中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
1 @# ^4 w6 l+ D7 \9 O0 L微分方程问题
9 v9 B  z0 T  \; I8 z微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
2 J/ i6 r8 B2 T0 z" Q2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
( l$ L% Y; q; F3 {  E/ `) X常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
9 V9 G& o$ q6 r1 r5 v

几类微分方程的应用实例
& V* ^5 R1 f" j1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：
- n5 K* Q- S. [" S, u! R
& `2 t3 k7 u4 q! p
第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
. q4 T) Z# ~6 D! F' ^! L) m
1 P3 Q& Y  }8 A
2 W; n+ |& N! w/ L# [& Cclc,clear
a=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
+ e# ^: r; d% m/ vx=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
9 P1 h) R2 P9 h) o' h" P3 l8 ex=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
( T2 F+ J3 a" |fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
% {- q0 K. @$ Ecs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
) m& ^8 p! A& ?1
: p# l3 R) X4 I9 y+ A2 G* }+ ?( j2
3
. h5 A) X4 _1 q$ r" ?4
& P/ G% @, w5 F! }- ~4 c5
6
7
$ h. v+ @5 Q  B7 o8 B. a+ R  A0 K8
9
) [2 i- a: M( w- O( D& \2 z7 `: s第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）


; \$ r$ [1 \7 Z8 J

: A4 ]: e9 s; g4 i- |$ f9 s! ~clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
' X1 @! X. B: i# }7 Ub=diff(x)./x(2:end)/10;
7 ]/ e8 x0 f- j2 q# fcs=a\b;
4 L" G- p$ o! Dr=cs(1);xm=r/cs(2);
2 q9 T0 C% f* R7 W, t6 ^" o1
1 }! u7 \- D2 X- F+ l- J2
& V! T" J) L5 e; C' Y* U6 \( S4 Q3
4
1 Q7 }- Z: M! M& D3 Q4 W6 M5
, m6 e! q6 @0 M1 w- M  M4 X6
7
8


# E; A2 |9 |5 z/ I; p; {5 h. Q2 |

clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
3 Y: ~  z& C+ [! ^7 O: s% @* nt=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
* p: M+ Y" [' {9 J" ^# y  ?cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
9 ]8 |4 Z7 y. Y4 a$ o2 S6 @2
3
2 s6 u1 j$ a: i$ @4 T- E" e6 z9 s* C% _4
5
6
7
( h- |' h. N0 r5 @8
/ O( f* u3 I* }2 a) h参考文献
) R( t9 z% z3 c司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
# l, }  ?0 x5 U6 j————————————————
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