抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

康斯丁

在附件中……

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
; o- N( V2 e8 [! @. O* T1 z

0 d' f, X, w' X% D! i
- f4 c! s6 \; R% O# A) G

. Y2 u2 ?- l" g6 ^9 b5 Q5 b! D- H- M3 P
. ~8 {: v. O8 v) q" ~
) n- y! D: a3 E0 D; m& X

! s; C. u5 N: }, f0 R) @

3 K$ t( P3 n* Y

, }. V+ s8 H/ s  p/ b6 j

xxgzftj

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
; L3 m, C( f# R& |1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

9 B# b$ m. `2 T# ?

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
        1 15 17 16 3 0 12 11  ...

% E& r6 T6 u3 Y
. C! L  [; }& _) G" _1231231234

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
% L  _' W5 U8 p$ s1 j        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
2 q# i- U0 Q) C% }0 N0 s        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
4 A. ]  k) X0 e( }; E        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
& F1 I# N  ^1 I* e8 N; [/ P% \        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
1 {# E  q1 {7 l7 A' |& a2 P3 l( }        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
! K( {7 M5 z% ?! W; J# z        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
# h( o, e& S9 t! _5 ~. l+ i        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
( u2 |8 ~2 d% i0 n+ ^9 i$ X! |7 ]        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
+ ]! H" P" w3 V. d1 b        <row>13 10 21 20 8 7 22 5 4 23 1 17 14 0 12 19 18 11 16 15 3 2 6 9</row>
        <row>14 23 3 2 17 22 10 20 13 21 6 18 19 8 0 16 15 4 11 12 7 9 5 1</row>
% |8 C5 @# @3 m0 V& m  I- C        <row>15 2 5 23 16 1 9 21 12 20 7 19 18 11 4 17 14 0 8 13 6 10 3 22</row>
        <row>16 3 22 1 15 23 21 9 19 7 20 12 11 18 17 4 0 14 13 8 10 6 2 5</row>
' X3 @+ n3 L& a. m        <row>17 5 1 22 14 2 20 10 18 6 21 13 8 19 16 0 4 15 12 11 9 7 23 3</row>
        <row>18 20 6 10 19 9 2 23 15 5 3 14 17 16 11 8 13 12 0 4 1 22 21 7</row>
0 X4 [" G) o3 a- z: v5 f3 j$ ^8 x        <row>19 21 7 9 18 10 23 2 14 3 5 15 16 17 8 11 12 13 4 0 22 1 20 6</row>
3 s  {* p& @7 r0 O        <row>20 8 12 13 10 18 17 14 2 0 16 22 5 23 21 6 7 9 1 3 15 4 19 11</row>
& a6 ^$ I4 _) g2 p. o* C1 i        <row>21 11 13 12 9 19 16 15 23 4 17 1 3 2 20 7 6 10 22 5 14 0 18 8</row>
        <row>22 14 16 17 5 4 13 8 7 19 12 20 10 6 1 23 2 3 21 9 11 18 0 15</row>
        <row>23 16 4 15 2 14 19 18 10 11 8 9 21 20 5 3 1 22 7 6 13 12 17 0</row>

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

: d2 b( N: Y5 q  b1 PS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
% a0 @- E: q5 jGenerators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
+ _0 E( a0 \3 j5 q Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

SubgroupClasses(S4);
8 g: o, B$ L5 T
NormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
4 U# p6 J# T- w) ^; s1 I9 \MaximalSubgroups(S4) ;
- Y. ^! G% B7 n9 \* Z5 N& A& Z& D
SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图

GSet(S4);
; B, C9 G0 G# M5 C0 m  a0 j5 cConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类

Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
9 U7 p2 N+ A# i8 }: M5 E, _    (c, b, a, d),
    (c, b)
+ Z) V0 X- f% a  \( s# e! n}                               两生成元
5 L7 ^( n, h8 T1 |false
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
& R  p" B' o3 L: _; s1 S( @# ~------------------------------
) P4 }6 h' u4 b8 W& }; V
[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& J4 A0 _8 @4 I/ E% [$ E        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
' c5 l( t+ m6 ~2 C' S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( e0 k9 l! W4 d/ g/ H9 r        Order = 2
  \* c  p! [/ E0 G1 d            (c, d)(b, a)
7 j( B9 P3 F8 }[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  x8 l. z: i! o* [        Order = 2
; v5 L" s7 \6 [0 @) W            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
3 y' X7 n8 I# i% N; Y# V, P            (b, a, d)
/ o& d* d/ O# `, a7 K8 t! B( G[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
' w! S3 L* V, \9 ][ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
1 N  s) I  N. s' U7 }[ 7]    Order 4            Length 3
8 m+ a* I6 K2 c! C3 v" u: S! `- W        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) I) y  c8 ^8 ~2 J( K        Order = 4 = 2^2
9 o: z% S1 o2 J6 R" f/ _            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
; V3 [3 P+ W# D1 S            (b, a, d)
) R! _  W, A5 b  W/ r: z. f[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
5 m( ]2 P, ?5 c. C1 a- ]            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 o) ]3 m; }- s3 S0 o        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
  g. U+ \' N3 ]; J            (c, d)(b, a)
# w$ ^: e" n' {- f" h( z            (c, a)(b, d)
* h( O3 k3 e% I, t$ e& _6 j[11]    Order 24           Length 1
& ]6 J( W" p5 W6 X) Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
$ b; z' Y. a5 u" U3 s6 w            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
) N6 ^5 b4 x( ~0 a) |* {" D------------------------------

9 r. b3 e5 Q( d  R7 q, A/ g[1]     Order 6            Length 4
2 f2 e! j! j1 c8 f* W2 l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
( X- W& l' [- o1 E$ {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. r; I* c3 |; Y        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
8 X4 d& Y7 a( L+ X* g3 ^            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
( F$ v6 X2 o: m2 k( `        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
" }6 e' b0 b( _) d            (b, a, d)
. ~; n  x2 ]8 \5 p            (c, d)(b, a)
5 W8 A2 T5 C6 u3 t7 y1 V            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
. l4 c4 {& r. H5 I  w- A* s[ 2]    Order 2            Length 3
) K; b! I  m$ R0 x" j        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) \- p& [$ }  C# ~; L/ k& |        Order = 2
            (c, d)(b, a)
  j" J4 f, Y: y* P$ d0 x& t' a, B/ n[ 3]    Order 2            Length 6
. j) ^( p) f* V' l5 `7 C        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& e9 c) M( F/ C: s, V0 c4 ^        Order = 2
            (a, d)
1 E/ {$ a' n9 s& h[ 4]    Order 3            Length 4
9 Q, g& f, v$ f1 k. T        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; t3 _7 ~/ Z- _. N- G        Order = 3
# X+ _& T7 b2 ?" R: X+ A3 j            (b, a, d)
, p/ o4 b: v. I7 |[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
0 e8 ?7 g: m8 G% U+ T            (c, d)(b, a)
, ^) C" P( }1 E' C" m            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
# t' Q( b) j, T, r9 @        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! S0 _8 u- _+ t! n- @        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
) v; B1 i1 k. [5 N6 O            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
& b$ x9 `2 U% X$ X! i% E( i3 T+ l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* f5 |) {/ A$ o$ s8 j* k        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
9 [* M. S+ d% @. E6 M+ t9 T8 m- U[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: d6 S7 O9 q# m& T- v        Order = 8 = 2^3
9 {: ]9 M2 ?7 |* B            (a, d)
            (c, d)(b, a)
4 y9 l" q" ^5 j9 I            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 I, `+ E$ r! {7 g        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: N. E6 H9 y5 v! p2 `# h: `$ }[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, Q9 `8 `1 L0 v) p- N" a        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
* j+ Z3 }9 L) u            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
" k3 O8 a; \  m: i# t) xConjugacy classes of subgroups
! T+ a2 X" Y2 |* J------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
0 d1 e1 F# ~4 H6 R9 l' @4 b[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 Q$ _9 X* Z4 O0 d3 |( W( u        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
% k2 A" a, X: c. V            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
. s( D6 `3 t! K% }! I            (c, a)(b, d)
[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
9 D* s- f- V3 m: z+ x  K4 R" r2 @: G            (b, a, d)
1 b9 r0 o: z# B            (c, d)(b, a)
+ B  j* y; U% }: f0 x            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

2 D3 a/ y  o. ?[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
% w# Y/ L' I8 Q9 s- B5 S! ~- a+ D[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- i: R; ]5 ^' H/ A; @) F3 P6 a        Order = 2
            (c, d)(b, a)
9 a. A8 D9 I& {# P, v[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ q3 [5 M0 L& T9 ^% `( m: B" _# L. o        Order = 2
; L+ f: I5 D. ~2 {4 e! V            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
! D% z3 A0 X4 K0 l2 v% a        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
; T! p' [% ?" |& B% u/ [            (b, a, d)
( A; L' u' n% Z" j[5]     Order 4            Length 1
( Q: P# t* y8 H( d. G" r8 C& E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
1 C1 u, z$ D4 B2 g' E            (c, a)(b, d)
- z! a3 X9 e( C+ X/ _0 u+ t3 Y; j[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
' f  J/ [$ L. R) e& {[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
: D: g5 C  g" g: ~' Q; e2 R) d            (a, d)
            (c, b)(a, d)
5 r0 w4 k2 \: P% [2 L; @' l+ w' w) ]Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

' }/ M( H( I% y+ X5 s0 u& b2 \[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
( d% z5 F6 z5 \0 I" ~+ S            (a, d)
- [6 ?; H4 s9 E* {9 w8 O            (b, a, d)
5 b' n8 e! A2 _2 v1 M7 l[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
" @! T9 Q3 w. d: n' ~; \            (a, d)
            (c, d)(b, a)
) T- r# |$ v8 m; U2 |0 F6 v            (c, a)(b, d)
4 g$ S2 n- o9 I2 M+ u% ^6 O. ]0 z[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
  e( Y; U8 x5 x: G  [' d0 n            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
! p- k3 V: C+ J# Y            (c, a)(b, d)
) o% h9 P' F. z* o* Z; t" O
  W3 S- _# O6 I( I! LPartially ordered set of subgroup classes
. y+ k5 T' \8 d! x- t-----------------------------------------

[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
, x8 U6 s' I3 u* N0 V6 z---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
, j* N+ R/ L" {# M' G---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
  P' m) ?, M! n3 e[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
; P5 w+ k6 ^0 N" J# G1 {+ r, b" {[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
. |; |" m" H% q8 s, a- ~0 T% s---
' t, |3 P  v4 j[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
: Q* S0 x# B& [# y( ]. ~[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
) R! \! R; |0 x7 {6 ^& O[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
4 @7 o" |9 ]# t# @1 s---
[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

GSet{@ c, b, a, d @}
% l. V( \/ }  T( |( P/ m* Z# SConjugacy Classes of group S4
-----------------------------
( ?2 p2 \, F" ^# ~" R) I[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)
6 l* }# s- @3 @( Y
[2]     Order 2       Length 3      
7 u* U9 P9 a& O. F3 A3 r; I+ }) \0 L3 p        Rep (c, b)(a, d)
9 E9 g' o7 O$ B8 e: p" ?
[3]     Order 2       Length 6      
& q0 U- O3 i7 h  B9 E9 A$ K        Rep (c, b)
$ Q; c$ z5 M8 Y% {/ w$ `6 U
[4]     Order 3       Length 8      
% D" D* A8 `. K9 @; k+ |5 u        Rep (c, b, a)

  o( ^0 z( u8 s; @+ K* M[5]     Order 4       Length 6      
& s( X/ O+ m& l! i) G; q3 y) c! e, M        Rep (c, b, a, d)
0 n5 D, Q' {* y: E3 A

! x2 c& L' T9 I, k! s" y3 j5

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题
3 h1 t: D/ k+ J! m$ K0 Y- R' K
9 ^: z& }: ?/ Z- e0 j) U2 L群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
6 d8 [- x1 n5 Z, Q- O2 H4 j
+ t- q+ N1 K. b; i4 y只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
7 A$ a! A5 {" Y1 ?  ]
母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

康斯丁

lilianjie 发表于 2011-12-29 00:36
8 m% w. X' u7 p  N. ?|G|=Σ[G：C(x)]

群G作用在自身元素集上，那麽∪ （gGg^1）=G

虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容，谢啦！

康斯丁

xxgzftj 发表于 2011-12-30 14:23
0 S9 X/ R0 c5 M: o8 N1）若S不为单元素集，记S'=G-S,则S'非空，取a∈S',b∈S,考虑aS是S'的真子集（显然a的逆元不属于aS）从而a ...

谢谢你的回复，不过这个aS是S'的真子集是怎么出来的？