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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布:无体力赛题下载地址:www.tzmcm.cn
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; Z- X+ y, s5 ]7 h% S& G: h" P7 l
A题 安全的后视镜
" f0 Q( {! { E2 D5 ~: _+ e汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有' Z' u8 P& O- u) M
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
i; k2 S1 D" p m2 w- z2 E镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.% U0 {4 }7 B: Y" W: L
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.3 j, q, G3 k( N/ a+ O% [
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
) V l3 U+ ?4 z7 H获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的1 x5 o! E+ Z# r& H
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
/ n) A) |2 g/ E9 m* p# i* ^* [但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
% a& W7 ^' V) z9 t$ B! x/ t造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
( s& }4 ]- k. W0 o. P/ D离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一- P! f" I' n! V5 T5 @- C
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
6 F3 r' B+ o% t7 c+ {% s1 H6 f% T3 w平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线1 w& ]' t" E* q4 a" z0 g4 {. u
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性0 l3 n9 ~ u' Q& Y' L/ d) _
能也会有所不同.
/ c, u$ f6 K0 Z* k第一阶段问题: 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
+ }% l& H! X/ n8 p+ r( M外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
/ g, g; ^# E) M; b设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
8 v6 |7 x8 b* N2 a% [给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一# h( H k1 P; ?6 W# s
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
% i( C2 k3 \% C% R# H的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相. _) ]9 H' {0 v
应的国家标准.
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图 1: 变曲率后视镜的例子
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B题 岁月的印记/ v2 L0 x) A. d- e( q
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
- y: ~2 x# e# {; e历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨2 T8 B }9 Q) ]3 a3 Q: O
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起6 O3 d$ Y' b; A' N) Z0 E
来也就越困难.3 B' L! L% t& `$ n
第一阶段问题: 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
y/ X: l$ y0 E7 Y9 p0 J( X部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以 x8 m% O8 I2 k9 D( F: ]" y O
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.5 g, f* ]# l# s- G7 j- V3 f4 a
) M; I% I' f4 x9 ~8 l& j
* f9 D1 l, g1 s f" _, P+ q$ @C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗?
# @! J0 ]8 u$ t. t2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加,比去年增加
/ j/ e' h- r7 ]3 r% K了 24 万名考生,增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来,而考研教
' ]7 m% r( g( w0 J1 N% H) }学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来,使得许多考
- D) s+ a/ N2 t/ I- f$ y; _- l研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中,纷纷
7 o1 ]+ A9 j5 ?$ n涌现了依托于移动互联网的产品,如教学 app,手机题库,单词本,错题本或& i3 V x5 H1 `0 D
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
$ [- u7 U# o0 N/ h& f更高,使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的, _1 |0 n$ h( F: o l! Y$ F4 w( ]
市场占有率和发展趋势,开展了网上问卷调查,问卷格式如附件 1 所示。共收/ s, O! T2 ?! q4 I5 _; A
集有效问卷 38182 份,我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
" T/ y% ~/ ?, v# d$ N, x4 G你建立合理的数学模型解决如下问题。
% p0 Q( {4 y# ^! E( ]9 U: y第一阶段问题:
$ _$ q2 L) h1 F1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘,找出影响移动端考研产品发展
/ d0 \) P1 y# ?; g( f" L$ G的主要因素。
& [2 @# _4 K+ v- ^ ~" R* Q2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间,预测移动端考研产品的潜在
' U& S( ] G+ z6 Q市场占有率。
* W3 K( o8 ?( [, }# |/ d1 I( J1 `3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象,充分考虑经济、社会8 H" x- _) H. I) t, ^" I# q
情况和考研教育的特点,评价移动端考研产品投放的可行性。
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D题 教室的合理设计
: x3 z/ D2 w8 \(本题仅限中学组和专科组选用)
' R; Q; D" n* F f$ x某培训机构租用了一块如图一所示的场地,由于该机构开设了多种门类4 X* J: W0 Z8 u0 i
的课程,所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
: S! ^: y0 T& ~" E( S; L4 K活动区。请你建立有效的数学模型,为该机构完成合理的教室设计。对设计
! ~5 `6 K8 B5 C- X分别提出了三项要求,分列在下面的问题中。 # L- y5 p* A: h) }& X5 }3 C' q
第一阶段问题:
k9 c1 u2 y7 S& t6 [$ J1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室,2 个能容纳至少 4 个& ~& ?; v! e% R7 G9 V
座位的接待室,不少于 10 平方米的储物空间,不少于 10 平方米的休息区,不
6 f+ C" A- v% ~, j' v) _7 y! j% l少于 5 平方米的前台接待区。教室之间,教室与接待室之间的出入不能相互
5 g$ _3 ]* p$ T$ H影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米,每个教室的第一排和黑板之: R! Q* t0 L$ ^8 Y4 ?# \: o
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见,在) L$ L7 H0 R$ l; \3 Z ~& M3 L
设计中可以忽略墙占用的面积。
. A: p& `5 s% _, G0 E+ h. T2. 在要求 1 的基础之上,考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。# i" O! }. E9 h6 \$ G( R; m9 d
3. 在要求 1 的基础之上,考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教' A- c" y/ T$ k
室。
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