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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn' D7 Y. P8 D% V5 M# L: M7 V
* J3 l# M6 }8 J5 U. b$ H3 l8 p" p; z3 Y% Z$ q
1 Y6 M# K- z# K' K2 M" n+ [
A题 安全的后视镜
$ F5 ?/ T- A1 b$ s* A/ X) c汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
0 h. h; |, M2 B6 N8 ]良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视% p: }* w x, z! X
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
. G) X# Y5 g0 T$ A% A% ^如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.) m$ v! y9 a$ r' K
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
$ N. z! l$ F3 v获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的0 f. @( i, U4 ? R
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.4 `4 c. T; F1 A
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
) b4 x/ D/ {3 O$ I+ f2 O造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
! F0 [+ E @" K离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一: J$ G2 ~9 @; [
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
1 Q. ^/ I; f" a" x; i平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
, R" {3 b0 R. c5 Z1 y; Q$ [或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性6 ], `* X+ R0 S2 g
能也会有所不同.2 J1 H/ M. F4 Q: z" e7 y( d
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的8 F; L3 d7 Y! ^5 ~ {) Z
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都) d! E. |9 J5 B( b/ z/ D- h: Y
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
6 M1 E9 z/ O- @" ?9 r" B给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一3 f; h0 R" x( h% J1 N4 w9 \: g
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有& |) f' v/ ~0 c6 {: t+ {
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相& o& c- h$ k9 y, n" U
应的国家标准.
/ Y' F' R. y9 ?1
3 ?$ v' V! p7 F, i- N4 ^图 1: 变曲率后视镜的例子
! p( m3 l6 k9 V# s# ]; ? I0 J8 M2 r: q5 `; F; R
! P0 b! z" A; G9 r }' b3 _( y
B题 岁月的印记6 o1 N" ^3 h. Y' {
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经# p* G2 o D. J- I( ]! l2 \
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
! C- {# g7 L) {8 g出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
0 O. p3 G; J" s来也就越困难.: I8 n* a* F& L6 d* a; ?* D
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
4 }, R+ l3 W7 ^部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
. Z8 t, U- s) \7 V) Z' ^假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
- V: ~: {7 w1 B5 }& l# ]; j; w: N) I) e) w G; I' a5 h
! _3 Y. m, I0 l& g1 e& T/ E* VC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？1 A6 j& a6 A2 ?7 d
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
* ^4 }2 Z+ s& e' W$ u了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
# a- d9 k; _8 _" Y* {学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
* i, v: w/ B4 R3 g研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷
2 v Z) f6 O- l3 ~2 }; e涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或% J. X8 ]5 C) \3 O. p5 k
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端" C- w* M( k8 F& F
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
8 M1 J3 w) V& c0 f5 j' K市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收- M$ F5 f: G: c' I+ f
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
* L4 j7 A6 ?& w& I: ]( a你建立合理的数学模型解决如下问题。
; \# P# f y. `第一阶段问题：
- a" V8 j$ U- x8 F: \1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展/ K' q9 X9 j- i" I
的主要因素。
* \8 P0 _# Q; z$ `0 c2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在/ s2 v" L) \7 L# ^* C+ ~" x8 r6 e
市场占有率。9 K I; C% Y' `& V
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
[/ N) E; k6 f$ t e) [情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。2 ^% k) r1 R" G" e+ z9 M
1 T3 C# K& P5 x( ?
D题 教室的合理设计
: A6 Q/ v, G1 g6 z, A' Q! O& ]（本题仅限中学组和专科组选用）! G4 y, t5 |: O- K
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类
6 R+ [) m/ H' _ b的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和7 ~* [2 v2 y" @' _) {
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计6 S, |0 M" C) V: K- e0 r, u8 [: E
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 . {( O: {3 P$ Q0 t, }1 ^$ x
第一阶段问题：
. C6 o. K& g$ l/ ?! S4 z* M1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个% f9 Y* m; D1 C4 J* f7 z2 s
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不6 [& d O6 |1 G, Q2 b0 }
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互. ^8 A/ ~3 g4 D0 {- p" d0 ]
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之! f. G7 W. X8 g. g0 R7 U! F
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
6 l0 x* K% O4 w" ]设计中可以忽略墙占用的面积。
5 B# h6 L$ d* A9 x2 q! x2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
" A: }9 Z# _- y5 M+ f3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教9 c/ |0 B. L7 m( U/ {2 i
室。% D7 ~$ z" k% Q. H0 @$ u/ m
7 p& f; o F* \' F
5 t6 ^ @, f4 J- X9 T/ j
# C( ] W0 Y+ [9 m+ N |
zan
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
