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全主元Gauss-Jordan消元法: H% Y, z. X' u, l9 X8 J
* n5 S9 c% f( t% G( C8 G$ J
( {$ ^6 l1 v. s 1 C* }0 I4 B8 D9 d" h1 D' D
+ k7 k; u3 g& V; B. S$ R
: W- B% z6 G% J; C( S' h U/ `
, U. ]/ x3 _ C3 r- A7 o / ]$ |% s8 ]) ^8 s! v
8 i* g; a3 D& I, |& c
2 P0 r/ u9 a+ h0 q: g* } # ]8 A6 }+ C0 ~% N4 t
Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。5 x% |8 X9 u( b& m, Z% H; g" j4 L
: [) z# L4 K1 p7 C. J: e
! A/ e0 j5 M- J1 I: j4 ~
3 Z2 ?9 E$ J! S, |* Q) h7 ^! D
4 ?- i/ w- y: l2 W
1 f3 y) U: g5 K2 r% J
Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。
. s6 f( k$ x% Z. O& T 5 p2 F. `4 ^5 d' A3 X* D+ f
1 V' G* \8 s& Y" {2 C2 x
/ g2 c: U$ {2 i5 X v8 P+ ^& J' A
8 `2 N5 b; B3 m- l6 d* R, u
( e/ d# p% L. t. f, D
下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。
3 g/ C4 H% o5 Z2 v- L8 f0 D 7 E/ H' B- H7 x4 C& u, W
6 [# {4 q' ?" b% j6 ^
, ]8 P% n& r7 s. ^ L. r
7 U( ~1 u5 U. W6 K1 Y; e$ u
q) n- i! f: e" Z- {' x3 f: m8 R
Code：
. M- G" S9 J+ `; O$ y) S& i/ N" H5 b) M/ T r c- d) K( q0 W7 W
" U1 s/ X* P4 M( P, q, R- x! v/ d
' n( m; c" e4 q4 N2 {8 f- P* M ( b" M5 d# D) F! }+ ], f
# b7 I7 m _" [1 k
" m4 g5 }8 G& R. z
7 o N5 Y4 m1 T% t+ k #include <blitz/array.h>
* {. L" @8 q( o$ S
l! v; f! u' O- n, ^
% ?( T5 Q( N3 C0 z0 M- d
. y+ j: \) x1 u# U
' V$ P, V8 ~! I. C2 n, S/ b! G #include <cstdlib>
1 ^+ k, s( s4 @: L
! j& j6 i7 P' N) O; C
& W* Y$ Q4 n# G4 L
+ f: t; f) K) ?; ~' | A( ~ . M% h5 Y1 {) ]* c4 b8 X2 Y
#include <algorithm>
% e7 u% R; s6 b5 ]
& u+ P* a$ Z& ]1 }$ C6 s
+ X, n( e# r/ K* w0 B; g! L9 r; { % @: j8 c0 Y4 n' S/ \
* l# X0 E" E/ Z& G- x #include <vector>; E! b" D* ^* k5 w5 R
! s9 \; T# V6 [6 y& E# O7 C+ e, w) ^! i4 u; K
8 C( t# S( q: E+ w. f- U& v
( Z8 a: K: j6 ~% d* ]: k' J) p. J using namespace blitz;
8 P" F( e w" i6 Q Y2 B& z3 e% c! X! s5 ~
/ D4 U( w% ~) C# ^- ^( d2 r
/ G4 G8 M! ~/ D8 W+ _2 L. _8 ~
8 |9 \: V1 V8 l/ ~$ x, W+ b, @4 u8 W ! H4 u, n0 [, ]8 U7 g
4 O1 y F$ C9 V; S2 \8 [6 Y7 O& @
) f! h, p1 F. v! k. } B0 ^ void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b)
' t/ ~! g {) b! Y# p- C4 {8 V( }$ y1 ^( s
8 N) C0 B' r3 p1 [7 d9 h' L 4 f4 d7 `& Z, y# U
/ u' m) C% } M; z/ K
{
& Z+ t# E4 Z3 p7 {9 A( B0 E8 s
0 X0 v. S2 ~* c) W& h2 h4 m0 b/ l1 x& e& u9 K: H1 Y
* E! ^0 b3 D; r1 O * J1 h- U- @! \& t( X' g; h
int n = A.rows(), m = b.cols();/ O0 |& h; n/ @. ^% f' v5 ?7 t
) o" X: R. m, p4 X
, B; G. e; S7 [, H
$ g1 L- p4 ~9 c) Z ; a) }+ t- [+ K$ N3 ^2 e" d
int irow, icol;
- N; \1 b% L+ a4 ?; ~
; N/ i( Q2 {- V4 u w) z) u3 P9 |1 {/ F# J1 s
2 s# @' t% Y( t* g: I" u7 A
8 O( q1 T. E) F1 y0 a" c9 T vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n);
2 H9 t- b0 h4 \* E) v0 W; \# a r, y1 W- V# }$ j
0 b6 D; f0 p' ~: a8 \* J
. o/ ]0 A0 b E6 a
$ l9 z/ {0 u a M . O5 m: ^2 F( ~
. ?* w( l5 d" k: L0 t
% W$ Y5 c: C" Q/ w8 _ for (int j=0; j<n; ++j)
/ e- [% w' g+ H/ \! p
: J* O" @; M3 T) B( P
( D" R e' [$ Q! M! S1 i
4 N" `% [) Q( G8 O% H1 Q
$ A' g: V, A) `& F0 K piv.at(j) = 0;
: r8 D- c# w5 l' `5 q1 V% M" S) N1 Z4 v1 H& _
* m, h0 B4 P! S8 e
8 M1 o" k7 s2 O" } X2 b
5 w% x* c1 a" U2 q) \
& c+ U% M& L! v* n* \9 D, X8 p- f$ S8 S. B9 B1 z# K
7 J9 ]. R$ F! U1 f, H6 U* j 3 o! l7 w+ Y, I( o
8 m: t& W* F+ \4 w, U //寻找绝对值最大的元素作为主元
( X: j" h/ T$ C8 N
; q' G7 I5 k- U' K4 Z& s' \1 w! _: Q+ t
1 i) q9 l$ T0 e) w& c
/ H. V- E3 i& S4 G1 b0 K
for (int i=0; i<n; ++i) {4 D. }; u' H$ [' N1 W1 @4 l! e; q
( W" k V. D$ v8 X# s
; t, Z6 D& S, v6 {, j / I7 O, }3 i$ O: n0 T* w
& y* v8 ?+ R5 J9 \3 a- n2 w
double big = 0.0;8 e) _! E2 Q$ w- B4 R* U
6 H2 J* M' I1 O7 L4 a) v; v! W( O* ?
( H O8 h/ o2 h# u. B x3 Z0 }; ?; D6 u
$ d2 ^: e: F+ a0 v/ ~6 j
0 a5 _ L7 v/ [( _" H
3 M4 Y9 z8 k% B& M; e) Y+ b0 B
for (int j=0; j<n; ++j)
" ~% l+ \; _* I4 U( u/ Q
* T+ G6 A" d# }6 V) R4 [3 f& m; n5 e, Q2 t3 {$ O
( ]" G) a0 \% E k8 C( A0 P
5 W p' E0 Y. H2 g8 P if (piv.at(j) != 1)
r) d) P' H1 F. k2 ]) I9 c6 F3 Y2 a" d r
: L* g `" O1 Y+ h6 Q. i
. I* [% p3 }' t4 U' V9 D0 y ( Z; q* W/ H r- q; _7 c) C
for (int k=0; k<n; ++k) {
: V" b) O" y+ f) H, S' d- Q0 x" @& |+ a* R( I) B
9 }* X, @' @( f! \. x ) H* ?+ V& s' Y. e: y6 v
' P$ y" T# e1 Q8 p; n" [8 \
if (piv.at(k) == 0) {
/ z U$ V% S- G" d C% P( i) ~$ u% y: D j! Z4 E0 v7 e- X" u
4 s3 X- T/ }6 k6 ^( v 9 r5 Z% {& ~! j# G
% e1 G0 z3 [& w! |% P& ^- k& Z if (abs(A(j, k)) >= big) {5 @9 F" s" |' Y- W
/ p, g0 w' U! Z! T
# Z# y9 K) i# E
" u9 p- d3 T( O# }
3 `/ c* n. r9 b$ |& h9 e, p big = abs(A(j, k));
9 V( Z, q' N" R' i/ C) y. E5 y) t9 n0 t+ `2 M
9 V3 Q. S3 T% l0 w$ f J$ s
. l4 O/ ~% S) c4 V, M. S% V
- Z" d1 e- p6 I- i' x w irow = j;
9 b( j" K, q/ S# t& E0 R. B5 c! Z& O; e8 X+ F
4 {6 B$ ^6 n/ u* j$ e ; h X7 O( n% Y( x! j4 h: V. p
8 w( Q) ]9 h) C* L
icol = k;8 i! q6 u) [ J% { b' \( X
7 i( i5 Q9 y$ P% X# X* f% Q" d
0 m8 @ W& f2 H 7 w$ ?( x: t b: y. D9 m
- H6 [3 j6 U5 n( p
if (irow == icol) break;
A2 w5 j! m7 G: @( P/ R) c9 W6 Z1 Y: w- }
7 s. b( O- n8 W- U* H
/ u: c+ W: N: y& { : X6 G. H' a7 e( i
}9 V' N# c' r$ _
7 v. {# `1 g# h: A- J3 O% {! S. v
3 q1 c9 k7 D: ^
" z" E2 m& V- ]9 R" s2 ~ : [8 c3 V, _* t, l: `; O8 j
}
9 ?+ @& Z' M) `+ B- V1 S4 b3 e# m3 x8 w/ t1 b8 ^' [' n9 i
- c5 |1 }. g7 u5 o
. H( o$ ^6 Y7 M+ L% B8 ~: E0 F
# p* q# g4 _. o3 D# s# n p }
2 t; {( q8 _8 s6 w4 e
o* j+ p6 t& ]" S: E
2 y+ K* g$ C6 e, s9 @4 ^
7 x0 h4 W/ p' s" ` 9 [8 E0 }& o) v c: B: S( q
& e& S3 @, ~* E
6 @& Z+ V) e4 h+ I) e % B& S) l' H- E7 o/ P/ q1 r6 {" X
++piv.at(icol);) n' d1 H- e V7 ~ g
; b, E* W+ g! l8 l( |" p. X
0 E9 [/ Z) |' {9 _6 q
$ I9 F$ c: |* H ' U$ ?1 I; W# s* {
5 G" G- t4 b/ M1 H6 N) N
/ V9 D; }2 T/ p& L- y9 K& I5 p
% ^1 t$ z$ e4 u
1 l" H0 i: j5 m; C 8 p( [/ B9 \8 n) B& B9 X
//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换，( h! G) L# c. w9 ^! ~3 U
6 p/ o, S6 M9 l$ M7 I! C" e6 h) q
* R3 R' N5 t4 x4 {$ ?% N9 D# D . A. M4 i: Y& f' S+ w
6 p$ v& F9 ]9 S0 N: B) y //使用向量indexrow和indexcol记录主元位置， 8 v$ t9 S8 z0 D' G
; H" }7 x& P a6 z
. Z+ f5 b# _: U+ d 3 h; j) U$ Z. {5 p' d7 d4 m# u
* u0 G5 @- G# _
//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。$ [% D, W3 k- X
7 o4 R6 }: k2 `1 b0 _
. p+ y! X' G/ }% } & b0 g) ~6 m. [8 X( \% j2 o. L/ h
5 o$ m9 t3 X4 C \! w8 R2 [: x6 u. J5 n if (irow != icol) {9 C4 ^' J- z6 ]/ y
' z# d& |8 U+ o: Q8 s; `- `( ~
* B8 ^/ P$ q! b9 |7 H$ f9 j
, F4 \: I# R, Q2 ?% N
: \& j( u( v* W b! k! r0 z# y9 h for (int l=0; l<n; ++l)
* O- d. [5 b, L
4 K. u6 L8 r8 A6 _& J9 x1 }
R$ {* f9 i" n' |+ C9 ?8 @
k" M) x" @! G% B' |- p 5 D) w4 S' r" g6 b
swap(A(irow, l), A(icol, l));
& t/ v6 D4 F* _; A( }5 u& d2 ]3 l+ I: ]8 N$ a4 B
/ j& y) A' F, z: j& ?
( N: b$ C0 S R" G
7 f6 j2 z& q1 \. I$ P( p9 G ]4 u: k
$ V' |# L9 `7 m, h/ b0 ~6 j ! d$ L; i' P, V. _) y9 {
3 U6 _3 B( j% r, l; ]
for (int l=0; l<m; ++l). p$ S( I/ N! D4 g
/ N% o" k$ U8 k) _2 r$ U: g+ e1 b/ k4 P. C0 `9 H; w
" B' z; m9 f* M3 c+ F2 ^
7 m8 w. J- q( w0 o0 V$ X4 [" D4 L: ? swap(b(irow, l), b(icol, l));
# `5 {1 m& R1 p1 t; n. Y
) }+ \ ~- B+ Q! C6 T' s# M
+ x: y- }& V6 i! q
( Y/ e" e0 u7 }2 M- R 1 A8 }) U* V, q9 f! S
}
& S& a: ^- C6 x( `& Z6 Q9 G& s- s% P/ O4 V. _% ^ F
. c# e0 U D7 a8 s- D. l; v
! z4 _7 k2 v' Y
- {5 W8 _( `: p * i; M3 E* w0 G" i
, b. \$ Q# h) f
N+ u( f9 l+ ~
indexrow.at(i) = irow;# b* ~# y- T: s! t! C0 T
8 {3 q+ C8 o: }1 a
4 `3 _+ d* ]0 P4 J6 y7 C. Q7 v
4 ~/ G+ ~' _8 m- Q7 P
. e$ q: _% Y" n* d9 B5 @
indexcol.at(i) = icol;
6 R& J& p: e. {( `2 L' Q5 {8 k8 i6 E& i7 Z1 e. u
B8 d* I( p/ a* `$ e+ Q6 E2 _
+ W3 c) N2 w8 f) X5 N3 _ # M9 N6 L( @' k1 X
8 A# n' o( e4 f
( R5 Y; j; `5 u4 [7 v
! V9 z: h; m4 _
8 T9 k5 n$ k6 q. U8 R: m 1 c* G, h' W" I6 i
try {3 f Q! s, d0 X* P* y
5 m f) y( F* E
3 y: r3 C; Z( X5 s- g: P2 j
! V5 v7 V% Y, ?6 L
/ Z M& P0 N% Q# J+ G( j
double pivinv = 1.0 / A(icol, icol);
3 E5 y2 I/ x( t4 S0 ^8 ^/ s( U, q6 @7 ]! k0 Z; D
8 ~; ]* y4 y$ Q
# l& i/ Y0 `6 H! w+ r
) L4 a4 k0 y+ u
: w4 A/ I9 W4 o: w) t- v% W2 _
8 p: l" E2 _1 `: b ( x$ i, ?& b- t3 k+ q2 ]
for (int l=0; l<n; ++l)) W2 S1 i5 K. S1 s) h( L
) \3 _: t+ t4 ^1 v& C2 m
/ R0 g; t L9 v( a) X% \0 L+ [ : K( I0 p- k' f8 J( u0 g6 r
2 Y7 h* X+ s# H4 _% S A(icol, l) *= pivinv;
9 A Y9 {/ u- I6 x" X f! ~7 s. |8 k& _+ E! x% Z' n
8 M9 k, e+ {" _6 [
& h) ~% z3 N7 T% T: s
. \# a, o8 U( _( n4 R* T$ o5 O. ] for (int l=0; l<m; ++l)
$ v. S' c) V; v* n
4 M L0 K8 L, ^. r$ p& e
. J4 A8 m: L$ a0 } & b4 k H6 E1 y& g: w Y
( h0 Y0 ^/ ]. x D
b(icol, l) *= pivinv;
- C z/ E/ x" A; `! @- ?, P
7 G4 w) h; N, [* o2 n9 A( S1 o! E( m- Q5 ?
8 B: X& T- ]( [& I6 N
. C$ I3 y8 Z+ R9 D4 p* B0 i
$ U) A8 L- Q$ T M6 u3 ^0 ~$ p 4 w* F3 J' r+ J3 D6 o6 A. C0 A
* Y% k; O8 o% u- S3 H //进行行约化$ T3 e! \$ O1 @& `( [) h
+ Z/ D- m6 ]4 j( W, e6 F2 ^1 t
: X) d% \; O2 j
- h+ W( T% C) ?4 V j
+ O8 _+ K* b; I# N, u9 K, L for (int ll=0; ll<n; ++ll)0 Z4 }# ^3 P0 F% f
$ Q% t7 e! P' V5 n6 }4 H0 b+ c& ?8 q3 e/ I. V% }- W' Z
1 W' r3 |! L; ~' @8 D. `; K3 Z3 Y
6 S- U& v: B: [- Z2 i if (ll != icol) {
& m0 P- y2 T( q7 a8 F3 X0 y! |0 p3 k, ?# U7 I/ M
3 L$ y" G+ {% y2 n* ~5 m6 u8 R" y
9 q, B4 z& N) B3 V
* Z- O& P! p, n5 ?/ k
double dum = A(ll, icol);1 V' n0 b; ]0 p0 K" K
) t8 o l3 l( ~/ j2 K/ o% j: J" B3 i6 Z" u
7 p9 K$ `" D. R% A. q
+ O( e6 Q( X3 {' `) t
7 {0 W: K- e: ^
% l, N2 y: k7 m5 w, m
# S# K* w9 p" G' ]5 H) D for (int l=0; l<n; ++l)
4 `9 \- q( I2 ~. s/ m
K$ I) R' o, T9 m6 R& e. {/ \! J1 x5 @# H
" s- q5 z6 u4 Z0 E$ G1 H- p
5 V/ W' A) a! w4 b A(ll, l) -= A(icol, l)*dum;
* R& ^5 W3 |8 x3 X* Z) t2 Q& V: o9 m
; C$ h1 K p' Y# W* |. s' J/ l
6 ~/ u- a) t9 z- t# Z
! j7 W+ ]( B& l6 g6 D) k
for (int l=0; l<m; ++l)
% [. o- e4 t& V' {
9 C- {! z+ ]3 x1 u+ |- _) Y6 V7 y0 O- p
; x+ G# {" ^, {5 Y" g% |* D4 A + Y/ Z7 d3 m4 ?! w: v# `
b(ll, l) -= b(icol, l)*dum;
* n+ G" J' r. @* O; e1 l/ l6 d; \# k" ~: K
; [0 M2 r( V9 a$ F' m- N7 ?
[* y& B! |7 ]3 D
4 O: q6 P8 K: s% g2 s
}; R# M' t" I" ?& e2 `& k
! p! |, e3 w# S9 G) u+ Y' r
" x ?7 G$ a3 l( A+ J4 T, K
u' x- H" y# f6 Y$ R: ^% `8 i # M5 c% G/ i+ |1 c
}& c1 ]" L9 F O9 s: o, r
; C ]. E* L; _/ |
- ?1 M/ j. p* k0 E 4 j& T2 l! l$ M* `5 u
; E& S$ C. V% x+ w* O/ j catch (...) {
& k+ w& i, a/ Z N
6 J, p$ p" ?/ Y3 A( Z( }, w# q, [4 A: d& @- w1 {
( F5 V: F0 u3 Q& [8 ?. m
' V" a) X X, L- _' w
cerr << "Singular Matrix"; B' R9 K8 \4 G
5 Z- ]5 g3 `/ A1 T8 p, Z: I% l0 ?9 K
# A8 [; N" t0 j! E5 a
" f+ b& i+ f4 {, j# z }% _+ ]3 q' R6 W" i. p) H: O
- p( ]7 s7 \3 Q( C1 G6 y4 s& P
: }9 n+ Y" \0 X* G2 S' s5 c3 Z
" ]: b/ [8 d5 ?5 d8 V7 C* U# {: P1 B: R
$ B- a! i/ O% W, M$ { }+ ?# V8 _! d1 y. e+ W
9 z2 X2 I" F# }2 k
& X& r- Z' U/ X3 E; u0 }
2 [% x- m+ ^ M; `# A/ @) v
6 T. R" ^/ M7 @6 ]) \5 S }
/ O, D+ _& b/ h; A- b" {" ~' ~5 A5 Z8 A
5 u; d$ T0 N* _5 ]/ q
( t4 d! @6 e% n0 Y0 G: J
8 _3 [" N+ [# M, i9 Y1 h
, Q: Z' F T( s- t4 H
" d) _# J1 k# }9 p) v 2 Q3 H2 M- U& q* U& r' z0 y
int main()3 @# E4 F; B$ ~# M
# s" g6 V% y1 L6 S' t
3 i# a2 p3 s" U+ t$ T3 m
3 @/ W* Y1 R* x# _- {2 u( S 4 M9 S0 o1 h5 n6 R6 s6 _1 R
{
. O, k3 H1 f% X# g
0 r; ]. y+ G; y" F
+ f1 e% y4 S {8 @
) {* h V* _* B9 P* `5 \ ; G6 I% w' s8 r r0 m! N
//测试矩阵8 @# H$ s0 H, C: [ I% ]
) H3 @8 L3 e* l' ~. e% d
! A% y8 y5 k( d- [7 _2 f ( }+ B+ \& ~3 T, g& F6 E' u$ w
+ o# h+ F( V4 x# T; ~4 [
Array<double, 2> A(3,3), b(3,1);
9 X" [8 n. w, I) `& @9 L0 D1 W2 x7 }, _; M q- s) Q
: R4 N5 z0 M+ Z) E0 a
7 g/ o6 b) X* S, j1 T3 k9 z' }4 b
0 b5 n( B, Q) o5 P( [5 X9 T$ `" l
A = 10,-19,-2,7 p' g- M4 }- ?1 l/ r+ ~/ T
0 `% `- b# D. z9 P1 F( F6 W4 c7 R, e, c3 c
7 U, w# G6 M- h% S- ~
: W1 q* T2 V0 v: R( e6 T7 V -20, 40, 1,
3 k7 o9 v. T7 S2 f3 `/ b# n1 q! J" e3 U
$ Q2 A0 d# S0 G, k6 L
7 S, P8 Q" o1 K9 V& h4 }) O
6 d0 M5 Q! A; R+ r' Y 1, 4, 5;
. l6 X8 B) f( ]: }( G
1 S7 G p9 @ A6 }3 H" j! O5 M5 ?2 S1 E/ ]/ Q5 A
2 h4 |* \( | _3 @/ J
7 \2 E/ v8 k8 f1 y4 m3 b! n9 @ * W3 [' Q* `; a! V
# S/ A- ?5 I j H8 O0 c2 V6 R
" N9 w9 P" p* J/ ?# _" E b = 3,
" R1 a/ U7 w( `# I0 S
5 y, N8 f/ t9 a% Z: T; v( q# V2 F, c3 _
0 }, Y" u% }+ ~% {- o, ?
* V/ k5 ^$ |2 H
4,3 p( o1 M u+ Q. q$ y, ^
+ B1 G% h# C# [7 Q# _+ M0 E, B% E3 E5 N
- ~8 \+ z& c' }9 c' h( p* n+ F
2 r& }$ d* _% {2 H! c' c
5;/ w+ v* w4 z6 z) k
) n* z, w& f, y& h
6 [2 z5 c9 s1 ^
, D# i+ g% D$ H" h # h* @; a" H$ K) y* y; Y, [
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1 h5 n3 N Z/ ], J' c 从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。
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注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素9 o6 x1 T- c1 D
7 p$ r9 V5 {" D; d( h- S
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