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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn" j, `# q9 A- |9 `0 k) V2 g
" z# T8 k" X5 _3 r. U2 s$ U
7 B5 @' \( w' S! L/ P
8 J- {- h, C: E) d' v7 N5 \
A题 安全的后视镜- m& H& [$ J/ Q1 r% m
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有6 ]8 P& G% |$ V' O
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视9 R- P9 q0 p& t, o
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
3 M: F5 U- t8 J8 H5 {) P0 b/ v如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
) [. ^4 C( |( B3 L! k但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面
. B" P& j) X3 L8 Q获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
2 s5 |) J) y+ r( q3 Z8 m4 Y" Y: ?距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.
: g" r S$ L% n1 Y但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构; w% K, t/ X B
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距# m# \9 s3 i3 { R) L9 U
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一$ _# q; W* f* ~, q7 }# z/ M
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了8 h% q8 W5 X. T/ m b0 R
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
8 g/ m4 M$ P# u7 t* _8 c或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性3 e" M8 |4 X, Y- h6 r
能也会有所不同.; g8 e% I3 _0 ]- l w7 u) R
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
+ ?& r9 k# x" t外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
, C( G/ h0 V: y3 T3 H& C" g% }设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
6 o# r9 a. q( Q: ^- ~! e6 _* s& h给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一* f+ g) Y6 {+ H' F# A
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有: b: z3 R. q" q
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相9 Z' m2 S: @7 \
应的国家标准.
: V' i. I7 p4 {3 X' [' r e1, u# Y- L8 `4 |
图 1: 变曲率后视镜的例子; ~# T9 o, n! @
7 V5 ?' r* j* b3 c( X. ]
' u" D) L( @; i9 t4 e
B题 岁月的印记1 B. q3 @) ]+ A9 C0 E
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
5 j& h% b0 G, v0 Y' P历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨- I4 g, c6 ]( v% _. V+ Z
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
( Z; N! l. H4 g来也就越困难.
* `. P% l. D$ ^) L第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面
4 }$ c/ e- s9 M& i; z部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以$ d( l' z& t/ t! n1 c3 R7 S/ g
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.3 r% O( v3 Z( f; z
, s1 d1 L, M1 G3 R
) Q3 I0 W n6 X/ u0 n
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
+ i' g5 p5 m% X. {1 m! }% x$ \2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
; y/ l' u- @, d/ M了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
; o. b( @. K+ ^3 W0 F, z6 [2 ]学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考. j( l9 P8 U$ B) [$ g; [& a
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷
$ F9 T8 }/ ^. C X1 e3 H% Q涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
5 J; D8 G, A- X [/ J; I6 q# T4 [依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端0 ] k) N, a$ Q2 W& {1 U- o8 O
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的& }( s1 v; z, y
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
3 k- m; v" |/ k; L& o集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
0 Q5 ~9 \9 J, R3 P0 O, W, k& ?你建立合理的数学模型解决如下问题。
9 m( R7 [( e0 }) u. {第一阶段问题：8 r7 U1 H7 _- w& N
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
8 e- c* l1 U& c2 p% T的主要因素。
/ S7 V. A* m! b2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
4 K9 z, a% ~" E市场占有率。
: {6 o1 L6 u3 |' F% ]3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会 x3 }. Q, _6 f. a/ t$ a
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。. s2 P( m& g7 \% v7 X3 X
, X$ \ I2 N$ w8 W
D题 教室的合理设计
. c- K: h n8 d- ]/ b* j（本题仅限中学组和专科组选用）. ]# Q& J" c! K* W E- |
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类- T1 o; B; w+ y* r# C
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和% A3 f0 c a' y; ]! A
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计. R$ s: v* D- A6 L
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
5 a P% @2 e0 e7 R) L第一阶段问题：4 e! m6 Q9 ~, h. x2 S
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个6 J7 N7 d9 n% A
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
1 X1 i* s' U2 Z% D6 W少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
) b( d6 f. I/ s! h. K" w0 H影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之. }6 U* M2 l6 [2 l& X5 H8 d
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
. R2 c3 A, H7 {* N4 m( s% l设计中可以忽略墙占用的面积。# \- ]$ q( y) K* F
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。+ i) @6 X$ t- X. e$ M
3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教' [; }4 U" u) E, A; L
室。( h/ A% b: i+ X; ~0 I' }% Z
5 }0 D) h5 C8 N+ E3 c: C
5 q. j: q0 {- K( m! o1 ~& G% q
/ x3 s/ U+ @+ H |
zan
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
