数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
; Q+ C2 h5 ^8 o' _! Z4 M) E几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
0 }1 ^, m$ s! O; [" o0 t2. 按模型的特征分：
- y3 H) x6 o! G静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
1 b5 G6 E! t1 e1 P性模型和非线性模型等。
" `( x9 M6 P: d  `: P9 F! f, D& h3. 按模型的应用领域分：
5 L  ~0 p6 `* g; w: z; }7 d人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
: y$ E* u6 i( ~* H% [% F! B预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
  a. [+ v* I, X7 R# k( e8 x一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
7 i' p, s) `0 z  K; y有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
5 h1 [0 k" r4 }/ J* g( ~比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
$ S, b3 b. [* f. j- G% a1 g, g运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
( R1 X; ^4 t$ F+ l+ X6 V# ]数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
: M0 ?" w1 O/ `6 H" u0 o3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
% ]2 y7 f( z/ E+ T; l( K法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
% }/ |- `, w6 u4 、图论算法
9 [' S. k/ |$ z3 V, V0 {这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
8 J! Y: e8 S) z9 V5 _这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
& f% I  {! Z9 a4 t+ J; B帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
$ A$ F# e! L, @- X# M1 y7 、网格算法和穷举法
5 u! n: \* b) p' o* V$ d当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
( F; o. O) }* `一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
7 {  R* r) v2 {( t如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
$ F& L( d3 \4 M  e赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
0 s  X5 n. q; M0 Z( ]* g5 H行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
& Z6 v4 w, Z" q: d0 i! I; V①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
8 q7 f9 I5 ~( ~3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
- r! @3 B% j! C+ E% U' |  _) M1 P4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
, r) j3 z5 L, X# [6 {$ B一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
& w7 f" {$ P# p5 s概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
  t6 P+ H* q0 d) _预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
9 y' X, w  `& G; T4 [( }) L: @$ I（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
2 ?6 |$ C4 }; `& Q6 ~0 Q3 t. l6 ?预测波动数据的函数。
9 u- L& q  L  G  u& w$ o/ _( ~& H7、 、 神经网络 （ 较好） ）
& i4 Y; j  T8 k9 j4 q! P大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
- m  r9 s1 a0 K( D# L适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
1 m9 K1 ]/ m1 \/ U& r, w拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
/ w" ]3 v  J& I, V在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* [+ _* c6 ^9 v/ {  L逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 N, x& s6 q9 h8 q# o9 E11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
9 m7 u; E2 @4 T8 W作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
4 T4 _( Y. r) D( x6 w12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
2 r' e  ^! i" T& s$ I- A( D  p其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
- G3 N2 t% F6 F4 n解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
1 F0 K1 S9 W$ }5 d该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
# T# y" U/ `5 O" w/ f6 ]方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' x% D2 H" G1 C3 Y6 O; v5 P量有无影响，差异量的多少
; b) Z3 I! _% R! ^# O  y协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
( N2 V- Q$ g, A1 y5 d& ^# W2 s4 E9 ^素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
# O1 O6 Y* x: o" n17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
9 c( `9 {3 O2 v2 ^. `模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
1 ?7 C( [* s5 J) T7 Z0 Q优解。
0 k, r9 Q/ j9 a; u18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
8 L% ~  s# I7 V  S3 u: P- x. h( E非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
( V0 b9 |3 t  n( l0 G, @3 Y: g" |算法、神经网络、粒子群等
% o1 ?6 _5 u- a; L其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
! b5 g; W7 d) R2 U, z3 c; w( l# j) B离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
/ t  g' c5 Q$ l; W# d4 ~20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
. ]( S! W. H: b9 Q" w( s排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
) B+ P2 I: ~$ ~+ L+ i0 f8 A即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
2 w4 l  P. W8 r' R有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
( H! K& P+ [0 y- j( p般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
* ?5 G+ H# C2 w6 \. \3 R0 f3 E21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
3 _7 _6 L: m' m射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
$ M- W' l' k$ V2 B4 J1、聚类分析、
2、因子分析
3 u- ~* d, K0 O3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
9 E: L0 a  k* B4 X; Z从而达到降维的目的。
5 q1 b( j7 \1 z$ |% S4、判别分析
5、典型相关分析
* {6 u6 e" `" i6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
) c5 ?$ u* P# a5 m7 c" o  ]24 、分类与判别
* j, Z/ P9 a! z3 U* Q5 }3 Y主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2 A% |* V, V$ N4 A" K) [2、关联性聚类
3、层次聚类
+ k: G4 z5 J+ [. D4 Y) E4、密度聚类
5、其他聚类
" w& n- V5 _  ~" k6、贝叶斯判别（较好）
, [( C# d/ \( R: w% j7 W" s; d+ E7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' t. \4 ~- G# `. l4 p1 g$ @4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
# |. v; e2 D& ]; i: u% F6、标准化回归分析
: z9 W$ S$ n, _! z; u* ?若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
0 b! I, Z* A: h) f  z$ G数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
0 _( ]; \- P- [7 T' R2 C  Q) n/ Y计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
1 m$ Y" t& l, \7 O4 h9、优势分析
- s  H& U' `4 L  r1 G26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
! q$ X4 u$ s7 \- i/ K7 r7 L率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
* f$ l" g  ~% x3 l+ K————————————————
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