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本帖最后由 aqua2001 于 2010-10-30 22:23 编辑
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我现在大概明白你想说的意思了。不过,我先冒昧地猜测一下你的情况。瞎猜的,说错了请多多包涵。我猜你大概没系统地学过域论,但是看过一些讲解三等分角问题的通俗读物。因为通俗读物力求简洁,并不注意严密性,所以可能给你造成了一些误导。事实上,在对待三等分角和二等分角的时候,所谓“判别准则”并无任何不同,没有你所说的有时有“有理”二字、有时没有“有理”二字的问题。
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& ?) f+ A3 l- g; U' r/ h2 i9 G9 j下面我帮你大致梳理一下思路,看看是否能变得清晰一些。下面的思路可能你有所了解,但还是烦请仔细看下去。( z+ z1 \$ H- t5 w9 C
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1:解析几何的方法就是把平面图形放到坐标系里,所以点就成了坐标,而图形就成了方程。圆是二次方程,直线是一次方程。而使用尺规作图,能做出来的点,也就是一些一次和二次方程组的解。2 m# k8 I5 G1 h
2:利用一些已知的点,列一个一次和二次方程组,再进行求解,我们可以理解成:把这些已知数字进行有理运算和开平方的运算。事实上,我们再不需要另外的运算,就足够把解写出来了。
8 n- _! P! v, A2 ?0 m3:对三等分角问题而言,以已知角(可以叫做角x)的顶点做一个圆,可以把已知角的余弦轻易地表示成线段的长度(这里我说得也不严格,其实是假设圆的半径为r,那么余弦的r倍可以轻松地表示出来。但是我们如果就把r理解成1,也并不影响整体的结果,所以我们此处一律把r看成1)。同样,如果能把任何一个角的余弦长度表示出来,也可以轻松地做出这个角度。0 _5 _/ e# L$ B, [! Y* Q& _& K0 C
4:放在坐标系里看这个问题,就等于说:只要我们用尺规做出的点,其坐标能够是cos(x/3),那么想达到三等分角的目的就很简单了。如果用尺规绝不可能做出坐标为cos(x/3)的点,那说明三等分角也是做不到的。0 b! j1 \' }4 j% z" ^
5:根据三倍角公式(我就不往上打了),cos(x/3)可以看成一个三次方程的根。这个三次方程的系数里,除了几个公式里的系数外,只有cos(x)这个已知量。到了这一步,我们只需要判定:这个方程的根,是否能够通过把系数进行有理运算和开平方就足以表示出来?$ ~; s z( L. L$ K+ G
6:很遗憾,这个三次方程不行。这一步的一般论述要用到Galois开创的方法。不过其实也有简单一些的介绍,我就不详细说了。2 U( s, Z+ }. A4 K4 n( d
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以上大概就是证明的大体思路。事实上,我们应该关心的是:根能否通过已知数的有理运算和平方根表示出来(此处的已知数包括公式里的系数和题目已给的cos(x)。)。对二等分角的问题而言,二倍角公式导致的那个方程是个二次方程,其根恰好能被已知数的有理运算和平方根表示出来,所以二等分角是可以用尺规来做的。5 Y% W! W# j, o0 x8 [" Q5 g$ T; G
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在证明的过程里,并没有提到“已知有理数”的问题。我猜你之所以有这个印象,是因为许多通俗读物里,不去抽象地讲系数和根的关系,只给举个反例(一般都举60度)就反驳了三等分任意角的可能性。而cos60度恰好是1/2,所以说这个已知数恰好是个“已知有理数”。可能是这个巧合,造成了你以为必须是“已知有理数”才能让证明进行下去。但三等分角的不可能,完全不依赖于这个已知数是有理数还是无理数,依赖的是:是否能够通过已知数的有理运算和平方根来表示出来三倍角方程的根。9 v+ v7 B9 B. d/ d Y! `1 Z ^) ]
9 f. J+ t. B! h% ~: g我给你推荐一下范德瓦尔登的《代数学》,第8章,8.9节,非常明确且严格地叙述了尺规作图的问题,并且没有歧义。证明的细节请阅读这本书。 |
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