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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
+ a/ d1 }# O2 b- C
8 p, \' O; Z2 B3 e( t
y8 S; S; i! [5 _# y! j
1 }; g0 ~1 P; g5 \A题 安全的后视镜/ t0 F: j$ P! ~
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
' S2 R( h2 f: @* S% y3 ]& K+ R0 X" s5 r良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
$ ~6 n# a4 m. r1 p8 A5 }" I镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.: l: L0 w9 p8 d y1 M
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
7 V8 R4 Z2 U- u但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面6 k9 W6 v& E4 D* o% k, @1 q
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的& J F3 y9 D* m" u# \9 c4 b% P0 d
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.# P7 m3 T8 |6 I9 S
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
) d; c% X+ k2 j造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距& r3 _9 O3 R1 g
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
9 j+ p0 F6 t6 ^) X* d: M6 N. @种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了/ g" e: G+ m/ Z0 W8 v
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
2 U3 N% S! L: q9 E& n或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
' |: [. l6 O9 h# _# F" M能也会有所不同.8 A8 d p3 G5 z" P- r( l: o
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
/ G u7 N' r0 `2 Y外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都1 |9 @8 @% l4 u# a5 A2 T. Z) q
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜8 U) X {6 g- S. v) \( v t
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一& a2 P: k) U% A3 o5 c: X+ `4 j
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
( c# X& D' I% X, v- D2 \的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
( G! U E7 q! d) l9 c8 o Z9 H应的国家标准.% F5 n; B) g8 e) N @
1/ A8 Z0 D& _$ j) e& J
图 1: 变曲率后视镜的例子( H4 }% t7 D/ M. y
p7 u, G- g' [. O
; D Y) ?6 r9 u+ G/ ^! u8 q' J0 X0 zB题 岁月的印记
, a' Z+ O3 I+ X5 T对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
v0 I% m6 P" Y& U% ]# r% s& q历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨: j# W* R) R" u5 \( k- j4 p9 N
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起3 M e: i$ p9 O( F
来也就越困难.
v- \- m2 n/ |3 r0 X' B第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面! ~6 ]1 w! ~( Y; {+ P( I6 \
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以& q- V, Y+ ^4 Y6 o
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.+ n7 l. Q8 i% q5 w4 _
0 o6 l/ ^7 P! O( h9 Q2 X4 i( @' U. a% |( a
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
$ Y* `' Q+ m5 K9 x/ r& J2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加" `, y2 e: r2 x2 n+ g. Q
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
" K1 m+ [: m: @学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
/ E& y7 B- n0 u4 J研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷1 O+ r! v7 \/ L) X7 M
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
# p- x' Y( e' P! S+ ?: a依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
1 W/ M* m N4 L$ M ? `* [更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的( b! V1 o, d% a
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收 F. Y0 j" V4 h
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请) \& J4 h" a# r0 {4 p! L
你建立合理的数学模型解决如下问题。
% d1 p6 M {% @第一阶段问题：
6 W# |1 B. m' S, t* g% J1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
1 d- e' p9 @9 P! C的主要因素。) Z0 P1 H) v1 _
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
& |* W5 c1 R* ~3 M- }5 C, ?市场占有率。( x3 E. N; `1 E
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会3 B& z) J& U* q2 E
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。) ?) R6 B' x- ^+ o
, e4 Z/ ]: v* O* J H" nD题 教室的合理设计
) n1 e/ r0 }# X) _5 X. [- v（本题仅限中学组和专科组选用） I9 b& m5 L8 U' s. q: Y6 ^
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
4 V e4 G' g8 z, m) F的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和+ R# b* _6 Y6 \( b0 C5 y
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计 r' q0 W- c" h. _
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 4 S( V- ^( M) Z; X
第一阶段问题：. R& U' O; G; B' q" \
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个
6 H2 y' A' P4 { {( C座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
; [. ?$ v% H( h5 G1 i: k少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互5 W7 }% P$ @8 ?
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之 ]( `; p- d1 c* [
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在" v6 ~" G( j! t5 P4 M! J- f
设计中可以忽略墙占用的面积。
2 D2 N- A! R6 E2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
) l5 K1 f& C4 r: Q2 K* K3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
& ~7 A4 e- C. k室。# ?. N; n q+ d: }2 [+ n! x. j% B
1 {! C. d" _) X0 [4 H& O0 W) d* }" O- J& S9 ], J
O, V: w& u( K |
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2021-5-28 10:48
