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- W( t4 K" A( o, o- l( U8 K+ ~! b7 G6 D; v
2 L# \( Q2 e' b: H' S5 yA题 安全的后视镜
5 G q& K9 u; f; P: I7 i汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有! [3 r" X+ P6 ]4 e m
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
5 s* _; k% i9 k镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.- f/ C9 _' P. {+ q5 O
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.8 m- V) j; O3 A! M! X' m
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
7 M' `1 H" ]$ P获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
6 u5 P) S$ l2 {& b距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.7 `. C& I* P0 A) U! [2 @1 @
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构- h5 ?3 n9 Z8 H* r+ C
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
" W# G/ ?) h7 O! b) }' G0 Y# u离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一' k( n7 E6 M; [$ B4 j: o
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
$ o4 I/ L! y' \6 Y. }2 o平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线" A- ^ {3 r2 N6 `/ s
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
5 c& d: P7 E8 }9 b% K$ A; v& S* U4 `. W能也会有所不同.4 P7 F7 [) J9 D, [# Y
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
6 X6 l6 y `1 ]1 g外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
; N% G" u, A0 \: V5 b/ w设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
* I7 r- Y+ N$ `- e给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一2 [$ t1 v- s9 n4 S* `$ q
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
* ~( Q+ b9 M4 p" g1 j1 t! K# Q+ j的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
5 E* }& \9 h& M" F$ r R, H+ q应的国家标准.- K: F9 ?8 T) b+ [: b4 j
1
5 v/ N# f7 _4 G$ T& o图 1: 变曲率后视镜的例子
* ^2 p0 a o# a
4 c( o6 o* \# K" v" R) G: O$ a- J" _& ^* j, ]
B题 岁月的印记
; f! x. x W! e# J对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经6 k9 v9 \- U- r$ G' F5 {
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨) |" ^8 a ]. X S
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
( j6 o% Y4 g% t" m来也就越困难.
/ C# k' J" S6 z. K第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面# m" D5 K K; Q0 ~* b2 t
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
* K Y. m: G" b9 q# M$ x假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.6 p* ^- |# `; G7 ]0 f* f
6 u5 \' l+ d- E
7 o: P0 [2 q& L/ U
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
8 S! N( j4 i e+ }8 j: n2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加0 K& x. `6 m5 q7 k2 e8 a
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
3 z4 R9 h7 ~5 ?, B# o2 }学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考7 |! H( H' c4 l' X1 }
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷
8 p/ s$ `8 i- o1 `涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
+ M* k0 z e. Y2 m" G$ Z8 h依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端7 x9 `* z/ w$ L ?3 M6 I5 z
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
. Q2 P" `6 Z/ ~$ V. d/ `市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
6 A) u* \( Q0 E) x. v* v6 J集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请0 `8 y" I4 @) O- Q; G: V) [
你建立合理的数学模型解决如下问题。
. U. @2 R% d& ~8 R0 t& R; ~第一阶段问题：; M4 z. q9 ~1 j1 u4 w6 t1 b
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
3 n, G2 r. g! G1 {2 |3 i的主要因素。
$ F- F" V) \3 O# b' G" m/ o2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在1 ^6 k f* a6 v9 J0 e/ F
市场占有率。 ^' v* p t0 B# p
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
/ v+ h. d& q+ A4 B' Q情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。8 M5 { f# }2 A9 y8 \! W; D
# d) R0 e! i# ?2 H% V
D题 教室的合理设计4 D* k2 R% G$ D# `4 s+ c
（本题仅限中学组和专科组选用）# h/ Y- `+ w3 n$ E9 G' h! {
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类* u+ W& `) A+ F9 b
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
; u L& m. s! b1 A& {; @活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计. o& ]- t$ Y) t7 b4 _
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 / f: d6 w1 D* \* Z1 n/ ^& G
第一阶段问题：. ~5 \, C* v1 f C2 e# X
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
- _! E( R* y; a/ N$ ?& k3 c1 q: ^座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不$ x1 _6 h# B% h* t) G" W
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互' g2 ] j9 D/ x0 c4 R9 g
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
8 g4 ^: M% h1 p1 k: L8 R4 A间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在( i! S' ?" J# O4 n# Q
设计中可以忽略墙占用的面积。+ ^! ]0 E0 I7 [$ v" K: {# f
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
9 r: Y g; H' ^8 N3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教0 S) f) T% w% C
室。
' I# d7 D# T$ {; [+ R
+ {2 v9 `& C8 P2 _) o3 ^
& i% G" b/ i. m" H8 z! Y! X+ ?5 Z* S7 D% y6 V# S. |: \6 m/ ^: {
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zan
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2021-5-28 10:48
