数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
6 v4 r/ W  E( p& A) r型、马氏链模型等。
1 A8 w( o" j0 Y2. 按模型的特征分：
, u" V$ }4 S* [静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
( U" M9 N! E7 P2 K8 y2 N性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 |! q6 y- m* f0 E1 ^4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
7 Q  o' I* C" z5. 按对模型结构的了解程度分： ：
0 v3 _: Z! L4 Y" b, l6 h! `. C* ^有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
% g/ R( t% F9 k1 m, U! m+ j比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
4 P/ R' U/ c$ J6 Y7 u运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
, `8 `2 C9 v: ]: [5 W; t) V1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
. |: z8 {1 c, ^, F! P- h5 }, z2 D9 u- U以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
' v4 J. r; u/ ?0 Q5 q% R4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
3 ~$ K) b4 c2 _论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
8 U% b* Y4 ]3 `5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
% Y9 @9 Y2 j* b这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
* a1 l& U) c, t- x" ~/ \) `6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
0 Z1 V/ C: {8 Z& q这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
5 _2 E, t" w0 ?当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
- F6 M7 O" i" w/ p' {3 g一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
) h+ S& w  Q7 ^很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
# \6 J9 j) B7 ]2 r) i2 L' h  C2 S10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
2 j# L; }* z6 o, J" ], {" f! l①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
0 ?4 a9 k+ @- d( d3 `微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
7 z  R2 x9 I% q, n找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
0 h$ M6 p1 e8 N$ S0 Y1 ~- g3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
4 y" a, k; ^# o①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
. H- l9 W0 c7 Y, ~8 \8 p2 S4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
9 W& r& R0 s# E1 H互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
2 N0 J5 t2 `/ q; w7 @4 q% ?数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
  ?. d0 [  ^0 [, j3 q1 {' u预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
* y& q1 S2 O2 ]; Y4 H" m+ Q大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
9 R" I' r6 }& `4 D9 m8 \7 b" j" u办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
3 d# U# ]! D5 u% v8、 混沌序列预测（高大上）
8 ^+ T) J7 _3 I7 e7 Y适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
' L' s" r" o% t- K! n% y2 Y9、插值与拟合 （ 一般） ）
+ F9 E: W0 K. W1 j拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
& \4 P$ }( S6 l; N3 C' P' O" y在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
- J" j& X) q/ A4 q% t% q10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; @4 M+ j1 A" B+ ]) }. J( e评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# `6 n: X; Z' ^  q作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
1 B' b, U- Q; }% ~$ U13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
* k" w0 a, ?% e' V3 r5 W9 Q2 _  c秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
! ]$ E( T6 U+ n+ u. e( l法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
4 i* J$ `# v- a  @似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
0 f2 }1 m- u) l- ?5 s0 s评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
1 j1 R6 V6 \" c+ n3 b$ L解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
  t; m8 |' f. b0 I5 R4 @8 E) k15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
+ F' {/ K" \8 ^" a( G! U. U可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
& w3 K' r* f. `6 s0 O  g来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
2 f4 a7 P5 |  X& h0 \+ [8 \16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# g) W! [, K$ Z, C3 m素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
  {% y+ M4 g5 N( ^, @此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
9 L! f" u2 Y( G0 [& i6 v模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
0 O: Y, R( O, ]; C. N优解。
0 v7 _" b( }* v0 G( B18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
. y% s. \  E+ h- J3 v6 d5 M非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
$ J" R/ W% l3 O% j6 I- e0 N智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
! [6 }% z; }& P/ Q; W6 b- T其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
( h' o$ ^( t0 f( _6 N' h( V5 D19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
( d2 w! _1 h- ?0 w: w+ p20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
# z0 |1 i! g% U8 H排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; h, I, a  {  c0 ~8 m7 \5 S$ S即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
, B* Z- ~8 ~) q7 S+ H6 e! z: Q般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
! [/ k, b+ T" z: K& u; G* `6 q21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
) d: ?2 ~8 k% U) W* Y: f22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
' i4 S- [! V: D& G! |2 Z3 U8 o4 ~射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
" U3 T6 |4 H- R: k1 ~7 w23、 、 多元分析
1 S; b, {5 p, t  W/ x' [1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
2 }+ Z+ n' v5 }3 X5 o( R  M从而达到降维的目的。
" Y/ |7 W' t3 z, k3 }4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
6 M$ }3 n  h2 h  N, l% G8、偏最小二乘回归分析（较好）
% r6 f$ z- n/ s( ?* a. D: U3 a24 、分类与判别
  \* r" m6 e& l0 J6 H0 ]6 Q; H' u) Y0 i1 H主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
2 z3 u. x: c8 K, L+ P8、模糊识别
25 、关联与因果
2 |0 s2 a6 W+ J1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' I! T( a4 _8 _% n& X4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
  p9 C+ J8 j; W4 ]（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7 ^& s+ g' r! Q) q) \/ d# p7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
/ D9 b5 R  \( }3 N9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
1 ^. s7 \( O# E率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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