华罗庚的遗憾和丘成桐的失望

bua1s2d3

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/ y' R( M# {* @2 u: T“恕我直言,  我并没有听懂这是什么意思. 三等分角的问题是: 通过尺规制图是否可以三等分任意角? 这是非常具体的, 并未涉及到"所有的几何图形"或者"有些几何图形"一类空泛的阐述. ”
) a! a+ n+ \; L/ Y8 ~ 请问你能凭什么判断“通过尺规制图是否可以三等分任意角”？几千年来的人们一直在作这方面的探索。一百多年来有人认为找到了一种方法：用代数的方法解决几何问题。－－也因此找出了一个判别准则，用这个判别准则为对照，它说明了只有满足了这个判别准则条件的几何图形才可能用尺规法作出来。三等分任意角只不过所有几何作图中的一个具体的例子，这也是看起来已经解决问题了的一个例子。现在的争议是：依照这个判别准则，推出了三等分任意角为不可能。那末二等分任意角的几何证明已经出来了－－它是可能的，它也是依照这个判别准则所推出来的？不！二等分任意角可能的代数解释不适用这个判别准则。－－－这也就是今天所要讨论的内容。自然，两个具体的例子是与所有的几何作图是相关的，一个上升为理论的内容它理应具有普遍性。
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aqua2001

我想你可能搞错了一件事。从解析几何来看，或者说从你所说的“代数方法”来看，二等分角是可以做到的，而且这里是没有任何问题的。什么叫“代数解释不适用这个判别准则”，请明示。
% ?7 O  S. w; m5 O, H如果我没有理解错的话，你想说的意思可能是：按照Galois的方法，三等分角是不可能做到的。而依据同样的方法，二等分角也是不可能做到的。但是事实上二等分角是很容易做的，所以Galois是不可信的。是这个意思吗？

bua1s2d3

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- K5 a4 [" C( _. V9 J“如果我没有理解错的话，你想说的意思可能是：按照Galois的方法，三等分角是不可能做到的。而依据同样的方法，二等分角也是不可能做到的。但是事实上二等分角是很容易做的，所以Galois是不可信的。是这个意思吗？”
    “按照Galois的方法，三等分角是不可能做到的。”是指若对一部分角用尺规法进行三等分，它们不满足“Galois的方法”的要求，所以现在流行的结论是：不可能用尺规法将一任意角三等分之，或者说不是所有的角都能用尺规法三等分之的。
  “而依据同样的方法，二等分角也是不可能做到的。但是事实上二等分角是很容易做的，所以Galois是不可信的。”是因为“事实上二等分角是很容易做的”，“按照Galois的方法”只解决了一部分可以用尺规法二等分的角。其余剩下的另一部分角即使不“按照Galois的方法”，也因用了几何方法的证明，照样可以对这些角用尺规法二等分之，这一部分是不能用“Galois的方法”来解释的。一个判别准则理应对所有的几何图形起指导作用，“Galois的方法”没有做到，或者说二等分一任意角的代数解释不可能是“Galois的方法”。－－－“Galois的方法”是一个有局限的方法。
   

aqua2001

我不打算详细分析Galois的方法到底做了什么，直接按照你的思路来说下去。但我们试图说得清晰一点：

1：Galois的方法告诉你，有一些角是不能用尺规三等分的。所以要有人打算把任意角来三等分，当然是做不到的。
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4 [2 q" N5 g( z8 G8 D& x2：Galois的方法还告诉你，有一些角是能用尺规二等分的，至于另外的角能否二等分呢，Galois的方法没有明确告知。所以是否所有的角都能被尺规二等分呢？我们光用Galois的方法是不够的。
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这很正常，Galois的方法并不是专门给尺规作图问题做解释的，它的用途很多。在尺规作图的可行性判别问题当中，它可以作为一个必要条件来出现。满足了这个必要条件，可能能做；不满足这个必要条件，一定不能做。三等分（某些）角就不满足这个必要条件，所以一定做不到。这里有问题吗？
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- X" A2 z7 I# B+ y0 f* B$ \% k如果你想说的是：Galois的方法只告诉我们有些角是不能三等分的，然而有些其实是可以的（例如直角就可以）。到底哪些角能被三等分，哪些又不能，还值得把相应的充要条件也找出来。你想说的是这个意思吗？

bua1s2d3

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+ S, a) G; F6 B: h; T5 O"我不打算详细分析Galois的方法到底做了什么","Galois的方法"确实在做了什么，它告诉别人：什么样的几何图形是可以用尺规法作出来的，什么样的几何图形是不可能用尺规法作出来的，或者说在所有的几何图形中就分成了这么样的两个类型。这难道说还不够吗？
“1：Galois的方法告诉你，有一些角是不能用尺规三等分的。所以要有人打算把任意角来三等分，当然是做不到的。”。
应该这么说：所以要有人打算把任意角来三等分，“Galois的方法”认为是做不到的。
“2：Galois的方法还告诉你，有一些角是能用尺规二等分的，至于另外的角能否二等分呢，Galois的方法没有明确告知。所以是否所有的角都能被尺规二等分呢？我们光用Galois的方法是不够的。”－－－这就说明了“Galois的方法”有局限。

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aqua2001

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9 w  I. Q' m8 V! t5 Z% |4 |Galois的方法不是专门给等分角问题服务的。你的这句话是有问题的：“它告诉别人：什么样的几何图形是可以用尺规法作出来的，什么样的几何图形是不可能用尺规法作出来的。”至少按你前面帖子里的说法，它并不是充要条件。它只告诉人：不满足某些条件的图形是不可能做出来的。三等分角问题正好不满足这个条件，所以不行。这就好比问一个函数是否可导，这个函数不满足“连续”的必要条件，那结论当然是不可导。这不是很自然的事情吗？
" e  d; Z- M' C& J
" `4 C# V8 S/ ?$ D你要是有兴趣去寻找充要条件是什么，当然也是可以的。找到能否使用尺规作图的充要条件，当然要更进一步。但是这里要提醒两件事：

8 `6 P( D: j: j% t1：三等分角的可行性，至少已经通过必要条件给否定掉了，这个问题不需要重新争议。就好像你可以探讨函数可导的充要条件，但这不意味着要质疑“不满足连续性的函数必然不可导”这个事实。

2：尺规作图的充要条件在我印象里是有结论的，你不妨全面地了解一下“规矩数”这个概念。

bua1s2d3

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4 D/ I; s& J# d/ E- _3 ?“Galois的方法不是专门给等分角问题服务的。”这句话没有错。制定尺规作图可能现行所采用的判别准则就是应用了“Galois的方法”，它也就是目前正在应用尺规作图可能的充要条件，这也就是用代数的方法解决几何问题的一个体现。也因为上面对“Galois的方法”提出了它在实际使用的是两个判别准则。所以，“Galois的方法”是一个需要重新认识的内容。（也包括需要重新认识制定尺规作图可能现行所采用的判别准则）

   

aqua2001

% L* u8 U/ ]. E' }% N2 h: r( G我依然不懂得你所谓“两个判别准则”是什么意思。既然三等分任意角不满足尺规作图的必要条件，那就不可能做到。任何一个要求，只要不满足其必要条件，那都不可能做到。在我看来，这毫无值得“重新认识”的地方。
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1 O5 n4 y( J0 p1 @7 h; K尺规作图的判别准则应用的是解析几何的基本方法。说得清楚一点：尺规作图的可能性取决于尺规能做出来的点的坐标（规矩数）。所谓“Galois的方法”只是定义了一些概念，证明了一些定理，以使人比较方便地分析规矩数域的构成而已（当然，也可以分析其它一些数域，并不限于规矩数的问题）。从实效上看，它可以清晰地指出规矩数必须满足的一些必要条件。三等分角，倍立方，化圆为方，以及另外的一些问题（譬如做某些正多边形）都不满足该必要条件，故都不能成功。这哪有问题？

bua1s2d3

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) f9 i7 p7 |7 H; Z; ?) D: y回复 aqua2001 的帖子
$ _2 b: R: |5 P! `" r, `  “我依然不懂得你所谓“两个判别准则”是什么意思。”。其实你这句话是说在了点子上了。因为目前“不可能用尺规法三等分一任意角”这一结论是根据前面所说过的已制定的判别准则推导出来的，但是这个判别准则其实是解释不了“用尺规法二等分一任意角是可能的”（因为二等分一任意角的可能是通过几何方法的证明所给出来的）。所以这个判别准则是有局限的。
   可是，现在的数学理论又认为“用尺规法二等分一任意角是可能的”也有着它的代数解释，这个代数解释或者称之为判别准则的只能是：已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。而用作“不可能用尺规法三等分一任意角”的判别准则是：已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。两个判别准则相差“有理”两个字，它们是不一样的。
  所以，或者判别准则“已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数”是有局限的。或者判别准则“已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数”与另一个判别准则“已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数”在尺规作图中是并列使用的代数解释（判别准则）。————这都是在数学理论中无法回避的内容。
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aqua2001

; T. ?5 z5 n/ h7 n! Y8 X
我现在大概明白你想说的意思了。不过，我先冒昧地猜测一下你的情况。瞎猜的，说错了请多多包涵。我猜你大概没系统地学过域论，但是看过一些讲解三等分角问题的通俗读物。因为通俗读物力求简洁，并不注意严密性，所以可能给你造成了一些误导。事实上，在对待三等分角和二等分角的时候，所谓“判别准则”并无任何不同，没有你所说的有时有“有理”二字、有时没有“有理”二字的问题。
4 ~. }9 h/ c, x
& ?) f+ A3 l- g; U' r/ h2 i9 G9 j下面我帮你大致梳理一下思路，看看是否能变得清晰一些。下面的思路可能你有所了解，但还是烦请仔细看下去。

1：解析几何的方法就是把平面图形放到坐标系里，所以点就成了坐标，而图形就成了方程。圆是二次方程，直线是一次方程。而使用尺规作图，能做出来的点，也就是一些一次和二次方程组的解。
2：利用一些已知的点，列一个一次和二次方程组，再进行求解，我们可以理解成：把这些已知数字进行有理运算和开平方的运算。事实上，我们再不需要另外的运算，就足够把解写出来了。
8 n- _! P! v, A2 ?0 m3：对三等分角问题而言，以已知角（可以叫做角x）的顶点做一个圆，可以把已知角的余弦轻易地表示成线段的长度（这里我说得也不严格，其实是假设圆的半径为r，那么余弦的r倍可以轻松地表示出来。但是我们如果就把r理解成1，也并不影响整体的结果，所以我们此处一律把r看成1）。同样，如果能把任何一个角的余弦长度表示出来，也可以轻松地做出这个角度。
4：放在坐标系里看这个问题，就等于说：只要我们用尺规做出的点，其坐标能够是cos(x/3)，那么想达到三等分角的目的就很简单了。如果用尺规绝不可能做出坐标为cos(x/3)的点，那说明三等分角也是做不到的。
5：根据三倍角公式（我就不往上打了），cos(x/3)可以看成一个三次方程的根。这个三次方程的系数里，除了几个公式里的系数外，只有cos(x)这个已知量。到了这一步，我们只需要判定：这个方程的根，是否能够通过把系数进行有理运算和开平方就足以表示出来？
6：很遗憾，这个三次方程不行。这一步的一般论述要用到Galois开创的方法。不过其实也有简单一些的介绍，我就不详细说了。

以上大概就是证明的大体思路。事实上，我们应该关心的是：根能否通过已知数的有理运算和平方根表示出来（此处的已知数包括公式里的系数和题目已给的cos(x)。）。对二等分角的问题而言，二倍角公式导致的那个方程是个二次方程，其根恰好能被已知数的有理运算和平方根表示出来，所以二等分角是可以用尺规来做的。

在证明的过程里，并没有提到“已知有理数”的问题。我猜你之所以有这个印象，是因为许多通俗读物里，不去抽象地讲系数和根的关系，只给举个反例（一般都举60度）就反驳了三等分任意角的可能性。而cos60度恰好是1/2，所以说这个已知数恰好是个“已知有理数”。可能是这个巧合，造成了你以为必须是“已知有理数”才能让证明进行下去。但三等分角的不可能，完全不依赖于这个已知数是有理数还是无理数，依赖的是：是否能够通过已知数的有理运算和平方根来表示出来三倍角方程的根。

9 f. J+ t. B! h% ~: g我给你推荐一下范德瓦尔登的《代数学》，第8章，8.9节，非常明确且严格地叙述了尺规作图的问题，并且没有歧义。证明的细节请阅读这本书。