请教王树禾教授

张彧典

6 F) z- t, B$ r. n; U7 X     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
, h" \( M% A0 i- ^2 u+ y3 `    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
# s6 w( v9 o# R) e- I, h8 c                                                                         k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
0 A' _  }8 P  Z8 c    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]

0 S9 d: u& l) _+ O0 l2 m% I    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
* \4 o* z0 x% ?' J
+ W4 s/ q2 P6 t; l( b( j! j1 H0 g                  
7 r0 [+ H& ~! m) {3 _1 b' t    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。
& n) p3 r3 d- Z+ M/ f
8 G) Q- C# T/ f4 V9 q2 D      如果确定是k/6,那么（1）式为
# h) i5 L3 g1 S! `8 Z     
, V* `: g0 l! N0 `+ H      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
- J5 ]. X1 L% c  N4 A& D! ~    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
8 c0 D! X/ }# p0 \或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
8 ]3 i& W, s. |/ ?        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
* J) A# i6 f; @   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
) R; G. x& c: m. Q! C。
+ _, Z. D1 w* B+ R! Y    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
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张彧典

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张彧典

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