数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

- F2 `) _" t* W$ y数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
0 l8 c2 ]5 F* t: ~* z7 i1. 按模型的数学方法分：
$ ^5 X" H9 r1 |. r. ~; R% j. X  y几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
$ t9 u5 F6 R% n" K: E4 i: B0 `静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
$ h6 _8 Q9 \. c9 C( v+ @8 a' k, s3. 按模型的应用领域分：
! T' x+ g5 J; m9 h$ _3 |: _/ h人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
- B' ^0 h: R! u  F预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
7 \* l7 {6 s2 ^+ B0 e8 V3 Y国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
! M/ @* e4 l& u& P以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
  }4 k. `0 \1 N$ _0 _; u- {* U+ M比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
) x% \) j: V  Q通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
8 G8 V, e( A1 x5 Q9 z0 ^  f% P, _建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ q7 K4 a. ~& A" t& g0 q4 、图论算法
: U9 i* r, {4 S  e这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
; w* F6 c% v+ |5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
. z5 g  |, ^+ ?# D这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
( r5 M# X4 Y9 Z" C' j; v6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
; p6 K( A- d6 h帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
. Z) G+ @6 L, b+ X5 v+ F7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
% }2 ^8 W7 u% d& E0 |. Y8 、一些连续离散化方法
% [1 ], G& j; H* {: P$ [很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
' N1 `- ^9 d) Z+ Z/ T3 ?- Z9 、数值分析算法
# `7 x- ]2 {2 }3 c如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
% A# m% `, i! x! |4 V/ s- T的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
$ j( o8 |7 H* v. @行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
% B: ~) e7 ]: C+ [2 u% d①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
* M& c" ?) l1 O0 K) p; J微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
2 [' F5 V+ c2 b# n1 n其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
8 @1 L% S5 q- n, w- [) t3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
% w! s( w% m% S. s8 m( |1 N) L! y化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
( B* o, a3 C  x/ v) h/ {: u②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
# b/ d' M" J5 ?互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
' b- c) g2 G9 v/ F) @概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
2 a1 k# L% W0 i* p" R; o* R5 W5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
7 a8 R9 f3 j6 R# ^$ Z, z1 U$ N$ ~（较好）。
2 J) U! r6 C2 z: ~1 ?2 b6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
. e( g2 C+ R; \& m3 y预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
+ R3 w6 G: X2 s0 ~; D# c& B! S预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
8 B- I, Q6 s0 k" V3 A适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
3 T/ W  a8 E; _拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
( d) y8 \8 j3 x& D在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
9 r9 v# P5 m* |- h( V; ~! x10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 n. |/ W( f+ y, d评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" O0 t# L$ ?" k! v; p- R* j$ q4 Q作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
6 B! X6 A  {8 m# [12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
7 l6 v& a. `5 o- O/ Z13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
# Z5 O4 m" B4 _: @/ j2 W评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
9 p! F+ F* I2 a- ^2 g$ b  R9 W的最差值。
& u6 J0 f9 F+ t+ K15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
0 {+ D( O) r1 o3 C! D( h  v" X可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
) [; `0 F# o6 F* w4 z来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
, T2 p- l2 Q5 Y- o1 I0 Y: i# P该方法做评价比一般的方法好。
% f: U$ _6 o7 m4 `6 l- o2 _' T# {16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
! _' n" L" T1 N$ q' Z协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
& N8 A! s) }: [  ^4 K素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ t3 g+ v7 c( L. ~模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
. D( z( C; g( L  F5 V1 Q18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
7 P& H' }% F6 S8 {9 \非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
# l3 \9 d! ]$ H  u4 {智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
7 t# q7 M$ |& z; d5 B1 a2 {* k算法、神经网络、粒子群等
2 D; u+ s2 D8 W8 x2 Y9 `) x, ^其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
( }% V  n* Q4 |3 F1 ^! a4 ]离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
$ d. x) |( U: z$ a' @! h排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
9 t# {& b; \2 u9 R6 y9 U即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
( p% u2 o  g! i2 V/ [+ U般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
* ]$ ^( d- f: Y射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
3 k" F8 \  f, S, E) Q23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
& L1 x, z) q$ L各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
) v: g- M  w1 G/ d. X  k6 G从而达到降维的目的。
0 P) l* r- X( I3 e! |2 \4、判别分析
5、典型相关分析
* |% ~1 N" o6 V  W: u6、对应分析
; |2 y9 H) A9 E0 |1 z, s7、多维标度法（一般）
6 L) \9 G* E6 h7 O/ D8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
) v. W$ K9 g2 V( d- |5 ?" t1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
# B4 h) F7 |2 H! }% j3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
' \1 k# y& S7 e( e7、费舍尔判别（较好）
* ^; [# w: o* K2 y. a8、模糊识别
25 、关联与因果
7 t+ `& G9 @. D' ]/ r1、灰色关联分析方法
# ^) U& B* F5 q, u0 ^: t2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
/ Y+ Y, ]% G$ F一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
! H" d; }2 ^: I7 t5 ^7 j若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
$ v4 b$ B9 `0 [, L" Q6 [2 Q8 l7、生存分析（事件史分析）（较好）
3 M& [- m4 v1 D" ~数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
% Q  L  [+ j% m% _$ e* H: Q26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
1 ]/ d2 r8 S& Y1 m5 B7 P量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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3 M4 a* V7 l! R原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964

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