最有价值的“孪生”因子数链

素数516466

最有价值的“孪生”因子数链

海南省乐东保显学校  陈泽辉

我们知道，在整数范围内，偶数可以用式子2x表示；奇数可以用2x-1表示。我们还知道所有的偶数都有公因数2，但是想要对一个奇数进行分解往往不是一件很容易的事。

笔者在探究奇数分解的过程中，发现两条有趣的“孪生”奇合数数链：在正整数范围，奇合数A满足： A= T^2－D，设PQ是数A的两个分解因子，且P＜Q；把T^2称为临点完全平方数，T称为数A的临点平方根数，简称为根数；D称为分解数A的黄金数。如果数A属于数链A=16c^2+6c-1或A=16c^2+10c+1，那么数A的较小因子等于2 c+1；数A的较大因子等于它根数的两倍与3的差。我把数链A=16c^2+6c-1与A=16c^2+10c+1称为“孪生”因子数链。

如第一因子数链数A=16c^2+6c-1，当c=1、2、3、4……，则奇合数A=21、75、161、279……， 因为有21=5^2-4、75=9^-6、161=13^-8、279=17^-10、……那么奇合数21、75、161、279……较小的因子是2 c+1即3、5、7、9……；较大的因子是2 T-3即2×5-3=7、2×9-3=15、2×13-3=23、2×17-3=31……

如第二因子数链数A=16c^2+10c+1，当c=1、2、3、4……，则奇合数A=……， 因为有27=6^2-9、85=10^-15、175=14^-21、297=18^-27、……那么奇合数27、85、175、297……较小的因子是2 c+1即3、5、7、9……；较大的因子是2 T-3即2×6-3=9、2×10-3=17、2×14-3=25、2×18-3=33……

因为数链A1=16c^2+6c-1与A2=16c^2+10c+1对应c值时，数A1、

A2的值刚好相差2 c+1的两倍，所以把数链A1=16c^2+6c-1与A2=16c^2+10c+1称为“孪生”数链；又因为这两条数链上数的较小因子依次是不小3的奇数，所以称该“孪生”数链为有价值的因子数链。

可以肯定的是，这给某些较大的奇合数的分解带来了极大的方便。但是我们也要知道，这两条奇合数链上的数是极其少的，因此它不是所有奇合数的分解表达式。笔者通过许多检验，发现奇合数的分解亦主要以这两条数链为中心展开。

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合数“车厢式”的分解式
2 l, u: F! g7 D! p1 i/ q
首先，我们来理清一些关键的词：在正整数范围， P、T为两个相邻自然数，若有奇合数A满足：P^2＜A＜T^2且T^2－A=D，存在且必存在m=(n^2-D)/2(T-n)——这个分解式称为“分解合数的通式”，这时A=（T－n）×（T+n+2m）。（把T－n称为数A的较小因子；把T+ n+2m称为数A的较大因子。这里的A、T、D为已知数）这时把T^2称为临点完全平方数，T称为数A的临点平方根数，简称为根数；D称为分解数A的黄金数；n 与m称为分子数。如有一个合数133，试用开方法可知133=12^2-11，那么12是合数133的根数；11是合数133的黄金数。而又因为133=（12-5）×（12+5+2×1），把n=5 与m=1称为合数133的分子数。
/ [" H) e: W# r% w6 h! b" h& g3 A把所有奇合数分为三大板块：①把属于“数A的较大因子（T+ n+2m）等于它根数的两倍与3的差”的数作为第一板块集合数（该集合上的合数亦可称为“中心链”或“孪生”因子数链集合）；②把属于“数A的较大因子小于它根数的两倍与3的差” 的数作为第二板块集合数，称为奇合数的“北数集合”；③把属于“数A的较大因子大于它根数的两倍与3的差”的数作为第三板块集合数，称为奇合数有“南数集合”。
: \9 J( g' D/ T) Y' x3 c3 o①“孪生”因子数链即数A的较大因子等于它根数的两倍与3的差, 就是（T+n+2m）=时数A的分解式为
A=(T-n)( 2T^2-3)（或A=16c^2+6c-1或A=16c^2+10c+1）
3 _) \  O* `" |# y& H解出n值，则A的较小因子是T-n，从而数A得分解。
如数A=21、27、75、85……
3 f0 X4 Q: f! v2 ?) @9 n* h②“北数集合”分解式即数A的较大因子小于它根数的两倍与3的差,就是（T+n+2m）＜2T^2-3时数A的分解式
. J8 w; D; ]% q: J1 B3 d, F分解式一：A=(T-n) ( 2T-5)
   如119=(11-n)( 2×11-5)解得n=4所以119=（11-4）（2×11-5）
又如数A=133、147、……
分解式二：A=(T-n) ( 2T-7)
如189=(14-n)( 2×14-7)解得n=5所以A=（14-5）（2×14-7）
又如数A=207、319……
……                  ……
, Z& K8 w  S6 ?2 h! `1 E( Q分解式N：A=(T-n)( T+ n)（而此时的m必为0）或
   如45=(7-n)( 7+ n)解得n=2所以A=（7-2）（7+2）
5 o  f# R0 p$ B  \8 n6 |  又如数A=55、63、91、117……

* W8 v+ W1 N+ ]  S2 K0 j以上A、T、D为已知数n为未知数，所以n有整数值时，则A的较小因子是T-n，从而数A得分解。
+ |7 I8 J+ c$ j( j  M也就是说，把该板块上的合数集合形象看成是一列有许多节车厢的火车，而分解合数的过程实际上就是“车厢”式的分解过程。
还有第三集合 “南数集合”上的合数的分解式应有雷同之处！
0 d) |8 |8 v! e8 X- e+ ^, T; J