华罗庚的遗憾和丘成桐的失望

bua1s2d3

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   谢谢你作了这么详细的说明，你可以把你的这篇内容和我所说的内容进行比较了。其实尺规作图可能与不可能需要用“数域的二次扩充”的理论，我希望能把语言说得尽量通俗一点。
* c4 O+ h" J9 {' a. J# J- N  r/ U: n  我与一位教代数的数学终身教授在这个问题上讨论了近四年，他的观点也就是与你的这篇文章内容差不多，一直到最近他才恍然大悟，原来他的观点是不完整的，证明是粗糙的（这自然不能说他有错了）。我很希望有更多的人能有他的这种认识。谢谢！

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aqua2001

无论如何，在正规的证明过程中，从未提到过已知数必须是“已知有理数”。所以在正规而完善的证明过程中，三等分角和二等分角的代数解释并没有出现过任何不同。

$ c( {) t, k% H! c0 u4 ]我讲的那些，无非都是通常采用的思路，而你谈到过几个问题，例如：
: N! @' }8 i( x2 G3 |7 K1：“三等分任意角的不可能性一般都是举一些特殊角作为反例”；
2：“判别准则‘已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数’与另一个判别准则‘已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数’在尺规作图中是并列使用的代数解释。”等等。
这是很奇怪的，因为一般的证明并非使用“某些特殊角作为反例”来否定三等分任意角。而且你在这里提到的第一个“判别准则”从未在一般而严密的证明中出现过。所以客观地讲，如果要我对“在三等分和二等分角问题上使用了双重标准”发表观点，那我只能说这是子虚乌有的事情，并非事实。我很疑惑于你的这几条说法都是从哪里得来的，才作出猜测：大概是从某些通俗读物得来的，当然猜得未必准。
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至于还有别人怎样“恍然大悟”，我认为不必太当回事，他“恍然大悟”的可能是别的问题（如果按照公理体系一步一步推才叫细致的话，那粗糙的地方多的是），甚至有可能反倒是错的。

bua1s2d3

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0 E$ Z5 y* Y& n, R“因为一般的证明并非使用‘某些特殊角作为反例’来否定三等分任意角”？这句话也没有说错。
  但是你能排除“使用‘某些特殊角作为反例'”是可以更好地说明问题这一说法吗？这是很多的人都在使用的方法，可能你从来没有去注意到它。
6 \9 p# {4 R' h" c1 a# W7 {  “至于还有别人怎样‘恍然大悟’，我认为不必太当回事”。这句话也是有一定的道理。我希望他能在今后的教书时如果做到了“出语谨慎”，我就很高兴的了。
" Z" P: H4 z6 J! M7 A& H  “从未提到过已知数必须是‘已知有理数’。”。能说“已知有理数”一定是“已知数”吗？它们有差别，也有联系，很容易搅混的。当然，在数学专业水准较高的语言中是不会出现“已知有理数”和“已知数”这类语言的（有一定数学水准的人是不屑使用这类语言的），因为这是低水准的数学语言，或者说是通俗的语言，它们是适合受过相当于中等教育的人所能听懂或者能读懂的一类语言。令人可悲的是：尺规作图是一个跨学科、跨学历层次的一个数学内容。
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aqua2001

1 ~# y7 a- [9 O8 @, m8 P& i
我想我在前面已经把三等分角问题的思路表达得比较明确了，也不需要说更多的了。我最后写个总结性的帖子吧。
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我在前面说过，尺规作图的可行性确实有代数上的充要条件，其要点是：cos(x/3)能否通过已知数的有理运算和平方根表示出来。而根据三倍角公式和Galois理论（用以判定方程是否有指定形式的解），没有符合条件的一般表示法。故：尺规想要三等分任意角不可行。这里cos(x)不需要管它是有理数还是无理数，只要是“已知数”就可以了。无论是我的低水准语言里，还是在范德瓦尔登的高水准语言里，都没有提到“已知有理数”，却都提到过“已知数”。其实说穿了，都没有用到过你说的“第一条准则”，那并不是充要条件（也没当充要条件用过）。要说起尺规作图可行性的充要条件，用的从来都是你说过的“第二条准则”，那才是真正的充要条件。

从逻辑上详细说，二等分角的可行性是肯定性证明，需要对一切情况都做出肯定结论才行。三等分角的不可行性是否定性证明，虽然我看到的正规证明一般直接使用前段所述的充要条件，但的确如你所说，能举出一个反例其实就足以了。所以，对二等分角来说，必须老老实实地说“方程的解一定能表示成已知数的有理函数，无论已知数是多少”。但对三等分角来说，只要找到一个特定的反例就够了，恰巧这个反例找个有理数（其实有的无理数也不难说明），那也足够起到否定的效果了，所以你说“这两个准则不一致”其实并不是什么问题，因为它们使用的方向是相反的，一个是肯定充分条件以得到肯定的结果，一个是否定必要条件以得到否定的结果。

# c1 a/ |. l) A1 K( n我多啰嗦一句，补充一个有关通俗读物的观点。通俗读物里爱用60度当反例，是因为此时cos(x)恰巧是1/2，这时三倍角方程比较好看，甚至不需要Galois的方法都能确信它的解不能表示成平方根形式。要弄明白：此时的证明恰巧是不需要Galois理论的，所以比较“通俗”。你当然可以提出意见，说这些通俗读物讲得不够全面，容易使人们造成“如果这里已知的不是有理数，那还能不能证？”的疑惑。但这里基本没有Galois什么事。
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我希望我做过的努力能够协助你对此事的全面认识。语言繁杂，长句众多，看起来难免觉得绕来绕去，这点请见谅，但我相信应该没什么逻辑毛病。

bua1s2d3

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8 p. I6 ~$ l! N3 S* L谢谢你的“我最后写个总结性的帖子吧。”。
7 d7 ?# e1 {& r( h* H) f$ \9 j2 \  请别介意我把你的一些话摘录在下面：
  （1）尺规作图的可行性确实有代数上的充要条件，其要点是：cos(x/3)能否通过已知数的有理运算和平方根表示出来。而根据三倍角公式和Galois理论（用以判定方程是否有指定形式的解），没有符合条件的一般表示法。故：尺规想要三等分任意角不可行。这里cos(x)不需要管它是有理数还是无理数，只要是“已知数”就可以了。
* p* c- e. c9 I （2）要说起尺规作图可行性的充要条件，用的从来都是你说过的“第二条准则”，那才是真正的充要条件。
6 N1 Q) }4 E4 x( m （3）“这两个准则不一致”其实并不是什么问题，因为它们使用的方向是相反的，一个是肯定充分条件以得到肯定的结果，一个是否定必要条件以得到否定的结果。
  （4）通俗读物里爱用60度当反例，是因为此时cos(x)恰巧是1/2，这时三倍角方程比较好看，甚至不需要Galois的方法都能确信它的解不能表示成平方根形式。
      谢谢你的帮助和提示。

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巧云225

呵呵，不错呀

tushipeng

吾爱吾师，吾更爱真理，说的就是这种感觉！！！

weixinmaths

chairong

对啊  我有自己的主见