本科组A题圆心像坐标的简单求法

zhang_biao123

真的不对，我一看这题就想到高等几何了，我翻了很久的书也没找到这方面的内容。
我们当时用的方法是做两条直径，求交点的方法，就是在做椭圆的中心。也是用到了平行的性质，和楼主的方法本质上是一样的！我们这个题什么奖都没有。后面的检验我们用到了“交比是摄影不变量”来做的检验(个人觉得这一步非常漂亮)。
1 H% Y/ l: N6 P2 F  r. B本来以为可以拿到奖的。我们老师评卷回来说，只要是在像是椭圆，中心不对应的前提下做的组，才可能得奖。其实我很清楚解析几何可以做的，只是当时的向想法是如果能用高等几何的内容把题做出来，那就做得非常漂亮了。（如果楼主或其他人用类似的方法（（仅用摄影几何））拿到奖了，在评奖原则一样的情况下，我觉得是说你们的论文把专家忽悠了，原因在下面。）
但是，平行真的不是摄影不变量，因为如果是，那中心也是了。所有的书都说到中心是仿射不变量。没办法咯！
/ j8 k4 H4 a4 Z射影几何是比欧式几何更抽象的几何，它不研究距离（欧式空间定义下的距离）。况且中心，平行都不是摄影不变量。
射影几何只是欧式几何的子集，内容不比后者。前者的内容后者一定有，反之不一定。高等几何实在是太美了，我当时真的想把题目用射影几何的方法做出来。现在想想真的有些困难，可能理论上就不可以。至少我不行。
我后来又想了想，如果用解析几何的方法这个问题一定可以做的。
椭圆不过是个二元二次方程，锥面是三元二次的齐次方程，平面是一次的。所以一定可以做，具体方法如下：
- R* z3 D0 f6 h; C4 H( a) O0 d# G8 p1.据图，我们把椭圆的方程拟合出来，作为准线。
2.光心（原点）做中心，做一个锥面。
- P8 Z  `; S9 q# ~3.然后确定一个平面与锥面的交线，使其是半径已知的圆。
! r+ I3 H( U7 A0 K( |3.确定圆心。
+ }. j% u( A$ J$ N4.圆心与光心的连线与椭圆平面的交点就是所求的点了。
- X9 `& W6 r( e( G难点就在第三步，怎么使交线是圆。这个问题，我的做法很dirty，暂时还没有太好的想法，不说了。最近比较忙，没时间做。不过我肯定这样的步骤可以做。
不知道有没有人在建模的时候是这么做的，做出结果了么，最后能拿什么奖。
其实，锥面与平面的交线是二次曲线并不是什么新鲜的结论，最开始希腊人就是这么定义圆锥曲线的，阿波罗尼斯的《圆锥曲线》就是如此。只是我们的课本上都不讲而已。通过解析几何的方法证明也不难，二次方程与一次方程联立，不会得出二次以上的方程的，根据图像那个很明显就是椭圆了。
此外，我看书还看到有丹德林的球，那个做法也很漂亮，不过是对正圆锥的。不知道有没有人做过推广，扩充到更一般的情况。
3 N0 m) G; g# m+ U我的想法，楼主怎么看？可以交流一下，我的QQ675777411
7 H5 t2 c/ w0 T6 w真的不知道让阿波罗尼斯或者阿基米德做，会做出什么结果来？
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[ 本帖最后由 zhang_biao123 于 2008-10-14 16:34 编辑 ]

yi_neo

投影之后一般不是椭圆啊

zhang_biao123

没错，你可以看评审要点。我在上面的帖子也说明了这一点。

y6838002

稍微有点空间想象力的人就应该知道投影之后不是椭圆的，因为是透射投影，而且底片的面和圆所在的面不平行，所以不是圆，而像一个鸡蛋一样的东西，只有是平面投影才是椭圆的

minjiecow

透视变换将圆的切线变成椭圆的切线，将相交的直线变成像平面上的相交直线，交点对应交点，平行不是不变量，因为平行直线的像在像平面上相交于无穷远点（在罗氏几何里其实相交于无穷远点的线上平行的，虽然有个交点——无穷远点），所有的平行直线的像交于无穷远直线上，这个我做了验证的，效果很好，
3 O, ~% b- F& n% W) B8 s1 t- N- p8 N( h" E在像平面上我找的像点并不是椭圆的中心，
$ g- m* _4 \5 H& q5 C因为那个四边形并不是欧平面上的平行四边形，
: F( K* `6 ^- U7 C# ?原因很简单，平行四边形：P1-P2-P3-P4的像：Q1-Q2-Q3-Q4并不是平形四边形！呵呵
你的方法不错，可是难做，因为那个个锥并不是圆椎，而是椭圆锥！

minjiecow

欧氏平面上的平行和射影平面上的平行不是一回事！
; t" L- B$ }  z* R  P

zhang_biao123

这么好的帖子，怎么都禁止了呢？

madio

黑客攻击，楼主的用户名不存在了，我把帖子内容重新发一下！
7 B+ m; ^* X) X, H" \3 q
: B7 X0 M# |" B3 {/ c透视变换将圆变成椭圆，也将圆的平行切线变有像平面上的平行切线（相交于无穷远点）,我们可以于五个椭圆的切线族来确定圆心的像坐标,分割图像，拟合椭圆方程，求出切线，一切OK！方法如下图(Mathematica作图)：
, \1 P0 F" m: f+ |( h圆心像坐标:
A (323.22, 189.90)      B (423.28, 197.35)
. Y# r7 ?: E4 ~C (640.15, 213.51)      D (582.97, 503.24)
$ N# p6 N0 r1 {( [E (284.94, 502.09)