数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
似乎丘成桐先生做学生的时候
( k* T8 P( o) Q* N9 l! K" G3 F也曾收益与此.
+ F# j; n& b, `/ |6 Z5 L5 |到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
9 g7 V! U* J: m+ `可能就是上面的书的新版,交大的
) g: D0 y8 P' M试点班有几年就拿该书做教材.
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
; \" q1 j( b. s& L$ I$ O3 m的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
% \% S- ]3 K$ B6 p+ b课本,好象后来数学系不用了,
计算机系倒还在用.那本书里面
据说积分的第二中值定理的陈述
有点小错.
+ p8 p& u& X7 B9 z% ?& [总的说来,这些书里面都可以看到
# M9 L$ ?7 O* w. f2 \一本书的影子,就是
. v( ]1 D" O' t4 S, A菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
其原因,按照秦老师的说法,是最初
在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
是辛钦的"数学分析简明教程",
而复旦则选了"数学分析原理".
% M9 Q8 n& n8 \! W8 y后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
来看数学分析这样经典的内容在国际上
" z. r) o7 Y; e1 Q7 v的确是一种潮流,但是从这个意义上说
该书做得并不是非常好.而且从整体的
课程体系上说,在后面有实变函数这样
一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
积分值得商榷.
  
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
- R5 [9 {' l) Z0 o1.菲赫今哥尔茨
. F: z7 a/ L6 O; B9 S"微积分学教程","数学分析原理".
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
8 Q5 L' q+ B. `& h4 c1 G后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
% O2 X" I/ A  [9 \( z5 Y此书堪称经典.
"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
+ j$ k& O, ^7 R8 v+ |; `列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
- |( ?* @" M( z- s$ P后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
( R# \( R/ W: v能够做教材的后一套书,可以说是一个
* a3 }" U$ w1 R精简的版本(有所补充的是在最后给出了
2 L3 |8 R+ p6 _$ R: X* Y一个后续课程的简介).
相信直到今天,很多老师在开课的时候
% h) d; p3 k& Y# U4 u) R3 }还是会去找"微积分学教程",因为里面
的各种各样的例题实在太多了.如果想
' o0 L6 u/ [1 \比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
题都可以这么办的.如果你全部做完了
那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
6 r: F3 e0 d# T可别怪我.
( j- d; X1 V' L9 V- }毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
& d: _6 o* j6 n处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
7 t9 ]! g# Z0 D9 n+ s' A计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
这两套书在理图里面都有.
2.Apostol
" }$ e7 u% c# N/ Q" z"Mathematical Analysis"
/ ~* J1 s: z' h" ~9 j在西方(西欧和美国),这应该算得上是
一本相当完整的课本了,在总书库里面
3 I- O( s& D. ?* P, E有.
5 N8 R) Y9 `7 f$ B3 d- S4 F  V3.W.Rudin
* u" R2 j+ L2 k) h4 h, b"Principles of Mathematical Analysis"
(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
: E1 P$ M0 c9 {这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
( r- h- A- w8 E! ?后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
- e3 j! X. O6 e1 m想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
找一本西方advanced calculus水平的书来看,
' r$ f6 X5 O. v基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
曾特别指出Rudin的书.
说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
5 ?( |2 k* g  \, t# a可以一看的,就是
L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
& @$ z/ X0 D+ t+ v/ q) r其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
/ |' J& P2 v3 s. p1 }* |3 M外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
; n9 K. b3 R) C* Y2 K这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
7 F3 J% v4 e+ C  w* @课本.
- n7 y. b% S* O2 A  
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
5 }/ Y* M0 m) M* u( m! b"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
) s2 U" b$ j: g6 S北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
% z' ^  f" W7 i! s2 r并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
; p+ u4 x2 M0 d* d; B(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
$ i9 g& |" {- u: y7 u7 }  C" s习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
5.克莱鲍尔"数学分析"
: O$ F0 d; n. l记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
5 F. {7 ]+ L* h' g理图里有.
6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
" ?4 h! Q* T8 b+ m. ~5 `* _五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
, q0 C5 f4 K+ Z* B% L. G  _: d是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
& k) x' p, I: Z; v, y5 l本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
理图里有.
  
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
' q; `# ~. H" O0 M+ r80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
  j; M" t6 b% b人家是苏联科学院院士.
7b."数学分析"
9 ?" z8 D! j, H4 a' k忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
7 j" a& N* ^/ C0 t" B的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的"高".
9 w( e" C% r& G3 p3 I& m0 ?% G4 @( G8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
* W; e( K( h+ s% F. k6 U+ k( M用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
" ~! [: B1 r( @9 G. ?- n. ]; h; N这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
) ~; d4 |3 E& |1 w! e中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
+ _4 @7 r  Z. g0 i: ^& WJ.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
: r) J. `) c2 B5 n" G4 m"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
之间.
  
7 d" R# x, O4 l& J10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
" f% O, C3 ]" X一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
# D) W7 j; J, p) l- x  e' i, _"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
5 [$ F5 J( F% f( }: U" E其详细讨论,似乎仅见于
0 _) I" v& K2 [  @# q8 T, a鲁金(Lusin)的"实变函数论"
- R6 @0 M. m2 c6 m1 s. e9 F里面,总书库里面有.
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
! W5 g9 r: I: q: `2 f6 b这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
/ a) F- ]( i1 j8 W' ^华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
: c1 K6 d2 P6 k  @的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
: j/ b" a* \# \- Z负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
+ T1 [8 ?  m6 D是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
0 F9 e+ c; W) g9 W5 X; _教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
理图里有.
12.何琛,史济怀,徐森林
"数学分析"
这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
% \: J6 F$ K3 S; B& {' ~就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
放在最后.
- r2 P- ?5 [- |; P% p6 Z! v  
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空间解析几何部分：
. w  q: D; y$ l+ v
8 d# A0 \& r/ H- i: U# f: C. s6 o1 S空间解析几何实在是一门太经典,
6 P$ J) y. z$ ]; ?! m' a. S: J8 P或者说古典的课.从教学内容上说,
8 t! K' |0 F6 V; v可以认为它描述的主要是三维欧氏
* w: v, o9 j1 X/ i; B( }. B空间里面的一些基本常识,包括最
基本的线性变换(那是线性代数的特例),
8 u+ Q5 s8 r, k& [" f4 ~% z和二阶曲面的不变量理论.在现行
5 n1 g& v+ g+ p' \! [的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
- `7 t7 \& H8 k* @" C9 ~射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
的内容还不是很好念的.
当然,这里还要提到十来年前大概
做过教材的一本书:
项武义,潘养廉等
  f$ M( |7 E& Z7 h, C"古典几何学".
这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
! _0 o* Q7 e5 U: d% O很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟)
" v' ], l" C- ?* V"空间解析几何学"
4 t. ~6 k% ?2 Q内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
: }& ]* b0 D% \$ }; M* u的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2. 於ρ*
/ U* _5 H5 `) S"解析几何学"
) o* }* U7 E# w% H2 B这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
  e& z! E, Y8 p的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
; y' D) l0 }$ |. v朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
  
$ Q- C5 d# p( l* j7 w, F. ]$ s关于数学分析的习题,还有一本书,就是
G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
% j- n4 h5 U- K+ b8 B' o' j/ a+ V: D在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
前面一半,后面就全是复变的东西了.
. h2 ]& I/ |1 x6 T该书的内容还是非常丰富的.
在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
题目难归难,后面还是有答案或提示的.
"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
到总书库里面去看看吧!
% E7 M3 p$ [0 x! T6 pLoomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
7 o) M# T  Q; a; o  [( D) N  
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
3.Postnikov
  m: E# F3 `5 J/ b* q' A"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
是要给吃到线性代数里面去的.
海外教材中心有一本英文本.
: r8 x6 w: ]  J; t6 [  |我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
; ]' r' g0 u% [3 R糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
6 `4 r' c! {0 r下放到高中里面去.
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
. Q9 B8 k3 D( a可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
2 F6 f) t2 h* P) q7 J相当深刻的了解.
  Y6 C; H7 x5 i$ {2 B" T4. 衣∧*
"(解析)几何学"
/ u: L1 z! i( T# {+ l$ O这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
3 q8 i" l# G* L% F' u9 `前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
写的.总书库里面有.
3 |9 x: ?5 z) n. h+ _/ M5.穆斯海里什维利
; n" V( U+ s1 J5 C+ m"解析几何学教程"
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
: H0 ?3 ~7 D. e1 b和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
而已).
  
; u% F) I7 ^3 m1 d* h==============================================

高等代数部分：

高等代数可以认为处理的是有限维
线性空间的理论.如果严格一点,
3 g: z9 Y! t1 Q! @& ^9 q关于线性空间的理论应该叫线性代数,
$ g& e* r' [4 C再加上一点多项式理论(就是可以完完
全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
1 }% R  n% @, X这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
9 n, _3 L, E0 ~教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
Higher Algebra.
6 D2 w- `& F/ F: p" w现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
! B$ S& e, B5 {用外校的课本在基础课里面是不常见的.
这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
! v9 j: W. t3 y8 Q2 ^5 R的特别好,恐怕说不出来.
6 a6 t6 l6 R% c$ }6 X值得注意的是95-96学年度,北大现在的
* ^7 G8 F7 N) U! p校党委组织部长王杰老师(段学复先生
的弟子)给北大数学科学学院95级1班
4 `6 @, n8 q  {2 S: c) u/ ^7 n" {开课时曾经写过一本补充材料,把空
9 L" l( c4 V: i, j1 C  h) E间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
的话翻印出来是件很好的事情(我的那
7 Y; M9 h; a" ^- f9 R本舒五昌老师给96开课的时候送给他
6 ]) V! {1 v2 n5 H/ D8 `了,估计是找不到了).
  
好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
0 `, s. m* o7 y/ E! ]# \* O还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
- H: }8 s; M2 R8 o从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
' _  U6 w/ l2 G线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
& N# d7 S* k' ]- |建立在矩阵论上的.
& U9 P5 U6 F  D. p而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
" s3 s% t0 w& s" c3 N$ @& k复旦以前有两本课本就是这么做的.
+ l- A: U* h# b, Z1.蒋尔雄,吴景琨等
"线性代数"
这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
- m. X; I. W5 d. K9 u( M数学专业相应的课程要高的.
1 ]4 o3 j7 K8 e+ M& k# s" {- [因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
  B6 P: T6 A3 X2 w3 D/ s2. 啦 埙等
  ?2 |7 y5 W5 e' M  r"高等代数"
8 G: Q$ b- |3 j这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
/ [+ R+ I& D1 H2 L( H+ D可能可以买到翻印的.
这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
的习题做完对于理解矩阵的
& C1 O$ n- H, |$ P各种各样的性质是非常有益的.
% t0 U& ~' x% k4 e( ]$ f当然这不是很容易的:
据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
# K! d! [' n- P6 u. C, o开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
可以来找我."有此可见一斑.
  
, o2 ?+ D5 F4 g4 ~+ ]" R如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
8 Y6 f, z$ G3 I8 ~2 O那么下面这本应该说是比较适当的.
; i( H  W; T; U: w, E3. 啦 埙等
"线性代数-方法导引"
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔"矩阵论"
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
是柯召先生.
- E9 T; ?5 Q/ n) \在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
阵该怎么求?请看"矩阵论".
这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
* q4 d+ `* N% V; n) A' `总书库里有.
5 ~5 x$ N) H, [8 ~图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
5.许以超
! G  K5 i6 y0 H0 L5 k# T"线性代数和矩阵论"
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
; u/ l) s1 s9 }" t/ D$ F8 B现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
  
6.华罗庚
4 d) F& T, e8 |$ j+ g4 Z! H9 T3 Q6 L"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
( \2 t8 I. m% Z7 X; l只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
. W! Y: p, ^3 D3 ^% t  ?: P5 \可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
$ l( b3 e  \$ n) b! d0 B(不记得是不是在这本书里面了):
. {4 P0 G" R4 L9 q! A& k+ k. Cn阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
9 N3 z  N) N0 {+ w4 j4 B" h把一组标准基映到1的反对称线性函数.
# r3 u4 q( c- w9 R* \这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
& q2 c2 O: j9 I3 U( b7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
! V$ |  b4 T6 x  c("抽象代数学"第二卷:线性代数)
这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
; s" {5 L: ]/ l' s, t) H8.Greub
; L8 n+ [& ?+ j& v4 ?& Y2 w' WLinear Algebra(GTM23)
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
值得一读的.
  
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
! J% H/ C7 `4 @$ z; C9.丘维声
: r# g& h1 E+ B! o) e) F"高等代数"(上,下)
5 k, i) J; Q# c北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
) m" y+ w" F9 ]6 N0 X8 E没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
5 X; D; P+ u* J" f5 o, ~, W几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
) R# W6 d( D; `" j& X7 R# A# |10.李炯生,查建国
"线性代数"
这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
7 o% N# I9 V4 \. k* q  
9 ~( n: q, ~7 _3 N! H==============================================

. L2 z1 R" U5 n, x) M2 K1 K: o常微分方程部分：

+ w1 R4 k3 O2 I/ Q& T+ N从常微分方程开始,数学课就变成
没底的东西,每一个标题做下去都
是数学研究里面庞大的一块.
! [: ]: o, p. B$ J6 `对于一门基本课程应该讲些
- r( |4 E- o! l0 P- v* o: |什么也始终讨论不断.
. W$ X5 `2 ~$ H6 Y" t这里我打算还是从现行课本讲起.
常微分方程这门课,金福临先生
和李迅经先生在六十年代写过
  x$ }7 D+ g3 S8 }: m* E一本课本,后来在八十年代由
) Q  l1 ^' k' I# `* A0 Y控制那一块的老师们修订了
一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
上海科技出版社出版.
应该说,金先生他们的第一版在今天
看来还是很好的一本课本(这本书估计
; [3 Y: e3 _8 [: {受了下面的一本参考书
! C) h8 ?# V. U- z" U的不小的影响), 该书在理图老分类的
那一块里有.
7 y" {3 s8 f$ n& F但是第二版有那么点不敢恭维.
/ Z& _3 A/ r7 s- e- W0 e7 V. G不知为什么,似乎这本书对具体
" j  }6 B/ }8 U9 r9 g" ?' \  Y4 }* z7 R: V方程的求解特别感兴趣,对于一
些比较"现代"的观点,比如定性的
讨论等等相当地不重视.最有那么
6 w! w5 j6 L1 z8 G; w3 q- A点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
$ C5 Q9 k% q, X& O8 L后话锋一转,说"这个题其实按下面
的办法解更简单..."
% a) D' a4 P' _' \3 ~$ J* v4 |7 j而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
. E# `& m- X' ?+ _# Z2 m! H7 C# _  
现代数学的一大特色即是已经
1 E2 X7 U3 t' w( i( [% L- b完全建立了一套自己的表达方式.
没有一个学科象数学这样创造了
# B# P/ c3 m1 X) j; J这么多的概念.
6 S  h. o" d* o现代数学的传播的一大困难也在
$ w* r% W/ j2 Z" R9 @1 V- P# I与此,要向一个非本行(哪怕是
- A! i, s( I2 ^) v; Q5 v* p3 {数学里另外一个分支的专家)解释
清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
9 l% Q& @( [% g; E' g  b' d但在另外一方面数学是如此有用,
而且数学的抽象性使得一个数学
& j$ V7 t& o! k. c$ X/ K观点往往可以表征其它学科的许多
) E+ Q4 E9 }2 L看似毫无关系的对象.所以现代数学
) }9 \8 m9 ], w4 w" b还是挺值得一学的.
自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
( s, {$ W- `/ i& G# }& q! ^% j从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
$ r5 e9 {( T6 {( G' M的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
$ L& V% I' G& R8 c8 i! ^& }. b( o; F以前上海科技出版社出过一套
1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
4 q" E8 B  V4 M至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
( J8 C6 z  b- A: A- X) h8 \2.赵慈庚, 於ρ*
"大学数学自学指南"
0 Z  Z. a9 Y0 G& N" g: k. H+ Y赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
好象是高等教育出的.
  
& |* A& J: |2 Y* `( @# p. E  K7 c下面转到欧美方面,
3.Coddington & Levinson
" X) x* r$ b, k% q* o8 a"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
7 D" k$ [! p" o5 I' i数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
4 I- y& _1 q$ |8 j* M着办吧.
' m7 c. v1 v$ w. F" c比较"现代"的表述有
4.Hirsh & Smale
"Differential Equations ,Linear Algebra and
Dynamical Systems"
(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
  h* @5 s9 a5 }) J9 W+ w非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
没有什么疑问.
图书馆里有中译本.
" N  \6 {6 g# H: y! D/ [- }# J  
# E$ v8 w3 Z% g/ O# f# g! j5.Arnol'd
"常微分方程"
8 y3 E: b% K7 c# k2 _9 U必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
' A2 ?9 l' B8 j, K- q: G相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
# {$ v% V  Y' A1 ]* ?也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
# Z& j" F6 q7 `就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
4 h; f/ {8 s2 T/ Y' R( q- N" @: KArnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
4 j! C! V. ?& q: X5 g互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
  C3 O6 s! Y7 X, L6 c说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
' f. [* k9 R8 q0 k; a0 x+ p们都是这么说的.
) m7 b8 B# A: O8 g( U) m0 [这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
7 U. r3 n# v8 U9 b4 [3 L& v' B竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
0 p! z4 s/ ~; f再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
1 j- b% |  |' L+ Q( W* i+ `自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
: L9 O3 @2 t/ f$ W& v) I- o& h6.丁同仁,李承治
6 e1 r4 ^& {5 Y4 S"常微分方程教程"
这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
3 m5 z! W' s3 s  g1 ~里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
* |; H$ S9 S4 X  
+ G5 O- H# ?0 w3 o3 Y2 P再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
7.卡姆克(Kamke)
1 D- L0 M( B3 }; u2 {: ?* E常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
- _0 s8 k4 t, P4 h理图里有.
; w# Q/ z# g2 o: |对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
% p' l" C! N& D5 G% F$ N我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
4 f8 j! O" r! G7 u! U. m" ^% A事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
这些特殊函数系的"完备性",象
8.Courant-Hilbert
"数学物理方法"第一卷
可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
7 S/ F: I+ S1 [/ M- F& ~1 E可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
) Q2 ~* W$ i8 g) i; |: b' M8 E一个方法学起来更容易一些.
# {8 l; U& w8 y而且,
5 l( J" r2 `( ^( u) w6 n9.王竹溪,郭敦仁
"特殊函数概论"
8 w9 o3 Q2 l. i3 f, m( q" f的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
, v! a+ B: P4 N$ u- {: z了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
' A% e3 U! D, y9 [7 d. |看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
! z+ a. X+ K6 J% G) \"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
; }1 k( X8 g$ t. R0 @- E连他老先生都如此,何况我们?
3 p) q; N* ^2 L- {: V/ {3 ^% u) n& s上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
6 d0 ]2 A7 a3 V3 ^+ P1 \有一本.
  
( j9 O  c6 y9 e6 y下面开始说参考书,毫无疑问,
我们还是得从我们强大的北方
邻国说起.
1.彼得罗夫斯基
"常微分方程讲义"
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
2 v$ T/ q2 Y; J5 ?1 j占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
# o4 m# r5 |& s- T' N- W. Q去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
- Q: I2 l9 o9 @6 }) z7 l/ R/ k4 m利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
% `9 {# ]4 ~( i! M2 r, V. E到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
' S8 V8 m3 O7 ?& Z3 O" U5 Z( V天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
( }( }( ~' e  Z他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
+ U# M: L7 N) {: |- r0 p! X! g- \- i官僚作风,讲法不是非常活泼.
# G2 w8 @+ E- G2.庞特里亚金
"常微分方程"
庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
2 L- Z; e7 B) W- Q! X双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
) _" A$ I) T8 q; p) i5 V3 f. r4 B的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
6 }. V$ |0 {. r: G- t5 o; W后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
- K8 r- C1 |. k) n下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
不感冒的话绝对值得一读.
, w5 [  [8 C. R& z. y3 a
5 l- E) `& P) C4 F! j! I==============================================
# j( }- y6 V; L- z8 Z$ g1 F6 t
复变函数部分：
6 [" E1 g7 z& d  
$ g+ S2 G( \5 v. ~单复变函数论从它诞生之日
7 [4 A6 W5 G. ^, _- h2 h% H(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
" @: C; Q" d- i1 u; f$ Z一样的地位...")就成为数学的核心,
上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
- i; E. t5 Q! ~0 g) \  M: v& y留下了一些东西,因此数学的这个分支
在本世纪初的时候已经基本上成形了.
到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
: o; c3 w& T- S3 v! S4 G必修的东西.
复旦现在这门课是张锦豪老师教.
1 E" Z, m6 _* o3 O7 r$ x张老师是做多复变的.毫无疑问,
8 h3 g# P& `% m' R! o+ I; E多复变在二十世纪的数学里也
占有相当重要的地位,不仅它自身的
内容非常丰富,在其它分支中的应用也
是相当多的--举个例子就是Penrose的
7 d( L# L. i. T4 c2 O+ ySpinor理论,基本上就是一个复分析的
. U5 J, A$ w; X, _1 t9 m问题.这就扯远了,就此打住.
) D1 }# N( Z% x0 Z, ]9 F! a. h1 U张老师用的是他自己的讲义,那
) W& w8 y1 m4 m# K" ^: Y! }书要到今年夏天才能印出来.所以
还是这两年上过这门课的ddmm来
, c' _: Q. r- C9 |& x1 F2 m0 @谈谈感受比较好.
% W9 i/ G7 Y; h9 Q% ~; n% H现在具体的情况我不是很清楚,复旦
以前有一本
8 T4 c- {  b5 n3 c. s1.范莉莉,何成奇
"复变函数论"
这是上海科技出版的那套书里面的复变.
今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
很难,包括那些数量很不少的习题.
: p2 U) g5 j: s) E3 q# p但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
总的说来,从书的序言里面列的参考书目
就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
上的先进课本的.
" t3 J$ {! K: {$ T5 i7 f不知道数学系的学生还发这本书吗?
# s" g, I* @& D8 }. ~; n  
如果要列参考书的话,单复变的课本
真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
( P3 E0 P4 V" v3 i. K 2.普里瓦洛夫
"复变函数(论)引论"
1 _: G% U- @. r( I2 O' D 这是我们的老师辈做学生的时候的标准
- a$ H. W9 w8 L% O 课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
8 T1 p* @- S$ t2 m 课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
  i% C/ M  T% A! L  s 普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
2 C' K; s) e. v: c, B" T/ q 无论是从教师还是从学生的角度来说),
+ k. D. q) d5 d* r1 R 有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
般地问了一句"sin z有界无界?"此人
) r9 d# I4 H  Z 稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
被开回去了,实在是不幸之至.
这书不在理图就在总书库里面.
3.马库雪维奇
* U% J; [6 }7 D4 I/ S "解析函数论(教程?)"
这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
- n0 ]+ U3 W7 J! N5 r 它比上面这本要深不少.张老师说过,
& d5 \+ H$ z; ^ 以前学复变的学生用2.做课本,学完
后再看3.,然后就可以开始做研究了.
- i) z+ Q/ n' L! Q. J- z- k 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
) L0 ^9 H4 q6 X7 v3 N 一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
1 A8 y  ~1 r* O, O7 p 它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
吧!
, G0 \4 r4 u# }. D& N  
8 f5 a8 W/ }# Y& a. {: }再说点西方的:
& L5 Y; H- Q7 U4.L.Alfors(阿尔福斯)
"Complex Analysis(复分析)"
( u$ l) R1 T4 d这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
Alfors是本世纪最重要的数学家之一
(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
0 I2 T1 C0 U. J2 L3 |他的这本课本从六十年代出第一版
开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
+ r! X9 b0 K& t) l5 R9 o/ u理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
记不清了,建议还是看英文的.
! K! }4 e" @3 @, w这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
" G. K& U" `8 T3 o+ B--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
2 [/ @1 i5 E2 v--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)
"解析函数论引论"
# V+ {" a7 i# Z这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
$ e% f9 `2 P3 l$ `$ O+ ?在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
要的地位.他在多复变领域的很多工作是
: Z. Q/ g/ y% D7 w6 S5 k  H2 ?开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
: S5 b2 y* o7 c2 }6 o(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
  
2 H  g7 t: |2 `1 @6.J.B.Conway
"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
8 s+ s: E- Q) R% o) r0 Y9 l% ]1 e) I( b( ?(GTM=Graduate Mathematics Texts,
是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
/ d- Z, v4 }) q. I1 b第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
要到第二卷里面才能看到.
7 T" c! O% U0 o2 K+ l: F# X7.K.Kodaira(小平邦彦)
"An Introduction to Complex Analysis"
+ j6 N+ X* ?! C这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
( f8 F) E" S9 K0 \4 R是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
- u0 V& j! ]. q9 H$ n有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
$ s/ j7 D: F! K- W9 J$ P我就找不出什么错.
# [7 q- `2 I0 a) E2 N0 C( W  H$ Y2 Y' |. u  
: s9 v8 {/ ^+ i5 o& U" Z人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
  A" ?5 g3 M/ O5 J, O1 S6 Y9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
5 e& D2 h/ z4 I& g# i. u& M3 t"数学分析中的问题和定理"
4 z6 n# V+ m9 {* g$ e第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
' ^8 W# c- V( J8 N4 s+ x) W习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
& ^* W2 {1 k3 P# c3 J5 W太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
3 @$ I: W  C8 x6 \1 k5 W有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
: `/ o/ ^) Z6 q$ S+ \' C" K* N* ?独立做出来的.
/ G3 |0 r( J) G* c. Y2 Y3 @& C9 J( a10."解析函数论习题集"
6 v6 H; H, q& M( E7 P# g. U- @% ]实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
- d) T7 n: h% e7 F忘了,这本书里面的题目相当多.
( F, e$ G/ ?6 i/ q3 u- O" v理图里面有,系资料室有一本英文的.
0 M  e- H) Q; _/ b其它的书我认为可以翻翻的包括
11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
3 Y1 x7 @0 k1 t5 ~& {从内容上来看,
第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
9 Z/ C- A- n: S4 ^都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
: [/ K" @$ x, A" }- a7 r(这部分内容在6.里面也有),然后去看
12.J.-P. Serre(塞尔)
4 J/ n5 y8 L9 P3 U9 x# ]" W"A course of Arithmetics"(数论教程)
第二部分的十来页东西就可以理解下述
Dirichlet定理的证明了:
* ?4 E  B$ I  g5 z: R0 `' O; g3 z"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
, P' ~1 C5 L* o& r) B* E8 A8 p  s代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
  
发信人: unix (  ), 信区: mathematics
- U1 q  Q/ n/ X& q8 e7 F偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。应该是不错的， 习题较多。
科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
8 a. k( O& a  Y5 @3 H  C5 Z& {6 |  
% ~9 a! S' Y) F' P5 T, c 在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
/ D3 _9 }1 Q" f1 }. x2 \ 理图里面还有
. F" u! C- q& ^6 V 13.庄圻泰,何育瓒等
"复变函数论(专题?)选讲"
0 h) e" M; v! T  T* D  K$ Q* @ 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
! {$ @1 z$ {% n1 e4 J 同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
本记忆中就觉得太专门了点.
( ^# G! @: E9 w* g 除此之外,讲单复变的还有两本书,
不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
图书馆里面都有.
! {0 J/ \+ `$ Q0 D 14.W.Rudin
( P/ ]3 v; G. @- i3 C3 j "Real and Complex Analysis"
必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
! i5 ?' G! A) I 再谈吧!
15.L.Hormander
7 F. a" I' ]8 a; k "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
3 [4 Q1 p( f) H0 x0 e+ a0 p/ x 他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
  `% J- h/ Z8 n5 ^9 N: m 微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
/ m' ]) a& o2 Q$ E! T9 \% }: ] 有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
1 O! D' r- ?. r6 m 积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
& G9 x+ M0 s- m. z" S 书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
( B) L8 t3 i+ n+ b 这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
奇异积分.
! J, n' K2 g9 c. f- j  
6 \+ f3 M+ }3 Y9 ^16.Titchmarch
"函数论"
% _3 t: F' \1 p4 C. u1 Y* [这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
1 R, ~& ~8 k3 W* e传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
; b* ]5 k4 Y0 E; N; k# d几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
17.戈鲁辛
, r8 `. r/ f. j0 ?! j+ H7 ~! H% G"复变函数几何理论"
1 ?; S4 F8 E# w这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
9 K5 v( X2 I  A6 o作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
总书库里面应该有,标题可能略有出入.
1 ]4 c9 `; U& ?: w最后讲一本书,不知道复旦有没有:
17. R.Remmert
"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
  
==============================================

组合基础部分：
+ [$ P  V/ _- t, e0 g9 F0 b+ e  d
这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu
"组合学引论"
的话,倒还是想说两句的.
8 C7 \# l# z5 Z首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
: V9 P, C( O  k8 f( b; u其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
0 _# k8 L8 B, O, H& Y! d! a& |- |(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
就该知道这些结果不是那么平凡的了)
$ T8 O, v* G9 z# w; e$ ]3 ~( H作为补充,可以考虑
( J$ z8 U" t" h7 t) X2.I.Tomescu
( W& B. `8 C1 A8 `"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
这本书有比较详细的提示和解答,
里面的题目也非常好,
高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
/ _% m. d3 d1 t$ A2 U不过复旦是不是有我不是最清楚.
但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
% R# ]& Z/ E; b7 R  a有很多:
3.Lovasz
"Problems in Combinatorics(?)"
这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
唯一一个得过wolf奖的组合学家.
唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
$ X9 L2 }, e# N- Z了点,不过千万不要被吓倒!
3 q8 ?6 H- d5 }; ^
& k, K/ `+ W9 R==============================================

实变函数与泛函分析部分：

+ k* p/ E2 w" \! b这是数学系的学生学到的第一门
. g  p4 b" ]: J完全属于二十世纪的课程.
这门课程的重要性是不言而谕的.
: P" }9 S1 }: `2 c6 z) e对于这门课程在中国的发展,
9 T* F( G9 f; H' k! h6 Z9 A- g许多和复旦有密切关系的前辈都
& L- n7 [5 ]7 s7 f; {+ i7 ~做出过重要贡献.
在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
  A7 }: R3 s# A先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
2 @6 P" i: {7 I2 x# N( B8 m: F现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
7 s. ?: G! P  a$ W9 ?2 E$ C, o即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
7 G/ b0 K7 o: b, U李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
3 h! @8 B& H/ I" A4 c; o: P3 B/ V8 g"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
1."中国现代数学家传"(第二卷)
1 |2 L. ^4 P' e  C$ n里面做了一篇传记,不可不读.
2 G+ q5 z* l1 {" u6 P& v) q0 G陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
  s' o, y) w# t1 {: d他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
6 r$ Q) O0 i4 V( \- N, v; Z8 L2.陈建功
4 x9 ?9 j+ }3 p"实函数论"
今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
3 A$ k  q6 _& D! V6 Q( o  C8 O陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
2 z( E1 b* u2 D: ^& G8 e+ d包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
* K' d6 c5 {- y- r龚升,李训经...
前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
6 g7 H) `' G8 ^一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
/ t7 x3 A+ x) D. ]; \那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
9 _" L& t! l' j* e. ^另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
; L6 D. v6 R5 C  Z  
今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
图书馆的(见内页题字)
: t% D3 s/ n0 o' R" _& [3 k3 w现在用的课本是
- R7 M$ M" F2 b' j* ~+ m( e- N& \3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
8 V) r6 E: S/ I9 A+ h4 d% u"实变函数论与泛函分析"
第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
贡献的最重要的课本.从1978年第一版
' {: R) E( W* B& u出版开始,这就是中国最标准的实变与
8 K& V$ R6 e" C2 O( P6 ?! n9 L5 ]泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
当年陈先生开实分析课的时候夏先生
做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
要求差不多,不是吗?*_^)
; y( c  \6 I$ T) U2 e夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
' w# n! O/ |" W7 A/ t那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
  ]1 G7 M! }# a/ Y8 w0 ^! d又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
: F3 Y) ?  h% U! b2 E" Q2 H4 ?' ?  b1 \  P而且回国后在复旦建立了一个相当
8 }( f0 M' Y* \! z. J8 j2 M强的泛函研究小组.具体可以看
4.杨乐,李忠编
"中国数学会六十年"
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
/ C4 X- \8 W. V: @的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
的学术地位!
夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
5 s& R. V" }( {% K( s2 ^在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
是这三样.

" `7 H3 x! g$ M' [  
我们一章一章来看:
第一章"集和直线上的点集"
这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
" v- O4 ~- T/ a6 X# G& b开始严肃地接受关于无限的教育.
1 @4 Q, h; S% |; p/ {具体的问题是教师一般都要在这一章
0 Q* J  S$ k7 }( e5 s3 n上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
东西学生以前根本没有接触过.我想今后
可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
' q* @. R! A9 ]$ e9 T9 C% E的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
也能看到这些内容.
大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
8 h, P1 P( E  c. s2 j3 Z; M在
5.E.Hewitt, K.Stromberg
& K7 x6 K( q  h( T- U% x$ s# |) |"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
- c' ~; h) W1 f7 _- E8 @等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
3 t- a$ d/ A2 pdoes not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
. D7 C* I0 `; o+ E& c9 B7 sneeded most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
6.那汤松
"实变函数论"
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
# \% t; S2 [% [这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
# S3 x" F, b3 c  }8 t) T- ~9 E建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
徐先生不幸于文革中自杀身亡.
% W; Z2 k9 }. T' D! r总书库里面有.
另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
" g7 ^% m0 W% {0 w2 B书可以参考,比如
7.汪林
"实分析中的反例"
/ L$ _, T1 y1 q3 b7 J  Z这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
; m+ m  C" O: n( v$ ~% N一本讲例子的书!理图里有.
和一些习题集和解答,比如
8 {) ^$ U7 w: t% S. i8."实变函数论习题解答"
这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
$ g/ z! b3 i0 g9 S' W) _不过好歹是本习题解答吧.
3 v$ x) y8 L  S0 c' K: k9."实变函数论的定理与习题"
' J0 ]$ r2 n/ l* O8 ~7 @7 S记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
) n4 U, |) a) {6 K( Q8 O- r里面有详细的解答,质量相当高.
! x5 K# P/ b3 r  
9 C- V# ]5 x/ V9 N- D# }
, ?: E+ {' P' N" B+ x3 ?9 [第二章"?舛?"
- k# y- b3 }/ E( U这是这本书上册的核心.
% V" M7 ?9 C$ D6 ^+ L' u9 c测度在这里的讲法,
! ~* N1 J  {5 H- o$ O1 W3 {$ y从环上的测度讲到测度的扩展,
基本上属于
+ z4 y7 I3 o; q4 n2 }% r4 h10.P.R.Halmos
- D2 q) ]" V/ l" ]' m/ X! u7 M"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
的框架里面.这本书实在不敢
& U: g) Y3 O# y$ G! T" H% z2 t评论,自己看吧!
这本书里面还有一些精选的习题,
, V! a2 ]& n+ I! Q0 P4 h3 `2 k) b3 F有胆子和时间的话值得一做.
2 y" U' O% H# d% f+ w9 _集环的理论
一本相当有趣的书可以看看,
就是
- `9 v' _$ R; w8 H2 L11.J.Oxtoby
: R3 r5 O7 q8 ^7 B% [7 O$ x" jMeasure and Category(GTM2)
这里的"category"不是指代数里面的范畴,
而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
现在可以来谈谈
3 ^' R8 [1 j: H; U12.周民强
6 D6 E3 E9 y# b, E2 v"实变函数"(第二版)
$ d8 v; g! T* V! P8 p这本书写得不错,总的说来最大的
好处恐怕就是习题很多,
3 \6 S5 u( c: m, U而且都是能做的习题--复旦的课本
# o$ O: U! n' k) ~6 }里面的习题初学好象是难了点,
特别是在没有答案的情况下:)
$ v7 W+ B, j. L, R; @还有一本很好的书,
, d+ A  }9 @$ @0 ^& @* J% @可惜至今只打过几个照面,
但是可以肯定的是绝对是好书:
/ H! K2 v  X- X7 Q$ f13.程民德,邓东皋
"实分析"
我见过这书里面的一个测度的题目:
$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
$ B+ S! D$ l) w( `3 g' g. p% S6 P\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
3 I$ m/ o- o. e! Z# q) x1 W需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
% k7 x+ l# o' I7 O的差别还是有用的.
  
: f8 B1 z; N( C/ [6 I- `第三章
这就是真正的实分析了.这里面应该说
每一节都是重要的.
在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
4 t/ z# d9 W! U& }! A& ]) T' ]. c# g下面的:
14.I.E. Segal, R.A. Kunze
"Integrals and Operators"
和
15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
"函数论与泛函分析初步"
+ v8 V/ c. R# u" W: Z这些作者应该说都是相当好的数学家了.
比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
( k! D: Z3 |& I1 s2 S$ y0 z最后问个小问题:
"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
' v4 a# d, z# w" o1 C" b这句话对吗?
  
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
- a! \2 T+ [# W6 p, o 先建立积分理论再导出测度的.比如下面
将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
. E% V- @7 d* H. X3 o "泛函分析第二教程"
/ l* d' m' q! K5 @, I4 G# b$ i 里面就有一些这方面的内容.
此外还有象
17.夏道行,严绍宗
4 w& g; Z* G2 ] "实变函数与泛函分析概要(?)"
(上海科技出的那套教材里面的一本,
理图里面有)好象就是按照先积分
* J1 p( m8 u" |( x3 s9 R& p& Y 再测度的办法讲的.
+ Z! `# O4 e; c/ I8 I* R  f. j# M 另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
"泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
( b/ B" b$ q# i 这也是不错的书.
7 h: v% e3 p5 V8 @ 对测度感兴趣的话,还可以看一些
动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
$ L/ ^& V  ^" i' O' b* q' f5 { 的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
  
第四章
: ]" B  T! l6 v& ]& Y  n3 W+ B( e  D从这里开始算泛函分析的课了.
不过这一章是不是一定要以这样的
# r' w7 Z  z6 t, W* e篇幅在这里讲值得讨论.
( l+ S8 D# [# J: h; T* x# H& X# J其实很多度量空间的概念在数学分析
课里面就可以解决掉,在这里应该只要
* c! Q2 B( m- j9 v* Y强调有限维和无限维的差别就可以了.
+ a$ G/ k* c, `% X& {: k  l上面的许多参考书在这里一样可以用,
2 @% b7 |( k3 r5 _0 `还应该加上的是:
19.汪林
' P5 E* j2 L8 p# a6 h+ A"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
整个泛函的体系都可以建立在上面,
* V" Y/ s5 s) _; X理图里面有一本
  B& \8 F# c1 Q# @* I/ d0 F20.夏道行,杨亚立
"拓扑线性空间"
  L# m" {7 [9 H+ G1 {不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
有兴趣的化还是看下面几本
21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
" O7 l7 Z# x2 t* q6 h布尔巴基写书是一章一章出的,
# K2 c0 s2 e  e5 T6 j% \这书能一次就包含五章,实属罕见.
而且估计今后也不会有后续的内容了.
3 ~/ C, l* i. p) c  
GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.Schaefer
- [" |! Y- Z  `8 W$ n: D) _Topological Vector Spaces(GTM3)
& ?0 g4 d& e# p  n3 L# g: @$ b和
: E; e' F; c7 K) }2 _+ W8 u0 x23.J.L. Kelley, I.. Namioka
Linear Topological Spaces(GTM36)
16.里面有一章也是讲这东西的.
- z$ s, W" R  l0 I其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
! H& \3 W4 H0 L7 c以此为出发点的,比如
! Z. M1 F" m. ]5 X$ S3 A( P, k% o24.S.K. Berberian
% j7 E$ G: u- K- N0 ~"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
# F! Q5 H. ]. P% I  W是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
, q: W4 m5 `4 v. U, _' {或者
25.W. Rudin
"Functional Analysis"
这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
  k, ~. M* [. g1 J# C3 s* G! I26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
1 |% a% C7 K6 T4 h6 B9 P) A2 t"Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
3 h6 ]  f4 d. K1 K2 D( ]- y, P不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
4 A9 \, ^- ^; o5 _就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
: E. j! T; ~# z/ p& ~' R2 k  @& u中译本的质量也很不错.
此外还有
: K7 H) m6 ?: S6 S! U) R27..J.B. Conway
5 |9 U: o9 N4 Y3 U"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
  
. F0 w! G' d# O' v8 q! a  j( e第五章
这一章讲述Banach空间上的有界线性
9 B9 J2 l- T/ Q算子理论.这一内容的框架性著作
毫无疑问是
8 N7 ?4 o+ [0 j" r0 q. f28.Dunford,Schwarz
"Linear Operators"I
/ y0 S  d7 D- `" F这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
6 H% l5 K* E# r6 @) m4 J3 b0 R' x为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
3 ^* p4 X7 b! d  o7 r$ ^: h中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
( ]7 K$ }( K% ?; B* F4 [( T- J5 a其它用得并不多.
前面列的各中标题是泛函分析的书这里
都可以用.
. p/ \$ G) Q' W( k2 V汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
3 K% X5 X# j7 }* N! I- a& O不自反的空间的例子在系资料室
$ Y1 S6 p5 e6 ^0 z# s/ C可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin
"Real and Complex Ananlysis"
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
! a2 Y) b2 R  v  I! l$ e( p在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
老的版本总书库里面有很多.
2 K2 d& f0 G1 D1 Q1 y0 j  
第六章
Hilbert空间由于其上存在一个内积,
5 o0 t% q( C# c6 R可以发展的性质比Banach空间要多得多.
从空间本身来讲,线性代数学好点对
: Q( r# H" Y. l( ?  D! N4 d& w% e本章前面几节有很大帮助,学的过程
. a2 z$ e5 l! y- b* R中密切注视维数无限导致的各种反例
就是了.
! Q& ~1 Z1 ?% d1 @算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
有限维的性质是可以推广到无限维的
对整个体系的理解很有用.
本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
如果第四章能省下的点时间的话还是能够
3 j) ^+ y: k  R* X, Q" i讲一些算子谱理论的.
) L8 ?: r9 x9 G' M6 L- C$ m这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
算得上一本杰作."The only way to learn
2 J4 N( D, d* umathematics is to do mathematics"就出自
1 ^- e( D+ v1 ~2 D1 _6 u* {6 ]# J这里.
) f0 L0 O: b  W1 \9 l& Q" b* ~  
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
; b$ o. Y: ?1 d: u! J4 x" A在16.里面有一章讲些基本概念.
这一块的文献也是浩如烟海,
因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
' _7 H; a6 }  T这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
# i& N9 J3 \9 C* f4 u3 F2 k7 |再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
' t+ Q) o- t3 m2 z4 |& v特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
, Y# D+ A& G9 P, X的联系,可以看
32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
# G6 D7 b; W* U) Y& \"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
2 o/ Q: s% ?  ]AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski
"Noncommutative Geometry"
! \& I) F5 b8 m# H4 Y6 ?% QAMS Notice,v.44(1997),No.7
7 `7 ^" S, b8 H( a5 p4 o还有
34.Irving Segal
; t# b- ~' Y3 T* @Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes
6 s  w6 y/ |1 w  d# i, O1 k; {AMS Bulletin,v.33(1996),No.4
因为
35.Alain Connes(Fields 82)
"Noncommutative Geometry"
# f  M' A% B5 f- d可以说是这一块的里程碑式的著作,
(33.中甚至说今后人们会用今天看
Riemann的就职演说的眼光看这本书)
所以对于这本书的评论很多也就
; Q8 ~& f- f. m" E1 Y把整个分支都评论进去了,不妨看看.
# v( D$ v  b0 \4 ?3 P5 \( K, kJones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
most aspects of `classical' mathematics
( `" z7 M4 O; w* ], P- \- {and sets us out on a long and exciting
voyage into the world of noncommutative
mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
1 m  |; [# P5 ^3 L有一些批评,也值得注意.
* b( P. e* x( h  
12.的作者J.-P. Serre成为第五位
' f1 w; |) t+ a5 ^2 c5 M: X+ f8 C7 R既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
/ Z6 N! a2 {8 D7 s( [! Q+ I& Q(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
4 ]% V6 Y: l! ^& U) ]  
8 N! d3 }. b1 j: h第七章
这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
4 r5 Z3 y# t1 K1 E, M6 q9 `0 @在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
主要问题是,就事论事地讨论广义函数
  Q0 T/ E, d2 F) z- f恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
3 H3 D1 q4 @5 j/ n: a3 J2 B& j你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
复旦的偏微是很强的...\\sigh
' I; _8 Z1 S+ F" J% Q, @5 ]9 C3 F- o在广义函数的标题下最有名的应该是
: f0 f/ x9 \, W% E' P1 U* t. S36.I.M.Gelfand等
"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
2 A! c0 U- l+ C4 e) h0 w( a第二本最有意思.
1 {' b" _* w6 j+ b% A另外还有两本好书,不光是这一块内容,
从整体上讲也是很好的泛函课本
% ?7 m0 F9 S) N" R37.K.Yosida(吉田耕作)
% R; h% \3 V8 A/ i, N9 a"Functional Analysis"
他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
$ N2 [  _7 K9 O: y: G; j# I一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
去年世界图书刚刚影印.
38.H.Brezis
! n/ }8 V4 h8 ["Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
5 o1 Q& t& c7 E, ]  J  \& D非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
如果能念法语的话绝对值得一读.
在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
: {4 U+ C- R! }5 `  
==============================================

抽象代数部分：

) Y& p$ e! j) c9 d  E有的地方管这叫"近世代数",
反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论
" B2 E/ J0 R4 |0 b: @( O4 W6 g是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
* S+ r# K9 j4 J% [写下的那封著名的信件(里面有
"你可以公开向Jacobi或者Gauss
, n& B4 s% H* _, H+ g提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
5 Z1 F1 V7 M" _3 n# M8 t法国国家图书馆).在后来的发展过程
中,代数结构话的语言逐步渗透到
( v" i# Y$ l6 U数学的各个角落.到今天这已经是
一门无处不在的分支了.
  Z& I( ^9 I+ P/ {) d不止一个老师教导过我们:
3 {2 b8 t* M( R0 A/ X在复旦,你们受到的分析训练将是
& Y& B) M* ^* _; Z( W; c很多的(充不充分要看各人的要求了),
但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
现行教材是我的本家写的,
9 {, P) f! k4 S9 R  f8 _总的说来作为初学还很可以一读,
+ p% T9 m. Y& y3 h原因将在下面说明.
. I- e0 l( ~: X7 M" |1 X  
北大的课本是
1.丁石孙,聂灵沼
"代数学引论"
这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
' Q6 h7 u1 @1 U# t7 Z& k8 x就是没什么自己的特色,原因是这本书从
: V5 t# w% \$ P- m/ y体例到习题在很大程度上参考了
2.N.Jacobson
9 b) E$ C+ ~# @4 a$ b' V5 S. F"Basic Algebra I,II"
) b# M/ C5 Q  ]! T) _$ p! n这书在总书库里面有不少,
理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
6 z: W' Z' C6 ~, @Jacobson在代数领域也属于权威,
8 m/ X1 s9 m$ x# [# f5 A& T是华先生同时代的人.这本书从观点
: e! P3 B/ K' q, {上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson
. L( R! K$ ?; \  b"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
要改进不少.
有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
4 ~- x7 _) t9 \6 c6 V/ q比较一下.
  
, [. i% r$ G/ i! {从习题的角度上说,可以看
2 ^( R7 Z8 ?# @0 w4.徐诚浩
"抽象代数--方法导引"
这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
可以罗列的参考书还有很多,
; F5 g+ z7 z( U: _. m$ R( z) r$ q1 s综合性的课本有名气很大的
3 H  j: C, e8 t7 t9 A1 v5.S.Lang
- E; z, _: c8 x- T+ _"Algebra"
, i6 s. C' h2 C. f. I" K" R- P, CLang写书以清晰著称,他的这本书还得过
AMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
"代数学(上,下)"
北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
推崇倍至,认为比1.写得好.
7.熊全淹
"近世代数"
这本书的好坏不敢评论,
不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
, J5 S5 l5 R$ n1 V; E比如许多American Mathematical Monthly
. T2 r1 r$ U  q6 e- j5 m上的短文.依他开列的参考文献到
系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
  
# D3 t- d! T- V3 d2 P& e0 s0 }4 i" B其它的就是比较专门的东西了.比如群论
0 P3 z' `) [( e9 j. y- W就有影响过无数学者的
6.库洛什
4 [& q) f7 A3 O* g: V8 U1 S"群论"
7 S  m0 Z" ~- \注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
  u# f+ t+ ~( {. }3 e或者段学复先生的导师Robinson写的
7.Robinson
/ m$ S7 Q- `0 @"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
多多指点.
# K4 J  L$ I7 S0 U对于Galois理论,有一本
8.E.Artin
"伽罗华理论"
# O3 ?+ O. ]6 `+ z非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
! `7 u5 |3 _: j4 A" C还有
9.Edwards
+ b# I6 h, F$ x% K. r) u% o! P"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
想法写的,因此和一般通行的教本里面的
* D6 V2 o9 \/ T" S# r讲法不是很一样.
8 y5 D, K/ _3 K% j' l' d! h4 m! r
=====================================================
- R/ y$ ^( H( D$ Z, i: y$ h" x  
数学物理方程部分：
3 e, M# [6 v3 B
7 D2 o2 B( F. _0 B1 a学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
* Y1 v4 Y- Q8 ?: O1 d2 s; }! s! q4 N故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
0 ~& f% Z% w$ ?# n1 ~, p) Z"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
特别指出这本书的原因是在复旦的课本
中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
习题解答的,那是80年代初,油印本.
6 ~7 b7 t6 D# b0 q( \. j1 ~能不能搞到就看各位本事了.
那本解答对于做作业是很有帮助的.
% |/ F$ {/ ^; X( W2 m( x1 u比较容易找到的书里面,
/ f$ D# h( V5 b5 |3.陈恕行,秦铁虎
7 h! W$ ~- |9 o: h# S3 }"数学物理方程--方法导引"
是一本非常好的讲习题的书.
# Y6 I. j  N& _里面的习题如果能够全部做一遍的话,
7 N$ q0 {! X* u应付考试是绰绰有余了.
% f; h1 D( W6 F  
发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
1 Y/ d. D  R7 T1 m" I说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
里面有翻天覆地的变化,古典的方法
* p4 @5 B, H. p1 s0 [和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
我想说起古典的,
) g$ R5 @: g6 m3 X9 Q0 s4 W/ e" b4.R. Courant, D. Hilbert
"数学物理方法"(I,II)
: V* B1 S$ y' g; d) E: Z, _$ R: C可以说是毫无疑问的经典.
按照洪家兴老师的说法,
4 V/ F3 v* x7 l" g* [1 ^不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
  @( D. Q2 p0 }, c1 u+ ?6 V, `这本书里面的相应章节都是经典,
7 V& E! F- B0 V; k问题就是这书放在一起你是没办法
! H, r1 V; {( M- [9 S当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
0 z2 i$ n. a4 B8 t经典的教材,大概可以算
  \7 w0 N3 K* C+ t5.彼得罗夫斯基
- |& r4 J% l4 ~; F& `2 u"偏微分方程讲义"
* y; e0 n* k) F0 Q这本书从风格上可能和他老人家那本
"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
6 A% Z! r' t5 i: v" n+ a% ]象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
复旦的本科也好象是不讲的.
4 j. T, H. h. ]我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
不怎么做东西了,主要的精力一直放在
0 A( {4 y. D, e2 |; Q为苏联数学界构造保护伞方面.
& C! t( t8 v& D% Z他最后去世的时候是这个样子的,
某天他到莫斯科市委会去开会,
" o* P- a) i6 t跟人家大吵了一架,因为基础科学
: I. z, C, B+ V' B研究的经费的事情,结果出来的时候
$ V+ ~) z# o8 H5 W在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
是:"我嬴了".
! s! G4 a# w  q. P1 U) [: _" ]3 x有这样的人存在你才可以想象为什么
8 [6 R7 g- @0 c) e人家的大清洗没有对科技的发展有
太大的影响.对于这个问题,建议看看
$ P5 X. ^$ T8 v+ W. P! C& `1 k6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
5 X7 n# P, g% h和
0 x: M' ?1 `5 G! Z7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
  
还有
8.O.A. Ladyzhenskaya
"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
4 Z% h# i) G8 T4 \9 L; I陈旧我也没话可说.
既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
8 x! G. S; ~! C. Y在这个方向上我以为
9.李大潜,秦铁虎
" F4 N# Z! [! C$ G7 [- u0 j"物理学与偏微分方程"(高教)
  G. ^- [2 C% b, F还是很不错的,上册已经出版,下册
- p7 w! `% j7 x也就要付印了.该书的起点并不高,
所以应该比较容易看.
据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
% z, z, k& B9 C书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
比如
# _5 o$ S: t4 e9 \; R10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
"Partial Differential Equations"
) w6 j, @1 Y9 u# y; pBers是个很有趣的人,
可以看看
1 r3 i* f/ c  }9 o  w) \11.L.Steen, ed.
"今日数学"(Mathematics Today)
9 u1 s* u8 C& F  G2 N/ A里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
. w4 }# n2 U. g0 z+ a5 h数学普及读物之一,绝对值得一看,
中译本的质量也不错.
  
12.F. John
"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有.
! M/ r9 M9 O7 v, D4 G  H, ]剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch
"Partial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor
# c# [5 l/ Q. a& \"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
6 i+ \2 D# ^$ @' y% J后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander
* L( l# J9 U2 e, V" O4 n& e"Linear Partial Differential Operators, I"
8 B3 f9 A% W+ \; N$ \% c" ]3 K要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,
8 D7 V6 _) I1 \( H7 ]只不过这位的来头比较大而已
' D! ^# K8 O* i% Q2 M--法国科学院通讯院士,46岁)
! i8 Y( |% n- h# c- \( X  
这是讲偏微分方程的课的名称.
顾名思义,就是说这里的方程原则上
/ Q7 V( t4 k+ W; a最早都是从物理里面来的.
这个分支里面的东西丰富之至
(当然往反面说就是有时候会显得
% i4 Z, {% ~6 f结果比较零散).
现行课本是
6 @/ e0 e, d& p2 ~) J* S" D- x1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
7 }& V% i- ~) n9 y5 s"数学物理方程"(上海科技)
5 U* k. y5 `/ g% s这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
$ z  [, ?8 C1 c# O注意那些经典方程的推导里面多少有一些
8 T7 B9 `: s6 a% _- F& O8 b近似的过程,这其实从某种意义上反应了
所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
0 M% p+ u0 z, t8 N奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
7 G# i; g/ _  i& G& J经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
% @- i7 |, a; M! @差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
0 h6 I' e: i- u3 c, D的推导里面是有近似的,这说明什么?
7 B( @: |* \- Q- L  f' D5 V: @. h一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
% @% E. B2 v: ]1 N( I有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
1 B/ _: l1 ^- W' i3 O9 W, t9 Q$ f1 r1 [证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
/ E3 v5 {- P' T+ j, F可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
  
+ i. O' b/ D0 ^  _========================================================
. Q+ ]6 p9 }/ H5 B& [
拓扑学部分：

: o$ C9 f# D# A8 A 我拓扑学得很差(从总体上说),
, X8 l, B/ I( v9 f 因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
1.李元熹,张国(木梁)
"拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
0 ]" h2 d0 ^8 K+ B. c2 R 都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
什么更好的形容词)了许多习题,
. R, }" d+ a$ B 做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
  _' J6 Q; Z( L 2.熊金城
"点集拓扑讲义"
5 \1 L, T6 [4 F% K& S 是比较好的.该书也有些名气.
8 J# M1 f- b+ x! E4 K- q 不过要好好学,可能还是看下面的两本
比较经典的书:
3 T7 ]- ]9 q) W# X; m 3.J.L. Kelley
/ w# l2 U+ s4 |/ t* h( d! i; T "General Topology"(GTM 27)
% F0 U- l3 l4 c5 ?% I; v 此书名头很响,55年出版的时候应该算得
上是把这一领域里面的结果做了个
6 W+ Y6 H- T; }3 |2 r 很好的总结.该书是想写成课本的,
因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
编号.只是....真要做起来未免有些困难.
. X( r$ `# n# F, P, A4 {  R' I 听说过这样一个故事,就是曾有一位
华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
" J* p) u. ^) D7 Q' z6 o8 E 说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
5 p4 a8 y, F  z, N 因为大家都明白这目标不是很现实.
我个人的经验是,在那个学期陷入各类
3 j, E/ q5 R4 t- } 考试的重围中之前,还做了前面两三章
( n0 T) n: ~4 v 的题目.是比较困难,但是做起来也非常
2 G) u: z, l5 b$ G% v% A 有趣.
6 v. S! N" G- a& Q5 A0 X, r  
- m- a+ ~/ K' T- p/ t再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业
: l, G3 K$ m. h8 m  V"基础拓扑学"
是北大的教材.
5 i% w1 s' ]4 d% m5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
; b7 H. b: {" i# w# r2 G(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
这是本极好的教材,应该
可以用深入浅出来形容吧!
+ n' P. Q* d7 s: I; |第一作者Singer就是和Atiyah
$ J5 y8 w  s  K5 W/ O3 _一起证指标定理的那位,说是重量
% t" X3 p. \7 u$ T级人物当无疑义.
! b( C9 [$ s1 T0 m$ R3 n如果你只想查结果,我觉得可以去找
1 Q9 x6 D% n* G$ b: d$ m+ R! o6.R.Engelking
"General Topology"
这书是七十年代末写的,内容翔实,
至少对我来说是有包罗万象的感觉,
6 `. S/ v7 J$ Q当然对做这一块的人就不一定了.
- v* c! O4 m$ N5 g3 P, h  
4 I/ f% J/ H$ {按照萧先生的速度,大概第二章还是能
讲大半的.
这里属于代数拓扑的起始部分,
参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
还有象GTM里面的
8.W.S.Massay
2 D1 E  D) X6 C"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
* _$ ~3 @4 f; H+ w) }) n. m; _也是写得很好的书.
我能写的大概就这点了,
还望大家多多补充.
2 L- P# o: y* G' I- S: e! u  
( j' O9 M" J2 p) b  k发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
0 n& h" t% C( _' ?8 F5 C: ^3 t7 Y/ a这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
4 }6 n- d; E2 H% z! f3 \, n5 w的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
当代数学理论的三大支柱。
如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
# R# t" p) T8 D" Q《拓扑学奇趣》
; V5 P: j& k. H5 e9 U$ W  z+ e巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
数量的有启发性的题目。
M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
) D% k8 v5 K/ @3 C  o; \$ I有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
/ T3 K3 b! I) Q+ g' j所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
/ q2 A' J/ T1 j" b. M* X由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
  
, C% R' g% U* Q3 t4 O& |5 F' x======================================================

% c# F+ s4 M5 r# I6 `) Z以下是北大的一位师兄做的补充
数学分析
* e" \9 A4 s' C/ t) k4 _/ j欧阳光中,姚允龙
/ {0 P0 j  W. \* H+ g+ T- h. V3 m"数学分析"
; E" f0 _. t! V1 a+ q' x* B这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
糊涂"了。
高等代数
# J: W; P- z" a9.丘维声
"高等代数"(上,下)
# `' N) r3 X, d* f3 X本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
经常至夜里二,三点.
单复变函数
* s. s7 q2 [% a2 t* u  ^11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
5 i! |3 e* p: L7 r% Z1 c3 `5 l3 @这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
6 W3 N4 P( P, }4 L文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
; e$ P' ?5 ]7 Q" k( w微分几何
0 @# n/ |, k* V( q2 G+ Q7 }陈维桓"微分几何初步"
这本书确实写得不很清楚,陈
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
0 W" U( ]6 q4 u( l* v6 f" r还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
=============================================
  
( I8 y8 t$ b" r# c大学里面念过的本科的课程,
基本上就全部写完了,
感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
) _& d: \# A# d* n1 u7 H" g我的"酸"劲.\\bow
其实严格说来这里面除了参考书的名字
和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
6 O& A3 f. W$ P; _意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
数学还包括了为数众多的数学家
1 g$ H! q" u$ ^. A4 Q的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
, P* A: ]& ]$ j. \, {! L是做不好数学的,我以为.
从技术上说,大学数学系的课程还有很多
- h- o( z! C% _" U没有写到,即使写到的这些,也有很多
需要补充,修改的地方,只不过...
我是没那心思了:-)至少在近阶段.
2 B6 H* o$ K% g) `' n希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
+ i$ p6 C8 ~( y多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
(为避免任何对于\\bow的数目产生
误解,文章到此分成两截)
今年一月,在经历了三个月的情绪极端
. y" Q0 ^& w$ q( j3 s# l2 d8 m9 y% `/ L低落以后,我打算开始重新规划自己的
未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
4 R5 r) A0 @) |: I% }5 ]# r这时候就有想到了BBS.
BBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
: ]! v8 [$ h# f# I$ i年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
水是前三年灌的水的总和的三倍.
可能和心情有关吧!)
! F* n' ?$ a! b1 T- P( D9 ]突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
点的水,去年底写的那些94理基的故事
4 b# W) _: I2 {! U3 ]% @9 [从效果上说,让我很好地把心情整理了
一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
+ L% Q7 G: y8 z应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
& U0 J. k( \* p9 j4 U从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
3 I& D: n: G' d9 W2 w; @6 H修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
: {1 l. C) y6 n0 N; }因此一稿三投连我自己也没有觉得有
$ z/ z' H1 e+ h2 I什么不妥.好象这也不违反站规吧?
写着写着也就到了今天.又是一个可以做
/ x9 X# o3 ^1 @( r"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
! @' `  i2 L8 L& t: q的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
zyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
standby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
darling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
+ }9 Y  v" ]5 q* e$ amax, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
0 I5 R# J7 L8 n. XDblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
5 B. m- \/ c0 N- n8 c9 B还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
' c$ O/ B; `. D6 p0 Q希望明天的太阳--无论是巴黎的,
& Q) K: Q! x$ q8 y. T: `& B
还是上海的--升起的时候,
大家都能有个好心情.
再次谢谢大家!\\bow
: Z( u, y. z0 |4 w. o2000.6.6 2

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！