数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
" p- C; [, X- y  y' @4 u- h6 D型、马氏链模型等。
5 b3 ]- ^$ h$ X+ ^, f/ |2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
$ ?& `7 Q" z3 t1 K( C预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
! A# O* R% X  k7 c往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
+ V  A! Q$ e; L8 `+ {. \9 K6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
( \* D  D: q5 g2 Y0 _0 [, `1 E8 C运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
' O$ i* y% D% B2 W; T6 M1 、蒙特卡罗算法
. f' Y& Z+ _8 ]该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 s/ P8 Q8 V8 X6 |/ ~/ L. i; @2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
& H. n& N- M: [' H比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
( `8 R& M* N& p) |" e5 {4 P. B通常使用 Matlab 作为工具
6 S2 n- q" t9 K! F/ W2 q. e. d3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
( n7 o5 y# R% s* T5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
* {! p* p6 ^: G- e3 u7 ]这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
% m. Q6 W5 o0 e6 X5 h6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
, O  \5 }) v! F7 h! y这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
' x/ U& j' L# b& o3 P- |% |帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
' w4 g* Z# Q9 [- |* s7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
3 }+ k! d( d: R, |8 、一些连续离散化方法
  {: h! {. s" t' u% t很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
! c7 ]5 ^, L2 f7 I据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
; H7 e2 d# Q' v0 f3 k0 p( r- ]9 、数值分析算法
9 f3 F" w4 }1 t8 U$ w如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
* @  _+ e: T7 l10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
: ?% M! F! a5 g1 ^的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
$ z  q7 ^4 j% W) F  U& {行处理
算法简介
  E" O$ P! ~& a% X1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
$ `& x3 @+ ~* Q( i个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
% b$ K  }6 W- b5 t8 _3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
* C1 }; ^4 n8 `$ e①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 W% c6 S, v* A# H1 }②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
$ {8 a' Q# s; ~1 |7 g- @" ^4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
/ r2 V& @, H- K, r( |1 z2 O: Y( {& ~互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
- C+ i0 h1 P, n3 W' b. g预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
4 ?) x) t! o: }% X8 O6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
# ]+ P6 b- O  [3 p, V& x8 N预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
3 m" a' L+ d3 G7 W' ]- ^预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
4 O9 Q0 N& A! m8 y( d- b适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
' O) o% P. o$ f% k! z, C# ?逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
3 k; d' k' T; e: g) `6 T11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
" ]' C# ^: _; b0 v秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
0 @9 J! s6 D) a/ I- z解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
* ^1 j$ r5 q1 K. B, w的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
8 s! h9 u" R* }# G& Y来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
5 b; N+ M! r! L7 S. q16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
6 A" [8 b! u7 C  Y方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
6 }7 @+ ?$ Y% s: ^) W9 I量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
2 [( H9 m8 I  R" v% N* p: L+ M0 x素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ _6 c, B# E, T模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
3 E$ U7 b$ E9 f! x. u) }非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
. J' ?9 C: ]1 F其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
# x/ s; b6 x/ @& P, L0 P8 r19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
- ?/ `* N& |' j, I' s8 `即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
4 r; C# ^, \% w4 a; I5 l; p; y4 a有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
) H9 Z& {/ h5 _- o2 a9 Q21 、图像处理 （ 较好） ）
$ l; d* W5 b, n# \7 jMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
# K9 C; Z0 [2 S2 U2 t: N( E% H2 D例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
- H3 K3 s, e, G% i- J支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
9 X4 n  K3 q- W! j射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
( S, u7 ?8 H; I) H, C  ?23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
( b+ f3 v/ P. t8 d% W$ [* s3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
5 A+ V$ ~6 N! k% i. ]1 l& t4、判别分析
7 f9 ?7 u; @$ }- ^5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
( B! B* @+ D2 O; {( a& f24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
! y/ K, @% h5 L& f  K1、距离聚类（系统聚类）（一般）
5 m4 H0 I9 m" O" s2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
& r' ?1 R1 W! F( y, m5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
, s7 J9 V  ?0 U7、费舍尔判别（较好）
# B9 T) G' C5 `: T/ X8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
+ @7 Q% F' c3 q; I, f% ?2 J2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
! x% [; [' ~4 e# ?  z6 @1 C3、Person 相关（样本点的个数比较多）
; i+ e; W7 m6 e: D6 a! \0 f# M$ I2 `4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
# L  B. @. y6 h5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
3 Q, e3 n5 }7 _* D数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
, x0 }7 A* \3 \! a) Y! z! Z* E8、格兰杰因果检验
" d' ^; A- l/ E! P计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
  k) J; }; i! u( S  A6 f  @9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
9 d4 j( L4 b+ p0 i6 j5 Y量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。


' |1 ?8 N; g; r5 B3 z0 [