数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
) i6 M3 t" w$ }, h性模型和非线性模型等。
: w/ m. \/ p6 T6 Y' q' y3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
9 P  Y' m( @; m# l  H) s4. 按建模的目的分： ：
* x. a: b4 K# p! K; n预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
) y! ~$ ?6 J* w2 b! \5 X往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
: J2 {, c! d7 q/ J/ Y有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
; X  f9 k8 P% u, ?6 ]8 J7 N: W比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
- s3 n; Z7 U; e  z运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
9 I' Z5 T/ o: {# _2 C4 U1 、蒙特卡罗算法
2 |8 p4 ^7 Z( j: M该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
# Z2 Y  g- V7 j& P2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
# }, l! O+ j2 l" I法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
; m& K4 d& K* ~6 k0 q# K3 `这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
5 i& H( k& ]8 P( \5 J论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% A  I$ {4 v- `% h2 T, F0 U6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
' }$ z8 U5 k7 }, h0 x8 g) E( e, l3 B当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
& u" F6 z. `# I' s' }0 ?据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
( B8 }9 W9 ?6 d+ Q9 w9 、数值分析算法
  N. L. f2 f% Y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
4 A  L; K7 P, t7 \/ B' {如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
8 ~+ N1 J' S# q% b2 U. `& S# H3 A赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
* I! d# j7 x2 x5 [- }4 l! h的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
$ I2 \7 Y* G5 [/ }6 k9 {行处理
算法简介
/ O; q3 b8 q8 }8 v4 j/ H' w1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
7 Q! ]2 e# h' n+ L/ `9 h①数据样本点个数 6 个以上
9 L2 @) @( u" k9 m/ m+ I②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
2 V% q& h, q, H5 d3 d其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
6 _5 y- f* c9 k$ f' K) O& O找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
+ U9 K# I5 [/ h0 q3 p3 、回归分析预测 （ 一般） ）
# c0 i" S4 e, `! K0 M求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
# l8 r8 n$ K% ]( Q2 f! g①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
* {) J3 F. ]$ J5 b& V/ s2 t4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
' f5 `# B: U) w. ^9 v5 X% d6、 小波分析预测（高大上）
" C) q% N& f6 p) R8 w$ w, O数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
, b( G' ?+ c" s) q5 |4 t7 Z9 W预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
9 g8 S0 \$ y: c# N预测波动数据的函数。
* V5 P7 V9 j+ H' V6 O; r0 s+ n7 }- p  Y7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
  {; D3 T4 Y8 ~9 i/ D; M4 W4 R办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
2 T2 r1 e0 y. E9 u8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
  U  h) F$ D6 q逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
. c, }1 ?( S( q+ t5 z10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
+ M2 g4 s! R( r  q评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
" F2 V" x; S) `& a8 u, u& [" f11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
7 J: Z' \7 l% h/ t" ^6 A秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
% C6 H; S; R4 R法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
, G6 `" e. k2 Y/ Y3 R" x0 |" b似。
9 ~+ j7 _& k. @4 f14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
9 K+ H) n$ q* G8 A: ]评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
' O- t& @  N5 V4 J解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
$ t7 Z7 ~- x# Y1 p, G8 K+ x5 f的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
1 V8 v: X  ~: v8 t来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
% M- ^, d3 `' ]% d' m3 ^8 Y16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
& G8 @; N/ F4 D; D: n6 j+ C- f3 N方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
3 f& E2 [* \+ f) I. Q素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
! [0 v  a8 Q1 S4 Q0 i此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
( L' H4 Q5 f5 T, @7 @! u! \( x优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
9 m4 L- i% Q9 P( r智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
$ z1 {! `& w5 j6 g: A其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
: n# r) J" ^' L6 j4 C& R( n离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
; k* M1 I+ g' I6 d9 V即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
% j/ J3 y; Z- p! A) T: d1 X5 t21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
5 P- Q) A' u, u$ X射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
3 Q5 P6 X  W4 W% y+ X' Y1、聚类分析、
2、因子分析
7 L6 }: _; U' e* z; F. y3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
5 A  q8 |# G# J) F$ ^8 o从而达到降维的目的。
" L- o( M, G- l7 Q# [, M$ e* n, a4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
6 y4 f9 l* Q, ?" R3 d; b! l8 E3、层次聚类
& J5 W5 ]% f8 _6 N+ H, l9 }; p4、密度聚类
' B$ V1 |6 }/ l7 h+ u5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
+ \  [9 }2 o+ H' ]" ^+ B8 z( N25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
, E- {, G; v3 f8 S! w2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
8 @0 d) y" q: A& c1 {: \4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
" q. E, W1 d& [' s% O/ I8 ]7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# R3 f6 ?9 d8 ~3 a4 d/ i9、优势分析
3 m! C/ G8 q- Q' S% x26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

9 r& v2 d: t- H5 L5 O原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964