数学基础专著《证明方法与理论》

逻辑之剑

数理逻辑的中国声音：《证明方法与理论》
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《证明方法与理论》
& G0 x+ o- `8 x. l; W基本数据

( O  f' F# I( c: J4 R【作者】 张寅生
【类别】大学教材／学术著作
+ w( ~5 X$ o5 Y; l【学科分类】数学
【教材审定单位】全国高校教材学术著作出版审定委员会
【字数】50万字
【出版与发行】
国防工业出版社
【经销】新华书店
9 M9 l0 v) K2 V1 S+ L【ISBN】978-7-118-10079-2
7 R8 @; j6 n; a【出版时间】2015年11月
% b5 m+ e1 v# E【内容简介】
: _* w3 T* a* u8 }0 x* Z      本书阐述数学证明的基本原理，主要包括证明方法和证明理论，是探讨证明方法和证明理论内在联系和本质特征的数学专著。
9 B& H. F1 [" P* v0 Q      “证明方法”集成了常见或具有重要影响并具有逻辑独立性和形式化特征的数学证明方法。分别给出了这些方法的表示公式、例题、相关的定理以及当前的研究前沿状况。
& @, y. H3 Q# W. [! E1 }( p     “证明理论”阐述了自希尔伯特倡导建立证明论以来该学科的主要理论，介绍了这些理论的发展脉络，分别给出了这些理论的公理、定理及其证明、例题、当前的研究前沿状况。
      本书力图解决以下问题：什么是数学证明？数学证明的通用方法有哪些？关于数学证明取得了哪些重要认识？
      作为跨学科研究的尝试，本书可作为证明论、逻辑、计算机科学与技术、数学哲学等相关领域专业工作者的教材或参考书。
【前言】（摘录）
      证明方法部分集成了11种（类）数学证明方法：①关系运算证明方法；②三段论证明方法；③数学归纳法；
( I: X! a; u$ H8 N$ K/ T④反证法；⑤构造性证明方法；⑥同态证明方法；⑦解释性证明方法；⑧系统化证明方法；⑨截消证明方法；⑩归结证明方法；⑪自动化证明方法。分别给出了这些方法的定义、形式化表达和实例。
       证明理论部分阐述了自希尔伯特倡导建立证明论（“元数学”）以来该学科的主要理论。本书将这些理论归纳为6个理论体系：①可判定性理论（包括邱奇-图灵定理及其证明），②相容性理论（包括数学悖论结构分析和解悖理论；集合论公理系统；算术公理系统及欧几里德、罗巴切夫斯基和黎曼几何公理系统的相容性理论），③（不）完备性理论（包括第一、第二哥德尔不完备性定理的详细证明，一阶逻辑的完备性定理），④可靠性理论（一阶语言的可靠性定理）。除了这4个理论体系外，还有⑤为数学证明而构建的支持性或辅助性理论（例如为了进行图灵计算而将几何陈述转换为代数的理论）和⑥证明复杂性理论（后2个理论体系本书不做讨论）。给出了这些理论的发展历史、形式化表示、证明、实例（例题）、当前的前沿研究状况。
       全书共计有：84个核心命题（公理、定理、推论、引理、命题、论题），其中作者提出15个；5个集合论公理系统；83个算术公理系统相容性关系图谱；100个例题，其中作者提出或编撰63个。
. Y! y0 m; |1 H6 m       本书还附有哥德尔《论<数学原理>及其相关系统的形式不可判定命题（一）》（即哥德尔给出他的第一、第二不完备性定理等定理证明的论文）原文（英文注释本），以及作者翻译的汉语译文。
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: U  D" e5 B4 L, v" F3 q# Q目   录
% R  p- v) J# q  z& o0 k) g' Z! z

9 ^! o5 H2 D6 ^& O1 J. I# U7 _绪论
" `+ X$ K1 i' O" Q$ z0.1        对证明论学科发展的一些看法
0.2        本书的一些尝试
参考文献
, V( t; F# @8 n- ~' U

第1部分 预备知识
! `2 u1 s( V  v! d3 A  Z
$ Y& e/ g- N+ q7 e* j. V; N# h第1章 基本概念的定义和举例
参考文献
; B+ ~* Z  w- {

第2章 基础知识
' X; u4 I) q6 Z) `) m2.1 集合论概述
3 s) ~7 W; d8 L) i  M2.2 逻辑学概述

第2部分 证明方法
- X$ O0 g* m  w, p
第3章 关系运算证明方法
1 J7 {3 [, F+ N# ^/ D参考文献

+ {% m" Y4 f- ]* p0 e* l) J! W第4章 三段论证明方法
4.1 亚里士多德三段论简述
4.2 亚里士多德三段论的改进
( m4 {4 M( J9 F- l% V4.3 量化扩展的三段论有效命题的确定方法
/ M6 ~1 L& F: m, {参考文献

第5章 数学归纳法
5.1数学归纳法的发展概况
  w% W* k4 x, [  P. V' @5.2第一、第二数学归纳法
/ x) g8 f) }, d# w1 M2 E# m8 ?5.3超穷（超限）归纳法（广义归纳法）
5 C5 T. H2 |$ B5.4 结构归纳法
: C5 ^% h/ ^, f: F5 b# K" A参考文献

8 r5 I& Z! z! @' w0 U& ]( Q第6章 反证法
  Q$ Q, |( h9 ?% x- Y  E
第7章 构造性证明方法
参考文献

& u6 q4 s) _* F  ?* _# G- t第8章 同态证明方法和解释性证明方法
% f5 T* G0 v( N2 [" E3 H. w! P- }$ M3 W8.1 同态证明方法
8.2 解释性证明方法
2 v8 l( P% s7 O- n4 Q' Z# B参考文献

第9章 系统化证明方法(含截消方法)
9.1 系统化证明方法导论
$ T# x  R* F# k2 I: `9.2 亚里士多德的三段论自然演绎系统和形式系统
9 L. N, u4 M2 G3 \9.3 量化扩展的三段论自然推理系统
9.4 弗雷格的形式系统F
9.5 罗素的形式系统R
9.6 希尔伯特公理系统
; T) i4 q# F/ T0 i1 N9.7 根岑的自然演绎系统G与截消证明方法
9.7.1 自然演绎系统G
9.7.2 截消证明方法
2 h9 a; l/ M4 ?! z2 P6 f9.8 算术形式系统举例
9.8.1  PA
9.8.2  ACA
5 r+ B- k8 l' f3 |0 D- L9.8.3  实数算术公理系统A″
7 e& P! D9 k: a9.9 几何证明公理系统举例
9.9.1 欧几里德公理系统E
9.9.2 希尔伯特几何公理系统
参考文献
: e4 J) U& d' v) `: y- I. U
第10章 归结证明方法
10.1  归结的基础理论
) C, G0 g- E$ }( I. D  i10.2  归结定理与归结方法
参考文献
8 u: {! U# r! o/ x: a
第11章 自动化证明方法
) P$ n2 ~! c* g# x0 Z+ N11.1 自动化证明方法的思想渊源
* A" J7 G  d8 d0 Q4 u5 P* x2 w' y11.2 自动证明机器原型之一：图灵机
11.3自动证明机器原型之二：线形有界自动机
& H$ p& R& e7 `! x5 k11.4自动证明机器原型之三：下推自动机
11.5自动证明机器原型之四：确定型有穷自动机
/ o. ~) \, L8 n# \11.6自动证明机器原型之五：不确定型有穷自动机
11.7 自动机接受的语言
5 ?) n* E, Z* J11.8 自动机与数学证明的关系
* X7 Y4 c+ \9 m; t5 e0 d+ Z11.9 定理证明器和推理机基本原理和证明实例
参考文献
2 t9 h' ^: j" g6 }- T3 G
第3部分 证明理论
2 q) X, O2 D9 ~# U; k

! ^( R2 S/ F3 v2 c2 v7 H第12章  可判定性理论
4 }# t1 S: t  R5 ^/ F12.1 基本概念和历史背景
12.2 可计算性理论
, F) {3 r, U8 D1 N3 v12.3 一阶语言的可判定理论
) K$ }" O$ c* A! _6 M$ \6 }  v12.4 不可判定理论
参考文献

/ O0 z2 o8 {0 w9 _第13章  相容性理论
13.1 相容性问题产生的根源、过程和现状
1 i! Z  [" r5 q3 L, N  G4 p13.2 悖论的结构和特征       
13.3 解悖理论（1）----类型理论
13.4 解悖理论（2）----情境语义学理论
13.5 解悖理论（3）----ZFC公理系统  
/ Q5 |: t  u0 _  S13.6 解悖理论（4）----新基础公理系统
13.7 集合论公理系统概览
! U3 d) Y5 E) y9 y, E13.8 数学系统相容性的其他障碍及其解决
+ L7 ~, U* v* Q3 U4 S; C# _7 M13.9 算术系统的相容性  
% i7 K  S. ^2 \% I. X! Q: p13.9.1  归纳数< 0 的PA的相容性
13.9.2  算术公理系统的相容性
; G* n+ w7 k9 Q- @; [13.10 几何系统的相容性
参考文献
2 L' K% j( T% M$ n: s; v
第14章  不完全性理论
14.1 哥德尔第一不完全性定理
14.2 哥德尔第二不完全性定理
14.3 哥德尔第一不完全性定理的发展和争议
14.4 哥德尔第二不完全性定理的争议和某些应用
' P* I7 ?2 @8 z; z# E参考文献

第15章  可靠性与完全性理论
参考文献
" R3 U! b/ T/ @8 `
( l6 t) S# ?) J/ o  m
1 y! q0 `' i0 q
2 D$ Q) Q' H: q" V0 S附录1  算术公理系统
附录2  On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems (I)
' j6 a% G4 a3 ^3 v! }附录3  《论〈数学原理〉及其相关系统的形式不可判定命题（I）》译文
% s+ O! c+ @# d2 q) w( I4 R附录4  人名索引
附录5  定义索引
$ o2 w6 |5 i, j4 d附录6  核心命题索引
' q5 \6 n" ~- P: h附录7  例题索引
  u* X# t- h: v; S" g
# A- c' y! t- T: V! e2 @' ~% C, D/ s作者信箱：zhangyinshengnet@sina.com
& ~7 f" F! u4 c5 z  w; U. N, Z$ q
) `: T8 Q+ S/ ]4 Y" ~+ ~9 l

lshqcable605

我是冲着哥德尔不完全定理来的
5 ~7 q% [  T7 d0 @5 g; w3 Y5 s

hylpy

怎么回事?介绍吗?
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feng67

版主分享下吧，看着这很诱人啊
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ken123qw

看看，谢谢楼主分享，看看数学的奇妙！

ken123qw

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