数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
/ l2 X; N  `& _1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
) U& a) _1 h/ t! j4 c! p2 _+ q型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
* j4 `$ D9 E$ m$ H性模型和非线性模型等。
) V  [0 E& P# f1 E/ l3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
$ [3 Q0 |- i6 ]& U$ m预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
- ]5 A1 Z3 v) L一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
2 H: d4 Y( i- {/ Y! O1 Q数学建模十大算法
0 y1 c4 D) L- R( D3 V$ {0 P6 a1 、蒙特卡罗算法
4 G. K9 u1 B# F4 H该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
+ o' U) B( m$ ~: G以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
. Y) Y$ y* }% Y! j/ N比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
5 D- I- ?- A' _7 W* i通常使用 Matlab 作为工具
- M0 x, J  @3 Y# ^3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
* [3 g0 x9 y0 Q$ y3 r% H' d- y建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
' o5 i9 Q. z; c- a! \5 U% H5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
. w# W8 X/ o" `1 H这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
' C" u! h! J5 F) c) w3 K7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
# _, W" c. d) G据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
& H+ z4 t( L; G# P9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
$ b9 l' I+ @0 e$ [3 ^' b3 V/ e如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
( U& U2 j9 m+ y7 ~7 w10 、图象处理算法
! l6 R3 w+ q0 H$ c* w7 R  C赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
7 Z6 I/ h/ x* f7 X的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
+ b8 M# Z& e9 }3 k+ R3 h# O算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
) J2 e# w4 z& S4 l; d解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
) A8 o. S8 @  E; a: n  t1 Z①数据样本点个数 6 个以上
- }# S; M% a( J) w- F0 t7 h' B" ^②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  Z6 y" W- k4 A3 g1 K微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
7 q; h4 g& s5 c: [* N* u0 @' B  _其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
" ?4 |! l8 T" U0 {5 }求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
- l4 H* p- V4 ]7 p% V, z②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
. ~  m  m* T) B5 T5 V# D' r4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
6 m, n' k: X9 W3 \, X' v6 C; M一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
* G& K0 s3 m9 z3 J互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
  p$ P4 o- Y4 @' B概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
5 M+ W6 r/ C! g/ n（较好）。
$ f( k( O0 Z! |4 t% P  b; H9 o) f0 N6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
2 f3 O# N/ z% B2 X" e大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
" u' S: d, w0 N, H" E4 U8 B4 X' E/ C; C适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
, _; T0 Z0 k8 p& i拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
; i* U9 R) @. H, o3 Y- A3 g+ L在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
  a; h4 P0 d1 H9 A2 a2 r  l11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
$ R/ B9 h. T6 e: n/ W0 |" K! a12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
. p1 @* U; l  ^" R优化问题，对各省发展状况进行评判
; \+ M1 D6 _: ?13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
, l1 [% p' X6 ?7 D* p6 U秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
7 P. W' g; M; r, l; q) Q  o9 Y似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
  s) k' F5 j. v0 h" W/ `评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
- z. Q( `) O) U7 a2 z9 |解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
/ b' Y3 p+ E( Q  F6 L/ L可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
) [, W) ~. B# q& T9 H( ^$ R( u来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
& v& T5 Q, E" E; I7 }2 S: P该方法做评价比一般的方法好。
8 r3 Q0 u0 U6 S( N# j- B) g16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
$ {  _- ?" F6 `, }3 q. ]+ R- a协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
, O- Y% ?; T, p8 t8 U3 L! o' V17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
$ Q2 A" j* H0 f9 e  B18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
% P- _. K2 o8 [* L: c& y智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
. _! j: E# O1 s4 \! Y  B19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
: H, W* N  z7 R离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
/ M  D' [# D, r7 t3 }- D20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
1 a) Q: q+ X4 b& s1 ]  }排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
( s! r6 D2 {( a# ~% S9 L即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
* W5 |! b% T8 j8 o- b有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
1 n; [4 w0 S' ~. Y2 A  q  IMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
% q; M2 v4 ?; T4 l例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
; r4 _  K4 b1 L22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
# E9 _: D9 W) d. d23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
5 s1 ~" t+ z4 h$ \各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
) t  L+ d7 ^1 c4 d9 D2 N9 S, _6、对应分析
" b$ \2 x, ~3 B6 Z0 E) r. T' q: [7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
7 h7 y2 S! Q0 d# }8 V: j, a* H1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
: [6 T  u/ F3 q- e& I3、层次聚类
4、密度聚类
  g+ u: \8 p8 Y# Q5、其他聚类
' ]( [) G+ B, ?( s; `6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
- n  i; N2 @# C9 a3 s& ^' s- E3 E8、模糊识别
25 、关联与因果
3 C) G" p8 r9 X% e0 F! C1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
! Z- }* ~- V' s& E; ^( X( G5、典型相关分析
; U5 v3 K# i; J. j（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
, ~: Y2 S5 d$ J6 M  I一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
) }! Z" f/ Y. W" M9 |/ U# C, I6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
3 Y  l' U! A% R数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
4 Y9 z0 s6 T4 W8、格兰杰因果检验
" @! m1 }7 W$ A9 @- a' V. `计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
/ I# a! I0 `4 u. |" u+ v9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
4 K- v4 L' P5 v! a0 z7 w率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
; q, g8 A) p. q
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! u& F5 b- ^9 J# H