数学分析

LJX2013

数学分析部分： 从数学分析的课本讲起吧.复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好,
似乎丘成桐先生做学生的时候
* ~* B8 J# \# n8 s# N7 g) |9 q也曾收益与此.
到90年代市面上还能看到的课本
里面,有一套陈传璋先生等编的,
可能就是上面的书的新版,交大的
试点班有几年就拿该书做教材.
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生
2 C6 d" Z6 J/ \- |  O7 \& O$ o! i的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的
0 k1 \9 K/ N" E4 Y) p$ n5 _# Z2 F* `课本,好象后来数学系不用了,
计算机系倒还在用.那本书里面
  X) ]) P& e! I' v据说积分的第二中值定理的陈述
5 s9 h1 W+ x1 I/ X+ L: J有点小错.
$ A, `6 Q! K. s3 {, t+ `$ R0 A' ]总的说来,这些书里面都可以看到
一本书的影子,就是
' h2 x) A8 n) x  t菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",
其原因,按照秦老师的说法,是最初
3 E! h5 K. h3 G. T: l* N在搞教材建设的时候,北大选的"模本"
$ b" k; o- x0 M/ f7 y* d是辛钦的"数学分析简明教程",
. b# v  z9 ?  v; F而复旦则选了"数学分析原理".
0 l0 D/ T6 v  m- s4 ~$ U后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的
那本数学分析.我不否认那是一种尝试,
$ J3 R8 J) I0 r2 b* o但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点
来看数学分析这样经典的内容在国际上
的确是一种潮流,但是从这个意义上说
该书做得并不是非常好.而且从整体的
- J6 f9 c, Y- C% I课程体系上说,在后面有实变函数这样
, d; E* b# l! }; `) P7 x# u; H4 k一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue
积分值得商榷.
$ Z! j& Y# v, I( X0 k( P$ L  
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
- r8 B6 C% s+ T5 @; \1.菲赫今哥尔茨
"微积分学教程","数学分析原理".
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;
+ y- @0 m% T/ q! J# f9 y  W后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.
4 H; s/ b$ k) a) p. k8 m; H8 _此书堪称经典.
"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者
& J# l# }6 z7 _* |5 Q列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括
后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)
都承认不太合适作为教材,为此他才给出了
' ~( z5 B- u, J3 `8 G1 L# b7 j能够做教材的后一套书,可以说是一个
3 b2 G1 T5 w- ]- |# V精简的版本(有所补充的是在最后给出了
一个后续课程的简介).
& w; h" z# k+ X相信直到今天,很多老师在开课的时候
还是会去找"微积分学教程",因为里面
的各种各样的例题实在太多了.如果想
' @+ ]. n& a7 g比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的
例题当做有答案的习题来做,当然不是每道
题都可以这么办的.如果你全部做完了
# _/ \1 l5 J: q- |! `1 o; B& W那里的题目然后考试的时候碰到你做过的
$ O3 z# i. u8 ?5 v可别怪我.
; B, i7 L% T, E. `( z) ]2 Y毫无疑问,这套书代表了以古典的方式
处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)
的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万
' E6 B" S+ x/ R( c7 A计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.
$ l% _" L+ O" l/ Y这两套书在理图里面都有.
% ~4 l7 X" t* j7 h2.Apostol
"Mathematical Analysis"
! x. g% a$ w% ^: {在西方(西欧和美国),这应该算得上是
8 I1 _) A+ X4 j2 P一本相当完整的课本了,在总书库里面
% E$ {- g; ?. d2 w有.
, U, V) \  [: G# _7 {3.W.Rudin
9 B) a* M  L& N+ s/ G"Principles of Mathematical Analysis"
3 c6 c$ t7 {, ]- l4 K* @/ Z(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)
) q7 v. W: v0 b+ N' c这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,
这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,
1 Q: M4 i4 N6 _% o, a. z(指一些符号,术语的运用)也是很好的.
这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是
后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",
虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里
3 ]2 ^9 G; T1 [; o% F/ b4 V/ E想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的
ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以
+ U7 _+ h- A3 J! V找一本西方advanced calculus水平的书来看,
基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师
曾特别指出Rudin的书.
说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是
- |' U9 E) ?) l可以一看的,就是
2 j8 Q  g& Z3 o8 W' xL.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,
其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图
  M7 E5 W* r1 N: u/ M; l外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.
& }0 z$ g3 e* d这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的
" m2 m* \* W' i5 d课本.
! j. l( V* l1 T: k3 G/ s  ?  
4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
- ^! K$ v& p. n( H3 o"数学分析习题集","数学分析习题课教材".
北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西
" H8 N+ f8 i+ L还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇
4 R6 H2 u. \4 r" }, Z4 n" `& D% p并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题
0 F4 z7 F3 W! ](一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的
习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,
原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数
收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就
要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也
( r+ o9 i# R  a1 _! G! T. d是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,
96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了.
5.克莱鲍尔"数学分析"
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.
9 A  i- _* a5 r/ q理图里有.
6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)
  Y0 O# D3 V6 i8 x3 ~我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,
7 c4 o" w. C1 _# T* B5 y. H张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多
五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的
是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都
云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的
处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的
遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根
8 l$ W6 D! g  n/ E* Q本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.
5 w. T& O. C, s' y/ r/ U理图里有.
  
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"
' E' [) M5 Y" a3 Q4 D0 C6 o理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于
80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,
! M) y0 d9 a2 @, j. G# J! [人家是苏联科学院院士.
' B2 f1 m1 e& L* X3 N$ S7b."数学分析"
忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.
* L8 z9 o: Z, c& h& G* D$ R& d! k$ {理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限
的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉
到观点非常的"高".
8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,
# g( s( j6 h; t1 \用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再
回过头来看感觉会更好一些.
! Q; H% V9 \+ o, F9.说两句关于非数学专业的高等数学.
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.
% P) O7 H- Y' p. h2 V9 @, [6 S$ [因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,
# K3 f8 N/ I- N+ K# J' t中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不
分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有
0 |2 z/ Y. p# T' m5 f* P5 [- _J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫
. \2 Q, d" s1 ^. p6 S"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),
其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课
之间.
  q$ M5 b. u- \0 R! J/ w" O  h  
10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,
一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫
" F7 ^) v& }) _9 B/ V6 @"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,
. S1 E1 E- B" Y- S其详细讨论,似乎仅见于
1 W! J. x5 d9 L6 H鲁金(Lusin)的"实变函数论"
里面,总书库里面有.
: z4 w+ g+ U) B! w+ a11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷
5 j. K' E: V8 O9 p8 L这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初
华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时
的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授
负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实
& Z5 n# V. w( E8 B$ k是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一
. ~( o2 }- w6 F/ B" J届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统
教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读.
8 n# D9 g' J/ @/ P理图里有.
12.何琛,史济怀,徐森林
"数学分析"
这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,
. N5 f; k1 n  z/ e我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分
- [" `7 ?3 D* a2 @. X7 j就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.
" Y1 k5 _7 t- p# v: H" [9 x印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以
( a. L! C8 D- V( x放在最后.
  
# y, n2 E3 U5 D3 C% W5 W$ d- L==============================================
8 _% N1 [, |/ u. t3 m空间解析几何部分：

空间解析几何实在是一门太经典,
或者说古典的课.从教学内容上说,
$ S4 d4 o/ }1 Z: b7 b可以认为它描述的主要是三维欧氏
空间里面的一些基本常识,包括最
, z3 E0 c0 t! b7 Y. |" A, ?/ _* B基本的线性变换(那是线性代数的特例),
7 ?8 O  \/ a) r: H% D" W( v6 k和二阶曲面的不变量理论.在现行
2 @) r' [4 ^/ @的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的
"空间解析几何"里面,最后还有一章讲
2 M5 ^" j( N8 ~5 t9 n9 a4 q' {射影几何.
这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.
特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影
% c: T' D& C6 {  e5 Y的内容还不是很好念的.
当然,这里还要提到十来年前大概
做过教材的一本书:
# z/ n. o% _# l* f" x$ e项武义,潘养廉等
"古典几何学".
1 |5 n- d  k% d6 g  J0 ?1 i7 p: y, }1 q这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是
  q9 K3 J6 v2 j! r$ }# @* I很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.
可以考虑的参考书包括:
1.陈(受鸟)
1 W3 d8 r( Z; b"空间解析几何学"
内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.
8 H3 j0 C6 i: s. d4 x陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)
的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2. 於ρ*
"解析几何学"
这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,
连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面
5 y2 q' v! ~% W( R) j* f的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).
朱先生相当有才华,可惜英年早逝.
' t; B. w7 t2 I8 \. G4 N; w/ m" }  
! N/ J" S, A  M1 X关于数学分析的习题,还有一本书,就是
G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
! d$ g. `  z  z) S. W, F9 ^"数学分析中的问题和定理"
1 W1 j% |: P( L9 t在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的
前面一半,后面就全是复变的东西了.
该书的内容还是非常丰富的.
% R# |' J3 E0 g: q在历史上,这是一套曾经使好几代数学家
2 V4 m5 O1 G( ~都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是
4 f! M; y0 x, _" X, F' x& A) X题目难归难,后面还是有答案或提示的.
"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,
; l6 a5 X9 ]8 x4 \9 {# }1 F+ f到总书库里面去看看吧!
Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863
  
如果想了解比较"新"的动态,可以考虑
3.Postnikov
"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)
这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看
! T" y3 ~1 K' G7 D' s; Y$ w/ q出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的
& h6 E: n- Z' B$ W3 B学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早
+ Y% K3 e, z! v" j是要给吃到线性代数里面去的.
海外教材中心有一本英文本.
1 P1 {: |& B: M我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早
是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最
糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.
我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要
下放到高中里面去.
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.
可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多
几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有
; ?- A& ~' X. l: y相当深刻的了解.
4. 衣∧*
"(解析)几何学"
这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年
4 g0 r) O4 _: Z3 M, f3 L% E前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能
% N% U3 N  a% O, [' t写的.总书库里面有.
: h8 D4 m4 o( N0 [# h) Q& m5.穆斯海里什维利
7 J6 y* W3 m* X) S  {& Q' A"解析几何学教程"
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.
具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点
和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的
而已).
) W+ ?( G2 m* I4 Y8 ]' V$ F: K  
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# J1 X+ S& _3 X& l: R% X
高等代数部分：
- v9 j9 Q! t7 n2 M0 a3 }
+ A( g5 {& X- E1 o$ `高等代数可以认为处理的是有限维
* _% v) ?& |$ G4 g/ V线性空间的理论.如果严格一点,
关于线性空间的理论应该叫线性代数,
0 e. G9 F" ]2 ^, G- t: G+ Q再加上一点多项式理论(就是可以完完
全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.
这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,
就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国
0 w/ F3 l) S) z' |9 O教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的
6 R$ Z) t0 J+ o0 Q7 Q, v  b! gHigher Algebra.
现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?).
用外校的课本在基础课里面是不常见的.
这本书可以说是四平八稳,基本上该讲
  }9 M0 N7 R0 _2 a$ ]的都讲了.但是你要说它有什么地方讲
+ T% r( p$ [4 l- s- O7 @4 }! H/ F的特别好,恐怕说不出来.
6 v( i# k6 r' Z值得注意的是95-96学年度,北大现在的
  A7 H/ x" i' s, M, A. g( m校党委组织部长王杰老师(段学复先生
+ z! ?9 ?" o% G) J# F# g的弟子)给北大数学科学学院95级1班
开课时曾经写过一本补充材料,把空
间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到
的话翻印出来是件很好的事情(我的那
. q4 ?8 q  A- d本舒五昌老师给96开课的时候送给他
了,估计是找不到了).
, y" w$ K% P( n0 A1 D! [! e+ H& U  
5 ^& G% w) [8 ~& k0 _9 e) V好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的
: j0 d0 C- X* U3 u9 Z) d还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.
9 U( s, B, {9 P' _! `) p3 P' t& U从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.
线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在
+ U9 u9 M# d+ q5 M0 d定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一
个矩阵的表示.因此这门课的确是可以
2 G8 x8 k3 x  N. _6 ~) e建立在矩阵论上的.
而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.
复旦以前有两本课本就是这么做的.
1.蒋尔雄,吴景琨等
. s) u1 ~% T* c7 b) l( D"线性代数"
& E$ W, Q' ]: R, H这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比
" H- E0 `* o! [) r; Z7 L/ _( B- C3 {数学专业相应的课程要高的.
因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.
我个人以为还是比较有意思的.理图里有.
9 Q' z, n/ ~0 E% X" K& j. ~+ Q2. 啦 埙等
"高等代数"
2 @/ Q' Y0 K& C' B这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里
讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里
3 ]9 q+ T( x' b" m3 }' H% ^6 }  C可能可以买到翻印的.
. v; e: b5 H; x. A4 ^3 P, _这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量
习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面
的习题做完对于理解矩阵的
5 v# m; f1 W6 C) F6 g' T各种各样的性质是非常有益的.
; z" x  a" w' ?3 a当然这不是很容易的:
据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁
9 H5 M9 `% L5 L7 F) n. }$ @开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话
可以来找我."有此可见一斑.
  
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,
那么下面这本应该说是比较适当的.
! z7 v5 k% ?# v! @- |6 L4 J3. 啦 埙等
"线性代数-方法导引"
这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也
) T# ]) s- T" X0 `" d" {. P更"实际"一些.值得一做.
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔"矩阵论"
我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者
是柯召先生.
+ S& Q' R( E/ E! h) E+ v* p4 R, W在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳
9 ?% T% u$ Y, ^" G8 L入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan
/ @* ~# m6 Y2 c/ z# @4 t; i标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩
阵该怎么求?请看"矩阵论".
这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
总书库里有.
" l& L' |& |/ p* L图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.
5.许以超
! H0 `# m2 D& J6 r8 H* Q"线性代数和矩阵论"
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国
% \5 `  S: D6 f$ p& V" t1 E1 _+ d念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,
$ r* W) J: x2 I* L* G7 f现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还
是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于
5 x. F# Z2 H( i& P1 u* J& L3 c空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.
  
6.华罗庚
8 i8 o" s; s: u. `+ G7 n6 k* M  o"高等数学引论"
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在
9 N) }* Q" z2 m; w9 m' \矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你
- U: t' ~" n! z9 Y只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.
" ]7 x; n, c9 [: F4 u- R: a  _可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的
7 W6 v4 {5 E# u# ]! G! p(不记得是不是在这本书里面了):
  j, }1 r4 U) \' cn阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个
0 X, o: G/ D% }8 v把一组标准基映到1的反对称线性函数.
/ M1 _+ ~' ]% g$ E5 h这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.
- `( d# H( s) h, V  Z$ y5 q( a7 P高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如
7 K+ {( z" {+ }/ l( n; ^8 L! ^, S7.贾柯勃逊(N.Jacobson)
( u0 ], z# s/ o! P! N) f9 wLectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra
GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31
("抽象代数学"第二卷:线性代数)
# A/ X. U/ c: h6 O/ Y3 g这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面
9 k# J& U. T+ R+ v9 M0 W4 F/ h! C已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.
- n  Y0 a9 P' f5 q9 h1 G7 f0 a此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有.
8.Greub
2 K/ w0 D( R- V. eLinear Algebra(GTM23)
这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是
! _' e5 ~: ?, G3 f/ p3 q6 N值得一读的.
  
还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:
9.丘维声
"高等代数"(上,下)
0 q+ K( x8 S% E0 Q北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向
9 J8 }/ A. v, g# P% f没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些
5 ~) d$ \" |+ Q8 y" B( h% F几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.
10.李炯生,查建国
"线性代数"
' d5 y( U5 O% L' P) c: k这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些
内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.
  
7 x2 w: ^5 _6 J! ~: H==============================================

0 O$ Q0 u- @2 }0 v& C常微分方程部分：
9 m; \8 z& Y$ F; v+ S2 T
+ d2 a0 v% {9 ^) X' u% o; P从常微分方程开始,数学课就变成
没底的东西,每一个标题做下去都
- p4 ~3 \! r/ ?; k4 W0 {是数学研究里面庞大的一块.
: w( g& S8 l& f" n* h# ?. a! l- p对于一门基本课程应该讲些
什么也始终讨论不断.
这里我打算还是从现行课本讲起.
常微分方程这门课,金福临先生
: X, X$ H' P, z8 j- B% m和李迅经先生在六十年代写过
3 C' e2 `! i. F* ~" O一本课本,后来在八十年代由
控制那一块的老师们修订了
一下,变成第二版,就是现在常用的课本.
1 R8 p. M5 _, u) T* b8 h上海科技出版社出版.
应该说,金先生他们的第一版在今天
看来还是很好的一本课本(这本书估计
2 C& X1 X: o3 `0 g3 [+ M受了下面的一本参考书
+ \  [4 v8 t, @  Y2 B4 Z的不小的影响), 该书在理图老分类的
那一块里有.
3 m* @' F7 V# Y4 E  d! }  S- M但是第二版有那么点不敢恭维.
$ l. \0 g0 t0 M不知为什么,似乎这本书对具体
) u6 v, {  J# K+ H8 D( W方程的求解特别感兴趣,对于一
些比较"现代"的观点,比如定性的
* p" e: s: f' e, I讨论等等相当地不重视.最有那么
点好笑的是在某个例子中(好象是
介绍Green函数方法的),在解完了之
; j& l0 ?1 D' g; f2 _/ |8 g后话锋一转,说"这个题其实按下面
的办法解更简单..."
3 }3 J6 W! a! \6 I  {9 o7 `而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
* ]0 j+ r# v$ d& v  
现代数学的一大特色即是已经
完全建立了一套自己的表达方式.
8 f2 s: b+ o' _) h6 H. _, T+ W没有一个学科象数学这样创造了
2 S8 [9 D, F, i2 t4 |1 L" a这么多的概念.
& P# m3 q$ q$ ]6 i  D3 `7 {$ T, v现代数学的传播的一大困难也在
/ }" j* s5 `% |/ o) x1 ]1 h0 l1 M与此,要向一个非本行(哪怕是
数学里另外一个分支的专家)解释
清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌.
! |1 W9 V; l+ W* S但在另外一方面数学是如此有用,
而且数学的抽象性使得一个数学
8 T8 R7 c5 Q, M) |  c, w观点往往可以表征其它学科的许多
看似毫无关系的对象.所以现代数学
9 w' K+ H5 o8 G# Y还是挺值得一学的.
自学不是一件容易的事情,特别是自学数学.
( K6 t/ d, `, n+ U: B从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系
的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己
* @' Z8 Z5 }- j3 I找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面,
3 `8 ^  Y4 l; n7 Y& k以前上海科技出版社出过一套
% w. C/ I+ k$ }  t1 h7 X/ R) M1."大学数学自学丛书"
应当说编得是不错的.
至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考
2.赵慈庚, 於ρ*
$ q2 ]6 C' b! i+ j% m. \"大学数学自学指南"
2 ]& ]4 m& t: \( T- K2 t. }3 K赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上
0 d) y& F4 A) W5 A0 ~以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书.
1 m( E* k; E" `+ J% d关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明.
好象是高等教育出的.
  
! z  |' [; a$ g下面转到欧美方面,
. U5 g1 r. j; ~0 _- D7 E3.Coddington & Levinson
"Theory of Ordinary Differnetial Equations"
这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,
' H7 J  d% F/ K* Z数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看
' A) M) B2 ~! J* n, n% T& D4 N# |" V7 o' q着办吧.
) o- V9 Q: g+ Q! |2 [/ L1 M比较"现代"的表述有
4.Hirsh & Smale
  K3 ^; l5 C/ W" P) H4 d"Differential Equations ,Linear Algebra and
6 n1 K+ `& K+ |Dynamical Systems"
( r/ f4 z6 g9 V7 m0 t(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,
; V- _/ M1 \+ \: [: A1 _  N! n非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.
关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港
城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他
为在中国领土上工作的最重要的数学家应该
: i; y8 [0 S% w) f7 H0 ~没有什么疑问.
2 _; _3 t% Y- {$ M! Z; V图书馆里有中译本.
4 y6 U2 s0 |1 l+ E  
5.Arnol'd
"常微分方程"
必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,
2 o. m9 M# l3 k" d! \( ?他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材
, a0 ^, i0 T0 h以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把
相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我
也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常
喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候
$ `- b+ Z: S, c* c; `9 u3 X就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相
教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,
Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见
/ w2 O" H: A4 D% w8 d互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何
化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd
对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话
说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生
0 v  h" l: d$ ]# t6 ]们都是这么说的.
这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,
竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话.
+ h* O' {! y6 T5 o/ q: u4 I再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."
的,程度要深得多.
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人
& F( u5 Z# `& b( S+ O2 S) E9 q自己的值得一看的课本吗?答曰Yes.
0 ]& \( q8 O5 m4 _6 {: w5 A: S: @6.丁同仁,李承治
"常微分方程教程"
这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,
观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,
: O+ P& X: I8 w8 ?6 W& i袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.
附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,
+ c4 f6 d% W5 T里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.
" w  d. z8 X. A4 P* x( R/ K7 v/ S  
再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
7.卡姆克(Kamke)
& B0 l- u; T5 D( `  g$ y5 y常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数,
' h! I) m# y, t1 |: L1 Z7 k理图里有.
4 p; L* E/ ~  g, `8 P. F对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是
5 g/ W2 S* Y* t1 `. C和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,
现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学
6 ~7 ^" c0 N4 k6 D物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.
* E7 Y4 F8 K/ ~1 }4 G事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解
* a$ `! G+ {! O; T3 N7 t2 |, ^  i这些特殊函数系的"完备性",象
3 F: I  p( w; _: r7 E8.Courant-Hilbert
8 X; l0 S& @3 ^"数学物理方法"第一卷
可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来
  j# n+ U) ^: P5 e! T并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点
可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些.
而且,
) |. s4 Z$ D2 r5 Q9.王竹溪,郭敦仁
5 u1 @+ O+ z1 ["特殊函数概论"
- M" h+ l! f* T: w3 v( m& `  G的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质
了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去
  u& Q; l4 ^+ s0 U) e1 O查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,
5 v9 {1 M3 S" i* [' p  i1 @" [看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的
'特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架
, k( r- G; J$ U! f4 s上,...经常在里面寻找我需要的结论..."
连他老先生都如此,何况我们?
% n1 t0 O3 ~: T* G3 g8 ^上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室
有一本.
  
下面开始说参考书,毫无疑问,
我们还是得从我们强大的北方
" X. U1 C0 }$ z" `! N( N邻国说起.
: d5 A) W- D; S1.彼得罗夫斯基
8 k2 S4 u, i7 y$ I. N"常微分方程讲义"
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长
占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他
5 S4 ?$ O# m- g在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生
去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.
' o, k4 C5 t% [+ _) E他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年
的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就
利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了
! r- b! r) n- R# i8 X一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做
3 k- d( r( d( w& ]- `2 U/ [' l到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个
天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.
! T: W/ a7 j7 t, N4 L" ~他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能
# r9 d/ d7 }# S2 m! Z' X和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术
官僚作风,讲法不是非常活泼.
2.庞特里亚金
$ l- u8 C  ^' j5 p, L% o' N6 K8 p- O"常微分方程"
) P1 ?1 \. J. _, N0 y庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故
% i( I5 j7 {/ n双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人
的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给
后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",
4 D' h: b2 H% T1 X+ y0 I你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投
下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.
8 H7 K6 p4 J- z此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的
影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字
不感冒的话绝对值得一读.

==============================================

4 i; }) z/ x2 ?' Z4 u3 r复变函数部分：
  
单复变函数论从它诞生之日
(1811年的某天Gauss给Bessel写
了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数
一样的地位...")就成为数学的核心,
上个世纪的大师们基本上都在这一领域里
7 y) v& Z) G; [4 X, W- a留下了一些东西,因此数学的这个分支
在本世纪初的时候已经基本上成形了.
/ t* o7 m9 h5 _! v3 K+ P到那时为止的成果基本上都是学数学的学生
/ a5 y4 E1 z8 ~1 A# @" r2 b必修的东西.
复旦现在这门课是张锦豪老师教.
3 D) f0 o) T5 G. y9 k) d0 i/ {张老师是做多复变的.毫无疑问,
多复变在二十世纪的数学里也
; I9 H# t0 I& g1 i占有相当重要的地位,不仅它自身的
内容非常丰富,在其它分支中的应用也
3 j* C$ g8 d- }. P! q" Y是相当多的--举个例子就是Penrose的
8 a8 v1 s- s. e2 b- r9 o+ B1 M, WSpinor理论,基本上就是一个复分析的
问题.这就扯远了,就此打住.
张老师用的是他自己的讲义,那
书要到今年夏天才能印出来.所以
, G) t  S8 M9 V( W1 {! N& H# [* u2 @还是这两年上过这门课的ddmm来
& [! n& W" A5 G' D0 }: R/ O谈谈感受比较好.
8 ]5 }' ?' {9 y& v7 L, a现在具体的情况我不是很清楚,复旦
8 }& {* j# C; N- H' t2 S: s以前有一本
1.范莉莉,何成奇
* @$ Z5 j. ?# u+ v"复变函数论"
% Q& o! {7 d+ {$ [! O这是上海科技出版的那套书里面的复变.
今天回过头来看,这本书讲的东西也不是
很难,包括那些数量很不少的习题.
但是做为第一次
学的课本,应当说还不是很容易的.
总的说来,从书的序言里面列的参考书目
# K8 a; [" s& w! S% J$ m就可以看出两位先生是借鉴了不少国际
上的先进课本的.
2 v% r0 B! \- z, w* c不知道数学系的学生还发这本书吗?
  
2 Q( P% a* X& X 如果要列参考书的话,单复变的课本
' ?. J$ {5 g5 }& s( f4 F9 h* j 真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:
2.普里瓦洛夫
"复变函数(论)引论"
( i3 Q& I% ?$ R; v3 n 这是我们的老师辈做学生的时候的标准
课本.内容翔实,具有传统的苏联标准
课本的一切特征.听说过这么一个小故事:
0 R2 E( B5 o( T0 i 普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次
3 m+ O# f4 Y4 n8 U$ F( J 期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,
无论是从教师还是从学生的角度来说),
& D: G% A) e, N( v 有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝
般地问了一句"sin z有界无界?"此人
1 h% B8 l* W6 I. K) g+ A! I* _4 `- t. C 稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上
被开回去了,实在是不幸之至.
  t( j4 n$ F) O% h1 v! L 这书不在理图就在总书库里面.
3.马库雪维奇
! H5 |% y' ^) B4 k "解析函数论(教程?)"
! E- i) F  D: }2 s( H+ W 这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.
它比上面这本要深不少.张老师说过,
! c! x8 |6 `0 ^' v; {3 J% k* l 以前学复变的学生用2.做课本,学完
后再看3.,然后就可以开始做研究了.
这本书的一个毛病是它喜欢用自己的
一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程
3 P7 w) [$ v8 I/ Q 它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert
( \0 H. Z5 _  s; e1 w$ Q7 \3 { 吧!
) [2 h- F3 i) O. H& k' t  
6 w: }. v# u4 T  Y6 w. ]再说点西方的:
! Q! N$ T( n" P) A) e1 P4.L.Alfors(阿尔福斯)
" P" [1 B4 E% W7 C- ~. d# N"Complex Analysis(复分析)"
7 X  w4 X1 Q% X  K这应该是用英语写的最经典的复分析教材.
Alfors是本世纪最重要的数学家之一
8 L: p+ j8 H$ x: H8 e( p(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的
9 \& ]/ E8 u. l人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.
/ K) h: J1 y; M他的这本课本从六十年代出第一版
) c2 F4 j8 ^! s7 S1 W# q9 q开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,
  j) d# i7 X9 Q3 y$ v理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)
1 h, O; P) r0 b0 U* y记不清了,建议还是看英文的.
6 Y0 g, K# n# B3 r这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位
代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy
6 `0 n' h7 P3 b  E--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass
--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的
课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理
. q2 Y$ ^: L/ X+ s9 K- q& I& i$ b: U可以说是相当好的.
5.H.Cartan(亨利.嘉当)
"解析函数论引论"
8 A( w& V% T8 N, e8 n这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物
8 o. s. k+ L1 n" d3 c在二十世纪复分析的发展史上也占有很重
! e0 s1 e% A& ~/ \要的地位.他在多复变领域的很多工作是
8 o9 {. I. I5 h9 X: D开创性的.这本课本内容不是很深,从处理
方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作
( K: J" A  M4 T(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))
  
6.J.B.Conway
"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)
3 j+ w  X( w6 z) F9 r"Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159)
(GTM=Graduate Mathematics Texts,
. B" p- X+ T* w是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号)
第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写
了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.
这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,
+ n* ?$ N& l' c3 d' w对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
7 O' ~' h4 w" M3 v# K( f. n3 ~! C9 |要到第二卷里面才能看到.
( x+ y5 ^( d0 n4 F7.K.Kodaira(小平邦彦)
"An Introduction to Complex Analysis"
8 y+ A% S' e' M! E4 b这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课
是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,
7 B. a# e( j) @也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的
基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室
" s- a9 _0 x5 f0 A0 H! s0 m有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误
7 w, X" ~. L' i; q( ^4 K  g相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.
由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,
因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"
我就找不出什么错.
  
人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题
, P! i* @3 G& P& F* c! i7 J9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的
2 R- }" a  r5 p( b3 n. _"数学分析中的问题和定理"
第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的
习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点
太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少
体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都
% U6 v- H# t7 y3 ^有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以
6 f0 b% [) H8 s: N独立做出来的.
10."解析函数论习题集"
; }, O4 C2 c' z( k实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字
忘了,这本书里面的题目相当多.
理图里面有,系资料室有一本英文的.
6 x  j9 o) k7 V" u其它的书我认为可以翻翻的包括
+ `9 z- V  ]" |( y$ w11.张南岳,陈怀惠
0 F9 a8 O3 u0 U7 s9 |"复变函数论选讲"
- X1 \9 Y8 I8 L这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和
上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.
从内容上来看,
第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"
都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.
看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"
(这部分内容在6.里面也有),然后去看
12.J.-P. Serre(塞尔)
( p* D# n: V) y4 Y! O  _"A course of Arithmetics"(数论教程)
$ c% d5 Y% T8 P8 D  m7 O第二部分的十来页东西就可以理解下述
Dirichlet定理的证明了:
( s; B$ q2 D( [# Z6 _"a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数"
Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何,
# _9 u! E! s  Z4 D- ]$ Z  p% ?代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还
没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称.
  
发信人: unix (  ), 信区: mathematics
偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合
写的。应该是不错的， 习题较多。
科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。
6 ^. Z. E' ~5 R. g其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。
% U- }8 j' W, u: s  
在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下,
理图里面还有
. P8 V6 Z; K) D1 [% i 13.庄圻泰,何育瓒等
' C- n+ h  o/ d. U2 N' P3 P- { "复变函数论(专题?)选讲"
5 m  B& i; K* } 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图
里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的
同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一
; g9 @3 F" ~" Y( k 本记忆中就觉得太专门了点.
+ g: f) w; w* _7 O( g1 k 除此之外,讲单复变的还有两本书,
3 D4 F) V4 r2 d- F! ?, U" t 不过可能第一遍学的时候不是很适合看.
图书馆里面都有.
  ?6 e9 y/ B! g: r6 A$ s 14.W.Rudin
"Real and Complex Analysis"
, [& q  [- O* u$ W+ `+ V3 Q 必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把
( Y+ b8 d( I/ F( O+ p 对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西
6 A* H, X& B2 H5 T; S& d 都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础
! f3 M$ t3 r8 d1 L4 d8 c$ s 是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面
你要到研究生的泛函课本里(还不一定教)
才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候
再谈吧!
15.L.Hormander
"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物.
他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是
微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章,
可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会
有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy
积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu
7 o3 Y- h* c1 Q 公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的
书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道
这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些
7 }6 u2 \8 i% E) }0 F 奇异积分.
  
8 C4 Y6 e8 A0 \. F4 k7 i$ I16.Titchmarch
0 [! R8 \, j; e! N: h. l"函数论"
这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的,
: p, Z. Y+ @* n; G* O看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子.
除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的
传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程
7 s( M8 p9 \) m! w0 P4 {& T2 X几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.."
. a7 h3 r! x0 {! i4 w关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要
影响的先驱,等说实变的时候再谈吧!
/ }" _! I# t7 _% A* [$ @17.戈鲁辛
"复变函数几何理论"
* [2 u( h9 Y; ?6 Z4 _' V9 X( ]这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变.
6 w/ t7 t/ N# K- a9 b, Q, T作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得
最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想.
- [" z) |, B! D8 p$ C, a总书库里面应该有,标题可能略有出入.
- m( E: U/ J0 ]5 |' z' w最后讲一本书,不知道复旦有没有:
# F" k: Z. B8 D3 D' ^, J17. R.Remmert
. W4 U# X- x) H4 t"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)
! O; a1 S/ B+ p# v+ C3 c# NRemmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深,
其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的
来龙去脉交代的异常清楚.
; z+ y+ E. r; h( J  j  
==============================================

$ p! Q/ @0 T8 S4 n1 v8 r组合基础部分：

这门课没读过,不过如果现在的课本还是
: c: T& C# c) t7 n% ?9 X/ u; ?1.I.Tomescu
9 H. G% z$ Z3 ^" m8 f"组合学引论"
的话,倒还是想说两句的.
首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.
其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)
! D, X4 A/ K1 s8 K) `(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,
就该知道这些结果不是那么平凡的了)
作为补充,可以考虑
2.I.Tomescu
"Problem in graph theory and combinatorics(???)"
7 t3 o2 W8 r% {% K- z这本书有比较详细的提示和解答,
里面的题目也非常好,
+ O  x8 A$ g% O' e3 w) S; u高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍
7 c' ?* P8 @7 B9 J2 F: ~(当时条件简陋,没法复印的说...//sigh).
+ ]' \0 g6 H' [+ w/ S5 d7 D* i不过复旦是不是有我不是最清楚.
但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面
有很多:
3.Lovasz
' ?, c; w7 [; r5 B& q0 `$ @"Problems in Combinatorics(?)"
这是本相当好的习题集,作者Lovasz是
唯一一个得过wolf奖的组合学家.
. _! [- V2 D8 ?3 ]' M# A$ a5 z唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大
了点,不过千万不要被吓倒!
* P# k0 Y7 _9 Z: ^/ J" Q) B
==============================================

实变函数与泛函分析部分：
  J9 o  u. Q4 }
这是数学系的学生学到的第一门
8 u  F" K$ U5 @6 |& y完全属于二十世纪的课程.
5 M3 R% r) X! s* v这门课程的重要性是不言而谕的.
7 J0 }8 q7 Y7 q2 m5 Q: E对于这门课程在中国的发展,
( X: B3 Z& D2 j# {# B7 s. W许多和复旦有密切关系的前辈都
做出过重要贡献.
- _( }; V8 ^6 n6 X在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是
陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的
先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习
4 w& Y/ {$ v' ^" p0 u现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个
外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生
一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.
即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.
! A0 s4 u; I0 ^5 ]李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和
Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到
"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的
0 W) X9 E* Z# X4 W+ y( L桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
; G. q- Q+ ^8 Z7 Z. k1 S1."中国现代数学家传"(第二卷)
1 I2 ]" W8 g' x  B" y里面做了一篇传记,不可不读.
陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代
他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
7 V$ l) ?7 g; P2.陈建功
1 H" |. k& ~: T3 m9 f"实函数论"
今天看来,这里面的内容是相当古典的,
但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的.
陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生
包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生
和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串
长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,
2 {1 p: _1 S; v; `龚升,李训经...
: q1 H# F, L: b前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,
五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,
; v' h# g0 P! V) i4 ~一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."
那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.
另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有
. k3 J: F3 Y1 r9 L某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为
实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.
9 P! C+ j+ j) g& N! M, z  
7 h1 x! I) N/ p* ^, h今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,
比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大
- M- p, j: F) B5 k. P, J$ s; p$ }图书馆的(见内页题字)
现在用的课本是
: J  b0 Z, f; L( n3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌
"实变函数论与泛函分析"
第二版,上,下册
7 O+ z% B7 {, x9 V这是,在我看来,复旦为中国的数学事业
0 y  F5 T8 J+ k& q& m贡献的最重要的课本.从1978年第一版
出版开始,这就是中国最标准的实变与
泛函课本.受益与此书的学生不可计数.
夏先生是陈先生五十年代初的研究生.
! E; {6 c. e5 _- v当年陈先生开实分析课的时候夏先生
. d0 Z. b1 R. t; I( r做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的
要求差不多,不是吗?*_^)
夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.
那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand
5 A. Z0 z' |3 y* t又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅
9 @0 n; u+ |9 e& Z, Q在在苏联的两年间做出了相当好的工作,
而且回国后在复旦建立了一个相当
强的泛函研究小组.具体可以看
2 f% ~( [, j' S" y8 ^4.杨乐,李忠编
4 W* x. j3 g* ]2 j% \2 p" M"中国数学会六十年"
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.
; F" m% r3 q: F1 u0 I, ~六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"
& [; S+ e% c2 x9 @$ I的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国
数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年
的学术地位!
夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.
/ R) D8 h+ O* H( }在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的
* ^+ u8 H8 ?: {0 H5 t! u% |是这三样.

$ M8 i/ ?6 r5 N  
1 O2 z5 }* N) R) f$ N/ N$ w我们一章一章来看:
- }4 e! Z' o' X$ {1 v- b; G第一章"集和直线上的点集"
; u! G: A" N% _5 ]这是很美妙的东西,数学系的学生从这里
# ?" ?3 `6 f, b2 T- J$ A# z开始严肃地接受关于无限的教育.
7 g9 B4 D7 f- z  Z) W6 v具体的问题是教师一般都要在这一章
% I" F6 k( n. a$ B. C上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的
东西学生以前根本没有接触过.我想今后
0 k. Z7 o) Y1 q$ |0 ?* w" _可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章
+ e& Y% }2 s. U. b3 F的内容,象实数理论和极限论,等价关系,
直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很
多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书
8 g/ ?5 V7 t7 Q. b也能看到这些内容.
' h  J- Y: S3 P6 J大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,
在
5.E.Hewitt, K.Stromberg
"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
; q" b9 t. C0 X8 h. I里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其
等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice
does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is
needed most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
! y* O4 y/ d! E" \4 n2 o: N6.那汤松
) G; c( [9 P6 o' p2 {"实变函数论"
" K' U- a- \, Z+ U在下册里面还有关于超限归纳法的描述.
2 }7 N0 F8 w3 C. h6 ^& q这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈
2 c6 l, Q% |: P4 i- A建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口.
徐先生不幸于文革中自杀身亡.
: u6 [, B- S# T3 W) X- J总书库里面有.
7 _: a9 A5 z+ z4 b* C! v  G1 b0 P7 b另外,对于很多具体的点集的例子,有许多
: z9 c1 i9 A1 r8 }. P书可以参考,比如
7.汪林
) @6 V  A6 R; x) C! Z"实分析中的反例"
这是本非常非常好的书,在以后的几章里面
我们也都要引用这本书.作者是程民德
先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是
一本讲例子的书!理图里有.
' P" q  U% G/ O) X! B4 ]和一些习题集和解答,比如
8."实变函数论习题解答"
- Y5 E$ }- [0 t9 V, j这是那汤松的书的习题解答.质量一般,
不过好歹是本习题解答吧.
' n( [3 {7 c. ?% J9."实变函数论的定理与习题"
6 h9 r, s3 l6 c9 X记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.
里面有详细的解答,质量相当高.
  

, C# Z. s3 ?$ h$ |* G+ [第二章"?舛?"
这是这本书上册的核心.
测度在这里的讲法,
从环上的测度讲到测度的扩展,
4 m+ d  a8 I: i- q" D基本上属于
10.P.R.Halmos
; P$ P1 I* ^4 _+ z+ Y3 V3 Y( ~- I"Measure Theory"(GTM 18)
(中译本:测度论)
7 P  C/ Y$ P, k7 A' `2 h( s/ g的框架里面.这本书实在不敢
3 J/ G* r/ T4 y4 r1 c/ a/ q# O5 m评论,自己看吧!
这本书里面还有一些精选的习题,
有胆子和时间的话值得一做.
0 b( a/ V$ J2 a" v集环的理论
一本相当有趣的书可以看看,
; I% _2 Y- V8 m$ v就是
, _4 X0 x. Q  [0 C- W11.J.Oxtoby
# a4 E8 K7 \. W* |, {& a( A0 HMeasure and Category(GTM2)
" T  N$ L6 h1 @, t这里的"category"不是指代数里面的范畴,
: U# @9 l* K1 G而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西.
4 {% O+ g, s! T; u4 Q7 n现在可以来谈谈
5 m4 \; s  z' d4 d! w' b+ y- p12.周民强
6 \) C9 w0 C; E/ o4 t( ?. W1 w; u"实变函数"(第二版)
这本书写得不错,总的说来最大的
: [, \! F& ^. z4 V/ U好处恐怕就是习题很多,
  h9 Y+ m8 Q3 ~  b1 b而且都是能做的习题--复旦的课本
里面的习题初学好象是难了点,
特别是在没有答案的情况下:)
还有一本很好的书,
" X" w. w: |0 b* @; _可惜至今只打过几个照面,
但是可以肯定的是绝对是好书:
13.程民德,邓东皋
( X! X2 Y2 B0 a" r; O"实分析"
0 z! J: j4 d- s( X' N5 c+ w9 A- l我见过这书里面的一个测度的题目:
$m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2)
\leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,
' P% u9 ^" x9 V$ F还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!
( ^: Z3 Q5 G' D4 q此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.
8 c- ]9 e) u; x. Q3 n需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分
的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S
; D; T/ f, M3 t$ T1 d; P; S! S的差别还是有用的.
- n% L9 s2 c. @% j9 T  
/ f5 _; r  S4 P第三章
9 y' E, V9 O$ ]3 x" H8 r这就是真正的实分析了.这里面应该说
每一节都是重要的.
7 [' n) R7 ~0 Q$ ~% v在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑
# g% n# b' B$ u/ u% j$ g! x; C下面的:
14.I.E. Segal, R.A. Kunze
"Integrals and Operators"
( g2 b  l0 H) I/ F& M和
15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin
' I2 \. Q' t: j1 e"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.
$ y. F# b7 B: h  U比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,
最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的
东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的.
最后问个小问题:
+ U  D+ ]7 R* N+ w"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"
8 {. j. r! ^* R0 B" k4 s( g- c这句话对吗?
  
在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能
+ R' U. V/ i  V: _2 K 先建立积分理论再导出测度的.比如下面
将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙
"泛函分析第二教程"
; a5 U0 [, Q( M0 o8 c 里面就有一些这方面的内容.
此外还有象
& v+ d; G2 A. {- _8 C' G# _. c 17.夏道行,严绍宗
"实变函数与泛函分析概要(?)"
(上海科技出的那套教材里面的一本,
& r7 {9 \8 }1 m/ P# n6 O8 m) u 理图里面有)好象就是按照先积分
再测度的办法讲的.
另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy
"泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书.
对测度感兴趣的话,还可以看一些
动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)
6 \( r- U# h" h 的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony).
  
/ R% E( Z& y4 ?第四章
7 X! @* @9 i# r从这里开始算泛函分析的课了.
9 e# ]! P. \4 g* N. Z! P不过这一章是不是一定要以这样的
篇幅在这里讲值得讨论.
其实很多度量空间的概念在数学分析
3 f+ N; D9 z5 X+ z) A2 o( F课里面就可以解决掉,在这里应该只要
7 _% W' ]4 ]! m强调有限维和无限维的差别就可以了.
上面的许多参考书在这里一样可以用,
/ N2 {7 w8 o: f3 @- e还应该加上的是:
19.汪林
$ u; v% D( {3 j"泛函分析中的反例"
: L1 u6 f  {: {9 ?: f第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,
; T2 x* P7 }+ X' H$ c7 `: x6 H) z整个泛函的体系都可以建立在上面,
理图里面有一本
% h( u/ \& f6 T20.夏道行,杨亚立
9 \/ C8 O4 P, ^"拓扑线性空间"
' a( D2 L" @4 w& P; S" ?. q+ y不过那书基本上是第二作者写的,所以建议
有兴趣的化还是看下面几本
21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5
0 x! V! V; c. q- O8 g8 G( m9 O布尔巴基写书是一章一章出的,
6 v* a1 |. T: u8 Y0 d7 Y这书能一次就包含五章,实属罕见.
9 f. j. }  [- Z( I. O+ b而且估计今后也不会有后续的内容了.
  
; Q) K# v& m5 ~GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
/ }& p/ Z4 l6 m; g22.H.H.Schaefer
- W# s2 ^! H' l6 b/ V0 qTopological Vector Spaces(GTM3)
! d2 w% j* `" k' i$ D和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka
$ ]) c* V- g6 f6 g3 K! n( Q$ `3 mLinear Topological Spaces(GTM36)
. f, R) y* o+ V3 A' v16.里面有一章也是讲这东西的.
其它许多以"泛函分析"为标题的书也是
以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian
/ d; r# B9 P0 N"lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
; ?& r$ a( ^3 QBerberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"
9 U% Q- N& E# v是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
或者
+ k5 |( F. d$ O/ {25.W. Rudin
/ I8 h2 D1 l0 ]' ?* `0 `% M"Functional Analysis"
7 P0 v* `0 i6 Q2 R4 l  n' z这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
4 H3 ?4 M1 `$ j$ |2 {, }"Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)
4 L9 ~* C0 {6 h- ]不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,
这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕
3 e' V: x1 x! @& ]% i0 }就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,
. M0 V/ C! A7 j8 P中译本的质量也很不错.
此外还有
) Q  i" w6 g: d# L, W5 Q27..J.B. Conway
"A Course in Functional Analysis"(GTM96)
  
第五章
; D7 G( I  x, T0 p# Q这一章讲述Banach空间上的有界线性
0 |0 t5 {3 z$ o# `6 l算子理论.这一内容的框架性著作
毫无疑问是
28.Dunford,Schwarz
"Linear Operators"I
这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.
注意有一些结论是可以把Banach空间减弱
  s3 ?( w. \0 A% V. `, f为Frechet空间的,不过好象据说实际应用
中除了广义函数空间是个Frechet空间以外
其它用得并不多.
前面列的各中标题是泛函分析的书这里
/ v- R2 |  t* g! z都可以用.
! H# ]8 l1 C/ S" X) N  b  L7 R汪林的书19.里面有许多有趣的例子.
不自反的空间的例子在系资料室
2 H& u; g$ T6 q8 h可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上.
再补充一下前面漏掉的一本书:
6 R' m- Z/ {% `" ]! {. f. ^29.W.Rudin
; A7 x9 W2 j5 y8 L6 s"Real and Complex Ananlysis"
# Q7 H& V' B' j6 W2 z% L4 M3 o在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,
5 H5 k' h! J; [2 W这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法
在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,
) B, W$ F, F! a2 n1 T$ ^老的版本总书库里面有很多.
" g% v5 W9 ?. z3 e  
* T( j: F: R( p/ ^2 T  _第六章
Hilbert空间由于其上存在一个内积,
2 X# N' g2 f4 S  r6 l- G3 B, e可以发展的性质比Banach空间要多得多.
# |( d, m. f& L! f6 l- v, i$ J1 K- F从空间本身来讲,线性代数学好点对
本章前面几节有很大帮助,学的过程
' p3 O  j& Z1 }2 R# @中密切注视维数无限导致的各种反例
就是了.
算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些
" m6 N0 n0 `& Q  B8 n# k8 t6 E有限维的性质是可以推广到无限维的
对整个体系的理解很有用.
0 K6 W7 O+ w$ o) R  I) w7 s本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,
: E8 s! G1 n0 E) J7 [$ t如果第四章能省下的点时间的话还是能够
( }3 E5 D( E' m) |讲一些算子谱理论的.
6 n: G  m7 W& x" P. e这里可以做的习题非常多,特别是
) M# _* u" o3 {3 o2 w7 u: @30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
0 n7 o  j* T& P- `! b' w算得上一本杰作."The only way to learn
mathematics is to do mathematics"就出自
这里.
" ]9 ~# i& }* g5 O# O2 A3 W' E6 D  
再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫)
9 k5 _8 T! P, t  C在16.里面有一章讲些基本概念.
0 X. @( Y. h% O2 ]. u: Q这一块的文献也是浩如烟海,
' c+ y: l2 Z. T8 w# J" [因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书,
31.G.K. Pedersen
"C*-Algebras and their Automorphism Groups"
0 C) \, |& r# V2 i7 ?# k( A这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去.
4 G6 ?! u0 f9 }4 J  U再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整
1 S# e6 I. P/ q! Y1 g" T, K个算子代数往后来的非交换几何的发展历史,
特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理
0 p) [' F1 I% W( }) y; V$ Y的联系,可以看
# x  s) v: O# I% B3 e. c32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici
; q& U# S  s; J8 F, L; d"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
6 {! g  e- U$ ^AMS Notice,v.44(1997),No.7
33.A.Lesniewski
"Noncommutative Geometry"
AMS Notice,v.44(1997),No.7
还有
34.Irving Segal
3 ?7 n3 Y. t0 ^( D  C4 {. o6 n* }- [Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4
因为
+ v6 ~0 t* L0 p, V; Z+ B, u4 a35.Alain Connes(Fields 82)
"Noncommutative Geometry"
可以说是这一块的里程碑式的著作,
(33.中甚至说今后人们会用今天看
Riemann的就职演说的眼光看这本书)
7 O- a( d4 V1 @# q9 d/ \所以对于这本书的评论很多也就
把整个分支都评论进去了,不妨看看.
Jones说这书是"A milestone for mathematics.
Connes has created a theory that embraces
most aspects of `classical' mathematics
and sets us out on a long and exciting
% M! S, \+ H3 n; Q5 nvoyage into the world of noncommutative
mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面
有一些批评,也值得注意.
  
  \4 b$ k( [& n) }! @/ W12.的作者J.-P. Serre成为第五位
5 u' [/ X) R3 C8 M) R既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家.
4 `& w* {7 A% W7 v2 t" A) t. h(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)
9 p2 y  t7 ~' Z) l1 A  
第七章
这一章一般不讲,在本科阶段不讲,
在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗?
0 L' j8 K0 I5 W) I$ T1 q+ k% G主要问题是,就事论事地讨论广义函数
* X- R- c: r! [5 w+ H2 ]& t恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架
& I' @! L3 M' @" y在偏微分理论中的应用.现在的状态就是
! T* {3 [( h' l你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没
听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认
3 M( a1 M. |7 e& `! m; s) y7 h复旦的偏微是很强的...\\sigh
在广义函数的标题下最有名的应该是
. z9 g) {  a+ F) M: U/ c36.I.M.Gelfand等
- U& U+ }3 E. Y( }( N+ k# v4 g"广义函数"(Generalized Functions,I-V)
' a6 l& N. h$ _$ M大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的,
/ T' v" E  o; U2 Q# _4 P5 _英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是
# g  D7 S5 N- g/ i+ Z/ z7 c第二本最有意思.
另外还有两本好书,不光是这一块内容,
从整体上讲也是很好的泛函课本
37.K.Yosida(吉田耕作)
"Functional Analysis"
他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚,
一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版
去年世界图书刚刚影印.
, X+ K& m# d, ?5 o! y38.H.Brezis
; |8 B  h$ c8 j+ M% g( w- G: |"Analyse Fonctionelle"
Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士,
0 m* k4 d- c) ~  m' ]+ T非线性偏微的权威.他的这本书很见功力.
如果能念法语的话绝对值得一读.
在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容,
* D2 E" ]9 d$ ~0 O" n特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思.
3 z' S' d+ {3 H# U  
6 H/ }7 F, j/ ?6 B==============================================

' O6 Y( ]  j. f  f' m抽象代数部分：
, n4 k8 J7 A; n
有的地方管这叫"近世代数",
反正近不近各人自己看着办吧!
7 E* Y: l$ h! B$ Q从历史上说,可以认为严肃的讨论
是从伽罗华开始的,他在决斗前夜
' s( Q2 \7 e2 a0 \8 Y" u7 p$ f* y写下的那封著名的信件(里面有
"你可以公开向Jacobi或者Gauss
提出请求,不是就这些结果的正确性,
( H- a7 _/ X0 ?2 q而是重要性,给出意见....",现藏
法国国家图书馆).在后来的发展过程
中,代数结构话的语言逐步渗透到
数学的各个角落.到今天这已经是
# W3 Q* [0 ?. w1 U6 n3 _. [% P一门无处不在的分支了.
不止一个老师教导过我们:
在复旦,你们受到的分析训练将是
很多的(充不充分要看各人的要求了),
但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.
现行教材是我的本家写的,
总的说来作为初学还很可以一读,
2 S  W; \: R4 @7 Z原因将在下面说明.
  
北大的课本是
1.丁石孙,聂灵沼
"代数学引论"
# H0 E+ Z2 X2 F: |/ |) r; l0 a这本书的特点和北大的那本高等代数一样,
就是没什么自己的特色,原因是这本书从
6 y- m. l1 W1 S9 K' H" E7 j* b% F体例到习题在很大程度上参考了
2.N.Jacobson
) e' |8 d5 t; O  B* \" I1 p"Basic Algebra I,II"
这书在总书库里面有不少,
6 _# j6 n7 B( `, R理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫
"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.
3 ]% ^# ?  d* z2 |: O. j* D2 vJacobson在代数领域也属于权威,
是华先生同时代的人.这本书从观点
: Y1 J$ b4 T& g" S- }& }上说是相当现代化的,比同作者的那本
; H: h  M! G: {3.N. Jacobson
"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)
- h: A" H5 ^0 {9 O(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)
7 n5 o- |  Y' m0 p& A) x要改进不少.
6 K2 h( C) }$ k2 T3 i7 E有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去
# h3 `3 ~( |5 U6 @比较一下.
  
& V9 `- Z$ Y6 {& `( {从习题的角度上说,可以看
. w3 {+ M: c" \8 i4.徐诚浩
"抽象代数--方法导引"
. u! H! p2 Q0 [, Y- F  O* L6 M5 p8 k这本书可以说比较适合在复旦学这门课.
可以罗列的参考书还有很多,
综合性的课本有名气很大的
( x* F: T: S) G, U' H1 c+ L5.S.Lang
4 L) i; R9 A% p9 C9 L"Algebra"
1 e0 W8 b. d& n0 P  l% MLang写书以清晰著称,他的这本书还得过
AMS发的Steel优秀图书奖.
7 K# D! f8 @  G9 e7 f) x6.莫宗坚
1 L# y7 C3 j% L0 j"代数学(上,下)"
北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看
' U4 i2 q: ~9 ~) L* C过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书
4 n6 u4 n1 H7 i# s: _9 H9 @7 v推崇倍至,认为比1.写得好.
. h8 k! ?) @6 F; f; @7.熊全淹
  i' a4 A& d& }9 x9 C"近世代数"
) y' x/ X$ n  u" n- ~这本书的好坏不敢评论,
: a' O! m0 u9 f5 h* B不过这本书有个很大的特点,
' @7 f+ W) O7 n/ g. r) S就是作者收集了很多小文章,
# s4 M# k9 |  o  h比如许多American Mathematical Monthly
上的短文.依他开列的参考文献到
( \, U- Z  w2 Q系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.
  
  w' G# C1 t  c& c其它的就是比较专门的东西了.比如群论
就有影响过无数学者的
6.库洛什
"群论"
注意这本书第二版和第三版中译本的封面
一模一样.
或者段学复先生的导师Robinson写的
7.Robinson
$ I" l+ E% A, [% S5 _- _1 g"A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,
不过我是一窍不通的了.还望这里的高手
多多指点.
- w% C0 [- l/ x% t对于Galois理论,有一本
) m; q2 W1 E+ b# z8.E.Artin
% U- v5 X2 Y' R; s; s; L  S; Y( `"伽罗华理论"
非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.
  @7 C' s: b; [) h8 o! _1 O$ j还有
6 Z1 j) {4 x8 H% z9.Edwards
; s- R. R+ ?& K* H"Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始
% `5 m# X5 f! k9 T& N+ i想法写的,因此和一般通行的教本里面的
. g, G+ O! k/ F( M; @6 w$ K讲法不是很一样.
( w1 j1 m( S" P) l7 c3 \; P! p/ a
. n  p; a5 J% G/ T; k9 D=====================================================
  
数学物理方程部分：
- G( T3 A, Y, A6 n/ {* R/ q
: Y; a# ^3 b* o4 w% t  ]% r; S学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),
! E+ n; O) ]9 `故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有
$ p7 h# N) D3 b/ D  T" z7 E看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本
相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计
等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.
9 a# Q, g( v' S$ E" [注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?), Ｋ文*,???
  R& X  k# W3 U9 s"数学物理方程"(人民教育?高等教育?)
. W7 a) m! t1 H# h( r6 D( \这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.
, T6 g" ~7 k, @# d9 d5 T特别指出这本书的原因是在复旦的课本
6 }) z% r6 M( G中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"
习题解答的,那是80年代初,油印本.
% L" @/ _" ~$ J5 E) k# l能不能搞到就看各位本事了.
$ \$ {# G5 _7 l# ?那本解答对于做作业是很有帮助的.
比较容易找到的书里面,
3.陈恕行,秦铁虎
- d$ ~/ ~3 a" A; y3 `# E; x" D"数学物理方程--方法导引"
! f/ g0 z& @! `, e) c是一本非常好的讲习题的书.
里面的习题如果能够全部做一遍的话,
应付考试是绰绰有余了.
  
7 O; S2 l- g' }发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics
说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年
里面有翻天覆地的变化,古典的方法
和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.
我想说起古典的,
! A8 m- q( G6 I9 v4.R. Courant, D. Hilbert
"数学物理方法"(I,II)
可以说是毫无疑问的经典.
/ v* V& l0 ]& k按照洪家兴老师的说法,
不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块
) A7 K6 }+ U) l1 J  Z这本书里面的相应章节都是经典,
/ }' L* `- r" f' q8 V3 ^7 A问题就是这书放在一起你是没办法
当教材来学的,所以只能有空翻翻啦....
( U- I4 @. p6 p7 j# [' e经典的教材,大概可以算
5.彼得罗夫斯基
"偏微分方程讲义"
" n( X' W. H* u  J$ s* \这本书从风格上可能和他老人家那本
8 X: t# |5 K8 H"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,
. D7 I7 o: q0 r$ I* |) E/ ?象Cauchy-Kovalevskaya定理,在
$ m$ d1 L5 w8 |% K8 D复旦的本科也好象是不讲的.
我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就
不怎么做东西了,主要的精力一直放在
8 t5 ?2 v' {5 f+ J& I  \5 M2 w为苏联数学界构造保护伞方面.
- h% u7 j, i- X: j: `8 x他最后去世的时候是这个样子的,
某天他到莫斯科市委会去开会,
跟人家大吵了一架,因为基础科学
4 y( r% @8 g  h) {  B研究的经费的事情,结果出来的时候
在大门口突发心 」Ｈ*,他的最后一句话
& Y1 ?$ r% g$ j2 V- Z7 K% w. G( v是:"我嬴了".
& C: l$ c) X( L. v/ S( w. V有这样的人存在你才可以想象为什么
8 Y1 P% B8 X0 b人家的大清洗没有对科技的发展有
太大的影响.对于这个问题,建议看看
& ?* b- D$ W' N1 ~+ S" P- Q' q1 u6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432
和
7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
  
还有
8.O.A. Ladyzhenskaya
. ^4 i" o' Z8 C" E7 ^+ t"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们
1 w: e. X& X" r陈旧我也没话可说.
既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,
& s% y8 c0 A+ B0 O: x在这个方向上我以为
9.李大潜,秦铁虎
"物理学与偏微分方程"(高教)
8 A2 ]+ @  [  ?2 ]0 O$ Q; ?0 o: p" B还是很不错的,上册已经出版,下册
也就要付印了.该书的起点并不高,
% r' e) ^% R" ?! U- I1 j所以应该比较容易看.
5 k+ D' l5 O$ h3 I& d2 ]7 J. ^据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,
认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.
& h2 z# }7 G8 ]7 t; K; R从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于
本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的
书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.
; o  Z8 L# Y+ M5 R比如
) N+ i( z& D$ i  b6 Z10.L.Bers, F. John, M. Scheter,
"Partial Differential Equations"
Bers是个很有趣的人,
可以看看
11.L.Steen, ed.
7 a& c5 @" `9 T3 T) j) U"今日数学"(Mathematics Today)
里面的文章.附带说一句,这本书是最好的
数学普及读物之一,绝对值得一看,
. E# c4 B2 Y: b1 V; @中译本的质量也不错.
  
3 [( O! i# ?2 R" I1 `2 T7 N12.F. John
"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有.
- K+ v$ A% A) u$ ?5 F剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚
印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch
"Partial Differential Equations"(GTM128)
# M: ]. w+ `3 U! J% A8 n14.M. Taylor
- ?: j3 H0 F$ {1 D$ o"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))
引G. Lebeau的一句话,这书比
' S( V% j# f" P$ o1 L1 F. d15.L. Hormander
2 S1 ~3 g8 D" \. b"Linear Partial Differential Operators, I"
要好念多了.
; Y; k9 v4 |9 M" ~' q) L( j! b+ M(当然基本上人人都是这么认为的,
只不过这位的来头比较大而已
: W7 f8 @: `; e+ \( H  X--法国科学院通讯院士,46岁)
  
, `6 m6 }. C/ B! i$ X' n这是讲偏微分方程的课的名称.
顾名思义,就是说这里的方程原则上
- q# }+ e/ r2 {. A4 V最早都是从物理里面来的.
. o# @7 A3 K$ t* b5 R, I( E这个分支里面的东西丰富之至
  d, o' U6 H' H" n, Q# A/ G5 f(当然往反面说就是有时候会显得
结果比较零散).
& H/ T& b, g& i) W9 g现行课本是
1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿
: R% k8 O5 g2 K' g+ S1 @/ p"数学物理方程"(上海科技)
这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,
弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.
注意那些经典方程的推导里面多少有一些
. v( _0 Z' V8 p1 S/ m" P近似的过程,这其实从某种意义上反应了
所对应的微分算子的某些性质的稳定性.
2 H# C# h( i+ g比如,对于经典的波动方程,3维及以上的
奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作
# }. x  w- t9 `( k$ K+ }3 d/ n) \经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个
8 n/ w1 d! K; x" [6 D% i! S证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,
差不多二阶双曲方程里面只有波动方程
0 |# y0 K+ e2 s! y有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程
: I' S/ S3 w: c& }的推导里面是有近似的,这说明什么?
# j' @9 [. j" D; i  y/ y一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,
" c+ ~' |3 i) x0 g/ ^) l% j7 x常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很
8 r; @* e; I' W6 e2 ^有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来
证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有
存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,
可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!
% I9 P, M1 Q, s, W  
$ q9 V# W3 S4 f% e: M# U6 X) O  L========================================================

; @8 m& [6 s1 ~7 h3 f, U拓扑学部分：

% _! ~4 g$ r) U4 w 我拓扑学得很差(从总体上说),
因此这里我也说不出太多东西.
大概也就点集拓扑还算过得去,
我以为这一方面我们的现行课本:
! i( e& j! j8 X. D9 ]* D  {% \ 1.李元熹,张国(木梁)
"拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西
都讲了,而且后面罗列(我想不出还有
什么更好的形容词)了许多习题,
做上一遍是很有趣的一项工作.
中文的参考书里面好象
2.熊金城
"点集拓扑讲义"
是比较好的.该书也有些名气.
不过要好好学,可能还是看下面的两本
比较经典的书:
3.J.L. Kelley
"General Topology"(GTM 27)
  Y( N: C7 j- r% h& G. ~1 G2 Z1 I 此书名头很响,55年出版的时候应该算得
上是把这一领域里面的结果做了个
很好的总结.该书是想写成课本的,
" w9 O: D8 N8 K. Q 因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,...
编号.只是....真要做起来未免有些困难.
6 G# l! D" ~( o 听说过这样一个故事,就是曾有一位
8 Y- q7 w$ M3 F5 l! x' s 华裔数学家回国讲学的时候于酒席间
& D; m) o( f: \9 X+ i+ e" _& A 说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的
书,而且要习题全做.结果大家都笑了,
( a9 Z3 x4 v0 z; \4 B3 |; f 因为大家都明白这目标不是很现实.
) |  h) E  U4 `3 |  g- g" I 我个人的经验是,在那个学期陷入各类
( K4 K4 t1 P3 \" j& u# n" C% m 考试的重围中之前,还做了前面两三章
的题目.是比较困难,但是做起来也非常
; @: Y- n, F3 o1 \/ x 有趣.
  
1 S& Q7 O3 J7 E$ m! w& ~再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业
"基础拓扑学"
是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp
"Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本:(基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)
这是本极好的教材,应该
可以用深入浅出来形容吧!
* y' d$ z( y; h& w& Z% w, |7 B! C第一作者Singer就是和Atiyah
一起证指标定理的那位,说是重量
/ i+ Q" a: D8 C( c0 J! U; e级人物当无疑义.
; k) }) }% G$ v如果你只想查结果,我觉得可以去找
6.R.Engelking
"General Topology"
这书是七十年代末写的,内容翔实,
至少对我来说是有包罗万象的感觉,
当然对做这一块的人就不一定了.
; D- B0 X3 @7 \5 @* {. ?' [) P  
按照萧先生的速度,大概第二章还是能
/ L" w( Q$ w' n5 h; W4 r0 [3 [& B% ~. F讲大半的.
6 l( y& [0 p& H2 E  x8 @这里属于代数拓扑的起始部分,
; W* V2 o# ^- X& e/ [* X3 H  o2 m参考书一下子就比前面的多多了.
6 V+ G# m1 b: |! w3 E" L讲代数拓扑的书,可能
1 w& x9 f, a" Q' E& _. g- c7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology"
属于写得很通俗易懂,
配置合理的那一类.
还有象GTM里面的
8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
也是写得很好的书.
5 L8 P2 `9 R4 t8 M* H我能写的大概就这点了,
还望大家多多补充.
  
发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics
, g4 x* L! W+ j* g; B6 S9 y8 [这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)
( @3 Y0 V2 p$ }% V# K' |; ?拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展
的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为
3 J9 x1 f5 q) j& s2 V& u% }2 l当代数学理论的三大支柱。
# I3 O, [8 D% z7 y如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
《拓扑学奇趣》
巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著
  l3 U' a2 u6 W1 f8 v这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定
1 p. k+ ]7 b1 a- L# K0 u数量的有启发性的题目。
' [9 Z% L6 z3 ^) [( x5 N; Y. yM.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。
5 Q) g3 U# U( H. }: \( S: W. H" p由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，
有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，
所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。
: q/ B, j: X( v8 T& t3 Y由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
/ _* G$ S1 y- z$ r* r1 F  
: Z: z- L$ ~! M6 f======================================================

9 I2 N" }2 ?! d' Q以下是北大的一位师兄做的补充
$ E* {- r; L8 x& U: e- z* F数学分析
' U9 f" R: w8 ], N# U欧阳光中,姚允龙
"数学分析"
这本书在外面的口碑不好，错误不少，据
) O% a4 C6 p+ V3 q- C% J1 K0 Z说南开的一位老师曾笑称此书的作者为"老
糊涂"了。
高等代数
9.丘维声
- t. @  ?# Z  s) o) K"高等代数"(上,下)
9 V: d7 Y- a- q* i  Z* E3 m+ ?6 q4 K本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作
2 h% w  P9 X! w. W' ^经常至夜里二,三点.
单复变函数
11.张南岳,陈怀惠
"复变函数论选讲"
这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但
3 j0 }( V! C8 i* w, z( ?文革中受到很大打击,以至学风不很扎实.
8 L! x  \0 c8 l4 H* H1 h微分几何
$ V& |: ~# c) [) T陈维桓"微分几何初步"
这本书确实写得不很清楚,陈
6 q/ ~% a: F- V7 J# I+ _还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但
  R, U( o; i3 ?' A6 t) t还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意
' T" |. @/ f% W, e+ M; u$ T: {=============================================
  
5 X- ]9 I( S7 v- S% W  ^7 \大学里面念过的本科的课程,
基本上就全部写完了,
感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了
我的"酸"劲.\\bow
9 J! k: m* I$ b0 R1 K. l其实严格说来这里面除了参考书的名字
和简短的评论外,我还写了一大堆从某种
: C( W6 T' H' r" K" D意义上说属于"题外"的话.我的想法是,
4 n6 {8 L% R- w9 l! {( z在我的意识中,数学不光是那些定义和公式,
$ D3 p7 i8 E" ?8 k数学还包括了为数众多的数学家
的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节
8 a& I; O; I$ i9 T$ ^' e9 c2 o4 H是做不好数学的,我以为.
从技术上说,大学数学系的课程还有很多
9 I0 o) Z' }6 O2 m! v没有写到,即使写到的这些,也有很多
需要补充,修改的地方,只不过...
我是没那心思了:-)至少在近阶段.
4 C/ s+ n1 g, B- p% V希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们
9 D3 {+ f" p, b. r多多贡献,在这里先予感谢!\\bow
( t* ?# x- Y. S... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
(为避免任何对于\\bow的数目产生
- V) d8 u* z7 [# A" P9 |误解,文章到此分成两截)
* c7 m8 w$ {5 f# d) m今年一月,在经历了三个月的情绪极端
低落以后,我打算开始重新规划自己的
未来(感谢上帝,这三个月总算没让我
精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点
. y4 m& w/ y# F' }6 R& W东西,呵呵...).在处理了一些专业上的
5 c4 a; I0 R7 h( u+ @# t( A! }$ b% l原则性问题以后,想着自己还能干点什么,
这时候就有想到了BBS.
$ X% Z4 k8 C# z2 DBBS实在是个好地方,自从四年前在steve家
! Q8 e% v6 x# @4 T( a上了最早的日月光华开始,已经差不多有四
年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的
水是前三年灌的水的总和的三倍.
  ^) Z! Y+ O8 m2 O可能和心情有关吧!)
突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义
点的水,去年底写的那些94理基的故事
- ]" f% {% W/ P从效果上说,让我很好地把心情整理了
9 ~8 q9 _" ~& ?4 O" m, _( v- Y一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目.
# P& Q+ b. q0 r* B, y" D. m; ^  H应当说,写这些东西还是花了点功夫的,
从构思,找资料,到一个个字敲进电脑,
. |4 A& Q! e* {7 l4 w2 e' s修修改改,一门课总也要花上一两周时间.
因此一稿三投连我自己也没有觉得有
6 u% ]+ l0 ?3 n8 {什么不妥.好象这也不违反站规吧?
写着写着也就到了今天.又是一个可以做
8 v& L; `0 }# ^( @"结"的日子.感谢各位这几个月来对我
的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver,
, C8 z$ q" p  v+ q7 N6 V5 gzyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit,
standby, dhj, compass, beryl, littlebaby,
( {7 f8 ~# c1 K3 p, ndarling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart,
7 }7 w$ [) }/ O8 N: C- i) {max, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz,
DblHorn, julong, shasha夫妇,fancier......
还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka.
希望明天的太阳--无论是巴黎的,
( W3 ]; \2 L4 K- O( a2 H
还是上海的--升起的时候,
大家都能有个好心情.
再次谢谢大家!\\bow
2000.6.6 2

弘道

谢谢楼主……辛苦啦！

hylpy

晕啊，此文已经在网上转载了N次了，越转越不全越变形。