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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
8 Z) W/ q$ H4 d% _; f5 Q
/ t' k) F/ s/ { C8 j
, M' s* C/ N3 V5 J' C
; v% _/ P, e' K6 o: R. [A题 安全的后视镜8 k' w4 S/ L7 m, ?! t
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
& M9 Q: C" b' q" O良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视: M% g( W5 W8 K: Y( H- K% H2 i
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
5 P/ W7 l n2 A如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
# G* `2 O( W3 e但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面# g' m6 k7 k5 E6 V
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的6 L- K2 z1 Q# \
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.+ i3 C/ u' b* `7 p% L: |# ^" Y
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
! A) L D5 m' P/ k! z! i" o) L6 R3 E, U造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
# i$ |4 j* P' J* U$ M离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一, m$ F u9 i8 \. X& k F' P+ Q
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了6 r8 r+ k. W0 Q+ K& n3 J: U5 p
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线: t! T p) h9 Y. M- \0 e
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性
9 [% B, U. Y5 o5 l6 w能也会有所不同.3 ?7 u+ H2 A) @+ ]! C6 g9 y
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
3 r2 S9 y9 V4 l3 T/ C7 C; e( G外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
1 A% e( T }/ n0 A# a设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜# v6 \( h* N/ `: `# y
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一, I$ A" k: W# Z, x
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有# `5 _3 ^/ z$ e& O- H
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相3 x( A( s. w3 G; |# C6 b
应的国家标准.. I% s/ V. Y- R3 d
1: X+ c5 r. P5 i) P6 h
图 1: 变曲率后视镜的例子6 o$ @ g- O! v5 T
0 N( N# D' v: A) H7 R2 K9 l! ^" q+ Y
B题 岁月的印记; Y8 Z, m E/ r. P
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经. l: h: c6 |0 h5 C5 @+ n7 x* x. f: U: R
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨# Y& t* S6 W4 {/ e, t- w5 {: K
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
, O+ L/ b0 y0 J4 w) |, L3 r9 h来也就越困难. f' t1 `! R7 R& ^
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面( M3 l ~: p+ ^2 [0 Z5 }1 h8 q& F) D
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
. {3 m @, X7 y/ f# [! u2 M假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.; C+ ~3 W% ?' f. y
# `0 {* n6 k0 B1 ^- U$ l1 L9 W1 r" v* u
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？5 C; ]' _- B7 X ?1 l
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
& _+ e1 M' c' a0 [, @了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
& f, U( |( p' N0 P0 |1 z3 n学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
6 a2 \0 @+ _1 U研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷% z' C J+ Z4 f0 P( Q+ g
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
0 Q6 ]3 b+ N5 c依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端! e6 E/ R! G$ [; V3 q' Z4 i9 _6 h" j
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
2 U! Q# I: K7 N1 H) {+ x市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收* ^/ \: y- ^% y9 b
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请% M4 a) J3 T0 j5 H6 ^/ Q
你建立合理的数学模型解决如下问题。: g. j! M. ^/ x& i
第一阶段问题：
' _, I) w: p! |7 F2 B! W1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
# E. c) i9 ?$ v7 ]8 b0 G, E" r的主要因素。
. I9 g7 \( c# f9 b2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在2 x7 X$ p9 n* J% `$ J$ E
市场占有率。, v- x* F1 E" A$ q3 a
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会# y! J+ [. H7 q/ F" _2 e
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。2 F/ M; J$ S7 p0 Q( ?( C
3 l7 M+ m, i0 A- P/ L% |; cD题 教室的合理设计
. c3 F+ T9 K: U2 R1 v（本题仅限中学组和专科组选用）* F( v- F. ]5 [5 e7 O
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类& T" J: X l- ^2 o: v) j
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和- O1 U W+ e$ O" I' |# ?
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
& P y$ |6 Z2 U9 Q" g" g3 q, r6 \分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
- M0 U7 h5 H0 d0 @第一阶段问题：4 q1 e& s( k- a; [
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个1 R' K9 F7 T6 Q8 E. c; W$ X
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
4 b% c7 I% N3 I+ T# M少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互' N! v" O2 O) x9 ~. s
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之3 `2 X( M$ f: {( b6 f# I5 P p
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在: H/ N8 v% b/ A7 ~+ S1 ?
设计中可以忽略墙占用的面积。+ d+ C7 a* ^* x' p* G. N" C5 C" l
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。+ x: |7 j3 I+ k
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
$ K% X2 R+ T# X室。7 L5 R l$ ]0 d4 G
4 h& A# H \0 Y( \
5 y( w1 s$ F. ?8 ]" W! v4 J) \$ p5 H* U) S8 k
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狗仔卡
发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2021-5-28 10:48
