数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
) \. W1 x% K; J, T  m几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
' Z) ]. e, m$ A- p- F/ p型、马氏链模型等。
6 \) o8 H& S  B& D4 {2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
. C0 }; h2 V9 p# A7 s人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
3 Q7 ]# |$ D$ X预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
$ }8 X+ A: |# l$ m5 M- n5. 按对模型结构的了解程度分： ：
3 |$ u3 h1 L# w1 B1 ^/ x有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
4 {2 v0 I; R  n* D- ]: Z0 q& V1 @6. 按比赛命题方向分：
* X- B! Z7 q% ]国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
. [0 Y2 F* X% {) `5 Q, C该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
1 y+ q! g- R3 E* v. Y( k2 N以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
  S5 L) v+ V' Z2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
, O: q' T8 @' Q/ q6 x. U; W- ?通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
; z& W( W. P: s  m6 L7 b建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
9 i: I$ }5 r7 P% I( G: i法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
1 y! x4 w. N+ P2 a& y4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
! V) p; O- E; K# i6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
  X& t- o. U- K4 j5 p; J7 、网格算法和穷举法
3 p* ^  C7 o/ A3 u当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
+ v; a# D# }1 e9 U一些高级语言作为编程工具
/ H$ r+ u+ t& M' Y! Y. d5 B1 Z4 i8 、一些连续离散化方法
! J1 M$ \) z1 z, c. y1 @很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
0 o8 F: V0 n4 p% x3 }! r5 W) @据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
. e# d" `1 i* s$ I9 、数值分析算法
' A% `$ c% m# b' Y0 V5 E如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
; X* \' ~$ W) d4 ^) A+ o* F7 {7 L10 、图象处理算法
7 @" U6 G' H9 x3 p赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
, [6 t* q: {- J. n+ b的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
/ E/ e4 [8 S0 P+ P  Q. U个条件可用：
1 M  ]" d. u# s3 k①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
* f' L9 c/ [' i. l; J6 ~2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
. q6 K* y; m" ]* R( _' ?微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
3 f0 {7 ?9 ]; _: E2 ?- o9 L其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
+ V% v& x6 |) l& n' A找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
8 }" K+ _! B1 }* v$ v. G- E求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
  u3 [9 h" A  V9 s  H互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
5 i+ a2 D4 X4 k/ C6 C5 O$ l概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
: H/ x6 ]; G1 \& ~9 B预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
0 t* v" Y/ i" k3 u（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
/ x# F% @) V! `! z数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7 Z) H; Y" M1 j. m) H7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
6 C4 O- ^7 h3 W% h拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
- Z7 C1 l% m/ |2 y3 c" [在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
; d: m" Q" V& |0 H. c. g- y10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
. h, n) b. p' c" V$ v+ W0 {) ~, E评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
' x" S8 c! T3 u! @5 A12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
% |, D; {2 s3 `4 G4 r13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
9 R* F& f+ C( f- |0 E: \法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
: j! {! D* z8 \- g/ U- I8 S其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
! V1 k* X$ o* z- `8 B8 _评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
4 u9 W9 `4 R1 S. ]解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
* @8 N, U: J+ M1 Z( R15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
* [1 d; c  |8 ^. c可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
! J: b' {! O0 K3 O来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
- N2 a2 n1 I/ q2 H7 i8 O0 R% o方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
) D! N- e2 ?( f协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
' o! \" D, {3 T, F1 p# G8 F此外还有灵敏度分析，稳定性分析
9 j: k/ D% Q4 z( O. k" R17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
; f5 B" b: u( X) f9 ^优解。
! r- S, I! k3 w3 C" P* v7 [1 ~18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
9 [, ^5 C, }! B7 ~3 R; D: i; Y非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
8 P, t1 N) m' O8 U8 P: A4 ^' P智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
& b" ?7 j, _7 q& y3 E  U算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
9 Q# I) L8 {( }, g" D# V% R19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
6 t2 J& X9 S: h; s" x1 a" a离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
" h+ r( N$ o6 b# D" D排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
+ c5 k" G3 [, G4 I% o  mMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
& g' j0 d7 l, d4 ]2 P3 i0 M$ C23、 、 多元分析
* S$ b, y5 ]; G; i5 K. N! f8 P1、聚类分析、
2、因子分析
, K4 ?# T6 l# }. I( w+ P3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
5 {' `( E% K0 Y3 h. J# h+ M# X( x各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
$ q3 E7 h8 q+ \8 v/ G) B3 T8、偏最小二乘回归分析（较好）
: ]3 d, z% W1 N- K0 b/ V4 F7 c1 i24 、分类与判别
4 ?# O# U" W7 K- ?4 N  [5 M4 n主要包括以下几种方法，
' U, @! |) P. [2 M+ e# @8 Y" k1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
- i3 U9 h& i: h6 B4、密度聚类
5、其他聚类
/ Z7 W# w+ I. N+ _/ |0 ?6、贝叶斯判别（较好）
# c) B) l- U4 Z4 ]7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
' N7 k5 Y" y$ ?+ S( s7 f数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
" k- V' j0 U( E0 Z26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
5 v- x( J2 Y) U* b: Z$ ^量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
' w1 T: y1 u2 n; w8 ^率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
$ v2 @, q: V! ^0 g' u
原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964