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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
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' ~4 U9 v& F' A7 ~! {& \: q O: v& t- x
A题 安全的后视镜9 w, g0 ?/ ]% ?
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
8 b9 p5 Q6 o) s$ |良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视3 F J) B( a* }4 a
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.; y7 c5 h2 d4 s$ i) O, ^1 ?
如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.3 K0 c/ N) X/ C0 A5 p* L8 G
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面! v. L0 [' c' C: J9 @( v( ^
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
# |: H/ w% x9 g/ _6 p' N. q o3 y0 U1 j距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点., u) E1 U: c4 O5 p; m+ ~
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构4 w* X3 Q! W, F: Q( g) N
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
$ s% g& _& ~. S离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
( T7 M1 w1 {9 g I/ P1 H, v种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了- r/ T" \, H8 \/ L
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
/ ^& B. T% u+ }* V' h z$ Y或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性- g/ t( {' K3 E8 m2 u% m* x: S3 A9 J
能也会有所不同./ D8 p( [: |+ V8 g! b$ Y2 f2 Z
第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的0 X; ^0 I0 w1 {' \4 D$ J. X$ q! A
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
p' o* W/ Z5 \9 k设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
/ C; o- L+ I8 g1 w给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
. J2 [2 ^% n% t- | ?1 C& E9 s种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有/ S8 p% m7 ?6 }2 t5 `- L! [0 z
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相) I! K6 F- n- q. c6 S+ k
应的国家标准.
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2 E% e$ U o& q2 [) Q图 1: 变曲率后视镜的例子
; L; o. p3 z0 {
! e- @7 l# d" x) Q; H- _
0 ?" G+ O* w$ E" j% C: M6 cB题 岁月的印记3 S% n: _0 U9 Y4 {$ }
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经! w6 F1 _' l0 L; B% q
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
2 N, T+ p/ V$ F( I/ ?. }. j出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起; w6 G$ Z) Y% V$ E
来也就越困难.# ?- M. W2 Z4 J8 i9 D/ K5 ^ n8 b1 q6 g
第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面$ W7 I6 e. t1 _5 h- Y4 \ H
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以' t% W: \1 ]9 J% d! ?) B3 k: i
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
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: y( n2 J; I8 l% C
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？8 H. t5 ?& Z! w! F0 e- h
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
8 z. x8 G3 d; T% Z/ t" V了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
) k0 J2 q) A1 T0 \! O学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考 Q9 f) W0 `# h" P7 ]! [
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷2 m/ m# ^% d! F! t
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或) h- y8 M* g) T0 n2 ~! P: V# G( V; I
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
. g$ G* ], n0 T- \/ C8 U4 S6 ^更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
5 o. U" [- o M市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
( r0 e. R2 c0 ^; `& E集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请0 G. N$ }( x4 X6 B5 e0 b
你建立合理的数学模型解决如下问题。
2 c; N) D- I7 R* _第一阶段问题：
' N; |) c7 P; R f- D$ X; Z1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展
" Q) l% C2 X3 p3 G的主要因素。' p$ w# n0 ~8 Y8 U" r; C- R
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在0 }6 G' \" S$ a+ O$ t
市场占有率。- H) l) _: Q9 F7 U9 [
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
9 a% i2 J% s1 p3 R情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。7 e/ M6 o# N+ ~: Z* F! m+ N. [
# h, Z3 Q9 L0 h
D题 教室的合理设计
Y( w' _+ L# h5 V* S' G" L（本题仅限中学组和专科组选用）' [. p3 |% O7 y
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类6 R: H. m2 p- [+ @) E6 r9 j
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和 o Q% i. I4 p4 i7 `. N
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计5 X% t/ K1 A; G9 u- ^( c
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 * z+ y: }6 H' d8 Q
第一阶段问题：
% l) Y5 v1 t% j! e/ }, G1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个) c( l, ?; i5 b& L7 I. {: P! V
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
" i$ p5 H, r7 T" s F) ]* V9 k少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
9 f! ~1 O! J% G7 W5 \0 V4 S影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
: R! Z& ^1 R8 w3 o间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在* M+ h2 u' d' }2 r
设计中可以忽略墙占用的面积。
! K) h7 u9 h' r: A2 {2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
- V9 h% A% h1 C4 ^" [' y+ s3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
) X, K) Y9 N- a! g% q: [- }0 L室。
5 E" G# h! z& a) ~1 r: y) t8 M5 E% P/ O# c3 E2 K- x
4 q1 W# r6 c5 b Q: {2 B/ L( ?4 ^5 d' o! n- B+ ?! y0 g* j! `
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
