数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
. S, i6 R) v5 u+ U4 a/ a8 K9 K, @1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
) o9 V& K7 [; v# k4 t2. 按模型的特征分：
1 o, m2 t* D& \. @' T- r# S静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
+ _: K8 y8 i+ w性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
! `# o0 E7 ^- Y; D4 w; C! @预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
+ _9 x8 g- L5 H$ U( X& w2 m" O7 B- f往也和建模的目的对应
0 @* E, `3 `4 G2 X5 M5. 按对模型结构的了解程度分： ：
' f9 P8 J1 }2 z: {8 l4 i* p有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
: P9 a- o# \  u: z9 W7 F国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
7 x4 l3 w: T7 _, g( T运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
2 P) n  S) D9 ]  L1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 X5 B( ?8 `5 N$ Q0 Y: a以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
" i0 e0 Z1 x+ G6 H+ n8 a法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
2 N7 c" ]/ Z0 ?& A4 ]  L1 k4 、图论算法
2 u; i7 h8 Y4 S这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
9 ?( l2 c/ ^4 K论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
3 D) v9 D* U, k5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% X# S* e. G) t6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
& {9 q4 Z; D2 V  B4 b8 N( T这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
$ m$ i0 r+ A/ g帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
  P  G# I/ Z- U. z1 F' Z( [. }7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
+ o0 f1 N, e7 e% V( J2 ]一些高级语言作为编程工具
7 x3 B% ?/ L  r; v  B; s% Q0 g" b2 B8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
! J- \2 o1 `! k4 r8 s/ N9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
+ Y1 U4 M& X! M) w5 H- U3 D如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
( V5 e& ^$ `! L% {10 、图象处理算法
4 Z2 K/ u! B0 ~1 `赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
5 r9 B& Z8 _6 ]* c算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
8 S! _- N, T3 h- [: X" c①数据样本点个数 6 个以上
. a3 h. `3 S, i3 w②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
6 s0 c$ M& n  F3 L其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
% M" T+ ?7 h$ T* k: s求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
4 q& {9 p3 R6 |5 d8 |2 P①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
7 }; J4 `& A7 F5、 时间序列预测
9 Y$ ?, L6 o* W预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
1 s. T: U1 Z; {& s数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
( o( L3 f9 h: P预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
5 A4 g, |' o7 Z4 A$ s5 h  Q: z适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
- l1 n# @4 ~/ [, x9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
" K& c# B+ e( x1 u在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 \8 w' ?9 k- y& ?逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
" Y* U* B. I. e# Y" ^. Y! C10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
; v5 v5 Q) U) b! @优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
" T" M3 v6 r% |14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
2 m' n( b# `5 j+ g* Q  O其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
  I  L8 X: I& W# k15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
; X9 |5 y3 V) f1 a8 C可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
$ X, g7 D/ G: D- `来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 Z9 C9 |" \) I& x2 a) [- Y该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
: X3 z( Y5 W3 l: H# l量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
# R% z! d; j5 S- m17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
/ C1 x* p8 g; X5 b优解。
$ p5 b/ ^- c" Z- `18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
, `+ R) ^) D; |8 |* o% t) ^3 W算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
9 F2 z$ {' p1 j7 L* Q离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
, i9 a! t1 Y+ n' q3 \' Z( R20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
1 Z8 }- `/ d! k排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
3 ^( K$ p# R, r' \/ C有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
9 {7 Y6 ]3 O  J9 ?+ a5 E般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
6 B$ I+ H) K: q: ?; m; \/ h21 、图像处理 （ 较好） ）
5 a* u: M( v$ U' _MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
: L6 d/ S) w+ I9 R+ C例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
7 p( Y5 W: h6 V5 M4 Q& D支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
: }; F+ Q/ n* a) O$ m) P射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
: L+ R) a* ~7 H& ^23、 、 多元分析
8 v& ?' l$ ^+ T/ n5 ?( H2 \2 h1、聚类分析、
+ [6 c* f' l" G. }1 a6 t4 ^2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
5 `7 T0 e7 s3 e3 ~3 a各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
( H4 |' ~) z) W从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
# V4 u# e  E; @5 i7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
$ z; ?7 m. f8 r/ E& S& U9 h4 Y- k24 、分类与判别
) p& n% W: o# e/ X8 G, ]! ?主要包括以下几种方法，
$ e" K: s3 M& R! z+ ]1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
  t  m9 Z! t  a3、层次聚类
$ ]7 G! }+ b1 ?6 K: e4、密度聚类
0 P4 @+ x+ ?6 c9 r3 }5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
, g' K  P# ^, n% m4 x; {- j: ^7、费舍尔判别（较好）
3 x7 E. \, f1 U0 d4 N2 O8、模糊识别
* Y+ L& V! A& T' J4 W25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
% @6 h; z2 M- `3、Person 相关（样本点的个数比较多）
" y. ^" ]1 T6 G' s+ d) w% |* G4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
( L+ R  w9 e/ |5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
( h5 t5 w5 w& i2 @+ S一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
8 n; V" w( h' L6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- N$ r3 b/ i, b: U* p* |6 T7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
& x: o0 F2 j7 v  O8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
3 i+ k7 I: J; S, j9 I8 r, A26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
% ?2 C. s% C$ |率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
/ A+ F$ N( W" K4 x$ p7 W+ p
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
4 ]7 D8 N7 p$ Q0 Q- }
1 y3 W. s# \; W
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