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[美赛经验] (原创笔记)《数学模型》学习笔记(姜启源老师第三版)可作预习、辅助、大纲 - 公开欢

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    发表于 2012-7-19 11:00 |只看该作者 |倒序浏览
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    本帖最后由 sdccumcm 于 2014-1-8 12:39 编辑
    7 ?  R* J7 v/ U  E, h* @3 ?
    - j( D. e9 U7 K8 g$ I
    《数学模型(第三版)》学习笔记

    : |4 o5 w; I: H9 H3 E6 s写在开始
    ' s+ M* S( Q; U6 r7 C; p      今天第一次归纳、复习,整理思路重点,从最后两章(除了“其他模型”)开始,想可能印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距,自己也是自学看书,非常希望各位提出宝贵意见,内容、学习方法经验上的都是.
    ' K0 G/ {  ~, i2 `      整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:+ G& e3 H4 {4 n4 a& P* Y0 L9 Q
    - ^  w- ?; i" @+ R
    (一)  “实际—>模型”的建模过程很关键,本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”,但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了;
    5 ?* V5 p  F' u; h# b8 n" }  u! B(二)  模型求解之后的处理,许多地方似乎求解完毕可以结束,但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释”,目的不一,要看进程而定,有的促进了模型的改进,有的对数学结果做出了现实对应的解释(这一点建模过程中也经常做,就是做几步解释一下实际意义),也还有纯数学分析的,这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面的求解似乎是家常便饭了;5 w. `) w! J' u9 y
    (三)  用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程,这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性,同时书中也设计到了一些(虽是浅浅涉及)新的数学知识和技巧,许多我在读的过程中只是试图了解这个思想,而推导过程未能花很多时间琢磨,但即便如此,还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生)。
    # `" s; x3 i. O6 b5 e. X
    2 U  L- o& G9 l4 m8 p      从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。最近学习任务比较多,所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起每天做2章的小结,既是复习总结重点,也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
    ; H# _4 `5 y: q8 ]4 X4 Y     也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~
    1 J& ?% q8 f. }4 }8 X                                                                                                                 ——Tony Sun   July 2012, TJU
    * v, O2 D$ f/ \; P, }, O
    . d. Z* k: }2 {; `
    (目前已更新:全12章)

    0 X3 P+ `% y7 ]0 y: K- P! l0 l% W- h2 \; U' U, Y4 p0 |
    第1章 建立数学模型* H& `, ~8 }/ q4 Z4 K
    关键词:数学模型 意义 特点
       
    : S- E/ p, p/ [  Z0 I: o9 F  h2 B   第1章是引入的一章,对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种,是我们用来研究问题、做实验的工具之一,只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点,而且我们可以根据建模实际需要改变模型,成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。9 Z$ x" k4 g! N/ y" L* J4 W
       椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简单的数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。' K9 Y# Z' T( T

    6 |, b/ Q/ u. P/ R: i1 X  p/ B2 D& Y
    第2章 初等模型) W# E3 ?1 a$ j* L) a5 J$ J
    关键词:初等数学 简化技巧 思想
    6 v7 a: A6 w1 R$ u; Q
        这一章顾名思义,是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型,虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想确实十分重要的。2 o' ^! F  y* O7 \! h
        如何把问题做恰当的简化,到简单的数学工具能够表示、求解的程度,本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。6 {9 s% l8 @  S, V
        2.1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思的是,在考虑是否存在一个理论上公平的分配方法时,根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理,得出的结论却是:不存在满足上述公理的分配方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。  这给我们什么启示呢?有些问题和工作,比如公平席位的分配,日常中是一定要做的,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平的分配方法时,我们还有分配的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是有意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分配方法,抑或,就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”,看能否通过删改公理来取得更公平方案。
    8 A- O" w' P" i    录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用日常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析,这里每个例子中的分析,求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键,阐述现象。
    6 `  d1 ]8 x8 l  B3 n* x    2.7 实物交换——是后面经济学模型的雏形,无差别曲线的图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量的数据;核军备竞赛一节,也是一个动态的变化过程,基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……),而这些信息都一一对应着它们的实际意义;有些即使没有明显的含义,但也很可能为接下来的铺垫、预测作下铺垫。7 i+ @4 }- A' U3 i) n
         2.10 量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大致来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正/负相关),系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”(等式两端必须保持量纲的一致)来确定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。  关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数的个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。
    1 ^7 J4 a5 Q/ R7 ~( @
    - K4 A8 p) f, W. ~/ A1 y  q! E第2章小结:- V% L- p$ _7 \& C$ T: u5 V% y
        本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法,很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。
    1 A2 o7 n% B4 K1 j) c2 n/ l
    ' |- R% x( k* Z% E% D, }

    - t) I: Q9 K2 X- s: C第3章 简单的优化模型
    . Y% D7 R1 d# [0 Q6 K& e关键词:简单优化 微分法 建模思想
    6 L  o$ @3 r' ]
        本章与第4章连续两章都是优化、规划的问题,可以看成一类问题——内容上也是由简单到复杂。在第3章中,主要是几个简单的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但是还是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释的思想,是我们要学习和引入脑中的。7 C- C; ^9 ^) e# ^+ P  i: t1 {: k1 N' j
    + z- W6 X* ?: Q' f! X; ?$ s
    3.1 存贮模型! Z& S8 s7 B/ {2 M! P
        分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q(t)作图,观察规律,对结果解释。
    % l/ Z" R" ?# ~: Y0 x% h4 k6 M3.2 生猪出售时机
    $ v( f, \- M4 y; P7 |    关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。1 r% M* C1 g8 H) e# o# f
    3.3 森林救火
    ( g  `* c4 z) W. J0 j    亮点是对火势蔓延程度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设对应的实际解释。只要合理、自圆其说,就是一个好的对实际问题的简化。4 }/ ^1 @& Y2 h
    3.4 最优价格
    : t0 `+ S/ t( X+ i1 x& C. H( z    主要是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
    " a$ y! ]+ n7 n. L2 b3.5 血管分支
    7 r* A) v" C- f4 W0 x  F" a    是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力的假设代之。
    . `/ @7 x! ]2 j0 h- P7 [1 \; Z3.6 消费者的选择
    5 V6 V' y; ^) {" ?; l% g; P/ Z7 {7 Y    一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于确定效用函数U(q1,q1)。
    ( ~0 y& M' o# G0 f3.7 冰山运输
    & p6 S! e( D$ V' `. y$ V; C    也是很有趣的问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二是假设冰山为球形,简化了融化规律等的计算。/ B8 H7 G  y0 E
    8 X% d3 @) ~' _  e" q- P6 }7 E
    4 p8 _- A7 H$ U/ }9 d
    第4章 数学规划模型
    $ ^" v9 _+ X0 @% I& f- i& `/ H关键词:数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数

    " [. W$ i) |1 L) q! [: e    约束条件、可行域、目标函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质,和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
    ! g' S6 ^% z' k
    8 E+ Y2 q8 U! |8 Q, N1 h2 F* M5 f4 T    这一章内容不少,但都是一类问题,主要点有几个:
    ; M- _7 z, H) [+ ~1. lingo、lindo求解的使用——运行结果中还有一些平时未留意的信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;$ b* t5 z7 O5 H# R
    2. 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102的式(19);
    9 x$ J6 r- Z" X  w: A# D& {7 ]3. 多目标规划的处理,p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目标,从而化为单目标规划;
    * c' Q  p4 }% ~4. 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种further discussion的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句:“这是偶然的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p109选课策略。
      O  u. z" k4 {6 j: j+ a0 J5. 减少变量个数,简化模型、式子(简化起见,同时lingo对变量个数有限制),p115销售的例子。
    ( f0 a/ c( \, m2 Q) x: @6. 求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
    4 s" t; z1 u8 m# [
    0 I- H& m/ \$ X5 ]. Q+ ~! ^8 F
    5 ?$ p  P2 w/ T/ E9 i, _: c
    第5章 微分方程模型1 r4 W$ c0 f' r  Z% R
    关键词:动态模型 合理假设 分析预测 控制

    8 w# d: |8 e& Q# U1 M0 }1 X' F( B    这一章是非常经典的一章,对微分方程模型作了很好的诠释、介绍,每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态,当我们要 1)分析变化规律;2)预测;3)研究如何控制它的时候,就要建立相应的微分方程模型。* f% G, ~* K5 V1 T' |4 _
        自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
    . ~( x4 l% q% M! \6 M# ]
    4 |3 O9 V8 r4 ~! F0 q# J5.1 传染病模型; y5 v( M5 f! j
        本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例,模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者),SIS(已感染者可以被治愈,重新变为易感染者),SIR(治愈后具免疫力,即增加了“移出者”)。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法,是很有力的工具,后面多次用到,这一节有很详细的介绍。
    6 e0 ]* k$ R: D7 [- W- R; Z    模型改进、建模目的性方法三者配合,是本节亮点。
    ' ^) s- V( s8 g5.2 经济增长模型

    . B1 o0 G- B$ e* L7 E' I9 O4 G    通过建立产值与1)资金;2)劳动力之间的关系,来研究1)资金与劳动力的最佳分配,使效益最大;2)如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。
    * J% }$ K8 k5 L7 i2 ]2 b$ u, F# t    本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。' @, b& K. _. ]7 C. }
    5.3 正规战与游击战  d* l0 R# f. J1 g5 A* W- u% L
        这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方的特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。
    : ?8 A3 F: }& W# g: B( b5.4 药物在体内的分布与排除
    5 x/ e8 m# c' R( l- F    本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1)模型的假设:尽管是简化,但由临床试验证明是正确的,可以接受;2)对参数的估计。
    # H) a- b/ R" D! n% N* T先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。3 s1 Q* L8 e- X* c4 T; Y
    5.5 香烟过滤嘴的作用: }4 f1 _- b  F9 `
        看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。8 g. k# P1 R8 t4 E- E+ |/ }/ E
    5.6 人口的预测和控制
    ' Z3 I7 o* i7 W    本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。% D% o( R3 Y, p$ T; b, u6 [; o1 H
    5.7 烟雾的扩散与消失% K! i* ~! o! L; G! V
        这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身是客观存在的,并非虚构,这样更加有说服力。; g& n2 k8 _7 X% o* c5 D5 B$ Q
    5.8 万有引力定律的发现
    - v# t$ I4 }* h1 ~8 O    十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题的能力。
    # E9 P  S& l- x  g! r$ q1 G5 T4 a# T! ^' _$ y: W. |" `

    & p. H  G8 O6 `* `$ h- n
    第6章 稳定性模型1 |) k5 A8 l3 k0 J  C3 U" [
    关键词:稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线
    6 t- H+ J0 I( Y2 @! m
        本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念,那就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程的每个瞬时状态,而是研究稳定状态的特征,特别是时间充分长以后的状态/趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组),即“建而不解”;而是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。( ?, p$ C( c; J% E' s" Q

    $ }1 s1 X0 f. ?% {. J( i+ l; u*6.6 微分方程稳定性理论简介
    3 w/ ?: G- k/ [6 F2 t9 m   这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。& S9 k& Z4 U7 S' t+ O
    ; }* T. E: e* C# y0 u# v# t
    6.1 捕鱼业的持续收获" \- l8 _; u2 F* ~( j, `
        研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步深入。3 M8 q. A6 X7 H/ _4 O1 E9 \
    6.2 军备竞赛
    ' O6 }- X# a) y2 P# I    这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只是想告诉我们:一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到的结果又怎样解释实际现象。0 b  h3 C5 s( n  ]0 p# E% F
    6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 食饵-捕食者模型
    / ~# v0 l: {! M) ~/ n    这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它的意义在于:从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点对应的意义作出解释。. w# W$ T8 W# H7 K7 U
    , K' i  e( S4 c5 B- R) j# n5 `
    " y  `% C: B$ m) O+ @! ^/ W, `5 u# B
    ; V# F& d! ~+ _0 f/ ~
    第7章 差分方程模型0 o3 [  h* t. ^! H" J
    关键词:差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌
    7 _9 H1 n4 l* g8 @
        将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于,便于计算机求解。
    2 S* T- [1 |9 i. F" z/ u  h9 n; R1 L5 f. ~& B4 @$ t
    7.5 差分方程简介:介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。' E* j9 X! s3 {! `& @6 p9 o
    7.1 市场经济中的蛛网模型/ h. Y; K2 C3 n0 `. r
        先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”,给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。$ H& b" J( S% E0 d, O
        本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而是要时刻不忘解释相对应的原因。0 K. U& A1 D! ?$ r% O
    7.2 减肥计划——节食与运动0 y( J  W  A6 y4 e5 |
        这是一个很生活的问题,主要讨论如何把一个“超重”的人减到目标的正常范围内(均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。! r3 y* u& E9 O! T" T. i0 w
        我认为这个模型的两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p208的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到,式(1)其实是一个“建而不解”的方程。
    . H6 t7 {" E5 ?/ P3 o( B- v" Z    但正如节末评注中所述,实际参数的设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。
    0 f( e4 Y1 X1 b7.3 差分形式的阻滞增长模型
    1 h3 m, t# a8 m; T    此节是与之前用微分方程Logistic规律描述的“阻滞增长”规律最好的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便,本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只是想要每个时段的数量)& j: t2 }% n6 k6 `
        要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211的式(6)后,这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”,但注意:此处“不解”是指不需求通项公式,但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。) s1 U! c: n5 ?8 B2 w" j0 I1 W4 `
        P212中,通过深入讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象(Chaos)。
    ( X& h- I9 L& Y5 P    混沌的特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。# @" Y, |( g! I
    7.4 按年龄分组的种群增长
    ) b* f% a( X  X+ T9 j- M! ~& @& ~    这个模型的主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。/ o# m- c" r0 ^  g9 N3 u

    - \) r  i* _0 C+ h9 I3 c1 c5 s
    9 i& ?9 [. G9 }* o4 b1 F
    第8章 离散模型4 h+ Q9 T! E- |7 z" x7 S% B
    关键词:层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策
    " z; E- B' U& g. R  M, L' L! t(本章是确定性离散模型的应用、方法)
    - F) g3 o# l) V/ s' y
    2 x+ Y) w0 [# {
    8.1 层次分析模型
    8 P/ y& s! U5 j- ~: r
        社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1)“成对比较矩阵”的确定及修正,2)特征根法求权向量的原理(重要),3)1-9比较尺度(Satty等人提出),4)一致性检验。
    ; W$ W, j$ y% ?+ D8.2 循环比赛的名次
    & J4 v( _# S9 T, a    这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想是本模型的关键,而且简单易用易理解。
    " r; b# t9 a" Z! v- o. L* _    对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据,或实际意义,是此思想的关键,我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(p246)
      B* w5 i! T# ~) P" y! p2 a. Y8.3 社会经济系统的冲量过程
    - @- R, T0 l! y) ], ~    区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近20年来发展起来的解决复杂系统的有力工具。
    7 a8 x* z7 j0 }8 z. P    这节模型研究能源系统中,各个因素的趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权的有向图,冲量过程(类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。# d( X( n# z4 l6 p! h4 D5 n
    8.4 效益的合理分配" Y, ^. Z  ~" ]+ X6 I; f* _
        几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁的功劳最大?也就是说,干完活后,如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。. B- l6 S& d/ o7 ^# U
    本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。' C5 N4 s  C+ x0 l9 P
    8.5 存在公正的选举规则吗
    ( J) x6 Z+ i* {& L' m6 `    这一节类似第2章的“公平席位”。主要讨论的是“群体决策”这一类问题。; x% r* j; ~/ i2 l1 i9 m
        首先是简单的选举规则。
    % c( |! E" u0 m9 X    接着介绍Arrow K的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。
    # w- y. ~! Y' u2 b    然后是联合尺度选举规则,它是一个简单易行的规则(但是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理)。
    . b8 J/ E. R" ^* L8 ^    最后是一种与Arrow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。
    / S9 Z- h  \6 S7 Z1 [2 c7 n! d/ M4 D0 U" Y+ S) @9 ^2 x0 }
    6 F$ t0 E3 ]7 x+ d0 q
    第9章 概率模型! K% i2 K7 S9 v& x1 @; G
    关键词:随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析
    ! a7 I1 Y4 k9 c+ ]7 ?' v1 ~- H
        相对“确定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简单的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素的。
    ! r0 [" u! Z; |, {7 S    关键点有:1 {' r# r) s- r. ~1 O
    1. 如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题,做好定义是开始工作的根本。
    1 i% `9 G. Y* F& I9 G2. 随机概率模型一般从离散角度(一个个时段)下手,但求解中为了需要可能会转化为连续(如p274的求和转化为积分)。
    ! }2 B$ L  o& j6 j1 d2 d3. 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。
    7 I  L: ~6 M+ D# T4 S4. 一般的“生灭过程”参考9.5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般,考虑的因素更多,更接近实际。0 q6 G9 t- G8 q7 S5 y) Z4 p
    5. 有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.6预订票策略)。
    7 ?9 I/ M1 P4 W
    " W) u8 \  }* o0 u. k7 R* V5 A" t% K4 j0 j
    第10章 统计回归模型
    3 A- C$ _6 h3 F0 @关键词:数据拟合 MATLAB统计 残差分析 自相关 逐步回归
    1 b  [5 O+ N: o5 C. i
        对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题,我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。
    , N2 g0 E9 X* i6 q    关键点有:9 Y5 Q. w6 C3 M0 A2 R
    1. 做散点图,大致判断函数趋势(比如有明显的线性增长),确定方程形式,待定系数。
    & }( T! d! j  t- u" z* X. }) c2. 用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,R^2、F)。5 d' X: ~: G; e/ U# L- G. p
    3. (考虑实际问题制约)适当引入变量简化问题,如10.1中引入价格差(p297最后一段说明)。  u% y- A+ e, o
    4. 利用好回归变量的预测(置信)区间。. f9 J7 F6 c6 b0 S
    5. 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p300)。
    ' _6 w$ b& k: @1 I  L4 J. C6. 残差分析(p305,但这页我未看懂具体做法,待交流),及分析得出的结论,我们应该怎样改进模型。
    8 ?7 I2 n) x  o& c8 c2 B7. p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
    . H4 K, G9 ~5 W+ r/ s8. 线性化(p309),及非线性MATLAB求解(p310);p315最后两段。
    ) X  S" D4 m  b  w# }9. 自相关的考虑(10.4节):若存在自相关性(具有滞后性,即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检验、广义差分法),同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。5 ^: l7 G  p! Y, `
    10. 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著的变量。
    8 z1 X/ z5 m0 |: W; Y2 B! Y: C1 ~! ]0 t+ F

    0 F  h& ^% s. [, ^0 Z; v
    第11章 马氏链模型0 \1 J+ a% w& F
    关键词:离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取

    " {; ]4 D+ r7 f' Q基本概念
    # N/ B* N0 ^  S% ]    这一章介绍了处理离散随机过程的重要工具——马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链的主要思想。) \/ |, v" N% z& E- h5 E
    1. 无后效性/Markov性: 系统在每个时期所处的状态时随机的,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1)这个时期状态 2)转移概率,与以前各时期状态无关。
    7 y/ n" z' ~  n. b% f( Z4 A3 y2. 马氏链(Markov Chain)模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性的,时间状态均离散的随即转移过程。4 n! C- Y# C* |7 C# T/ V% d+ M
    3. 一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链处理。
    0 ?" _' m3 Y) h* L
    3 N6 M- f$ y# I- ~8 a一、健康与疾病% b5 e  P% P8 O
        主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统的状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。; P. Z1 a. _  ~6 D! w
        同时介绍2种主要类型——2 K! c+ R2 Z( y1 F7 r2 `0 \
        1)正则链:从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);9 R# i# H5 h+ r
        2)吸收链:首先引入吸收状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。  吸收链是(至少)存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。7 E7 f( b" x: h
    二、钢琴销售的存贮策略
    7 w$ i9 [% ?5 \4 K" Q! \    动态随机存贮。一个简化的存贮模型,关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设置和求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就是达到稳态后的情况,然后用全概率公式算出失去销售机会的可能性。 这个模型虽然简单,但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。9 h7 V6 A- C" p
    三、基因遗传- G7 N, q. F6 O$ R; l1 o
        用马氏链模型研究遗传过程,关键是建模的过程——即选取系统的状态,这在“随机交配”和“近亲繁殖”中需用不同的设法。  随机交配过程推导的结果是 (p^2, 2pq, q^2) 分布将保持下去,即遗传学中的Hardy-Weinberg平稳定律;然而,近亲繁殖中,得到的转移矩阵发现是一个“吸收链”——即如果近亲结婚的话,若干代繁殖终将变成全是优种/全是劣种,并保持下去。这两个结论(虽然在理想化假设下)与我们之前的认识是很一致的,从中加深了马氏链的理解。5 N+ V2 E1 [1 J2 M: a4 t
    四、等级结构
    0 X$ n0 j6 o( x3 z- O& z    这个模型是用马氏链研究一个群体中各个个体等级分布变化情况,目标是研究等级分布变化规律,假设总人数不变。然后用某种途径让群体等级分布达到想要的稳定状态。9 q" f" l4 T/ o0 c% n% T3 Z7 l
        重点在于变量的设置,以及还是状态设置、模型建立过程。  建模过后,先用“调入比例”这一现实中可控的量进行稳定控制,其中有“稳定域”的构造、分析。 然后是具体如何用调入比例,进行动态调节,实则转化为了一步步优化问题,动态调节的过程是一步接一步的,有重复循环的操作规律。这里也很好地体现了马氏链的“离散”特性,以及给编程创造了机会。
    + z8 M$ [1 `( R五、资金流通" m& u  t/ j( i+ Y9 O' g
        基本与等级结构一样,一系列推导最后总结出步骤,先判断稳定能否达到,若能达到,则由公式算出每年应如何投放资金。  与等级模型不同在于:各地区资金进出可正可负;所有地区资金总和可以变化。; ^5 ]# W4 r" M) {2 Q( J# A$ S

    ! |( d9 N. b+ I7 J/ Q* V第11章小结:
    ' R% v  Z+ b8 A    虽然只有短短5节,但是几个模型由浅入深,循序渐进,学习中有逐渐清晰的感觉。过程的推导复杂度适中,具体问题具体分析的思想很经典。这章算是马氏链模型的基础,虽是基础但案例、思想也足够典型,是今后解决离散随机过程很有力的工具。
    ' ~8 J5 d" v9 D! e( j& V( x& c' m+ F, I0 K8 t* ^
    第12章 动态优化模型. ?0 v+ z) a3 z) Y
    关键词:泛函极值 变分法 动态规划 最短路
    4 t* Y  B- r% F+ t$ l% S# u" d
    基本概念
    " {, K+ ]4 K$ x, ?. t    本章介绍动态优化,优化目标,虽然优化目标仍然是数值,但最优策略是一个函数。连续过程归结于求泛函的极值问题(几个模型中一直体现),方法有古典变分法、最优控制论。几个例子都是能用古典变分法解决的,而离散过程则用动态规划求解。+ z& L! ?5 Z4 `* c: P! D

    % Q) f; _1 |) v0 ?7 A+ ?    第一节先用“速降线”和“短程线”两个17世纪末的物理模型引出变分法基本概念,和后面要用的结果;同时介绍泛函、泛函极值概念。
    ' q  E  [# e2 a    这一章的数学知识、推导比较繁杂(尤其是对于没接触过泛函等概念的学生),2、3、4、5节(生产计划制订、国民收入增长、渔船出海、赛跑速度)均是连续动态优化的典型问题,许多都是归结于泛函极值的问题。尤其是“渔船出海”,实属一个经济学的典例,这个经济策略分析中再次很好地体现了数学技巧、实际问题结合的巧妙。
    3 \) B" Y9 [$ ~; Z' t1 }    第6节多阶段最优生产计划属于离散动态优化,用动态规划求解,转化为最短路问题,当中对最短路问题的算法做出了详细解释。 分别对确定需求、随机需求的生产计划制订方法给出了推导思路。2 \$ S) m6 R8 ?1 }$ T: ~

    - }) \1 p; t$ O) g8 i1 g) ~; i3 A! x3 i+ v

    8 X% R* n* N" K5 p! I, b      一点自己的感想。笔记总结得不大好,但我的物理老师说过:做比不做强!因此我只好硬着头皮小结了~  望指教!
    $ Q: J1 }8 s% X4 o6 T- g9 {/ t   3 p3 Y6 X% y; o5 M+ k7 u! G# {! }
           自己的其他感想、学习心得,
    欢迎交流
    9 `  K( |7 k: }3 V5 Z) dMCM论文精析课程小结——2012.5.20
    5 u1 d1 N6 H  e7 O点上希望的蜡烛——每年一度的聚会,记2012全国大学生数模竞赛
    5 G+ n7 O* \, ~+ e2013MCM, 平淡不平凡
    - k$ e5 z! ]6 e& v! H0 |( E# u  n

    + ?  B' P7 o4 {. j: N附:感谢你认真阅读(或扫视)完这篇学习笔记性质的稿子,感谢你的兴趣,同时期待你能在建模学习中获得启发、更上一个台阶。对于短期/初期体验竞赛的同学,了解一些简单概念和思维,就像这本书中略读一些章节,再编一些经典的算法程序,是很好的敲门砖;对于长期学习建模的同学,固然要找机会夯实基础("内功"),也建议在学习过程中多思考,不仅是为了抓住知识的主干,更是为了发掘自己的兴趣,获得对自己今后读研、工作的启发。
    : u$ j: {5 C+ I; w    本人现为一大四学生,在竞赛一线活跃度肯定不如各位,但之前的9次建模课题、4次竞赛的确给我帮助很大:开阔视野、团队合作、实际技术、责任意识。 知识学了就会有用的,不管是由于一阵没用而生疏,还是一直在加深印象。我一直相信这一点,并希望各位共勉,珍惜本科的时光,给自己多一些充实(英文中用"enrich"较合适)——因为不像金钱钞票或实物,这些知识能力、包括好的身体素质,是别人带不走的。
    7 o. a! _# Z/ z6 r2 v- Y9 D3 s2 |                                                                      ——2013年12月20日
    + H% n2 o2 D. B! i2 r* Z

    & {5 z* z8 d) N" @4 S3 W
    9 v& n! |3 e: O( `+ G6 X" o关于论坛体力:如果是刚加论坛准备长期学习,而下载体力不够的同学,可以给我发信息/回复帖子/加好友,写明大概需要多少点(如50)及下载资料类型,我可以直接转给你。  或者我记得可以用支付宝转账,好像1元对应30点;或者平时签到/分享帖子/写日志 都可以加不少(但不建议连续水回复一个帖子多次)。)
    ! j, h& n6 v! f) R: N  N+ c

    & O' b) p! |6 p! T3 ?. w6 Y

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    poster_04.jpg

    《数学模型(第三版)习题解答》.pdf

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    《数学模型(第三版)》.pdf

    18.98 MB, 下载次数: 1909, 下载积分: 体力 -2 点

    好书,可以考虑买本来学~

    优化Lingo笔记.pdf

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    这个仅是一点书的截图

    《LINGO和Excel在数学建模中的应用》.pdf

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    13506769794  超给力的!!!  发表于 2021-8-13 14:06
    13506769794  。。。。。。。。。  发表于 2021-8-13 14:05
    13506769794  。。。。。。。。。  发表于 2021-8-13 14:04
    周少侠在江湖  很不错,鼓励共享  发表于 2017-7-27 16:26
    阳光照耀的日子  确实不错  发表于 2016-6-10 11:53
    zan
    已有 4 人评分体力 收起 理由
    总有以后 + 20 一次很好的学习
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    白加黑  第一次参加,有种无从下手的感觉,怎么办??  详情 回复 发表于 2015-7-13 22:11
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    # P" s% S- M' v; c& y/ ^$ V2 c欢迎讨论啊
    8 Q3 h0 V3 J% @
    欢迎提意见~

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    sdccumcm  ………………………………  发表于 2012-7-24 09:19
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    雾柳 发表于 2012-7-25 10:56 4 d0 |% Z3 h+ L
    是要多多回复
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    呵呵~~~~
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    雾柳 发表于 2012-7-25 15:31
    7 l8 @/ _. {. z7 Q% o$ t不太好笑耶

    # o. g3 g) A9 Z5 ], ~8 D/ H/ L   额……
      P1 P# v$ g- R欢迎提出宝贵意见啊,有问题直接指出哈~~~
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    sdccumcm  额……………………………………………………………………  发表于 2012-7-27 09:46
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    sdccumcm 发表于 2012-7-26 23:25
    0 D; S; W2 s  Q1 s1 T1 c今天决定比计划提前做完总结,本来晚上已经写好,但数学中国一直上不上,换几种网也是很卡,直到较晚才上。 ...
    + r' A# D3 t% f1 y" J& Q1 E! T
    大家多多包涵!
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