数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
8 `' Y3 j7 J! e+ d/ a1 `1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ _0 U3 n0 M* _  L' S6 P; T' I- {型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
; f( N( u7 T2 t/ q性模型和非线性模型等。
' S' ]0 w5 Q# U& r" R4 [; ~/ p3. 按模型的应用领域分：
5 d# C- f% J5 N- W% ]+ ^3 W人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
* H! O7 X8 P& x6 K预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
) |5 @' U8 G' X+ \5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
+ d% p1 _/ q& O! a运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
1 q/ B# z& v/ V6 x$ ~- W# v数学建模十大算法
; `; l+ X9 X+ P) A$ Y8 m3 r$ u, H1 、蒙特卡罗算法
  }6 V6 A5 }* }: b9 g该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
1 J5 \$ Q$ r# f1 l9 {/ C6 z/ L2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
# S( E2 k2 [1 v, D  Y3 ]4 }0 T5 L  b比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
9 e9 S( i, \( F通常使用 Matlab 作为工具
9 I4 O# P$ B/ g. E' l9 D5 M) S- d3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
+ f+ y% k! q3 N, T2 h1 c4 、图论算法
; ^( }# R% p+ R6 N: N& o这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
( n% v) J; a! V4 R" a5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
' ]$ p, _$ q5 m; M3 b6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
7 V6 @8 T' S' B! A9 J- ~/ {1 C" e这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
( V/ J# h" T6 c# G- ?7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
9 A# w" b: S) Q  }; x! d. U一些高级语言作为编程工具
- ^  J" F' c" s5 N% N3 Y1 Y& q8 、一些连续离散化方法
* |% c: _- @5 E6 \& ]- ]9 _很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
/ C: P1 u! Q7 _7 z( @* `据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
& j' B; I$ k; {0 R  A/ I4 Z) q9 、数值分析算法
, ~) k9 T5 K1 w" O: @: H6 D如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
7 J8 Q; H/ j9 O$ F: q7 h, |# V0 b如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) p3 ?  i) u" r5 B1 w8 |10 、图象处理算法
* R. I) }% e/ v7 g! k# ~赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
- \% o7 r8 Q  t, ]8 I1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
' j$ \$ y7 L2 f8 C# v①数据样本点个数 6 个以上
) m4 _, ^' j: e* M②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
( U: f& y' c5 M其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
3 U* O7 ]3 d' T+ _2 b' @- M; f4 A找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
0 k' p0 e5 ~, s: {3 、回归分析预测 （ 一般） ）
* }. f2 Q- {; a) E3 J* q$ g求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
. U. ]# w: F2 P; S$ {! o' |化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
2 B2 d: k4 n. h7 X8 Q' T# t9 y9 h/ K4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
5 c8 a) E3 Y1 {4 Q9 U互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
9 r4 a$ r1 c5 i5 V2 G' F% V4 y5、 、 时间序列预测
$ g  e1 r8 n& j* _$ [* @0 c预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
$ M2 z8 N$ w8 G3 j（较好）。
' d( {+ Z  [2 [6 r5 Q3 e6 N8 L6、 、 小波分析预测（高大上）
% N, s: j. C# r+ K数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
& Z+ S" C. E, y6 i' N' \8 o" Y/ G& W预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
# }  g! _$ W/ e预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
) M; U/ Y' c& k6 `) [在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
3 z' t7 S* r) x) p逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
/ Y2 O2 l$ h+ p! b7 |. y! N) i评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
- {8 @$ d  F! T' D5 Z1 w7 \作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
$ `: {  W) v8 _% T" q. w! {12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
$ t, V/ |; I, L# o; b优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
6 }) M4 J5 ~1 W8 o& G法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
6 ?  x2 H5 S" N3 w  G. r  D( ?似。
1 ?+ d+ {' i" G6 `8 T14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
6 Y! w( U* P+ c! G解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
6 \/ @* S# C/ E+ u2 L# y9 u% n, _的最差值。
, z. c4 t& F* g+ j9 h: t' ~, D4 z& B15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
' O- _$ O2 x0 D! m& v可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
  _$ g) T4 ]. j9 k+ ~$ A& ]方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
9 ^/ l& L" N5 N( H1 G; }1 W( w量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
4 y' j, w$ e. k. z9 z17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
  W- M$ V* N6 K) D* W6 u模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
; z0 e/ i& h& H& i18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
4 R* W& d; Y* F8 L4 z智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
/ R! |7 M9 a6 G) e: v8 r+ _其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
& K9 ?/ e, _% F( Z' T4 b( |19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
. _, C$ h$ _# Q20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
2 j3 U& `) i+ A* `2 N即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
/ P4 R2 J& Y$ p) U) Z( R3 ^+ w计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
2 r6 W4 Z9 C3 Q般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
. |+ u/ Z% }$ Z  Y21 、图像处理 （ 较好） ）
6 ?* a9 l! N$ c" W$ R; N+ fMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
% Z# t' p' e# T# r" |0 c4 J例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
; O: N" X& G. `) ]. L) w22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
+ |" N3 A: P4 T/ B% F& ^支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
' A: x! c# P& F* r射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
+ r3 D7 r# E$ c) P23、 、 多元分析
. P) z6 o) \1 g8 x1、聚类分析、
% N9 G4 J+ G2 Y) H% k* P2、因子分析
0 ~& T1 Z. \& E# C3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
( |8 H" o  Z% h1 C各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
1 K; a- W6 z4 M1 C5、典型相关分析
+ Q3 p1 C4 a4 M- E/ j) P6、对应分析
9 l3 t. I) m, P* `1 A7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
, d' l4 W# z' I0 s3 F8 _2、关联性聚类
3、层次聚类
& {$ X, E5 o4 @/ m; K4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
" X$ \/ A: a6 F8、模糊识别
25 、关联与因果
$ }, _% T' ^9 h+ s7 [1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
4 K3 C# Z5 j- |/ r/ O" {5、典型相关分析
. C2 M7 o5 Q- b0 C6 u（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
+ [& E1 k6 \2 u' }4 Q! C一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
0 \4 S6 {  ~6 F* U* a( t# O7、生存分析（事件史分析）（较好）
% o; [+ ]0 I5 Q$ ?+ W3 j数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
# X  Y( u; T" L5 s9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
+ }  L/ a+ i3 Z: d! U4 S量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
6 J) J7 h5 D; r, Y  l0 o/ _* [$ R
1 I! F" S5 p- C; F, f2 R9 H' c/ q
7 q6 t  U% a" G! y+ W/ K* |