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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布:无体力赛题下载地址:www.tzmcm.cn
3 c) G$ n) m% H. t! F7 s8 p0 R v( G: U; g% E! a
2 v1 z$ }/ q- v! {. r; D$ `; W2 q8 A
& e0 C- D, l8 E0 U6 }
A题 安全的后视镜$ F8 H8 c; {$ `* i) N4 w& i
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有& T- b3 V4 Q5 F
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视 Z- f! K A! o6 E7 ?/ v* }$ A8 G
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
! j+ j- T# a9 o; R0 _. F; J如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.+ H- V$ `, x" O( v8 p, S
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面, d6 V$ r1 L& N9 u% q7 q
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的* r0 ]. I, c# V
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点." M0 R Y, B; k8 _. \
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构( h6 g) x8 G( E# n; b0 Y3 P7 j
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距0 d- s) {' u* z! {, K
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一% R/ W! h3 f r' e
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了- y3 l& q1 a$ ]7 k, i
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线9 y# q$ X* ~& _- L x: o2 |0 R
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性! W! A6 x: Y2 l- i5 y2 q, Q, F0 |
能也会有所不同.
& j+ o5 b4 f. X1 W: M2 i# v第一阶段问题: 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的
6 u3 u T5 [. g外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都4 s$ r# v8 f( v: G* W. u) J" C; n8 Y
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜% t8 O+ Y$ ~ i( Q# J$ _
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一2 s: M3 X5 q' U/ j/ U+ b
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有1 [2 k1 Z! }( J6 K# W9 A5 m
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相4 P& p( V2 X- q% a
应的国家标准.7 |3 ]0 R8 ^+ M; w$ f8 h3 S
1
7 }( X! L- u8 c+ \; ~8 k图 1: 变曲率后视镜的例子
' f8 k* F# D! v" o1 q9 r2 v" N4 {- }! W
6 h6 N! W- j$ u. aB题 岁月的印记2 F; X6 ~4 I8 w/ t9 h
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
- v5 v ~; P7 Z( F4 d历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨% L- j+ }5 x4 Z1 n4 T2 D ~
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
; A, R1 ~7 j$ p) P来也就越困难.5 |8 d5 W: z! b: O4 c8 d
第一阶段问题: 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面) r, y+ O7 }9 P- @; G" E
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
+ L5 \; T3 F& @0 }8 l假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照." e0 Z3 ^% F3 r/ d
& t5 Y& C9 }( ?" [+ G4 f3 }1 _9 a, H
% b) h5 v# U% }. }
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗?) R1 u# A4 K$ l0 o! t0 }
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加,比去年增加! O( u3 n! L1 R% d9 ?& G! U
了 24 万名考生,增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来,而考研教
6 A' @8 }. M$ G4 f' h( ^学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来,使得许多考
- m2 b& ~8 {# g: t( S研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中,纷纷& ]9 U8 z' W( {, |( R0 Y8 r
涌现了依托于移动互联网的产品,如教学 app,手机题库,单词本,错题本或
( b1 }6 I1 A9 ^& @依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
1 z$ L/ Z" K( I* v: o( i8 W更高,使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的7 N7 w( {7 k0 |- t
市场占有率和发展趋势,开展了网上问卷调查,问卷格式如附件 1 所示。共收
8 j( q9 n2 W/ M" N5 K' N" {集有效问卷 38182 份,我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
1 ]8 [2 T7 `+ Z" v& X% u* J7 Q你建立合理的数学模型解决如下问题。* |" M* n/ Z2 j3 L$ \
第一阶段问题:
3 F& X. Q s$ }5 `5 u; V1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘,找出影响移动端考研产品发展
0 N% I* J7 Z. U5 i! g9 `的主要因素。
! \! ?3 l! w0 N% Z2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间,预测移动端考研产品的潜在7 D& X5 Y4 X8 R
市场占有率。) r1 U# f3 A7 k+ L; z7 q# a! h
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象,充分考虑经济、社会
- ]8 r5 z( m a. r+ ?- @6 s9 z情况和考研教育的特点,评价移动端考研产品投放的可行性。
0 A' w+ V+ I# w5 P: `; E- v7 l6 n, A2 v! b( v: ~! E. i0 }
D题 教室的合理设计/ U' @/ F# K% \
(本题仅限中学组和专科组选用)! Y0 E. b% }2 L
某培训机构租用了一块如图一所示的场地,由于该机构开设了多种门类: I0 U2 Y, p% D. A
的课程,所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和( [$ o9 O3 D: L9 J( @9 G9 K ]0 v! W9 n6 l
活动区。请你建立有效的数学模型,为该机构完成合理的教室设计。对设计+ z0 R, J. K. r& |- j& K
分别提出了三项要求,分列在下面的问题中。 1 Q* i) ^7 R9 d6 c
第一阶段问题:
7 K9 o# [. p. P+ n4 V1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室,2 个能容纳至少 4 个 g/ r7 [% w7 m i0 |
座位的接待室,不少于 10 平方米的储物空间,不少于 10 平方米的休息区,不& |. W3 h5 v. t
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间,教室与接待室之间的出入不能相互4 z- ^0 ^3 a+ i R4 _- S6 V% j
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米,每个教室的第一排和黑板之
3 I! ]4 L" f0 B3 [2 v+ A3 L S间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见,在; T6 T3 Y- m0 K
设计中可以忽略墙占用的面积。
2 T/ O) l) ]( y* ?4 z! E2. 在要求 1 的基础之上,考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
3 q! R) M+ q# w+ ~& T3. 在要求 1 的基础之上,考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
- O) d# d* y, t U室。
# {1 q/ p( ~( n# p' p) U# t& G4 r8 G% \
1 H* ~4 e8 ?) [7 O/ l
* ?) u) j9 ~! A) f2 Y/ S |
zan
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