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导数（derivative function）

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YShangJ

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发表于 2012-2-8 20:29 |只看该作者 |正序浏览

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导数的起源
　　（一）早期导数概念-----特殊的形式
　　大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数f'(A)。
　　（二）17世纪----广泛使用的“流数术”
　　17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
　　（三）19世纪导数----逐渐成熟的理论
　　1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式。
定义
　　设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0).
　　如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.
函数的可导性与导函数
　　一般地，假设一元函数 y=f(x )在点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-x0时，函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率.
　　“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.
导数的几何意义
　　函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x
[导数的几何意义]

导数的几何意义
0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.
导数在科学上的应用
　　导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度.
　　导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.
　　如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为
　　s=f（t）
　　那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是
　　[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]
　　当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 .
　　自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程（如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）
编辑本段导数是微积分中的重要概念
　　导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function），简称导数）.
　　

y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图）：
　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。
　　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
　　注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
　　2．导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）
编辑本段求导数的方法
　　(1)利用定义求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
　　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
　　② 求平均变化率

③ 取极限，得导数。
　　(2)几种常见函数的导数公式：
　　① C'=0(C为常数函数)
　　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数
　　③ (sinx)' = cosx
　　(cosx)' = - sinx
　　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2
　　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2
　　(secx)'=tanx·secx
　　(cscx)'=-cotx·cscx
　　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2
　　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
　　(arctanx)'=1/(1+x^2)
　　(arccotx)'=-1/(1+x^2)
　　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)
　　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)
　　④(sinhx)'=coshx
　　(coshx)'=sinhx
　　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2
　　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2
　　(sechx)'=-tanhx·sechx
　　(cschx)'=-cothx·cschx
　　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2
　　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2
　　(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)
　　(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)
　　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)
　　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)
　　⑤ (e^x)' = e^x
　　(a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）
　　(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）
　　(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1)
　　(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)
　　(1/x)'=-x^(-2)
　　补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数，也包含反三角函数正指正弦、正切与正割。）
　　(3)导数的四则运算法则(和、差、积、商)：
　　①(u±v)'=u'±v'
　　②(uv)'=u'v+uv'
　　③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
　　4．复合函数的导数：
　　复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
　　5．积分号下的求导法
　　d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)]
　　导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！
编辑本段导数公式及证明
　　这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
　　
[基本导数公式]

基本导数公式
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0
　　2。幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数
　　3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数
　　4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x
　　5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx
　　6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx
　　7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2
　　8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2
　　9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2
　　10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2
　　11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2)
　　12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2)
　　为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
　　常为零，幂降次，对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式
　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
　　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’
　　2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
　　3．原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'
　　证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。
　　2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
　　3．y=a^x,
　　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
　　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
　　如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。
　　所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
　　显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
　　把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。
　　可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。
　　4．y=logax
　　Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x
　　Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x
　　因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有
　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x。
　　也可以进一步用换底公式
　　limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)
　　可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。
　　这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
　　所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。
　　5.y=sinx
　　Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)
　　Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)
　　所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx
　　6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。
　　7．y=tanx=sinx/cosx
　　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
　　8．y=cotx=cosx/sinx
　　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
　　9．y=arcsinx
　　x=siny
　　x'=cosy
　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
　　10．y=arccosx
　　x=cosy
　　x'=-siny
　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
　　11．y=arctanx
　　x=tany
　　x'=1/cos^2y
　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
　　12．y=arccotx
　　x=coty
　　x'=-1/sin^2y
　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
　　另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
　　4．y=u土v,y'=u'土v'
　　5．y=uv,y=u'v+uv'
　　均能较快捷地求得结果。
　　对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。
　　y=x^n
　　由指数函数定义可知，y>0
　　等式两边取自然对数
　　ln y=n*ln x
　　等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数
　　y' * (1/y)=n*(1/x)
　　y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)
　　幂函数同理可证
　　导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率
　　上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。
　　x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.
　　建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸.
　　并且要认识到导数是一个比值。
编辑本段应用
1．函数的单调性
　　(1)利用导数的符号判断函数的增减性
　　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
　　一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
　　如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数．
　　注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。
　　(2)求函数单调区间的步骤（1.定义最基础求法2.复合函数单调性)
　　①确定f(x)的定义域
　　②求导数
　　③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
2．函数的极值
　　(1)函数的极值的判定
　　①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点
　　②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。
3．求函数极值的步骤
　　①确定函数的定义域
　　②求导数
　　③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根
　　④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
4．函数的最值
　　(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念．
　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
　　①求f(x)在(a，b)内的极值
　　②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．生活中的优化问题
　　生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．
6．实习作业
　　本节内容概括总结了微积分建立的时代背景，并阐述了其历史意义，包括以下六部分：
　　(1)微积分的研究对象
　　(2)历史上对微积分产生和发展的评价
　　(3)微积分产生的悠久历史渊源
　　(4)微积分产生的具体的时代背景
　　(5)牛顿和莱布尼茨的工作
　　(6)微积分的历史意义．
　　7. 注意事项
　　1．函数图像看增减，导数图像看正负。
　　2．极大值不一定比极小值大。
　　3．极值是局部的性质，最值是整体的性质
　　8.导数应用于求极限
　　洛必达法则罗尔中值定理与其它微分中值定理
编辑本段高阶导数
　　高阶导数的求法
　　1．直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。
　　一般用来寻找解题方法。
　　2．高阶导数的运算法则：
[高阶导数运算法则]

高阶导数运算法则
‘注意：必须在各自的导数存在时应用（和差点导数）’
　　3．间接法：利用已知的高阶导数公式，
　　通过四则运算，
　　变量代换等方法，‘注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式’
　　求出阶导数。
　　常见高阶导数的公式：
　　
[常见高阶导数公式]

常见高阶导数公式
编辑本段Word中创建导数公式
　　在Microsoft Word、WPS等软件中插入导数符号时，一般需要借助其编辑公式功能，以Word2010软件为例介绍Word中创建导数公式的方法：
　　第1步，打开Word2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。
　　第2步，在Word2010文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“导数符号”按钮。在打开的导数符号结构列表中会显示导数符号、带框公式、顶线和底线等多种类型的导数符号。根据需要选择合适的导数符号形式（例如选择“横杠”）。
　　第3步，在空白公式框架中将插入导数符号结构，单击占位符框并输入具体导数符号数值即可

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函数, 法国, function, 百科全书, 莱布尼茨