数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
1 K' g4 R5 n, ^  ^2 U, r几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
, g! j/ ^6 A" D' O型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( z& u, d; a( b静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
" L9 A: `: {1 E5 Z/ Z性模型和非线性模型等。
3 e2 B+ @9 g8 E0 K' S8 w3. 按模型的应用领域分：
: K% u. n( u( N+ P" D人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
  `: ~: |. j. {1 D* {预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
  j! w; I" \+ @0 K: Z8 f一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
2 b' V$ S7 P5 `0 {5. 按对模型结构的了解程度分： ：
2 c" A- k. T( }% w3 }; [# \有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
2 e1 ~; _; j- c6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
/ g) w- j" u: o运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
# Z# E1 q  h$ o5 G数学建模十大算法
3 e  A. u& D; t% U# B1 、蒙特卡罗算法
1 \+ b+ [8 [1 j0 F5 ^该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
& R1 b0 f% C# A2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
7 K' m' J7 z: S2 l' l法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
0 t) L4 l4 U; K) |* z6 Z% x9 [$ \% \这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
$ |8 c5 R% F. X& \1 Y, m' `5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  N4 @$ e" a" F" j& N0 i这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
+ Z' C) F/ s; V9 n* ?5 F4 ~. }# B帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
. o3 Y: k& z5 V6 }9 d1 w% R当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
, p) B. ?9 ^) C! W6 @# |9 U8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
! [; l* [, i% P% E8 T9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
2 L3 i4 }0 d- @9 T6 N: ^如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
5 @  u. D" s$ Y8 C$ z; J* C) {的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
! q, L; E' p0 d* x行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
4 u. e: W9 X5 H; c②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
. F  z/ F* c4 ~& u2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
" o2 ^+ W2 a, T0 }/ Y其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
6 q8 P4 ?: L! w1 x5 l- v8 a: A3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
' x, A3 J( s# p- S化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
; y/ n6 Z6 \( I; b" X! v一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
* a# j$ c3 M  I1 _9 d概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
3 F! o/ H! j3 C0 e$ X; C5、 、 时间序列预测
% H# `9 q( H! b  p8 J预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
. s6 W: X' g, G, K/ h  a+ m数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
$ G3 z' G0 F( A8 Y预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
0 T$ o6 h# m0 x* n) `& L% R预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
7 y( x. U- @' S  q+ o& S; ^9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
. n2 f* q) H; Q; ]; t拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
& D% ]* q/ G8 F/ E" ^9 w8 c. `在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
4 s: E2 \) t# X3 ~" q逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
0 F! o* U" @9 K' K$ [12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
2 j* p! d  Z; Z' J* w7 x; U( h( d秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
1 d  _# \6 L2 U  u# k5 ^+ B14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
9 }) H6 l$ ]) ^# s% N* b其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
6 @' E3 L  p& O- y7 n评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 o9 z! |! C) u) q% [, T可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
- K* W* H1 y  c0 w/ ?3 v' [" ]7 W$ Y来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
: v5 J+ s5 o8 r2 L, U16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- K8 h, V0 ~% `$ U5 k量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
+ N9 k* V! w5 _5 W. ]+ ~( g9 k$ G: q素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
4 v2 d4 z- X6 x7 q0 Z. b6 Z2 p) O此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
9 M7 e' F% {# E: g# T& F& ?模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
/ g# y; t5 r4 D7 b3 Q# I! R优解。
4 O; T6 y. B* b7 t) P18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
' n2 E+ r3 H3 j6 ]非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
0 k' m8 c0 L8 B% j' ^智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
; p! J8 v) d, \1 n7 V/ L9 h算法、神经网络、粒子群等
: z4 l  U$ f# X& c其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
. N+ f" ?8 k; X2 t/ @19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
( o  Z8 E" ]) l; |& W3 ^. J$ \即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
+ h) B4 a! }; c+ G, c7 h# x计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
! T. i0 n+ Q7 l4 M9 O' {0 p4 F般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
3 G1 \  h% l+ p3 XMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
& Y8 x3 A( ?! r" C例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
: w1 t9 D+ i$ G9 i支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
2 w9 [) W3 a4 ~0 }射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
0 c2 R+ p- z2 H0 E9 W, H  _3 b7 Y23、 、 多元分析
1、聚类分析、
) I! V4 ]  {" K7 N9 R: Q1 Z2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
8 B4 T; R# d2 F3 I4、判别分析
5、典型相关分析
/ k, [7 t. @+ m$ n3 @! E6、对应分析
3 ^- s4 s9 T- ~7、多维标度法（一般）
" E7 X$ j* z  ~- }- }4 i( p! W8、偏最小二乘回归分析（较好）
* S, {2 s6 p8 b$ f: S24 、分类与判别
1 a- W" e& R5 t主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
2 |6 {" w" Z! m, m7 L3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
5 u! C! @: S1 c9 A3 T; q: N# R. h7 F1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
( M: E' g% Q7 j, t* ?( N; r5、典型相关分析
* d! H3 u9 P; M3 V5 G' |6 j# u) e（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
: @% A3 P7 l% U6 x/ ?( C一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
* }6 v. V* O8 f. a4 H若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
6 w2 R3 f" G* ]0 |  {数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
' o  R( t9 N( r1 u8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
5 ]% ?: R4 J$ q1 L+ W6 f, ]9、优势分析
' J, W3 T: u. B# h4 i26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
# v. X. x* E! x% E* n+ z0 M量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
- m3 D" s$ B! _- x8 a! [% V/ c率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
; A  l" x* }* f! K. o9 w————————————————
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+ }& W/ w( b8 }8 p' ?# D