数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
+ G6 s( O6 D3 T- x1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

  [: l3 K2 U. Q& a5 \8 R/ l& f一、粒子群算法（PSO）

. a) N4 c4 g& ^+ L算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
* P3 n+ g0 N) X2 Y# ]  K( t: Y& J
8 I0 @. v/ |1 `: x2 k/ I基本PSO算法
7 {  l6 @' y( Z) I4 H
6 B$ r" e4 Q0 M0 h( wD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
  H# H- q9 k" }7 S; `9 D粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
7 n5 B6 h) g6 F2 ]8 }0 ]群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


二、模拟退火算法（SA）
- }; D$ ~2 a" `% b: L' x% U2 J
4 c. x$ _4 j* n# }模拟退火过程：
3 X$ e7 g" [, a: G设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
  x' _( c) a* J5 C8 Q, o  q
三、遗传算法

产生一个初始种群
8 y) N) N- [, a5 f* {根据问题的目标函数构造适值函数
' G! W8 {  F1 Z6 v3 E; G根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

9 {8 J; [7 A6 ^8 g: `2 }1 K2 j四、算法步骤
初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
' W. ?. _% ?+ p) w遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
% t+ e! ?, Y8 `3 [% h停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
# w/ G1 ~( X9 t4 W- A& o$ i* m
四、神经网络算法

和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

" S- H0 G3 x1 _& Z& S* w5 w% l/ O* P五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
! X$ ]. @2 d: d8 b; G
" ]$ C7 h( R7 U/ v/ B又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
. g/ D- Z% {* N6 p优点：
4 f$ s3 p6 M" ?+ g% x6 ]# N, t1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
( D. U& u2 [! ^# G7 |1 z1 T8 m2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

. L) B6 {2 y+ t1 O; }# `1 |将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
+ {: }  n3 n6 D8 Y" ^0 }6 t# L% l(2)初始解的获取
) @% l" r* {5 T4 z可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
) }8 s! X- c- d6 i2 w+ b6 X移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
) M* M( k  d. W6 h+ c9 \8 f% C从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
7 k! L/ X9 u3 U, {  ]# p- \(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
8 B/ F  K, _5 Z. D4 q(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

' W* H+ ~3 @5 C0 h2 ^六、蚁群算法（AS）
# o: u$ f9 f) q2 N0 r( e
7 }- G0 |' u, t% F
参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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+ ]0 p$ B2 \4 m作者：_朝闻道_
来源：CSDN
- E. `. R& A8 j! w* H+ E: B



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