数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
1 W+ Z3 v1 b, Z7 z* Q6 ?1 o几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( P! b% I% a7 ]静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
3 ^5 M6 F$ _2 R0 K1 G. C! ?8 _, Z, Z预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
* T- L2 Q7 y8 [& m有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
+ ?: U7 t4 ]9 a0 _! s, e7 A1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ d; `, I" }& P! o& S$ a# ]+ E4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
6 I3 S# O# v9 p% q: a6 c5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
! v& f  M7 ]9 w5 v6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
) [/ ?+ x$ u" s  W$ `8 J这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
. ]6 g# X4 _8 o7 Q9 j% n' S7 E0 q+ N5 v7 、网格算法和穷举法
6 _% v# D  E& f$ s. N! A" Q当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
4 [( a$ l7 Y  L* {一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
2 d; J( O. M# w7 T" e很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
) O" C2 k! J8 Q- g9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
" V2 a3 v0 A0 D# G, a8 ~行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
- i0 c* k" |; R. P解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
  \* L* B' l2 |: X2 M" R①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
+ ^- N) P3 c: \  N2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
+ Z; B  ^1 n! E微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
3 {2 S  h# k2 p' L其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 u8 b. m* R4 R$ p( D3 P3 N3 、回归分析预测 （ 一般） ）
; {% v' }- D* L  g- o求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
. J& B  R0 j3 E①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
0 M/ O; p# u2 y$ w% L, w4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
- e! n% |& U" @$ S; ]4 `; D& u一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
; j' x+ `  D5 p+ F0 P互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
  ~5 a- E9 h* k2 e2 F9 d* q5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
0 @8 m4 ?% z" ~0 w2 l数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
1 A( m7 |6 C: m4 H+ I+ C6 F7、 、 神经网络 （ 较好） ）
! t- b* _5 t& z* q1 j- t7 t大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
* R! B/ V6 q) L3 Z8、 、 混沌序列预测（高大上）
, t$ w9 w- e$ V7 Q适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
7 ^/ t' R% R$ @2 o! n9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
4 u" r3 O2 \  C$ g" |在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
; j& v" V6 ~$ W# `逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
. ?* y/ k) M1 K4 K8 a11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
  [. f3 W# ?8 ^作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
* ~; V5 ~6 C" v( N/ v: R+ Q( t9 l13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
" K6 o& B! O2 w8 g其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
& S" }5 u% u4 u. e) F" f; _' m评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
2 ]" `( p$ t! |' n4 J! c来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
2 p4 F* D4 g' y% ]9 |3 E该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
& Z9 S) x2 j7 i8 S& ]( u1 j量有无影响，差异量的多少
* J/ d9 Y* a: ~( u+ H7 B2 r% H协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
' M2 f% N  @' R8 f! w+ Y此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
* k$ ~0 b5 C9 E9 h- H. V, {模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 P( B, j2 Q* O# |6 D/ ^6 @" t算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
8 d  U  P: a& i2 z19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
9 i& j1 J/ \" w* s* ?: j! c- `离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
' H: X( R6 M0 V' W- K20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
/ k5 x* [1 h; z7 r; ~排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
; {2 v8 T( ^. M* f$ d1 i/ D, p& z计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
1 m3 W: w5 A& O" D% `6 Z* w般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
1 b6 [' A1 h  S9 E$ O; J5 [8 q2 QMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
1 ?+ b8 N+ s5 z  k9 t+ c' U6 x, w& H例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
/ l1 |' m$ o$ w) R; O0 k, f6 K! x7 w- G22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
1 e" @. w# \' |. M' ~0 c支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
& [2 h# q9 c; w& k' k3 p6 `. n# ?射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
, r+ M! f9 i+ X4 l: D: [! n, C* Q5 P23、 、 多元分析
6 H7 [/ {8 u5 U- j1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
# p1 @: d/ d# Q' s从而达到降维的目的。
4、判别分析
4 X  u$ Y5 U5 M3 q: D5、典型相关分析
! ^  y4 i- E* E6、对应分析
7、多维标度法（一般）
& N% T0 ?3 @% v! m2 Q8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
0 L6 a2 G( e7 h* Z0 c- G主要包括以下几种方法，
, r( b. W. K+ _% @6 C2 T7 T1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
  f1 L0 n  i/ [  L( y9 R# @( K4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
6 J, |0 _  D( {. v8 s% }25 、关联与因果
/ {( H( P9 j1 _  O. y9 t' T  \1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
" U- F/ ?  W* z5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
4 _/ w8 O2 k# Q  j7 J6 D一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
, `( ]' X+ K  C" a+ n6 g6、标准化回归分析
) t( o" p' P& j1 ?* t  T0 m若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
8 ]( M7 P& F# f7、生存分析（事件史分析）（较好）
9 I" t$ e2 |  B( k+ M: u7 _数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
7 W! Z; ?4 o* Q- A8 d% R2 F计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
: b+ l& D* x1 A26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
, Z/ N1 y& z* p2 X# F, a2 x. X& Q
7 B. a# M6 e/ ~