【2013备考】各地名校试题解析分类汇编理科数学：3导数2

梦想在飞

简介：
各地解析分类汇编:导数2
1【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）
已知函数
.
（1）求
的极值；
（2）若函数
的图象与函数
的图象在区间
上有公共点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
的定义域为
,
，……2分
令
得
，
当
时，

是增函数；
当
时，

是减函数，
∴
在
处取得极大值，
，
无极小值. ………………5分
（2）①当
时，即
时，
由（1）知
在
上是增函数，在
上是减函数，

,
又当
时，
，
当
时，
；当
时，
；


与图象
的图象在
上有公共点，

，解得
，又
，所以
. ………9分
②当
时，即
时，
在
上是增函数，
∴
在
上的最大值为
，
所以原问题等价于
，解得
.
又
,∴无解.
综上，实数a的取值范围是
. ……13分
2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分14分）已知函数
的导数
为实数，
.
（Ⅰ）若
在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点
且与曲线
相切的直线
的方程；
（Ⅲ）设函数
，试判断函数
的极值点个数。
【答案】解：（Ⅰ）由已知得，
，……………………1分
由
得
.

，当
时，
递增；
当
时，
，
递减.

在区间［-1，1］上的最大值为
.………………3分
又
.
由题意得
，即
，得
为所求。 ………………5分
（Ⅱ）解：由（1）得
，点P（2，1）在曲线
上。
当切点为P（2，1）时，切线
的斜率
，

的方程为
.………………6分
当切点P不是切点时，设切点为
切线
的余率
，

的方程为
。又点P（2，1）在
上，
，

，

.
切线
的方程为
.
故所求切线
的方程为
或
.……………………………………8分
（Ⅲ）解：
.

.

. ……………………10分
二次函数
的判别式为

得：

.令
，得
，或
。

，

时，
，函数
为单调递增，极值点个数0； ………………12分
当
时，此时方程
有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
可知函数
有两个极值点. ……………………………………14分
3.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】本题满分12分)已知
是函数
的一个极值点．



（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）当
，
时，证明：

【答案】（Ⅰ）解：
， --------------------2分
由已知得
，解得
．
当
时，
，在
处取得极小值．
所以
. ----------------4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
，
.
当
时，
，
在区间
单调递减；
当
时，
，
在区间
单调递增.
所以在区间
上，
的最小值为
.------ 8分
又
，
，
所以在区间
上，
的最大值为
. ----------10分
对于
，有
．
所以
. -------------------12分
4.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】(本题满分14分)已知函数

（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）如果当
且
时，
恒成立，求实数
的范围.
【答案】（1）定义域为

-----------2分
设

① 当
时，对称轴
，
，所以
在
上是增函数 -----------------------------4分
② 当
时，
，所以
在
上是增函数 ----------------------------------------6分
③ 当
时，令
得

令
解得
；令
解得

所以
的单调递增区间
和
；
的单调递减区间

------------------------------------8分
（2）
可化为
（※）
设
，由（1）知：
① 当
时，
在
上是增函数
若
时，
；所以

若
时，
。所以

所以，当
时，※式成立--------------------------------------12分
② 当
时，
在
是减函数，所以
※式不成立
综上，实数
的取值范围是
．----------------------------14分
解法二 ：
可化为

设

令





,



所以


在

由洛必达法则

所以

5.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数
为奇函数，且在
时取得极大值.
（I）求b，c；
（II）求函数
的单调区间；
（III）解不等式
.
【答案】





6.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分12分）设函数
.
（I）求证：
；
（II）记曲线
处的切线为
，若
与
轴、
轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值.
【答案】



7.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】（本题满分14分）
已知函数

（I）讨论
的单调性；
（II）若
有两个极值点
，证明：

【答案】



8.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分13分）
已知函数
，当
时，函数
有极大值
.
（Ⅰ）求实数
、
的值；
（Ⅱ）若存在

，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】


①当
时，
，令
得

当
变化时，
的变化情况如下表：















-





-




单调递减
极小值
单调递增
极大值

单调递减

根据表格，又
，
，

9.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分14分）
已知：函数
，其中
．
（Ⅰ）若
是
的极值点，求
的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）若
在
上的最大值是
，求
的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：
． 依题意，令
，解得
．
经检验，
时，符合题意． ……4分
（Ⅱ）解：① 当
时，
．
故
的单调增区间是
；单调减区间是
． …………………5分
② 当
时，令
，得
，或
．
当
时，
与
的情况如下：




























↘


↗


↘

所以，
的单调增区间是
；单调减区间是
和
．
当
时，
的单调减区间是
．
当
时，
，
与
的情况如下：




























↘


↗


↘

所以，
的单调增区间是
；单调减区间是
和
．
③ 当
时，
的单调增区间是
；单调减区间是
．
综上，当
时，
的增区间是
，减区间是
；
当
时，
的增区间是
，减区间是
和
；
当
时，
的减区间是
；
当
时，
的增区间是
；减区间是
和
．
……11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
时，
在
上单调递增，由
，知不合题意．

当
时，
在
的最大值是
，
由
，知不合题意．
当
时，
在
单调递减，
可得
在
上的最大值是
，符合题意．
所以，
在
上的最大值是
时，
的取值范围是
． …………14分
10.【 北京四中2013届高三上学期期中测验数学（理）】（本小题满分13分）
　　已知函数
（
）.
　　（1）若
，试确定函数
的单调区间；
　　（2）若函数
在其图象上任意一点
处切线的斜率都小于
，求实数
的取值范围.
　　（3）若
，求
的取值范围.
【答案】　　（Ⅰ）解：当
时，
，所以
，
　　　　　由
，解得
，
　　　　　由
，解得
或
，
　　　　　所以函数
的单调增区间为
，减区间为
和
.　
　　（Ⅱ）解：因为
，
　　　　　由题意得：
对任意
恒成立，
　　　　　即
对任意
恒成立，
　 　　　 设
，所以
，
　　 　　 所以当
时，
有最大值为
，
　　 　　 因为对任意
，
恒成立，
　　 　　 所以
，解得
或
，
　　 　　 所以，实数
的取值范围为
或
.
　　（III）
.
11.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分12分）. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为
km．


（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=
(rad)，将
表示成
的函数关系式；
②设OP
(km) ，将
表示成
的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
【答案】
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=
(rad) ，则
, 故

，又OP＝

所以
，
所求函数关系式为

┅┅┅3分
②若OP=
(km) ，则OQ＝10－
，所以OA =OB=

所求函数关系式为
┅┅┅6分
（Ⅱ）选择函数模型①，

令
0 得sin
，因为
，所以
=
，┅┅┅9分
当
时，
，
是
的减函数；当
时，
，
是
的增函数，所以当
=
时，
。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边

km处。┅┅┅12分
12.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】（本题满分14分）定义：若

，使得
成立，则称
为函数
的一个不动点
(1)下列函数不存在不动点的是（ ）---（单选）
A.
（
） B.
(b>1)
C.
D.

(2)设
(
),求
的极值
(3)设
(
).当
>0时，讨论函数
是否存在不动点，若存在求出
的范围，若不存在说明理由。
【答案】（1）C┅┅4分
（2）

①当a=0时，
，
在
上位增函数，无极值；
②当a<0时，
>0恒成立，
在
上位增函数，无极值；
③当a>0时,
=0,得
，列表如下：
X











0
_



增
极大值
减

当
时，
有极大值=

综上，当
时无极值，当a>0时
有极大值=
.┅┅10分
（3）假设存在不动点，则方程
有解，即
有解。
设

，（a>0）有（2）可知
极大值

，下面判断
极大值是否大于0，设
，（a>0）,
,列表如下：
A


e







0
—

P(a)
增
极大值
减

当a=e时，
极大值=p(e)=
<0,所以
恒成立，即
极大值小于零，所以
无不动点。┅┅14分
13.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本题满分13分）
设函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于
的方程
在区间
内恰有两个相异的实根，求实数
的取值范围．
【答案】方法2：∵
，
∴
．…………………………6分
即
，
令
， ∵
，且
，
由
．
∴
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减．……………………9分
∵
，
，
，
又
，
故
在区间
内恰有两个相异实根
．
……………………………………11分
即
．
综上所述，
的取值范围是
． ……………………………13分
所以
…………………………………………………………12分


14.【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学理】本小题满分13分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交
元（
）的管理费，预计当每件产品的售价为
元（
）时，一年的销售量为
万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价
（元）的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值

【答案】1）分公司一年的利润L（万元）与售价
的函数关系式为：

……………………………………4分（少定义域去1分）
（2）

令
得
或
（不合题意，舍去）…………………………6分
∵
，∴
在
两侧
的值由正变负.......8分
所以（1）当
即
时，

………………………………10分
（2）当
即
时，

，
所以
…………………………………………12分


15.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分14分）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若对
，
，都有
，求
的取值范围。
【答案】解：(1)
，令
得
…………………………….3分
当
时，
在
和
上递增，在
上递减；
当
时，
在
和
上递减，在
上递增…………………8分
(2) 当
时，
；所以不可能对
，
都有
；
当
时有（1）知
在
上的最大值为
，所以对
，
都有
即
，故对
，
都有
时，
的取值范围为
。…………………………………………………………………….14分