数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
0 V0 \$ m+ E$ O( R3 D4 D2. 按模型的特征分：
0 m( X: k1 K/ n5 v8 Z静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
; D2 L. Q2 D+ ^+ m9 u3 Q% `性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
. t3 u! c% t8 s3 e  X, {4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
* n6 p+ n+ C1 \& f0 I一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
1 |- ]7 q& [- S$ {: ^1 w+ @" \5. 按对模型结构的了解程度分： ：
+ k* }5 S* N5 `4 J有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 K: V8 z" J* a5 {比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
. n  z: l0 E" ~- o# K8 M' O- u6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
, {+ {1 s/ a- u# f: w运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
4 K' \5 o; [- R% ^- ?5 n该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
! i4 U* M+ F, _3 n2 k  y) L0 {比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
1 W: T* ^( o' G4 x& V通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
0 Y& p( A7 R9 s& L5 ~% W法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
1 L/ `2 B6 E" N! W1 `论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
4 V; O4 l6 Z# u+ s* F5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
1 k7 f- m, z# y0 e这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
) P  o( D) ~. Z- B. z( {一些高级语言作为编程工具
4 t# x) ]; n4 W' Q1 }9 N8 、一些连续离散化方法
% m/ }* y& ]. o5 [很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
) R$ Y+ S. I% M- K) \9 v* Y赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
4 ]) Q2 b" z$ Q  m3 h解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
2 q% H$ Z3 j4 W6 }  f个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
3 ~! `+ N7 L% W0 G2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
: S4 f! V* j/ A微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
$ x( L' \& B. J4 J3 O, f3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
7 \9 [7 f& U$ M' {2 W②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
+ h- y. X3 l: F' f7 X' W% d4 z0 _概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
7 v2 x& W% [; n预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
. C' w/ r  q) a3 L% d7 b（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
! r  P/ {$ k. q2 e# J: _预测波动数据的函数。
* Q: u" \, ]9 F/ @; w1 W3 {7、 、 神经网络 （ 较好） ）
2 F+ Z  K+ V, p7 c大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
, G7 U, ^: l6 N7 F! b# [8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
3 B# Q# j- I. i9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
% f2 u* t/ ]5 E" ~' l在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
5 L- b7 A" B* Q0 s  A逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
' V7 i2 F# r, a, N, I, l5 C, ]10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
4 \2 r  Y; g0 c& G9 c! {! f11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
1 K! X6 Q  `7 C* N作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 c/ D3 ~) i6 L) H1 |12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
' _" d( |/ C! H7 l5 N/ Y9 P优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
& P8 k1 g# g0 K1 \! ^6 J/ X秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
3 W$ ~6 d* H) z3 p  X法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
) l# d+ j8 G" m: ]似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
0 Z8 m0 X& p& q其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
/ K; }  `/ v6 s9 L, V* @评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
: O3 G' [; d1 E& n1 f解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
- S( G% D  B; F$ F的最差值。
! `! [$ T  P0 `" A15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
( a" h* n7 M, D! M& z, F! x2 N: f可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
9 b  F  G9 @' e. h: H量有无影响，差异量的多少
3 a; n. t6 `( P+ m协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
7 f8 m' ?6 a& \1 Z% E( L* c5 y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
8 i/ Q: ~9 |7 J, j" F非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
. _$ I+ Y4 x+ X( C7 V$ C5 G6 C智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
! Z# Q& G1 i4 b& C* @9 o! I  h; i离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# E0 G4 x6 I- m. e: k  [20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
  B. b* J8 Y7 y2 K, I" C排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
% Y2 W" s  U2 X2 |, A计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
* z" q( t; e) X" d3 S0 I4 v般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
5 G$ z* z3 B& y$ X8 i' Q/ O1 YMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
& d* C1 g: S5 d/ l; l& ?22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
" s9 V# N; I! y' g. Z射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
0 C5 f& u5 G8 X4 a) P1 f23、 、 多元分析
4 N! C) p0 y! C* O$ T6 `- t" V1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
, x! z) v( X$ h从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
4 X1 P. }' m7 M+ m- l! h- N6、对应分析
7、多维标度法（一般）
9 w( s3 G, ^% u% x; w( F8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
" G, g2 t0 A6 Q6 P6 s0 Y  w. T主要包括以下几种方法，
) R7 ]1 ^2 `, O9 e1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
- X( ]. y1 w' R7 w) k5 U5 o6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
/ V+ ~5 o" K. W# b4 Y8、模糊识别
25 、关联与因果
- T* |' l9 N. |2 w% M0 z: j3 o1、灰色关联分析方法
! I* ?- |  n! S2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
) B; d. |" q: I) M4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
) a8 s9 H4 b/ t  r+ T$ V5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
. h1 e4 _5 ]2 P( F- G+ S( B一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ \6 }: c% O( `; u# Z, g4 n4 G6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
* |7 n% u2 E8 G# g; E7、生存分析（事件史分析）（较好）
" l% p' V& s2 l$ b% x; @2 o数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
+ t' R, q  o0 F! a  U计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
2 c- J7 H! h0 c& t26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
8 E5 A: v/ x. p3 h' ]6 Y量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
& B( v7 T- O1 ]2 h率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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3 g0 r, c$ q" C* G原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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