数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
+ m2 c0 B# ]: k6 _2 s" w1. 按模型的数学方法分：
3 r& P! j2 @, m( |7 n几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
$ ~- x0 d) Z) l& [' e静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
9 n" m5 |' i) C, M  i: C, i# U6 h性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
( |; V/ C+ e+ E8 k6 \5 w& W人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
2 Q) _, K+ |4 r, |5 W7 u一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
1 q- _" w( A0 O9 V, X往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
1 i; _, ]$ Y/ [有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
0 X9 Z" ^/ ^* X( s. p- w比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
+ a% {) z9 k) M8 a数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
) m7 c+ l6 l2 `$ `4 R3 |! C该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
' I4 g) d" [! b* U  X以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
1 d" ?7 Q9 r2 L& Y; K: E6 q. F比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
- l' @6 E* r: \% u通常使用 Matlab 作为工具
- Y; r, o! L. |" C; D3 p: v) V/ `3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
7 a9 I6 P9 y7 v& v建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
; E$ w, }5 G+ x3 k) v法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
) \( E- K' h" @$ e5 R1 A4 、图论算法
. W9 e% ^) ~* v- t: u这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
+ x6 M4 v8 ]  J5 k2 T; J, J' h, f5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
$ p$ q/ I' D3 h/ a2 m6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
" k* H+ t9 Y/ H! i' |帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
; D9 a! i. C9 L6 ~7 、网格算法和穷举法
# ]4 a2 y, ?- ~: E当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
9 W5 n. `( p  n$ a3 W一些高级语言作为编程工具
( H0 p( X$ }. }0 B2 G+ u8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
; n/ c4 i! k, K* _6 M据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
- f/ O( z: L0 n3 n9 、数值分析算法
/ Q4 I' }8 V$ j4 p  V' ]' n如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
, h/ w7 ?( H. s) E如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
7 c5 N8 Q5 S/ [10 、图象处理算法
  X" X& l- y3 h! S- p赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
, |" E; z; f. ]3 a+ y的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
8 R1 ]: y. I- j2 O: B" F6 Z+ \( D解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
8 n! }: L7 b- I4 B# J$ v% d$ C% U①数据样本点个数 6 个以上
. H/ S9 |# t' P6 J$ t②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
7 W- t, U7 C3 h2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
' n) H" G2 n# V% Q: J0 {% [- m微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
( v( Z2 J8 ~, c$ W' [" [3 G: r& D5 U其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
& J! {* l7 N" y' k3 、回归分析预测 （ 一般） ）
  ]# G8 I1 ~2 R3 r! N5 E求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
/ U' n9 I+ w, d8 S1 J" r①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
1 h4 e1 @& \' ]# k8 d7 \; j5 {% O7 Q4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
9 y* R+ K6 L7 Q一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
( V6 h6 [9 s9 ~+ Y; ?数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
- ]) i5 f' `4 K+ D4 u, |3 w大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
! \0 e- |' U7 t5 v3 ]办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
3 i6 s1 D, v! j, z8 c0 W8、 混沌序列预测（高大上）
7 f, ~% b) V3 a8 B( r" L适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
; d& a6 ]( Y1 \( [逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
1 V5 k" u5 y+ k9 g4 Q# w- F10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
6 D* ]- l" N6 j5 V  r" [评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
, o/ p' c6 t( q- H- K11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
7 N2 f$ a) o" A3 B- T0 B# ?! ~12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
4 [" n- c/ {7 m+ Z3 |4 Z: }13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
2 w7 j/ ?" S' p$ O似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
( ]. n5 U0 `! i/ o9 x其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
, R! u- g/ n# ]评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
7 Q3 k9 ?3 ^  H# ]- S5 f/ l: S15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
1 m6 g) D) G; b5 L: d来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
! E1 J1 h- s3 S0 \# V方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
$ Q( i' e& V2 o2 p) P量有无影响，差异量的多少
# d; F) S. \: B协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
8 ?9 X, f# x- E此外还有灵敏度分析，稳定性分析
2 X( }3 |  K; v5 W7 [. i4 M1 u6 W17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
" T+ R- }4 ?$ ^7 B18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
  [3 C! Y& Z2 b# z: }非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 u! o0 ?+ M  f& Y8 _' h2 \# b算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
! h4 I. Y4 }  V离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
& `, \% L+ I* t20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
9 j  a- `8 q! y* L8 S, ]- h排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
* u# E. h) }- {$ K计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
9 {7 y1 ^% r. Z; S+ c  X般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
* U* p/ h  ~: |0 y+ s/ g21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
; V' ~6 f% A% o1 P7 Y* F支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
+ S9 G- o3 {& A2 ?射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
$ |* E$ ?* Z2 g3 W" D8 y1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
6 x( s7 T3 K; Y$ t4 X1 o  G各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
' r" O) A& {! g. B( |( b2 Y从而达到降维的目的。
6 g5 ]6 M: _* T3 X3 c7 {4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
3 X: f2 ~# C. c( K# a  k( x, U7、多维标度法（一般）
2 V: Y/ s9 C4 i6 p8、偏最小二乘回归分析（较好）
* q- T, X5 a" F24 、分类与判别
+ e0 M3 R' l9 a主要包括以下几种方法，
" Q% f5 t' P3 ^& v, F+ m: h  k1、距离聚类（系统聚类）（一般）
! T, W7 O* P) e2 c+ B1 W! `2、关联性聚类
8 T0 P! i, Y( y2 |3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
& \+ H' F) \1 o3 |6、贝叶斯判别（较好）
" I9 Z' }" \4 F+ J7、费舍尔判别（较好）
8 ]* S6 r0 A, l# e5 B* A, G; W8、模糊识别
, z( K# d4 i# U# o+ @9 a) V- f9 q25 、关联与因果
. u! @9 Q7 O5 r  o, z1、灰色关联分析方法
* Y# t# F4 U  d7 r3 ~/ H- P2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
8 N, v& P* V, v4 A$ t2 w4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
% y2 h" `( `  ^( V6 X6 i8 e# ~一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
  O. s, C0 p* E( \, {4 l7、生存分析（事件史分析）（较好）
9 E7 }' z/ G; r) N5 M/ s9 z数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
$ z- z7 R; I" U* ?' v9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
( r! m# h& @" P/ f6 r4 R) M量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

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