数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
- o* c" K/ x7 O% [$ T1. 按模型的数学方法分：
& U8 ?! |& l" a+ t9 `7 |9 k8 q9 T% F' _) I几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
8 E7 Q7 X% s) w型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
  ]! V7 A& K- n) f' g+ h静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
: x2 t4 N9 h; E+ v' l. ~性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
, b! f5 l2 X9 {9 R, z/ X# m) K- \4. 按建模的目的分： ：
+ ^$ b; B, r5 U. q. {' P预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
6 c$ M4 a# }7 ]! F  h5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
4 n4 d) d' L5 N7 w3 ?比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
2 |) R# U. O. ]* q6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
0 i9 R! M) e( U: e  Q& t5 h数学建模十大算法
% G: q6 m: D/ k/ s1 、蒙特卡罗算法
( y! ^( N1 ?/ F1 {8 `该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
4 \3 I1 l* F2 Y8 \& l& p$ J* W9 s比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
$ y. g+ }" S, G' `) F3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
3 N; Y$ f5 P" o3 U  ]8 {( m建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
( C% D; y9 m0 V- U7 e法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
6 S! `& s9 e) g1 C: v: ?4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
; h# N8 j. Y8 F8 ?论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
  ]) [' @" n$ ?9 `* Q5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
* m8 K7 S* J( c; D( S帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
" w2 f" u8 ^- i# i7 d  Z  N+ E当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
; m9 B+ q0 y4 A7 J) k2 \如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
, [+ {* n; m) i! q$ W. b赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
6 i, O+ ^2 S7 ?1 G的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
& U. ^4 r# D+ o" e行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
' f0 O* Z; j' A1 B5 V9 q①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
" q: a) F$ {5 X$ J2 p7 z9 D6 W) s微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
% Z8 ]5 J6 N, U8 a2 d) Q其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
2 e& _  i3 \: @! A3 、回归分析预测 （ 一般） ）
8 N, ~* |, W2 v# s. x求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
" O7 O5 `- ]* K, ]9 i% R" l化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
7 }8 [) i- L; f" i; r8 l( d  n2 {; I8 E②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
9 s8 u$ |$ U; d8 e) P' T一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
0 A. S% F6 w' Z, [5、 时间序列预测
) g6 A4 `' q* D- e预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
' |, W. A+ W+ c- U（较好）。
6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
, _& N/ C$ R7 N# Y8 k办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
* O$ Q; i# f  Y8、 混沌序列预测（高大上）
5 `* I# K- R! m4 i1 g适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合 （ 一般） ）
3 I6 b. J0 i) P9 L% n( q$ i( w拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
! q1 ]/ c+ E" C8 {: k: o在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
: \3 w: w" x' K2 Y  c10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
  k* o. |$ C; }4 @/ b评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
* o) e2 W* F1 i, D; W: U) j0 N( w- q11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
8 f; K, B! X* a* B# s作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
& v! B, ]6 Y: ]6 a' W9 W似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
# F5 r% Q9 @" d) U8 k& T3 U其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
2 l9 ~" J, V( W- d6 _5 m! v解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
8 t2 U/ v: l! T# d可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
; K: }* h- t' Z3 z16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
7 S' s  A! @% A1 L, Q8 N方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
2 a8 {+ J8 D& A8 c6 n4 r# Q素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
; S4 s9 M" X4 V. M- }; M: c17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
# D; T4 N0 E7 ?模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
( m# B5 o1 c0 x优解。
! \/ e8 Z5 e. f  ~18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
* r& h* F  p/ F/ Q# j, h* j! y4 |非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
3 F' C! L. O4 [/ n" }# Y智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
/ Y' `0 G- Q4 M0 v5 X: K其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
2 X0 F" ~/ G+ y9 d" I1 r  l离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
1 Z  K% h/ `; L排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
* \* r0 f' r' _1 j5 z! _  x即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
9 w5 o) N2 e& n计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
. ~" V9 X% i  [, U7 B: B例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
8 ]7 @8 V5 k- M3 K* i5 Z22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
3 q; t8 o2 H! d" U( p, ^支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
+ n0 y2 ~( V) o! A射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
3 d* ~! X7 _4 x/ [, V  m$ T, N23、 、 多元分析
1、聚类分析、
" `2 p6 `# C* B2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
2 p' R' o, @! G1 f! @各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
' Q1 g% L: j2 d$ z9 [6 G从而达到降维的目的。
4、判别分析
, Z* \/ G4 Y& t- A& l) _( W+ T5、典型相关分析
6、对应分析
9 ^1 f/ L3 B- h/ R7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
- p& q3 ]$ H' ?- c5、其他聚类
, y: ^% }1 h8 k2 D+ V$ z3 P6、贝叶斯判别（较好）
2 m" z/ R# b3 ~' b0 R& x8 w& D7、费舍尔判别（较好）
4 L6 C* Q5 Y( X5 S8、模糊识别
25 、关联与因果
! A' b! O, d5 I( S5 V" S0 x1、灰色关联分析方法
; j. H/ F) I6 @* e0 R/ d" S2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
! r3 o/ d% z$ C- V, Z5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
1 {7 [  e& ^+ E1 c若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
( V- X* S$ q6 F3 ]3 s8、格兰杰因果检验
/ J# g/ z/ D3 ?/ Y$ I9 C计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
" O1 ?3 {& t& ]# s# S26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
" {; w) q7 p: U% }/ u4 O- m6 R4 I率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

) E* P' K* j8 b. f( a8 ^原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964
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