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数学建模算法与应用》方法概述

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杨利霞        

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    [LV.4]偶尔看看III

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    本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。

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    发表于 2018-10-31 09:45 |只看该作者 |倒序浏览
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    [color=rgba(0, 0, 0, 0.74902)]《数学建模算法与应用》方法概述# h9 U% N1 ?# S# f

    ! u( a. ?( C2 ]

    . F5 m" ^7 w5 Y/ c( A6 A4 h

    序言:学习司守奎《数学建模算法与应用》第2版过程中,给出一个内容的提纲,希望可以在回忆复习时快速建立知识结构。包含了数学建模所需用到的一些方法和常见问题类型。
    7 W' {9 {: ^3 b3 f) x& w1 \( Z本文仅仅建立一个学习过程中的知识框图,后续会将具体算法理解与Matlab实践整理出来。 7 j7 l* L1 W% R  l
    其中前半部分“方法类”为一些常用数学建模方法,单独拿出来介绍 + Z: k$ R9 B, `. R) r
    后半部分为总结的“问题类”,主要为规划、分类、优化、评价和预测,也总结了网络类和图像处理类问题


    —————— 方法类 ——————一、Matlab求解规划类和极值问题

    数学规划为在约束条件下追求效益而做的安排。 . U; {* J. F: H. C# ?
    Matlab知识负责实现数学计算,目标函数和约束条件还是需要自己去寻找关系建立方程。 ' X! W6 v/ u; T8 L# N/ f% i% b; _
    多目标规划:针对多目标,加权系数法和优先等级法。

    二、插值和拟合

    根据一组数据构造一个函数作为近似 + C! w) C) g" M- [9 [3 c
    插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。

    三、偏最小二乘回归分析

    一般研究两组变量间的相互关系

    四、微分方程

    需要了解研究问题领域相关规律 6 K; ]/ z. W. V+ E
    规律列方程——>Matlab求解微分方程

    五、数理统计(需对概率论很熟悉)

    利用样本来估计总体时,需要数理统计 . G* S2 G/ n9 c% F# ?/ y& }5 E  D
    参数估计、假设检验 ——> 方差分析、回归分析 & |! W- X; m$ s3 @& d% I' D5 O
    Bootstrap扩充样本

    六、时间序列

    通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律

    • 移动平均法:直接平均
    • 指数平滑法:加权平均
    • 差分指数平滑法:增量的加权平均
    • 季节性时间序列预测:对季节求系数' M: H7 ~  t6 h8 \5 N

    ARMA(自回归移动平均序列)构建及预报

    七、支持向量机

    找到一个超平面,使得其尽可能多地将两类数据点分开 : I8 A7 R0 _- Z: o
    线性可分SVM、线性SVM、可分SVM

    —————— 问题类 ——————一、规划类

    寻找目标函数和约束条件 ——> Matlab求解

    二、多元分析类(分类、聚类和相关性分析)

    (主要是针对多个变量的统计分析)

    • 聚类分析 * R8 q: h7 S/ Q4 p: u$ u
      对样本的Q型聚类
      4 h. D' |9 j$ I7 P对指标的R型聚类 6 n0 Y7 k+ ]" \2 E, ?3 ?
      (利用相似距离进行聚类)
    • 主成分分析 " |3 G/ v  b5 ]7 B; W/ D
      将多个指标转化为少数几个不相关的综合指标 # V+ P0 v# ^$ D3 ]2 j/ t* R
      标准化 -> 相关系数矩阵 -> 特征值和特征向量 -> 组成新指标 -> 选取主成分 -> 得到贡献率
    • 因子分析 + x1 D: P7 W. x4 S* n" Q2 X# D5 m9 N. t7 i
      类似主成分分析,但通过计算初等载荷矩阵选择主因子
    • 判别分析 # y4 q" X, N5 \
      利用统计方法根据研究个体的观测指标进行归类
    • 典型相关分析
      2 N4 P' G# s9 E# Y+ B+ ^* }研究两组变量间的相关方法。 2 M# {, X7 u" O! e% X; S
      思想:分别找出两组变量的各自的某个线性组合,讨论之间相关关系。
    • 对应分析 3 M* w/ j* U, W7 G+ V
      R-Q型因子分析,在同一因子平面上对变量和样本一块进行分类。
      ( N+ _* O) G- m1 V& s行点和列点用同一二维关系表示,绘于同一散布图。
    • 多维标度法 : Z7 F, h7 v1 v) \( y9 P) o
      在指标个数和本身不清晰,仅知道客体间某种距离情况下,研究客体间的结构关系。7 v9 l/ |( i: Q) C
    三、优化类

    求组合优化问题的全局最优解。不断迭代产生新解直到最优。

    • 模拟退火:“状态转换”
    • 遗传算法:“逐代进化”
    • 改进遗传算法
      . O1 Y) O- H* |

    区别:产生新解方式不同

    四、评价类(评价与决策)

    (关键点在确定评价指标的权重上)

    • 理想解法(TOPSIS法)
      ! r$ {6 y8 @0 C0 O$ B找出虚拟正理想解和负理想解,测距找最优
    • 模糊综合评价法
        \5 `* |2 _( T6 {" S8 B- g针对考核指标难以量化,以等级制解决。可以多层次评判,权重主观。
    • 数据包络分析
      4 Y. E6 `4 [& C- f多指标输入和多指标输出。(针对发展情况的评价较为方便)
      + |4 w; n: m. O; V' H: |) z无需假设权重
    • 灰度关联分析(主观)
      ) e, O" {+ D/ F0 o计算评价对象和评价标准的关联系数及关联度
    • 主成分分析 ; v: q5 ]/ k8 o' @9 c/ c0 V
      指标转化,利用特征值和特征向量
    • 秩和比综合评价法 0 v  X5 S; Z% J8 S  ^1 T
      利用秩和比进行优劣排序+ J' e- ^. E' K% r
    五、预测类
    • 微分方程预测模型
      ' y( s+ ^& ?% Y0 t7 {4 R基于相关原理规律的因果预测法,大多为物理和几何方面。
    • 灰度预测
      . y8 \5 n9 p" d2 K; \! K不仅利用原始数据序列,而且对原始数据做累加或其它处理得到近似的指数规律再进行建模
    • 差分方程 8 u  `' `! X) M5 v
      (解得问题觉得更像高中应用题)
    • 马尔可夫预测 ! P" t9 @% ~& X5 i* D0 ~1 _' a
      系统未来时刻的情况只与现在有关,而与过去历史无直接关系
    • 时间序列 (根据趋势进行预测)
      , u0 K7 n* G( N. _8 Q/ N7 N3 h通过构造过去的时间序列并处理来研究其变化规律
    • 插值和拟合 (根据趋势进行预测)
      # o: T7 g  G- l3 I$ w4 T4 m$ o根据一组数据构造一个函数作为近似 & ^( k( a4 w  {, W2 B
      插值曲线要过数据点,拟合曲线整体效果更好。
    • 神经元网络(根据参数预测)
      5 D  }5 k  O; J$ Y5 i; l5 }9 SBP神经网络:反馈式地不断调整学习参数。
      * f% X! o8 l, p1 W+ y7 M* G4 A$ {BPF神经网络:把网络看成对未知函数的逼近
        V0 ~+ X* @  R& ~1 D( K
    六、图与网络类

    对于图与网络模型,无论是什么情景,方法总逃不出以下内容

    1、最短路问题

    • Dijkstra算法:单源最短路
    • Floyd算法 :任意两点间的最短路" H  Y7 E1 o6 N( o! e2 C/ H

    2、最小生成树

    • 加边
    • 加点) A" q1 @- Q" R( o* \' z% o0 R+ J

    3、最大流、最小费用流

    4、旅行商问题 2 x$ q( M' w3 G' U; f9 E
    改良圈算法

    5、统筹

    • 计划网络图
    • 关键路径
      5 I: B4 S( S/ d- c) J  R1 N
    七、数字图像处理
    • 图像表示
      ; x, g  f$ k+ Z采样 + 量化 = 数字图像的矩阵表示 ) _4 a( F! u( I$ V9 b# H7 V
      图像类型:二值、灰度、RGB彩色图像
    • 处理方法 ) i' Y- @: [, J/ {
      亮度转换、空间滤波、频域变换
    • 应用 5 H4 I8 v# a9 s/ c6 x6 F
      水印、加密式隐藏……2 ?0 Z# h) W; x6 P3 ^! ?
    9 }( @  a: g( m* ^: h
      H+ e* N. I9 Y! M  c. M
    : P9 Z& Z3 F4 B& Q  a
    : n+ A1 I' ]  i; a! I8 K
    zan
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