数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
7 k+ Q- x6 A9 A$ _1 E3 m* F似乎丘成桐先生做学生的时候
6 z4 E3 K! \" Y# c. {" h9 d也曾收益与此.
到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
4 O7 t3 o5 L7 y6 U3 ~可能就是上面的书的新版,交大的
; K0 C; h5 e  u试点班有几年就拿该书做教材.
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
, V$ x; L" o8 j7 i& o% w) j的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
课本,好象后来数学系不用了,
. u$ p- t: m9 f& g% j: K7 ]计算机系倒还在用.那本书里面
0 a- @, D$ I6 B5 @$ h4 k) N( E据说积分的第二中值定理的陈述
0 Y7 |/ R4 c* [- }7 z# R有点小错.
0 a: b6 z; u' z$ y! |: A; E总的说来,这些书里面都可以看到
一本书的影子,就是
菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
3 r# q* [) D  S其原因,按照秦老师的说法,是最初
在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
0 }8 `& ~0 ^& B  x0 M& X4 Q是辛钦的"数学分析简明教程",
$ S5 x6 w* {! T* F; |7 ^而复旦则选了"数学分析原理".
后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
. m. l: V2 J+ l% {( G6 L/ r那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
来看数学分析这样经典的内容在国际上
的确是一种潮流,但是从这个意义上说
2 k: o/ k" G! w* r' @0 ?该书做得并不是非常好.而且从整体的
课程体系上说,在后面有实变函数这样
一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
积分值得商榷.
  
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1.菲赫今哥尔茨
"微积分学教程","数学分析原理".
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
, z9 [2 {4 o* t) S; Z此书堪称经典.
"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
4 Y, a: O2 F& s, t, A后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
- q: O& n& D7 @0 ]$ ?+ M/ U' c能够做教材的后一套书,可以说是一个
9 v2 ?, O. R, f/ q  D. A精简的版本(有所补充的是在最后给出了
' ^9 L4 W$ D8 l% U5 l* r( G一个后续课程的简介).
' L  T1 ^( v% O" e" z: i8 W相信直到今天,很多老师在开课的时候
  Q" _/ f' J; l" k& {5 ~$ m还是会去找"微积分学教程",因为里面
1 b6 y) `9 Y3 r" f6 R1 D的各种各样的例题实在太多了.如果想
7 D  _' g4 V# }8 s3 |6 W( P比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
- Q9 G# E; s8 E' V3 S* Y, @( D题都可以这么办的.如果你全部做完了
那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
可别怪我.
4 Q1 J: O2 N+ O( H7 Q毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
& Y6 Z3 J; k# r1 {处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
2 ^: e* t: ^) G: @+ y& [9 {这两套书在理图里面都有.
! v" [) b% F/ U/ k$ Y% w2.Apostol
0 ]+ U" r- r; ?- w; Y( L+ R"Mathematical Analysis"
在西方(西欧和美国),这应该算得上是
1 Y- ^- c) l+ B0 I2 }一本相当完整的课本了,在总书库里面
有.
% `0 m1 n6 k! F7 P! C; V, W3.W.Rudin
"Principles of Mathematical Analysis"
(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
/ j% J& n+ O1 w(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
# h2 Z7 }% A/ h' z) t后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
  \2 w- k- u3 ?1 X1 L' H! L想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
, u7 I0 O+ X8 V! fddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
2 N$ N/ D. Z% F9 ?  r找一本西方advanced calculus水平的书来看,
基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
3 {& U# w4 f$ D! y曾特别指出Rudin的书.
说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
可以一看的,就是
7 S) y9 n' E' b5 H9 O. k( Q' ?L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
* W* L4 L/ \8 ~  x+ E% L这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
课本.
+ z6 s- x. N" u7 Z# e+ u$ v2 H  
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
3 E; a5 Z" m2 n+ H北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
4 f- ?$ c1 ?& d) J: l3 k还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
" e' R5 o7 U! l: w" J习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
$ U/ m- k1 ^1 g+ {% f# b原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
3 C! c5 O0 Y: t! ?, C# Y4 i8 S3 U是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
; t" `7 N  C, ~1 h; Z- @9 n* T96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
7 t6 q. G, T1 Z7 Y5.克莱鲍尔"数学分析"
7 v; @' z4 M3 T$ s% D记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
理图里有.
1 R$ G9 i) ^# q( W! B: S. v9 M6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
4 ]) P. Z9 E- p+ E, a  u张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
( b+ k' Z. z8 z处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
9 w+ Y8 O8 a9 Y本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
理图里有.
  
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
* ?- b9 |0 ^$ H4 Z; M9 p3 K理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
" Q4 R. Y0 E* R% D+ H$ F80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
人家是苏联科学院院士.
' t+ Z- J( Y, I7b."数学分析"
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
6 A! v+ f) q7 n5 g5 E理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
; n# V1 Z0 q4 l0 Y0 Z  [/ T0 k) D/ z4 a. R的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的"高".
( E8 ^$ R1 H3 J4 G8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
4 t5 U3 ~* N  N因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
# e7 c- L5 {" }2 F( e"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
, ~3 H0 a' _+ ^$ t$ @之间.
' g0 W+ l: d$ q4 n  n  
10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
" C  y# U$ c3 h8 g. s5 e一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
其详细讨论,似乎仅见于
9 F1 T) N# [' v2 n# v" c9 n0 R鲁金(Lusin)的"实变函数论"
里面,总书库里面有.
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
1 b# b+ A: S: j* B的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
3 N0 k3 ^+ G: W% m理图里有.
12.何琛,史济怀,徐森林
"数学分析"
# L0 D! ]0 K, b; C# O: r" S这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
. q& d6 S# z3 Q* r9 P印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
- _. f* g  E  {, e% ?+ D  H3 i% D) S放在最后.
' P$ Q$ U5 X  [  
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6 r$ }( A6 \6 B空间解析几何部分：
, z8 u- Y7 L5 Y* U
2 R5 L8 R$ B; b& A, t. Y空间解析几何实在是一门太经典,
+ w. s0 s# \# [  Y或者说古典的课.从教学内容上说,
可以认为它描述的主要是三维欧氏
7 Q9 s1 _# o1 a2 n3 \空间里面的一些基本常识,包括最
. a2 r+ E+ _1 \- F0 \) V5 ~7 d! p3 V基本的线性变换(那是线性代数的特例),
和二阶曲面的不变量理论.在现行
的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
( b2 @- t: R: M; G, G, b* p9 J射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
的内容还不是很好念的.
当然,这里还要提到十来年前大概
, B2 j; x6 [1 ^/ o; z* Z( b做过教材的一本书:
项武义,潘养廉等
"古典几何学".
这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
; |) M$ [3 t* P* k7 s5 \& c7 R& U1.陈(受鸟)
"空间解析几何学"
内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2. 於ρ*
! D* l, G* ?' _4 T0 j"解析几何学"
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
( b5 [$ @' X, z  
. T& r8 q/ s' g! M关于数学分析的习题,还有一本书,就是
# n7 X, n4 g' T0 S* p8 @  EG.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
' W4 ]$ p4 @: v! [9 [% V! p+ {前面一半,后面就全是复变的东西了.
该书的内容还是非常丰富的.
在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
6 i' d, x3 [5 t# G都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
* E* y, s) c9 {) @题目难归难,后面还是有答案或提示的.
"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
到总书库里面去看看吧!
Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
  
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
0 }7 Z7 X* D+ ~: x6 p! c2 e" C1 E3.Postnikov
"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
8 M/ E9 }; ]# f& }( X2 S出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
3 ~2 E/ b( b( b; r( S. u学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
6 \: o  Z/ A8 I; j, f" Q5 ^是要给吃到线性代数里面去的.
$ o: K7 u. k7 i5 e$ s; u海外教材中心有一本英文本.
& }8 J" l5 H% y. k3 f6 P4 ?/ m0 b我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
8 |1 J3 `3 [( M" e4 X糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
! T+ @' Y- s- T6 [5 ~下放到高中里面去.
9 ]- T7 b3 f2 ~2 R; P: o0 U4 Q上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
5 o& O7 f! x1 }2 K可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
& y  c# A2 ?, [! Z, K% T  m0 K' P" u几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
相当深刻的了解.
4. 衣∧*
) c  g% r: N8 P, U2 @/ z$ \/ [- @' m8 c7 X"(解析)几何学"
这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
0 B/ M4 j8 ?8 _. N0 ^( ^7 Y* n前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
% z3 m$ A0 }1 o; ~& W$ |  [/ J% d写的.总书库里面有.
2 k5 a0 H, i6 {, Z/ l+ x1 ~% p5.穆斯海里什维利
$ W7 X8 O7 y/ g- q2 q. {& G"解析几何学教程"
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
' ]5 L8 E( D. |; C" V和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
7 e) b6 y7 i- |而已).
  
2 g' x* u6 b6 b) Y+ @; ^==============================================

! a  b/ n1 T2 \1 a高等代数部分：

高等代数可以认为处理的是有限维
# \4 A7 M1 P9 x线性空间的理论.如果严格一点,
; p+ x0 Y2 l1 |8 w, S关于线性空间的理论应该叫线性代数,
再加上一点多项式理论(就是可以完完
6 b% G( Q4 ~) X, R9 \" G全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
' _8 H+ @3 v0 B" W' u- R就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
/ ~  H3 g1 S3 q0 w# _Higher Algebra.
现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
3 h" T+ Y/ A% H, C用外校的课本在基础课里面是不常见的.
这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
6 l" `! |; k" I7 k) W; \的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
) w! U+ j% \2 k的特别好,恐怕说不出来.
! R( K" x! Q9 \# |, H% |" @2 r3 {值得注意的是95-96学年度,北大现在的
校党委组织部长王杰老师(段学复先生
的弟子)给北大数学科学学院95级1班
6 Q0 J$ n! |( K" u/ g& K开课时曾经写过一本补充材料,把空
, Y/ `5 _$ y/ w  y间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
* P/ U* P5 ?) w: a# L, j- H: ]( S的话翻印出来是件很好的事情(我的那
本舒五昌老师给96开课的时候送给他
& i9 _. h; F' o  Y了,估计是找不到了).
" f7 r/ Q1 h3 ^) |& g0 F  
( e/ q- ^) Y5 O6 g9 A好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
( F* g5 J) w  Z# |, `从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
2 e2 K) f4 q9 Z! i; G6 \2 p定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
6 a2 i" F* ^. U建立在矩阵论上的.
1 q4 f+ Z- P& i% n% R( G- |而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
"线性代数"
  q: B$ C7 D+ `. t- L1 L这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
数学专业相应的课程要高的.
. O! [, p+ D3 Q因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
2. 啦 埙等
& p  o, B% E3 Z' B! J"高等代数"
7 O3 l2 |6 K' l9 S) W这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
7 h& D5 h3 _6 J# X; U: f- v讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
可能可以买到翻印的.
6 a3 A5 e, W4 r4 i4 `这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
; k; W# R+ ]' l# {习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
的习题做完对于理解矩阵的
* r1 U+ M% m, v+ P1 |4 {各种各样的性质是非常有益的.
0 R+ V7 I; x' h' C/ Q8 D& y当然这不是很容易的:
* x: @, M$ C- x+ v. H1 I据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
可以来找我."有此可见一斑.
2 |0 W* \+ k1 {: ?, ?( E! @  
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
那么下面这本应该说是比较适当的.
  u+ a4 q% m$ L9 N" K) Z0 _3. 啦 埙等
7 x$ L# n: G$ k- \2 Y  @"线性代数-方法导引"
- |, z# \  A; j, a% o2 Z- g这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4 k; y9 E, X4 A0 q  q5 S% l4.甘特玛赫尔"矩阵论"
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
是柯召先生.
在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
阵该怎么求?请看"矩阵论".
. c( W; ^  o4 g, f& j0 t. ]: N这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
& h. ]5 {0 z9 c1 A5 W总书库里有.
" D% {- Z. G$ m- c% W图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
5 C; x3 F; z( H8 y, e& x. u5.许以超
"线性代数和矩阵论"
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
3 B7 `) q; S% r4 S3 b/ n' v念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
: n/ v8 t) Z7 E# T. ^现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
3 n$ \1 L" V/ t$ q# F是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
. M- q" ?( G$ l2 f: I) h% ]空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
  
6.华罗庚
"高等数学引论"
- N9 X& w. C* T# o7 L9 X: c4 m华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
) h- E: k+ h2 w9 V, k# w只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
(不记得是不是在这本书里面了):
* I! Y1 w" G; d: B9 \9 yn阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
把一组标准基映到1的反对称线性函数.
! H. @* E; m  U5 f这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
& v4 ^& q0 M, N+ M( u, w7 M7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
  ]7 D) G# r+ f" U% pGTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
% _$ U* U1 e$ f1 J("抽象代数学"第二卷:线性代数)
这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
3 p1 R& l; C5 W9 l. K已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
: Y$ Q0 k6 k: D4 q0 Z2 B2 S此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
8.Greub
7 Z( b2 z/ H. H- [$ S2 JLinear Algebra(GTM23)
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
值得一读的.
  
7 u) w4 a8 {' ]" s还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
) i' ^4 b  V7 z1 h2 V; `) P9.丘维声
+ D7 @! e! |$ z$ w& L6 D"高等代数"(上,下)
北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
5 g0 Q& n3 V7 E# v! |2 @! ?, _没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
! R5 ^9 K1 \& N3 ]8 u/ W10.李炯生,查建国
9 ?$ I7 F2 M1 U7 H  i0 J5 U"线性代数"
& I* Q! `  Q) L+ U+ o# a这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
; i3 G3 N, Y* H! M内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
  
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常微分方程部分：

( S$ M9 `5 v, N$ P* J  P1 N) \从常微分方程开始,数学课就变成
# }( T. A6 Y3 B5 y; d4 F0 n$ h7 N5 q没底的东西,每一个标题做下去都
是数学研究里面庞大的一块.
  o% W  {$ ]. x对于一门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断.
/ ^' L& D$ h1 U3 w这里我打算还是从现行课本讲起.
3 d# T4 @0 U. I; I: V  l, D* C常微分方程这门课,金福临先生
和李迅经先生在六十年代写过
% a) W( s! |* a; j+ N一本课本,后来在八十年代由
控制那一块的老师们修订了
$ v: T; Q, X1 X0 }一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
) G4 j$ \, E, m9 a0 I上海科技出版社出版.
& J; m  f0 T1 x- B应该说,金先生他们的第一版在今天
/ Q% K/ X$ i9 C  d% Q" w5 o看来还是很好的一本课本(这本书估计
" n) f3 f1 d; T) G& r受了下面的一本参考书
的不小的影响), 该书在理图老分类的
' W& O5 }  o& C9 ^2 P. ?$ R那一块里有.
但是第二版有那么点不敢恭维.
1 H7 ^! {$ `! E! `不知为什么,似乎这本书对具体
' }; H* p- f6 W6 g方程的求解特别感兴趣,对于一
  X1 Q9 Y/ N2 W, X/ i5 O" [9 _6 L些比较"现代"的观点,比如定性的
+ ^  {- t& I& Y- s9 ^讨论等等相当地不重视.最有那么
点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
8 I" s# N4 Q% ^. m! m! Y( O后话锋一转,说"这个题其实按下面
. n8 Y: `' Z. j的办法解更简单..."
, E% Z0 G/ q$ w0 @而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
: _, ]; }' W9 n1 L* {, Y  
现代数学的一大特色即是已经
完全建立了一套自己的表达方式.
, p# q5 G% D; K没有一个学科象数学这样创造了
这么多的概念.
+ H( t; d. v2 a现代数学的传播的一大困难也在
% [# x% K8 _- z/ g- J与此,要向一个非本行(哪怕是
数学里另外一个分支的专家)解释
清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
但在另外一方面数学是如此有用,
而且数学的抽象性使得一个数学
( X- i2 p- n% k1 P) ~6 t. Y9 T+ O3 G; b观点往往可以表征其它学科的许多
' c8 Y, h  J  P* d$ H# T看似毫无关系的对象.所以现代数学
还是挺值得一学的.
自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
! ~7 W. R$ r* \0 n5 p; t从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
, i( a% E6 x+ u; \' e# A的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
3 N/ }; G( M+ s. ]' P7 z& b: w) A  q找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
( d: I# S8 W! b以前上海科技出版社出过一套
+ L2 M: V9 R2 o) |: ~7 X1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
2.赵慈庚, 於ρ*
"大学数学自学指南"
" D: \2 G- {% Y+ ~赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
! `  |% q) F* {% }  h以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
6 K, b) Y& H3 e9 d% f关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
4 o5 y6 O  k" b9 x好象是高等教育出的.
  
0 N9 B; x7 X: h" r4 C下面转到欧美方面,
3.Coddington & Levinson
9 o/ F- f$ r# t"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
2 T, E3 d' p: q& }7 ~5 e6 j这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
5 L$ H' d: ^+ a, v$ C5 S7 a  ^着办吧.
比较"现代"的表述有
4.Hirsh & Smale
1 |' _: O. |4 }) p, x5 ~"Differential Equations ,Linear Algebra and
Dynamical Systems"
- V2 o. X* C3 {2 c* a(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
/ y- \) q" e- P* Y& q/ B" J, @- c这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
( J/ R) d8 i- H+ C1 Y7 O6 M2 h城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
没有什么疑问.
3 d3 R5 L2 G, B" R- S+ g图书馆里有中译本.
3 v9 @* h, ]$ h8 A3 O  
: ]- R/ S9 t, _- d( ^7 n5.Arnol'd
6 h) y$ `9 P4 N! c$ h, l+ A- Q" o9 Z"常微分方程"
1 {/ y& i% ]+ G" R; Z9 Q  d- I必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
' ?1 D2 C  }" V6 [4 i$ M以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
( W. b) X' {% M' t9 X) e也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
6 i* l# \& Q  y- S1 W$ ?喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
  a6 S2 c" {% u就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
& O- p0 G$ U3 B- o8 O4 t* n- {- jArnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
' W% y% e" S, a0 _! c% J# t9 _对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
/ n% q6 q0 ?# k说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
* D, K2 c0 F; `2 ~9 \们都是这么说的.
6 J9 i  o. B! k; L这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
8 P& z  @' g  u& P) B4 {3 a竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
" r1 b& D6 \. O  [. X) k& |的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
0 a  \9 f2 N2 [- L1 z6.丁同仁,李承治
"常微分方程教程"
: o1 c* {- H; ?- \5 T! O! O, s这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
) z3 Y9 M) G  r" d& @1 }7 k  N观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
# ?7 s9 U7 d  W袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
( g. e  G7 J( N1 O, K4 w& X( u  A附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
! H6 ?& l. Q5 t! M  
: C; o5 V8 Y( [5 ]1 B+ U再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
6 X0 B3 Z* g  |/ b" G1 @/ Z7.卡姆克(Kamke)
! |! B  m) j9 D/ `- r常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
. a8 Y' J1 T: }" J: x( |$ i/ ?理图里有.
对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
# ~  ~3 s8 m/ N0 x$ Y0 c/ a# y和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
( c1 t3 k4 E* U- F  a物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
4 X1 {4 o+ {$ z事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
这些特殊函数系的"完备性",象
8.Courant-Hilbert
"数学物理方法"第一卷
& R5 g8 h# M3 m; r+ ^2 C" Y2 e可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
. d; r$ ~7 W7 k- `" i0 K9 {并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些.
而且,
9.王竹溪,郭敦仁
"特殊函数概论"
的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
% B$ `7 H' z3 p* W了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
# O( L$ ?, L3 v* V) [% V看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
8 t( Y* ~* K% ~5 P; X. X'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
连他老先生都如此,何况我们?
上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
- ]8 J  U7 ]8 L4 ~8 i2 f# l, d有一本.
  
下面开始说参考书,毫无疑问,
我们还是得从我们强大的北方
6 N9 }' r0 S$ {+ Y+ z4 o0 j邻国说起.
1.彼得罗夫斯基
/ f0 K, `# Q! _1 w* J"常微分方程讲义"
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
" H+ N5 t, K5 v' r- E. E! P在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
# t4 q; R' C8 p% n! \3 @1 h6 K5 w- V到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
' y* T2 X1 v( o3 F3 Y8 h* h天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
  O7 {( z6 K5 t0 T9 Y他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
4 n4 R2 L: m- D+ m和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
官僚作风,讲法不是非常活泼.
* \" d; u# [( B) ^4 R2.庞特里亚金
1 i9 |# h0 Q7 e. s"常微分方程"
6 {) _% j3 j  k2 R$ g庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
/ G$ z8 D; }& a1 E$ W% `的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
$ ^4 ^( I" O* Z1 b- I7 y影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
不感冒的话绝对值得一读.
8 y# Z3 ^1 J' q& z* N+ b# ]6 U
- B( Q/ C$ W+ s3 {6 y/ _# S4 M7 \==============================================
4 ?7 f$ y& b8 h
复变函数部分：
  
单复变函数论从它诞生之日
(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
一样的地位...")就成为数学的核心,
上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
( `+ \; w* b2 y/ j% l  `留下了一些东西,因此数学的这个分支
在本世纪初的时候已经基本上成形了.
到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
必修的东西.
复旦现在这门课是张锦豪老师教.
$ r7 S) d* s! ^& }# X张老师是做多复变的.毫无疑问,
多复变在二十世纪的数学里也
占有相当重要的地位,不仅它自身的
内容非常丰富,在其它分支中的应用也
是相当多的--举个例子就是Penrose的
Spinor理论,基本上就是一个复分析的
问题.这就扯远了,就此打住.
1 @: \1 ?" `5 b; ^" w: U张老师用的是他自己的讲义,那
3 |# I8 f3 W* m8 u书要到今年夏天才能印出来.所以
$ {. O; y+ S5 y- c8 J' L还是这两年上过这门课的ddmm来
谈谈感受比较好.
. a4 W0 B0 [( \( f% f2 u现在具体的情况我不是很清楚,复旦
以前有一本
1.范莉莉,何成奇
2 H5 v1 c- @& v"复变函数论"
这是上海科技出版的那套书里面的复变.
: x* E! ?* u7 F2 m今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
% X2 j+ c6 h0 P1 P: O很难,包括那些数量很不少的习题.
, X6 t/ N4 M$ V( c5 n% B但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
/ G8 f; Z# H, n1 v1 z$ J; ^6 Z总的说来,从书的序言里面列的参考书目
- Q6 ^7 f; |8 B6 T' Q就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
上的先进课本的.
不知道数学系的学生还发这本书吗?
/ c7 i* a7 P; R# u  
9 H6 C# G# E' R; s8 T 如果要列参考书的话,单复变的课本
! g3 d1 H  h: j; Z, B 真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
* I7 J& O' P& T; F 2.普里瓦洛夫
% Q% A% ~( f, V8 w+ x "复变函数(论)引论"
这是我们的老师辈做学生的时候的标准
3 @+ l; u2 F- u) U) D2 u3 c1 k 课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
" M* W8 k. x; R( b  b7 C 课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
; E' X' U2 B: f# h& E- G 普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
; G/ C( n5 v! h- B9 {6 { 无论是从教师还是从学生的角度来说),
8 o& W: t; |& V' X/ n 有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
" K' u; A3 @9 M/ N" D& z 般地问了一句"sin z有界无界?"此人
4 W* c7 y5 Z1 G- H$ J 稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
2 r9 V8 G& ?# |' O6 y; _ 被开回去了,实在是不幸之至.
8 Y6 F3 v7 b8 L0 J8 h# v 这书不在理图就在总书库里面.
3.马库雪维奇
+ I$ n" B6 B& N2 T "解析函数论(教程?)"
这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
它比上面这本要深不少.张老师说过,
4 A# d# I/ e' u1 d. J 以前学复变的学生用2.做课本,学完
9 l) N2 b" S& [: ~8 J% S% i8 v, ~ 后再看3.,然后就可以开始做研究了.
这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
% t# L+ I* Y: O" j 一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
! L. i/ p; P1 b2 J 它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
吧!
  
再说点西方的:
* Y" K" ^8 S! s" @4.L.Alfors(阿尔福斯)
"Complex Analysis(复分析)"
这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
% a* x4 R7 u' M/ AAlfors是本世纪最重要的数学家之一
" {7 N6 Y8 E- M(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
他的这本课本从六十年代出第一版
' U+ [' P+ ~- V4 s" @& {4 y, `开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
4 Z0 r. q/ h& c' }: B理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
8 }6 e# @) a) l4 m( Y记不清了,建议还是看英文的.
这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
- w( i) _; h" T--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
可以说是相当好的.
; }5 J' g# e. ]$ X0 W) Z5.H.Cartan(亨利.嘉当)
1 Y# N2 C& Q$ Q8 o7 Y2 }- J4 Q"解析函数论引论"
( i% l% z: T0 _7 l% r7 ]这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
要的地位.他在多复变领域的很多工作是
开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
$ ]+ J* m6 K% x( ]9 K7 ?8 b(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
2 {) C9 S5 p7 Q0 N4 ?  
9 M& G& [8 p! _+ P" R" y6.J.B.Conway
"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
(GTM=Graduate Mathematics Texts,
是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
$ s/ h! V2 U, p# s了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
( @6 `' q. Y& g' i这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
2 t* P4 F0 ^* R7 O+ z% G对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
5 s6 t' B( c) v9 H要到第二卷里面才能看到.
+ N2 E9 O0 _, u! j* P' _% g7.K.Kodaira(小平邦彦)
"An Introduction to Complex Analysis"
9 v: |' W! @& h0 K7 n% f5 m6 Q这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
( u' D! {; ~+ S* [: S; i是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
: ?) T. J3 U7 N. A2 w" d" O6 ?  g也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
2 Q6 S" U6 U) b8 H, @3 C基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
7 I* f; j' a- h  R5 O由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
; G( ?$ F; u& k8 Z我就找不出什么错.
' @8 q) \( R+ I  
2 D; d9 Q% Q/ R, f' {# q) M人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
3 l$ x4 }7 b+ p# ?5 _# {9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
"数学分析中的问题和定理"
- m7 g! A% W! N& d- L% \, H第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
' _" a' z( F& ]. _1 y8 f0 b8 H体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
; K( f* `. C+ ]9 P" X( Z独立做出来的.
1 A- F! r" [$ T( T1 y10."解析函数论习题集"
0 B2 Y/ |; U2 r; ]$ @7 c- \实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
忘了,这本书里面的题目相当多.
理图里面有,系资料室有一本英文的.
: Z  q9 I/ n! F+ [其它的书我认为可以翻翻的包括
11.张南岳,陈怀惠
1 r. |/ l" C; c% s"复变函数论选讲"
! V! K$ |  y3 y; \5 p这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
' Z1 A, r, v2 v0 v* N上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
从内容上来看,
第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
, `( L, S" {, M! o  ~0 s* k. ^都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
(这部分内容在6.里面也有),然后去看
/ @" z% r6 g* V+ A5 a12.J.-P. Serre(塞尔)
$ i/ s3 M2 {! n  i! l1 Q2 k"A course of Arithmetics"(数论教程)
第二部分的十来页东西就可以理解下述
& \5 V) M( N; g: X/ S: Q. B* gDirichlet定理的证明了:
"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
  \2 P  F9 r7 \& Y* K' JSerre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
4 r& d4 @7 E/ n" W% f没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
  
发信人: unix (  ), 信区: mathematics
偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。应该是不错的， 习题较多。
7 E6 L, D/ w/ @6 s& o; n/ O5 I科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
7 e8 i' E. G2 N* r/ K其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
  
. F* D) r4 b, w7 h2 S 在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
理图里面还有
! V3 a- W! f& Y/ ]! p3 G 13.庄圻泰,何育瓒等
"复变函数论(专题?)选讲"
差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
1 u, W7 r  |) z 本记忆中就觉得太专门了点.
/ ?* F3 x' b) K. M& y' D 除此之外,讲单复变的还有两本书,
不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
图书馆里面都有.
14.W.Rudin
8 b* k& r9 p' G  j- q3 \ "Real and Complex Analysis"
' R( ~0 O7 s; C" M 必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
$ [' }5 v2 A& m, Y3 ^& o 对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
7 Y, H) h3 y4 X/ J! e$ i) } 是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
再谈吧!
15.L.Hormander
"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
5 }1 i8 c- Z) E9 I1 c7 `) m 他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
% A1 u+ D3 a7 g6 Y# F 微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
1 n, l; r' ]% A7 \+ E 可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
) A) W" L# p. x; _* x* }2 J 有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
& H' E1 \- `* A 这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
奇异积分.
  
16.Titchmarch
  H2 f, O3 n# L  I"函数论"
9 I8 ]0 {& m+ e  ~: o这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
9 R5 i7 T# d8 g! u' q除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
) R0 D" U/ `' |7 u- X% G2 q7 }& N传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
3 B5 E9 u0 |) r, \几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
! L( w& I% E* i/ D, W17.戈鲁辛
"复变函数几何理论"
这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
+ u, n! H1 k" V& u8 t* K总书库里面应该有,标题可能略有出入.
最后讲一本书,不知道复旦有没有:
0 _; _0 U& J6 S9 B/ [17. R.Remmert
"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
  
  s, H* }/ b3 w; ~/ L==============================================

) U) E$ s' O6 g. c- [! ~3 z/ c组合基础部分：

这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu
! R! [/ H& D' N/ p: N"组合学引论"
5 ]( u( h& r' E; E  J7 p6 b5 O/ |的话,倒还是想说两句的.
首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
& y3 N- t& `7 ?; K就该知道这些结果不是那么平凡的了)
作为补充,可以考虑
5 E% k) r7 J2 R# ~  B3 I2.I.Tomescu
"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
这本书有比较详细的提示和解答,
, \# m: E) G: x; `4 E  t* E* ^里面的题目也非常好,
高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
- |+ I+ N7 T* `6 U(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
不过复旦是不是有我不是最清楚.
. ?* W+ d1 s7 b8 Y4 h% T但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
有很多:
, ?- a. N8 r4 U# h' b3.Lovasz
, o' L2 {+ C& E" r+ f7 {1 D: }"Problems in Combinatorics(?)"
  C2 u5 {/ {: R  x# N7 T* w这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
. Y: P, X# _5 x  z& I9 e唯一一个得过wolf奖的组合学家.
% O3 A/ ]% p! a唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
了点,不过千万不要被吓倒!

==============================================
- C8 U# U3 G* f9 S: i
/ X3 m( j, M; [& U& d% `实变函数与泛函分析部分：
6 E' A; p; D) ^: E. f5 p
这是数学系的学生学到的第一门
完全属于二十世纪的课程.
这门课程的重要性是不言而谕的.
" G$ J( U* l4 L' Z. J" ?$ z$ H对于这门课程在中国的发展,
8 h! w0 r" ?! q) @" v+ A+ \3 v1 |- X许多和复旦有密切关系的前辈都
; i/ a( A& J2 a0 E+ r8 ?9 J) W做出过重要贡献.
% e' I+ i* Q* j! Z' H- g在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
% P: m0 H7 `/ W4 W6 G. a, a: `! P5 L4 Z先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
. |* \6 ^; m4 ^9 d2 i5 g一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
4 |' x2 c4 H" x/ J3 }Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
1."中国现代数学家传"(第二卷)
& w) {# O+ R" x8 D- p里面做了一篇传记,不可不读.
陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
3 X7 ]( l& S( u! f0 Z' u他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
2.陈建功
"实函数论"
2 V6 B1 j2 e3 r. n. O. I- u4 _今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
4 ]" X0 H1 d0 z# D% ?3 s包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
* n/ u! \5 T) [0 O/ U" |长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
龚升,李训经...
( v2 z6 u6 F) U, h前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
% r4 L# f4 M0 C3 `: G; o* a4 t2 d' g. H! f五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
" U4 k" s5 n7 n/ U一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
- v% F( m, F+ t2 Z那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
* K: ?3 c8 F* ~1 I5 b另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
0 C/ d" c- }) W5 P' X. ~9 A: J实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
& s& c$ g5 p- [# @3 Z  
今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
图书馆的(见内页题字)
0 y2 N  R. \, Z; c2 s现在用的课本是
3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
"实变函数论与泛函分析"
0 j; X* F) Q) ^第二版,上,下册
0 @# ?+ w9 x, p* L; G- N这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
贡献的最重要的课本.从1978年第一版
8 U+ n& y4 m9 D  S& u; S) b出版开始,这就是中国最标准的实变与
泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
8 b1 {' r; E+ B; l% N# R9 o夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
2 N: p- m% x' q% T4 t当年陈先生开实分析课的时候夏先生
) A# s; `- W. z% \' S* A+ f7 f做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
% I  Q/ s" L! S2 v- @9 N要求差不多,不是吗?*_^)
2 R) o' s& P' H1 c: v* r夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
0 B: }- ^0 Q) _1 g% ]$ t在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
而且回国后在复旦建立了一个相当
" b, @) e" e% I7 Q0 V/ L# k强的泛函研究小组.具体可以看
( x/ {, j. \6 ?, p% `. ?7 q4.杨乐,李忠编
$ g& q3 I4 Y5 n" c$ S"中国数学会六十年"
) h- L: c/ f/ V里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
的学术地位!
夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
+ p& o4 }) }; q3 ?% L) l: u是这三样.
7 ~; t1 `- ^5 R7 z% |& ]% ^# ^
  
我们一章一章来看:
第一章"集和直线上的点集"
这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
开始严肃地接受关于无限的教育.
; j/ f0 l7 n) o$ q具体的问题是教师一般都要在这一章
4 p9 y% u$ p- b5 e7 G* n$ g/ R- t' s上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
- K* S% \4 C, ~8 I2 g4 m+ P东西学生以前根本没有接触过.我想今后
可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
0 D" J, X6 t- Z4 }+ ~多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
也能看到这些内容.
大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
在
' [+ M! x1 z7 o+ t! E* }5.E.Hewitt, K.Stromberg
"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
, a" F! Q. g$ O6 Z里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
9 o4 {1 r  N# f% ^2 i等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
# S) N% A- o' b7 g- L; Y0 pdoes not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
needed most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
. p; P( p3 f2 [( j5 l7 M6.那汤松
"实变函数论"
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
4 L' R: z  S+ \  e1 v4 {建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
6 a& k( B1 ?  A徐先生不幸于文革中自杀身亡.
5 t# L( |  m" J- U* w总书库里面有.
$ p* s0 d- |( m" T4 v) v另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
书可以参考,比如
: K& `0 T5 P- s" s7.汪林
5 L/ ~0 e; t9 R! t"实分析中的反例"
这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
/ M5 a( S6 S0 w/ ]- J, M! H: f, K先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
  }( j% Q" A3 x% X6 M一本讲例子的书!理图里有.
# I2 z+ Z0 B& a% \& d7 d和一些习题集和解答,比如
  H1 v; G% L6 l& u3 J8."实变函数论习题解答"
- t5 R1 T. a/ H' {: R这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
/ R6 b7 X: @3 I不过好歹是本习题解答吧.
9."实变函数论的定理与习题"
8 G! t! g" O5 D4 b- ]' I5 M记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
里面有详细的解答,质量相当高.
, ^& T" S. h# E. \) D' w  
. K1 o: Z6 ?: `& e, s
4 d0 t0 Y5 ^& o7 f* y! r) {第二章"?舛?"
) A- ?# O2 v# a9 s这是这本书上册的核心.
测度在这里的讲法,
# T" Q% N, |/ g5 \0 h4 d/ F" K+ q4 J从环上的测度讲到测度的扩展,
基本上属于
. d) x" |! u- p$ Z# ?- `10.P.R.Halmos
"Measure Theory"(GTM 18)
" m$ ?7 Y; }6 B3 S- d(中译本:测度论)
: V5 C& m! D" O4 b1 g2 W5 z0 e的框架里面.这本书实在不敢
评论,自己看吧!
, E! F: Y1 i& Q5 F- o9 z& f' m这本书里面还有一些精选的习题,
有胆子和时间的话值得一做.
集环的理论
一本相当有趣的书可以看看,
就是
! b: O& b% L5 Y# Z11.J.Oxtoby
Measure and Category(GTM2)
7 Q* o+ @, D! N: {这里的"category"不是指代数里面的范畴,
而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
现在可以来谈谈
12.周民强
' g% U0 t0 {) K2 M: _"实变函数"(第二版)
这本书写得不错,总的说来最大的
: o# m% |" [( h7 y好处恐怕就是习题很多,
而且都是能做的习题--复旦的课本
里面的习题初学好象是难了点,
( _2 E% Z( D1 v, \- s* N特别是在没有答案的情况下:)
还有一本很好的书,
3 j; L9 n) y- K可惜至今只打过几个照面,
5 K: M" F% Y. C2 p2 C但是可以肯定的是绝对是好书:
0 I" y/ d  l: W. K7 {) |% @% Q( B13.程民德,邓东皋
# ^! E- R3 ~8 S* [5 G+ C8 o+ }, }"实分析"
我见过这书里面的一个测度的题目:
$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
: c7 X) n7 `; x* T8 n. H" ~8 k7 K  k\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
( x( a' N7 g5 I- [! a) [需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
的差别还是有用的.
% D7 J- c+ Z5 Q0 g- m  
, M3 |& D9 d% |6 @  j第三章
这就是真正的实分析了.这里面应该说
: |1 P3 d6 _- q每一节都是重要的.
  h. ?  Z6 K) E$ c& H9 l/ Z9 o' J# Y在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
下面的:
. `& _( P* k+ N3 P+ z2 Y) o% s0 r14.I.E. Segal, R.A. Kunze
6 A8 ]: d4 {/ D8 o# ?5 a. o6 u( X"Integrals and Operators"
和
# [# {  v8 b( g15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
+ D* O% ^# e0 p' l, a"函数论与泛函分析初步"
6 E9 w& w  O& P1 R: ~这些作者应该说都是相当好的数学家了.
比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
最后问个小问题:
"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
这句话对吗?
7 I  G& ^2 ]+ D4 `0 s0 ^2 P$ q  
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
先建立积分理论再导出测度的.比如下面
将要讲到的
3 J1 P9 X; z/ i' R1 |  e/ z/ G; c 16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
8 C+ |- i5 M  N( \( p. L "泛函分析第二教程"
里面就有一些这方面的内容.
此外还有象
; E' u( p& S$ C  j. C 17.夏道行,严绍宗
+ \) M) S7 m8 I5 I6 [0 t0 Y' F6 _ "实变函数与泛函分析概要(?)"
. _& W( c2 r: o5 b3 W9 V- z (上海科技出的那套教材里面的一本,
理图里面有)好象就是按照先积分
& p3 c, m$ O# \9 k( M" | 再测度的办法讲的.
另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
"泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书.
! c7 n6 U! J8 }( c- r 对测度感兴趣的话,还可以看一些
+ C6 S  d+ V& `! n 动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
  
4 U  A$ d2 a% R. p) @" P第四章
# Q' n2 l' m; l4 I从这里开始算泛函分析的课了.
不过这一章是不是一定要以这样的
( X$ |9 I  x% a4 z; t, |$ r* t篇幅在这里讲值得讨论.
其实很多度量空间的概念在数学分析
课里面就可以解决掉,在这里应该只要
9 P; w% P' ^, o2 X强调有限维和无限维的差别就可以了.
! O# C: }- U. C  ^) j7 d( N上面的许多参考书在这里一样可以用,
0 k& x3 G( N0 l# @' s" t( Y$ z还应该加上的是:
19.汪林
"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
整个泛函的体系都可以建立在上面,
理图里面有一本
20.夏道行,杨亚立
: b  Z! ]2 |( j& v: Q"拓扑线性空间"
% X, ~# j9 T" \不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
有兴趣的化还是看下面几本
21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
9 e- D7 F: V5 @: ]% ?4 t. B$ a  @2 _8 P布尔巴基写书是一章一章出的,
6 j6 Q" X, g/ U0 y$ j5 M$ z8 Z这书能一次就包含五章,实属罕见.
% e" B1 Z$ t# Y- y- {0 V; q而且估计今后也不会有后续的内容了.
6 [7 O% u- J0 d) E8 B  
GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
/ _* F" k$ d: g$ F+ }% n% [, u22.H.H.Schaefer
& R# {$ h; x$ D: p: E0 VTopological Vector Spaces(GTM3)
1 R( z+ _1 a4 k  K和
2 a$ W$ f6 L$ [5 d; t/ E- l! y23.J.L. Kelley, I.. Namioka
, r) _" a! ~( w# o: F) \$ j% a, dLinear Topological Spaces(GTM36)
16.里面有一章也是讲这东西的.
其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
以此为出发点的,比如
- W. @$ E1 z) e, ~. \7 U& c" M) F24.S.K. Berberian
& A9 F  U3 H3 u' s& c"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
/ _: H3 o" C; j" f$ s6 g5 f* j$ P+ XBerberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
或者
25.W. Rudin
"Functional Analysis"
这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
+ D, C/ \; r& S) D/ s9 K26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
"Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
中译本的质量也很不错.
此外还有
27..J.B. Conway
* e! ?  s9 ]( Y"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
  
第五章
这一章讲述Banach空间上的有界线性
算子理论.这一内容的框架性著作
% p7 V" E' V# K. X! ~+ u毫无疑问是
$ Z3 X  [2 k' _8 J28.Dunford,Schwarz
: t9 z2 s1 |$ r"Linear Operators"I
5 G8 |" _0 j; e这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
其它用得并不多.
& k2 _' F* R! [前面列的各中标题是泛函分析的书这里
5 J/ o) {: ^, s; T8 z3 N都可以用.
汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
不自反的空间的例子在系资料室
8 Q7 j* a3 m% y) v6 [可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
/ f3 w" e/ Z/ N, d' w1 h9 f再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin
9 _* X2 `) d; D6 U8 S6 z7 Q"Real and Complex Ananlysis"
# s2 P, D* A) ^" U  x) W" i在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
  U0 l$ T" O& N8 S+ W这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
$ L& U- f4 E6 W" [在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
老的版本总书库里面有很多.
8 j# Y; W8 C$ d" K6 D2 u  
第六章
8 b% T5 e* ?# k. }3 k4 y" G  h" lHilbert空间由于其上存在一个内积,
可以发展的性质比Banach空间要多得多.
从空间本身来讲,线性代数学好点对
7 A* H) y2 K4 _; X5 c本章前面几节有很大帮助,学的过程
中密切注视维数无限导致的各种反例
就是了.
/ {$ a" U6 U) I算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
  V% Q1 E5 m/ v有限维的性质是可以推广到无限维的
对整个体系的理解很有用.
本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
如果第四章能省下的点时间的话还是能够
) K! Q/ ]: t+ f$ d4 s( C讲一些算子谱理论的.
这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
* a6 f5 z; j. A算得上一本杰作."The only way to learn
mathematics is to do mathematics"就出自
这里.
  
8 L- K: f& `/ H  i. x7 H7 g$ ^9 S再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
" }0 w' M% E  v9 B) V在16.里面有一章讲些基本概念.
这一块的文献也是浩如烟海,
' {; i+ S1 u$ B$ V$ k因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
9 F% o% \2 {5 G8 w31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
8 A0 U& Y% C. a- q再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
: u2 k6 s+ r' G# N$ j0 b5 P8 w8 @个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
- U1 R- h- D. M, R/ F特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
% h0 y9 X" k, I. s4 T% ^% T1 t的联系,可以看
# x# ?0 W7 ?' A/ A7 |32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
+ ]9 ^; [8 }, Q' \" ]"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
; z7 D9 O$ C  s! u0 Y/ BAMS Notice,v.44(1997),No.7
) F/ r' c' f* K! g9 s0 i# g33.A.Lesniewski
1 @. e/ E: q! ]"Noncommutative Geometry"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
还有
34.Irving Segal
Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes
! M3 U/ z) p/ [4 @* `$ Q! dAMS Bulletin,v.33(1996),No.4
5 r  R+ W' _& x7 \1 _因为
35.Alain Connes(Fields 82)
"Noncommutative Geometry"
可以说是这一块的里程碑式的著作,
, V; x3 R; J6 Q% [* |9 |(33.中甚至说今后人们会用今天看
3 |; V' o! m- }! I  L7 gRiemann的就职演说的眼光看这本书)
6 `" Q2 z2 R& s所以对于这本书的评论很多也就
把整个分支都评论进去了,不妨看看.
+ O* E' n6 F) CJones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
( |% f$ _0 p- ?* t' l1 ^3 y4 {most aspects of `classical' mathematics
3 `% o8 M; o( i2 {and sets us out on a long and exciting
voyage into the world of noncommutative
$ T4 [+ n' i5 P8 P1 l* Cmathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
9 {2 s/ E5 n: A1 }+ w: O有一些批评,也值得注意.
  
) e5 N; h" q7 W' ]. B) {9 n# h( _12.的作者J.-P. Serre成为第五位
既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
( K  e, x  ~# E: J2 ](前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
  
第七章
这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
5 ~  i5 S, P3 v% Z# |7 X- e& k在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
主要问题是,就事论事地讨论广义函数
恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
+ n* s) N: F$ l* ]5 a复旦的偏微是很强的...\\sigh
在广义函数的标题下最有名的应该是
3 a# l$ E) l6 ?4 N. R36.I.M.Gelfand等
"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
第二本最有意思.
另外还有两本好书,不光是这一块内容,
4 Q& I% b) `: o8 [1 V8 s% \7 A! h从整体上讲也是很好的泛函课本
37.K.Yosida(吉田耕作)
, x( Y5 Q1 t; Z* y7 h"Functional Analysis"
他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
$ c' t+ a' t2 w+ f) U, O2 ^5 J去年世界图书刚刚影印.
38.H.Brezis
3 i5 B; ?3 |7 @1 B0 [- H"Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
# Q) [( m2 r8 N9 d非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
2 f: R' k) b  |0 Y1 K如果能念法语的话绝对值得一读.
在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
6 P9 `( Q5 V1 m  t. s4 I特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
  
==============================================

抽象代数部分：

有的地方管这叫"近世代数",
反正近不近各人自己看着办吧!
从历史上说,可以认为严肃的讨论
是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
$ e5 z% e& r# @3 y写下的那封著名的信件(里面有
"你可以公开向Jacobi或者Gauss
提出请求,不是就这些结果的正确性,
而是重要性,给出意见....",现藏
' ?$ i( z" r2 d; I法国国家图书馆).在后来的发展过程
中,代数结构话的语言逐步渗透到
8 O3 y) n  X/ Y+ Z, z* U7 w数学的各个角落.到今天这已经是
/ }9 O' o$ U; x/ w一门无处不在的分支了.
不止一个老师教导过我们:
在复旦,你们受到的分析训练将是
% L$ Q( }7 c, {* v$ D很多的(充不充分要看各人的要求了),
6 c  z. |0 t6 C6 W9 x$ f但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
) M9 {. O5 u9 C现行教材是我的本家写的,
4 ^; }' g. l1 ]$ [) ~$ y总的说来作为初学还很可以一读,
: f8 S4 \9 z+ w1 ?3 N原因将在下面说明.
  
北大的课本是
1.丁石孙,聂灵沼
  D; r0 o" A! u! u"代数学引论"
* e8 U6 ^! u4 J. V8 e8 P3 W这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
就是没什么自己的特色,原因是这本书从
4 w1 N9 m7 |  Y体例到习题在很大程度上参考了
/ p- W. ~5 V6 v' U  W2.N.Jacobson
6 b: ^2 F( q; O& G. f"Basic Algebra I,II"
8 I% I# R1 t3 u* {7 B4 T9 n这书在总书库里面有不少,
理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
! E- v  o- }# y% h4 [3 _"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
; z; J' I' ^/ AJacobson在代数领域也属于权威,
是华先生同时代的人.这本书从观点
上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson
& y; J# o0 x7 S& g"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
* M: j4 C+ Q5 e  x6 E2 z要改进不少.
有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
- }: X* F! D/ B3 _, M) Z比较一下.
' {6 E# I1 ]6 o4 h* E  
从习题的角度上说,可以看
4.徐诚浩
"抽象代数--方法导引"
! V) G! B! u! e1 ?3 n9 O1 P+ }这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
- a4 |1 q* @' M/ w9 [可以罗列的参考书还有很多,
2 h9 y5 ~$ N3 Y9 H, ?9 [7 W综合性的课本有名气很大的
5.S.Lang
"Algebra"
Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过
AMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚
"代数学(上,下)"
& y# K: j! e$ {, _北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
, x/ \: h, D6 Q7 _/ o过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
; U0 X& w% y. V9 u推崇倍至,认为比1.写得好.
7.熊全淹
"近世代数"
这本书的好坏不敢评论,
不过这本书有个很大的特点,
就是作者收集了很多小文章,
& k1 M( F) _2 H1 d; Z比如许多American Mathematical Monthly
上的短文.依他开列的参考文献到
系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
  
其它的就是比较专门的东西了.比如群论
, N: [( y" p8 ~5 A( z就有影响过无数学者的
6.库洛什
. N: q' {+ s& h+ T"群论"
注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
/ J! d/ o$ f6 E* s+ I0 M或者段学复先生的导师Robinson写的
1 `) V5 ~8 U9 T7.Robinson
2 c3 K6 T% m8 \+ a) y"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
多多指点.
5 ~% y/ U9 k: J) Z- e* c- Q对于Galois理论,有一本
. |0 d% Z( U( G6 ~& z1 C) r8.E.Artin
"伽罗华理论"
3 l0 w: w- I3 q非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
# D4 e3 M: E% p9 `还有
9.Edwards
5 h' f7 w0 g. W+ X( b. ?"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
想法写的,因此和一般通行的教本里面的
0 S% e8 ?$ P3 F. \2 A讲法不是很一样.

% l2 r- y5 O) l" X& z) X! G0 U/ X=====================================================
  
数学物理方程部分：
, R+ y2 w& g( D' m2 H" o* n
学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
, d2 N$ L8 y. g% D7 T看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
9 i4 {) o' t' d相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
* N# T8 V' G! k9 q/ ]注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
" ~$ a2 i* l7 g; }8 Q$ l这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
( W) B4 a: p% e; d2 z特别指出这本书的原因是在复旦的课本
. H; ^$ M9 T. g6 C4 X& u3 X8 O& p中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
* t' V3 _, L6 Q; {习题解答的,那是80年代初,油印本.
能不能搞到就看各位本事了.
那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,
  b& Q# P7 n0 {7 Q! [  l3.陈恕行,秦铁虎
"数学物理方程--方法导引"
是一本非常好的讲习题的书.
里面的习题如果能够全部做一遍的话,
( L+ \& t2 U. L2 w应付考试是绰绰有余了.
' `6 W6 ?1 m& \  
发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
  B2 d1 p# j# D' Q里面有翻天覆地的变化,古典的方法
( e/ a- X0 u8 J- ~和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
我想说起古典的,
4.R. Courant, D. Hilbert
"数学物理方法"(I,II)
$ m* X# U) A8 b  N' G4 u可以说是毫无疑问的经典.
; T. Y) U' D1 A按照洪家兴老师的说法,
& ]0 l$ P* S5 k  }) C0 q( E不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
) A; X; y* ^' H, H4 b* k. X4 E5 I这本书里面的相应章节都是经典,
问题就是这书放在一起你是没办法
当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
( p  ~6 g: |' Q& T0 D经典的教材,大概可以算
5.彼得罗夫斯基
"偏微分方程讲义"
0 D7 L. b4 i/ q  x' B这本书从风格上可能和他老人家那本
$ M- d' p/ S5 S4 r3 L"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
" t9 U2 y- E! K+ Y2 r复旦的本科也好象是不讲的.
7 G+ [8 i6 M+ n% F我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
+ Q  ~( b6 s. @* U4 q  u不怎么做东西了,主要的精力一直放在
为苏联数学界构造保护伞方面.
他最后去世的时候是这个样子的,
, B) |: }' R8 l7 z; [% a+ s8 M1 M! P! [某天他到莫斯科市委会去开会,
1 W; u" l" e" Q& w跟人家大吵了一架,因为基础科学
研究的经费的事情,结果出来的时候
5 g- x- m- o% q' Q9 H) k在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
/ U  i/ {- }9 h$ N2 s" @1 r5 R是:"我嬴了".
有这样的人存在你才可以想象为什么
人家的大清洗没有对科技的发展有
9 S% m# n6 w7 S7 t/ U太大的影响.对于这个问题,建议看看
6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
3 K' o, e; a" v; g6 l和
7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
  
还有
1 [* Y- g2 N* X  q8.O.A. Ladyzhenskaya
( v6 E% z) s6 ?/ S# @6 n" e/ u# R"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
. `0 e1 L1 z6 n  C2 W陈旧我也没话可说.
" H3 {7 y  \* N$ r" ]既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
2 Y4 x4 N8 T) Q* J在这个方向上我以为
& t  t4 l5 j, N$ \) z9.李大潜,秦铁虎
% q2 h; j, o0 w  P; A; n, h+ M"物理学与偏微分方程"(高教)
还是很不错的,上册已经出版,下册
) O6 b3 @# r2 c# i9 q. U也就要付印了.该书的起点并不高,
/ o; S. Q/ h; U所以应该比较容易看.
" q2 k1 c5 v: ~: K5 v) S据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
: _) [1 o2 c" ~5 V从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
* J+ P1 H( k! [比如
1 y' h4 ?6 u& m10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
) t4 j' N& G7 o' S4 o3 w* R; V"Partial Differential Equations"
Bers是个很有趣的人,
+ L  c; @4 @3 w+ b2 M可以看看
* A! ~0 x) O+ P7 S* {: o11.L.Steen, ed.
% E  n2 x. _" h2 Q" R6 I2 `"今日数学"(Mathematics Today)
" r; a% p7 Y' R7 z  G; I: u, m里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
+ f# y, u3 J, t  D' W数学普及读物之一,绝对值得一看,
0 ?4 t( d: i/ ?" I4 X中译本的质量也不错.
2 w* B8 _  |+ M* e  
& p% t  e/ j0 z/ v12.F. John
"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有.
/ o& N2 T( ^$ F& N6 m剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
5 a, r) ~9 x+ T; v( m* |/ Y: z$ B13.J. Rauch
1 K9 t4 E. @/ j0 D! j6 F"Partial Differential Equations"(GTM128)
8 n% {3 F5 h0 {6 c! P5 n14.M. Taylor
"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
; m/ o* A' h) G6 X" M5 S! d后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander
"Linear Partial Differential Operators, I"
要好念多了.
(当然基本上人人都是这么认为的,
只不过这位的来头比较大而已
/ f  K8 y" @4 L/ z! m0 Q3 v  p# R--法国科学院通讯院士,46岁)
  
6 g  z3 P/ f6 c+ r3 v. H这是讲偏微分方程的课的名称.
顾名思义,就是说这里的方程原则上
% s2 K; Q  a: w) F- W/ C; v* z最早都是从物理里面来的.
这个分支里面的东西丰富之至
(当然往反面说就是有时候会显得
+ H  b- F/ M' e* Y9 ?! \+ P结果比较零散).
6 S5 p4 v4 U$ _. ^2 F! E& r现行课本是
& x, U: v0 A9 I' ~1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
4 T6 F9 p8 O! l: g  O3 T8 S) O"数学物理方程"(上海科技)
这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
8 G1 J  p5 f+ [! X1 ~' o9 K7 d注意那些经典方程的推导里面多少有一些
' A6 b. \  b3 T0 H7 e2 l) Z- B近似的过程,这其实从某种意义上反应了
所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
8 D$ z/ u3 b; D8 c证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
! J- L5 A6 I, E% ]* O6 {* O3 ^差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
& V8 l3 J+ b. x& T" [7 x  E有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
, m6 L6 v- P9 ]8 [, ?7 U3 I的推导里面是有近似的,这说明什么?
一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
4 O5 X; `0 p/ E" w7 |) |常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
! b2 U. i8 v8 }有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
$ J& ^8 E+ W' E+ p6 i& K存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
) n/ ?7 d& K& w1 K5 L* r  
========================================================

0 l) V3 u3 `0 w- P) _拓扑学部分：

我拓扑学得很差(从总体上说),
. |6 j% K4 {5 p* i 因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
1.李元熹,张国(木梁)
"拓扑学"
' X% H) ?- Z9 Q, M8 D, s! A9 L, a! v 的前两章还是不错的.至少该讲的东西
! d( A& m' L6 R3 i6 ~ 都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
& V' a$ G3 n9 J5 s  g( k 什么更好的形容词)了许多习题,
做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
! x) m: ]0 |, E# A* N2 N 2.熊金城
"点集拓扑讲义"
4 {( u+ r2 M5 I0 Q, @ 是比较好的.该书也有些名气.
不过要好好学,可能还是看下面的两本
6 C$ D) Q/ x3 @5 p' B" V 比较经典的书:
; u9 y8 z  R! Q, V: | 3.J.L. Kelley
; g$ D- R6 v8 \! B' {( D5 d "General Topology"(GTM 27)
此书名头很响,55年出版的时候应该算得
5 \) e- l% p" N, Q) P) B/ M  Q 上是把这一领域里面的结果做了个
很好的总结.该书是想写成课本的,
4 G# p# L- o$ p5 Q9 p 因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
编号.只是....真要做起来未免有些困难.
听说过这样一个故事,就是曾有一位
华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
因为大家都明白这目标不是很现实.
* {4 P8 W: S2 B' ?1 B* Z 我个人的经验是,在那个学期陷入各类
  _! v6 Q1 j) z3 [% ]# S 考试的重围中之前,还做了前面两三章
的题目.是比较困难,但是做起来也非常
有趣.
1 p" G/ m5 n% I; i2 T% }2 h  
: A/ h6 F! Q+ H再补充一本中文的书,内容和1.差不多
+ \# y" q+ j& Z2 \# d4.尤承业
$ I3 A4 k; G& J; H- y"基础拓扑学"
是北大的教材.
7 e8 h0 f! T7 b1 U5.I.M.Singer, J.A.Thorp
# N/ [+ c9 }9 N% z5 x, y- ~# f% a0 ]"Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
% E' n# X) x5 ~! a. ^8 }5 t这是本极好的教材,应该
2 t6 D  O1 q$ S" O  d可以用深入浅出来形容吧!
& O# ~# b% r2 d" o/ ?% ^* x第一作者Singer就是和Atiyah
一起证指标定理的那位,说是重量
级人物当无疑义.
  x  s/ o  u9 }8 v1 `3 S. n! J如果你只想查结果,我觉得可以去找
! X8 b. `9 f8 Q, |6.R.Engelking
"General Topology"
3 W& J6 }) W1 D& c这书是七十年代末写的,内容翔实,
至少对我来说是有包罗万象的感觉,
% S2 @9 o- x' a  A, S0 h当然对做这一块的人就不一定了.
  
" e: f/ ~1 D/ }: X" J按照萧先生的速度,大概第二章还是能
. Z) g* f  L! R讲大半的.
) P/ G$ e2 O6 v: z2 f9 F3 Q3 F8 J这里属于代数拓扑的起始部分,
3 A1 u( y3 ]# n& V4 ]+ [$ t  a参考书一下子就比前面的多多了.
讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
$ P* W8 c0 Y8 P8 j) G属于写得很通俗易懂,
; ?' w* ^$ ]% u3 I  r3 n% r配置合理的那一类.
还有象GTM里面的
" ^7 V  @5 O0 ~; M- _% \7 u8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
& u$ J1 }! r1 s$ q7 C( ?也是写得很好的书.
( b, h! H0 ~( D4 z' |( W8 f  N; q我能写的大概就这点了,
$ g2 O8 b- t% J  |1 }还望大家多多补充.
/ M$ L" {: A6 }  
发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
& \- H* {9 M1 _" K. U这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
& K" }" m& |+ ^% ^- c的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
当代数学理论的三大支柱。
如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
《拓扑学奇趣》
巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
1 B( d( x6 h& b- w, S这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
数量的有启发性的题目。
0 i9 |3 q- }' W5 Q; V& i2 U; w* ]M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
1 X* A. `* O1 K2 u+ h1 C2 @有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
/ m  C, E& p, o. o9 i  h1 \所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
  
1 o9 L1 J* T9 F# ?1 w======================================================
* y: l* i% H$ W7 H2 x
以下是北大的一位师兄做的补充
数学分析
欧阳光中,姚允龙
: g* w: B" _! J"数学分析"
( r0 g; |% p1 ~这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
  ^7 ?- b, X; q4 n# s$ D" e说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
糊涂"了。
高等代数
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
' U) u& g4 ~; b" ]$ D/ }本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
4 j+ E4 @% I- K2 S% X经常至夜里二,三点.
单复变函数
% L' `2 K  j1 d* m; `4 v11.张南岳,陈怀惠
1 c4 W$ s  i% v7 Z* q"复变函数论选讲"
这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
6 K! U# F! w* ~  @文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
微分几何
陈维桓"微分几何初步"
这本书确实写得不很清楚,陈
还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
( j% a7 q+ o% _2 ?* y' I& l6 `还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
=============================================
5 x" Z% B% V$ f  
大学里面念过的本科的课程,
. ~$ A0 e6 ^" T# P基本上就全部写完了,
感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
我的"酸"劲.\\bow
其实严格说来这里面除了参考书的名字
和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
! g6 d% N; R3 Y" n6 p意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
$ L: s3 b  p: P数学还包括了为数众多的数学家
& a# Q$ X% J3 t1 T: G( ?% @的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
" K' A# l, F) X; h9 }是做不好数学的,我以为.
" G' V2 Q. m" {; g从技术上说,大学数学系的课程还有很多
; q$ r$ W: [" h- D) M: v- ]7 t没有写到,即使写到的这些,也有很多
需要补充,修改的地方,只不过...
" x3 F  V4 q0 Q% }  p0 B% i" q我是没那心思了:-)至少在近阶段.
希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
( b' x' c+ I. m... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 j2 ~: m8 z. V! t4 Y( v* b(为避免任何对于\\bow的数目产生
误解,文章到此分成两截)
今年一月,在经历了三个月的情绪极端
* C1 J1 ^# C6 c低落以后,我打算开始重新规划自己的
2 M* Z: J: w1 o( `0 a5 y未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
! @9 O& ~+ Z8 L; t! Z  k精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
  U7 N* w  r* S, p5 i东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
& z5 ^; o) F5 e$ M原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
' R5 q2 I0 L- K8 {# C. H这时候就有想到了BBS.
" Q; f' I; I; `0 \BBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
& P8 y4 T& K) Z, g+ v: P; M上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
" g" O# Z, t5 k3 E水是前三年灌的水的总和的三倍.
可能和心情有关吧!)
突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
+ C& M& d* Q* F点的水,去年底写的那些94理基的故事
从效果上说,让我很好地把心情整理了
& u0 y; G; w( U& a6 a一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
% D# B( g3 d* Y; ]9 v- |, D从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
, ^3 @: b, v. ^  B4 V因此一稿三投连我自己也没有觉得有
什么不妥.好象这也不违反站规吧?
- I' h" I( d8 y- _' }写着写着也就到了今天.又是一个可以做
"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
  M7 {6 F4 t, n/ C6 h; f的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
zyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
standby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
; G% w9 Q% _! o- r  Vdarling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
0 a+ e, t9 n. }; ~6 d# Zmax, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
; d% i1 V0 B! ?! [0 r1 VDblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
; `0 }: Z2 w2 F6 V  N: u9 p还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
希望明天的太阳--无论是巴黎的,

+ B& [* r, Z- M4 _9 u还是上海的--升起的时候,
# y0 w/ a' O/ q1 \. I7 e, t4 O大家都能有个好心情.
再次谢谢大家!\\bow
$ e. s3 q! W9 ]* J4 ^9 }2000.6.6 2

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。