抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

康斯丁

在附件中……

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。

  \# a! `% m" u- [* K( o. S3 d
- l( z$ k9 Q( N


( t2 K0 ?1 t$ ^1 j4 w
. Y  L0 y. [$ Q) B9 F


7 A1 E' o, @  a! F6 _3 `

: Y' `3 X0 d+ q; _( v

xxgzftj

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

' q& k% u, y6 o7 [8 w# x: C

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
9 U2 I- m& V' f& C0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
+ C! o4 O' x2 Y0 y        1 15 17 16 3 0 12 11  ...

( j7 M, Q! D7 P  L3 F0 ~
" J1 t4 A. \& g0 N9 m2 ~1231231234

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
& X/ t6 K% o8 y1 E' C  ^        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
; o1 F6 R/ f2 n. H. a8 e        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
7 a9 d3 G: }+ ]& I        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
$ J/ P8 B8 ^* {: @) Y) m        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
+ Y8 j! [9 C3 r! d8 V        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
3 S  s5 h" L& }$ s, |' r' R        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
! i( {; P- I  l2 l  V( s        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
        <row>13 10 21 20 8 7 22 5 4 23 1 17 14 0 12 19 18 11 16 15 3 2 6 9</row>
        <row>14 23 3 2 17 22 10 20 13 21 6 18 19 8 0 16 15 4 11 12 7 9 5 1</row>
# `- q! m, c. S        <row>15 2 5 23 16 1 9 21 12 20 7 19 18 11 4 17 14 0 8 13 6 10 3 22</row>
        <row>16 3 22 1 15 23 21 9 19 7 20 12 11 18 17 4 0 14 13 8 10 6 2 5</row>
' Y+ P% x) z/ R8 V' a4 p        <row>17 5 1 22 14 2 20 10 18 6 21 13 8 19 16 0 4 15 12 11 9 7 23 3</row>
, g# ]" i. H* d2 o( W6 p- y3 H        <row>18 20 6 10 19 9 2 23 15 5 3 14 17 16 11 8 13 12 0 4 1 22 21 7</row>
* c7 n! w! f6 ^2 l  R6 V        <row>19 21 7 9 18 10 23 2 14 3 5 15 16 17 8 11 12 13 4 0 22 1 20 6</row>
        <row>20 8 12 13 10 18 17 14 2 0 16 22 5 23 21 6 7 9 1 3 15 4 19 11</row>
+ f' x2 v0 _5 K' B1 X" H        <row>21 11 13 12 9 19 16 15 23 4 17 1 3 2 20 7 6 10 22 5 14 0 18 8</row>
        <row>22 14 16 17 5 4 13 8 7 19 12 20 10 6 1 23 2 3 21 9 11 18 0 15</row>
        <row>23 16 4 15 2 14 19 18 10 11 8 9 21 20 5 3 1 22 7 6 13 12 17 0</row>

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
5 R7 @! J+ T( K" ~- Z( Z9 u
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
* X$ t5 Y7 P" q. H! ?* F; E/ B> S4;
3 M; U& T0 E( u: t4 g% h& E4 }Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
. k8 U7 j9 v% ~1 d  L4 }4 N0 v Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
' P8 ~  }  y, i! w7 H
6 u5 @% J8 }& C8 A9 f. n8 `  sSubgroupClasses(S4);

" e7 P4 I! Y" T" A2 F$ s" M. XNormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;

) [! Q# n1 p' P, E% S0 HSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
8 W3 f9 _( e# Q$ X+ R9 |' P
GSet(S4);
. i4 i/ _: a3 i/ _9 HConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类
% f; O, O9 c( b; v( v& J
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
+ z2 k4 j- Q. X. i5 p+ w2 k{
    (c, b, a, d),
0 ^% a( W% }) l    (c, b)
}                               两生成元
5 H' G+ t1 h" Y& \. Q4 cfalse
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------
, B; ~" u! Z" V0 U3 V# ^+ K" b( y
/ L# L; t, `0 V9 h. T3 }) S[ 1]    Order 1            Length 1
" Q3 W1 p$ h3 }  u9 s, A; J        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ C6 d# p& Z& a8 @        Order = 1
8 Z! ?% N+ j3 d( V) J8 o+ `4 e. K[ 2]    Order 2            Length 3
/ }% M- q+ b1 ?& B6 q  ?2 c        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- ^/ }  v0 t0 A1 h9 f. X. N        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
1 u0 U, c' K2 u( g            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
7 o1 ~8 H* ?3 x& [4 L  P( U        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
  j3 o1 W: o" {) w( V& w[ 6]    Order 4            Length 3
9 ]8 L  x. K) `( [/ |( }( M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
) l' i1 z( Z# W4 ~% [            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
6 T" K/ ]; W! z. Q. d; b[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
" c. u5 s  d) J' c1 o6 |            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
3 X1 q* h# j2 I5 B, n2 P# u        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* Y' ]6 q1 T1 G  }; r        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
$ @* F; h- f% }4 V; M# N$ _            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
* U1 K+ D' {4 d. I* r. Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 M+ ]  y! @% W! O* ?( }$ }  z* y) n% I# Y        Order = 12 = 2^2 * 3
  ?( W7 n5 e3 R6 E! q- K            (b, a, d)
( Y' d; \/ A4 f9 d$ `            (c, d)(b, a)
) R( `" w  k% x) K3 s            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
; V) |+ G& L9 {3 G' `        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: \* w3 ~$ `9 A5 R' d1 `        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
( Q% q; U1 D& [# x/ h! p0 R            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
( `- a: Q6 N0 [9 V4 w  ?& s- x            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
% U; i  c7 G# N1 W2 J# j5 {------------------------------

! G, C! _+ V9 ~/ {, A) N4 V[1]     Order 6            Length 4
3 h; b: i) O5 d  x        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 }/ s: h! k1 z/ F/ p3 J        Order = 6 = 2 * 3
5 h+ B: X9 k# z8 Z6 |, m7 G            (a, d)
            (b, a, d)
0 b, S1 T4 {( W2 j3 R+ _[2]     Order 8            Length 3
* ?0 {, ]: s/ k3 H  w- y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; B1 [6 T% E/ m3 R9 h2 g        Order = 8 = 2^3
3 L# w" s9 n3 [6 n+ |9 Z            (a, d)
! j. l$ x* n7 c, @* M4 d            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ j- `/ x4 b7 R[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
9 M2 f9 p: y7 ]1 w$ }: e            (c, d)(b, a)
5 o5 E# b% {, H  q            (c, a)(b, d)
  e# e8 E' R4 y# I: M. ZConjugacy classes of subgroups
------------------------------
+ o" b& O4 J, i
5 L/ ~' W# V8 }: u1 ]5 M[ 1]    Order 1            Length 1
* x: `% v# G7 H; f3 C        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) a5 Z2 ^2 D0 v1 A        Order = 1
( q. v1 `9 p8 {[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 F& X, `2 Q. @: E8 }+ h        Order = 2
            (c, d)(b, a)
+ G1 L( P" L. z8 x0 E% L5 X[ 3]    Order 2            Length 6
  U+ ?+ W  B- Q$ w: {  c9 m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ }# J9 h/ {2 C; _; z        Order = 2
            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
3 y6 l' X; L# s% L        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
% n/ r) k6 ?3 y7 Y3 J) v            (b, a, d)
9 b4 t: d; e7 y$ p  F) x/ ?% I[ 5]    Order 4            Length 1
, u$ X0 M* n5 U5 U7 n        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- ~6 u2 [+ Y1 Y7 s& Z+ ^9 L        Order = 4 = 2^2
) `* j& v; B7 z) O7 F* A9 L" @. L            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
) N" ^! R/ w! d[ 6]    Order 4            Length 3
: u( g( B; W* ]# B        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
4 r# R- N$ e1 O. [! I; m$ i$ e            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
1 h7 ^. I4 v  n5 b. p* a) Z[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  W" c# L: I2 @# [2 e# ^        Order = 4 = 2^2
$ d8 Q1 @2 H. b3 _8 {% E4 o            (a, d)
) \# a2 ~. u2 o5 l2 l, r            (c, b)(a, d)
9 L4 ^# y+ S+ t7 B" K[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
6 v' b! ?' V5 d2 H            (a, d)
            (b, a, d)
- _4 O! g! G4 Y[ 9]    Order 8            Length 3
+ E+ R, ]. t$ ?        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- d% `/ ~# M  K. |        Order = 8 = 2^3
" M7 W/ z; x) I* {6 ~! D            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
! X: G5 ^8 s7 `* r[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
- @/ ~2 }$ r$ V. f) U* U+ n0 H8 e# m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: }" h+ m  r! Z5 G5 g0 C' pConjugacy classes of subgroups
* X) T! ^% y. Q------------------------------
) d) P; J+ e( M" D" e" o5 o
" T, J) g+ Y' _* h/ f[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
: D+ \! d0 z( A' O) K% R: I[2]     Order 4            Length 1
0 ~# `7 w; n: I  C% I        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
& ?$ A- R4 _" a: G5 D" |2 ^            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
/ ^6 j/ I& M6 a7 C1 B        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
1 Q) {6 s- _+ T, l; s6 ]4 P            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
8 f/ N" @" e& N3 m) {& }/ h; o9 |[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( a' |: M0 w# e$ D6 }, w* W        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
4 b0 k" Y: ~5 m& c2 ?7 `: h' Q6 V            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
4 |# p" `& u3 j! \' L; F  n2 AConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
) J6 N, Q: F1 V" d9 N0 v9 V        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
9 Y  d4 M& R$ x- _            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
8 i0 x% Z; N4 n, u# c        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
& ]9 P4 ?0 Y4 E+ J- z  i[4]     Order 3            Length 4
- E( \! Y9 J! y% |- h        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 L1 {7 W% |6 u# q4 D) F        Order = 3
! \; ]" _$ w9 l8 J* h  v0 J# i1 |            (b, a, d)
6 i' x3 E0 f, c5 @. u4 ?: }% d[5]     Order 4            Length 1
* z+ d2 t, Z- O, b        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
9 B' Q- f% a3 O, q& k* Y5 I' t$ I            (c, a)(b, d)
0 p+ i5 X. |8 b) |" h, h[6]     Order 4            Length 3
- u9 }( k3 t& |9 x- i        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! H, M+ P" ]5 m% M. f$ G' S        Order = 4 = 2^2
, S! h1 Q# Z+ E            (c, d, b, a)
8 e* _' L* {/ w- \            (c, b)(a, d)
0 j( g( R; f* H0 h. O8 k1 c[7]     Order 4            Length 3
9 `$ a- }; R: I- r        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
' [8 K; t+ Z/ S------------------------------
5 `7 ?7 r/ n7 g# f% O
2 l+ o% S, R3 a. |: n& `* X[1]     Order 6            Length 4
8 M1 [; z0 T  e: ?% U* g        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
! |* ]6 U& c# E: I, R: S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
, w- P' e/ v5 c9 l- Y            (a, d)
; c3 S! V/ I6 T+ |% F$ ^            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ L& O0 @. |, s9 I) Z' G! _[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
# D0 z( S# k2 C* f7 l  |* ^            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
3 L1 I6 S* q+ @8 a: {: u
* ~+ ]9 a0 }6 L' yPartially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------

, a+ T" \, c! W: b% s[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
7 ^$ V' Y: }3 Y3 z* d) Z, z[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
+ [/ ~+ V+ n( m0 d' r; J& U[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
: Y( J% x6 a  ?2 J3 ?! S[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
5 o- c4 a3 b" V  l  b[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

; T" K9 I$ G7 E, {" i" rGSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
1 ?7 }9 X8 ~! Z2 j) k" x        Rep Id(S4)
1 v6 }, `5 z5 ?  |2 |$ k& \
[2]     Order 2       Length 3      
        Rep (c, b)(a, d)
9 W* |. ^; X+ K4 f7 b) I
$ `  y8 p1 ?1 f[3]     Order 2       Length 6      
  y* G: a  [0 I4 R5 q        Rep (c, b)

[4]     Order 3       Length 8      
  l, H0 W, y" l; ^' m        Rep (c, b, a)

% w. x" |  e3 u6 ^( T; S# H3 Y1 o8 y& ?[5]     Order 4       Length 6      
! [$ l& ~1 b1 m. `5 X3 q* {5 H        Rep (c, b, a, d)


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lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

2 [/ i' j# w/ O6 I. K) U# m丘唯声的书上有你这题

0 ?8 f8 I' {" F# e群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

( W, k9 Y; ~9 h# G) o5 {- a只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

康斯丁

lilianjie 发表于 2011-12-29 00:36
|G|=Σ[G：C(x)]
' I% c: T. U# z
% B( k0 H! s* f4 b0 `群G作用在自身元素集上，那麽∪ （gGg^1）=G

虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容，谢啦！

康斯丁

xxgzftj 发表于 2011-12-30 14:23
6 h1 M$ l3 d: _6 J" C: v  ~1）若S不为单元素集，记S'=G-S,则S'非空，取a∈S',b∈S,考虑aS是S'的真子集（显然a的逆元不属于aS）从而a ...

  G) l. P  v* t谢谢你的回复，不过这个aS是S'的真子集是怎么出来的？