数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
/ Q! O( U: C+ Y: M$ s& v0 }2 @几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
' b' |0 G) }. v. p2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
: @/ {4 p- T1 H: o3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
3 ^. P1 l5 [- n. x' K一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
) X5 V6 M/ i1 s3 O. K往也和建模的目的对应
% }1 I: `. V- m+ P5. 按对模型结构的了解程度分： ：
# U$ `  M( I. h& Q有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
/ o  O/ {. B/ n6. 按比赛命题方向分：
3 O! X& |$ g1 A, |* Z$ N国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
" u* }* g8 W1 r. ~8 l8 H数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
5 N! O, U9 y+ A/ v# k' x; w2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
" \$ f0 e5 B: Z7 C, O, k3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! t5 \" A5 W' I建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
' q6 ~/ n: y5 d" |( \# G4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% Q4 k  X- ^# @6 E* a6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
. {+ M: C) C6 V  ~9 j帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
( A. d. Y1 ]7 Y) J- I7 、网格算法和穷举法
+ E, J2 e* q3 c: j: |. K当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
' C$ f5 N% g& q& I. L  [8 、一些连续离散化方法
. M& @6 }4 S& i! t9 O很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
: J  I3 i" [5 S/ v+ ~; c( G; a1 E9 、数值分析算法
4 O: v+ P2 c* ?- g; O5 |8 H如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 K( W: q) u% [9 n如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
( E/ N4 \5 `+ L行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
6 f, d& F# L, f( r解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
) L9 E" h) e1 ], x( q1 ?# U' q! ~. @①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
" t) q: `5 ^! Z  @5 n2 V% M8 K2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
7 u) r; j0 d1 ]其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
$ v+ |6 _; F' D9 r2 c+ }3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
7 N1 s; m1 d# k. I. I- X9 z3 R1 G化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
& p! ?8 m4 P9 L②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
/ m% h1 q5 {! K4、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
; e( I, |' v! c一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
! N: S/ a& I4 i  Q互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
' f+ H6 W- T: x& T6、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
. I7 g2 G7 k! _5 Q/ J/ B$ t预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
% g$ h0 s  j, Y7 A! u预测波动数据的函数。
7、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& H0 N, Y! s. T办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
( z9 p4 }6 u* x, k6 l$ p8、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
6 a4 ?6 {! u" U/ g0 W# R/ b4 F: K9、插值与拟合 （ 一般） ）
5 o9 [2 x% \8 p7 e拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
1 f$ G7 H1 b" r* ~' |在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
+ B. M" s, G% \' u+ l- z3 M评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
1 g* z6 w. N7 b' W( T11、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
) E3 ?+ \" Q* {8 Z( X% ^13、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
; k* V2 h, X( Z. B$ d, j* ]7 t法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! _+ Y3 a  |" ^$ [8 v3 W: F其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
/ Z7 v' }7 v5 x: S5 f评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
( k5 Z, [9 o+ d2 [; A可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
* r+ U2 ~6 y5 s该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
* a5 \+ S& R9 i% `17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
5 f8 X' X" I% ?9 J& e; `优解。
) M% A0 A- w) h4 U' T6 l; I( p) A18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
+ P; y, P* _: v8 ^: D1 M6 ^智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
6 c6 f' Y) y: |+ z$ ~其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
" o  G$ u" u! Z离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
0 O/ w" F+ ?0 D( t3 U排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
. H  R: P- g2 j即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
" |5 f$ b- M/ v/ z* o4 Q! g计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
1 W  W' H; x/ z( V8 h般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
% c* g3 h4 V* P& X# J2 |  {% W2 r- Y21 、图像处理 （ 较好） ）
: |" T. ?' J2 q) F6 q, S& r' b; BMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
1 I8 H" s  _4 P7 H; Q% U# }22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
  @, r1 N! ?4 j支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
: U4 d5 ?- h6 c) X7 l% X+ W射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
8 \# P& F& a- Z3 c% M各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
& k+ t, b; b/ ], B0 R4、判别分析
' l$ y+ `9 C5 F+ r# P! l5、典型相关分析
. Z; U7 d$ f1 q8 ?* K6、对应分析
: V  }: d( h2 h$ {7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
, K+ K' A  D8 P5 a$ q- d( p7 V0 G. [3 T主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
+ S  _& H1 t) ?- d2、关联性聚类
; W* j/ x1 A( }: }1 E6 f; w% ^% t' q3、层次聚类
4、密度聚类
) |& w6 f8 W( D. q* I3 n5、其他聚类
8 {0 U6 |) D) ^- r4 E5 F+ E- R6 F6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
! y$ Y) C5 O) v9 ^" m$ _  A8 b8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
# x' O  a1 g* A2 ^2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
; e/ P0 g, o/ f" Q3、Person 相关（样本点的个数比较多）
5 e' _  ?5 V5 {4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
) L% m# ^4 j0 x3 `2 e5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
' C5 ~8 N3 b' B4 l5 ^$ y: L+ M若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
) C7 e. p- m: G' a3 F/ j, _: P数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
7 r9 ]# P1 G$ D/ g1 }% S# R计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
- z( C% s) h3 {5 r, h26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
, h% x/ V( Z: Q- j量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

# q) l7 l6 E1 L& b' s原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_40539952/article/details/79450964