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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
; H8 G5 d! l& @4 n$ h# {- p7 i) g7 W% y# v5 c9 u
* w% `& `& E3 b8 Q- D& I4 ?" J5 g# X( ~
A题 安全的后视镜' q3 _! L& }/ t! g5 h$ @
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
% ] \9 d! m: F- b& |3 P& L良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
6 s' j8 f, R3 Y4 a1 Y镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.5 u7 M+ A$ h# `$ g/ }! s
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.7 f- O0 W7 N) k A* }) w( `
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面' A9 w3 @" G9 o0 j
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的/ D; R/ r& W, F( F
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
- M7 V6 ?% e- R# G5 ]但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构" F! w E( `2 R5 B* H
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
4 g9 H5 D0 I, W3 y9 o7 x8 u$ x& X离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一; }/ a8 [5 P9 I8 g' K' Q
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了0 [6 M c% P a- ]2 R9 |( y' O+ D
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
9 ?) c2 @$ h2 |$ g7 V7 {或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
5 U. R6 B* ^5 n! G能也会有所不同.
: I0 n1 `4 {4 G$ g( F: \第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
0 G, c: Q* R* B5 j! n% ?$ T9 H外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
! |6 b8 O- P8 u设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜4 z0 T' x; Q" s
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一2 ?2 K, I1 S: j! F
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
/ v, F8 {4 w0 G4 i1 z的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相, w" ?8 I3 n7 O, n' y, b* G5 k
应的国家标准.1 R8 k+ j4 H' m8 o' S
1# ~. W4 J p1 z9 b" B
图 1: 变曲率后视镜的例子7 E& }" `5 ]& O& E' e b" f
+ s: i* U$ G5 E8 @) p U6 E; k b
, R; E9 o7 L2 ZB题 岁月的印记6 U- r: c- H' O
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
( O' M, _, R9 X; {7 e8 ]% \1 n X历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨1 |* y6 ]. j; t' R0 Q0 j
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起. B' m8 K- G) R9 t
来也就越困难.
; m3 }) N0 H" Y! F6 B+ u7 z第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
1 i) M3 h5 x u, ]" n部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以5 i1 @$ Y2 y- g1 A3 @$ B
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
4 h8 w' }/ k8 ^# _# l0 @( d5 B; i) U- d' x2 B q
0 W' f' X" Y ]! ]7 aC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
- J+ A P' n2 L1 P) K7 i& G, w2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
1 [0 i# x. ] k+ _ u& \! `; g了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教# r: P! x/ O9 s- ~, A
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考3 v7 _4 Y& _# F' D- p
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷7 P4 I. i& f9 K! F% } F& Z% s4 T
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
/ q- ~+ m4 u4 U4 i( [- M2 }( M" k依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
3 [9 D- t9 G! T. U$ Z" @* a4 ?( {! c更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
4 y( s# y4 a N2 {市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
; {+ ^" i# `1 h8 X& O集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请. J8 G- s) }, x I3 U, [
你建立合理的数学模型解决如下问题。0 m7 ]! g7 }/ w$ q8 |* I, ~; n
第一阶段问题：: I$ P. ?" o7 e- g
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
6 L1 u5 v3 _5 v# ?, {% g的主要因素。
3 j2 A9 E% k1 j K' m8 s2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在. |3 E5 d# @$ ]3 q- g- P; d3 I! R& V
市场占有率。, @( t* d" Z6 w) q7 i7 x
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会7 S/ k7 g& p5 `! n, j1 N
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。
2 D, I% G' j8 M3 x4 P
/ h6 U9 q6 ^* M5 z1 F4 HD题 教室的合理设计
5 L$ I3 c* ]1 E b% u9 k. a（本题仅限中学组和专科组选用）
# F" r; \/ q: y某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类) f1 k' [( t% T
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和5 b/ ~2 X) _1 U% B7 E5 R: e
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
. I: k) I; g- w7 A1 t6 Q. S& _分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 ' ~0 X( B+ Z7 Z" f# [/ G. i' E
第一阶段问题：
/ L- Y T$ ?; W4 }) W1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个' U4 r" A0 L" }7 t
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
2 x. u% v# ^9 K7 N少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互% [3 l L1 E5 u7 N6 l" v% S
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之6 ^6 h+ w5 z) z- n
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
9 q/ J/ X/ L. i; _设计中可以忽略墙占用的面积。) r% Q' w0 D5 T! N/ C$ ?) ]) X
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。, t' Q7 Z' o8 r% ^5 F
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
- N! `9 a0 R3 X! R0 [: X% I8 n) |室。, \) F2 E% I- Q. \
r! B7 h: y/ u) X4 ]5 \* O0 ~, a' T) u! Q4 r0 S. ~
! R1 \% `; J* z
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2021-5-28 10:48
