) L* x3 m% a( }$ r
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');
   1 ]. o8 S# c3 T
5.    disp('function z=f(x,y)');) P* L/ k% r6 [3 o
   
6.    disp('z=y-2*x/y;');
   : Y) P/ V) i$ u0 B7 L  O, F( T
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');! e8 v. H* s$ I$ r. _( j( j
   
8. end ' N( Y9 ~+ V/ C7 o
   
9. & K5 S/ y8 y* o( K/ u4 o; F
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    ( t6 [+ v- |( ]
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');. d/ w4 d- ^3 ], t
    
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');' Q1 l, Y/ W. G
    
13. h=input('请输入求解步长h=');
    ' H4 ?3 |8 T' M$ K- J3 S+ m
14. & D8 `+ `# }8 {3 J
    
15. X=X1;: ~\" w& G# n5 u$ Y5 S8 }# W) z3 y7 l
    
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    ) \, Q! d0 R2 h6 ?. ~- q
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零
    6 ^1 E! L* j0 _4 z: k9 }, a6 I
18. 
    ( H& e) I2 Z! l8 v( b5 }) ^- H
19. while X<=Xn-h& D/ [% A) A( O* ]; @\" a0 J1 z# f
    
20.     K1=f(X,Y);
    - [& J; K$ C% L8 c
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);# h1 h: R9 }4 m5 i\" C
    
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);: J4 q! z: W4 j$ a( ]4 N
    
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);
    $ B8 @) y# Z* d
24.     X=X+h;; ^+ z, ]& R9 T7 I4 M
    
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
    \" ^; L6 \: |, _( h* I
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1' [2 R\" E/ a5 w/ j+ S
    
27. 
    1 v% V4 R$ g& P* d3 ~
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);) M: t# G6 X+ X. V
    
29.     plot(X,Y,'o')
    : a6 u/ _' H0 Z8 `) z7 g
30.     hold on6 |8 ?: `0 E; w( s8 b. V
    
31. end

复制代码

1. function z=f(x,y)
   7 J: W' q6 d; k# c9 Y
2. z=y-2*x/y;

复制代码

; s  u8 \( b$ P# O, v, e, ~8 D