数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
  Y! I2 N. C; R4 u/ M
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介

1.1求解目标规划的思路
) e6 P& K7 {! r% \
（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
, @1 l1 a% w7 Z& h寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

4 E, x! E& m( _7 W# D+ X6 H1.2建立目标规划的条件

% H' g: n% ~$ r4 J. w（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
/ K7 C! B! p9 I, h
7 O" a1 x$ X) O) _2 x7 W1.3 目标规划的目标函数
( }; Z( n1 H" K. o0 v3 c" ^2 r
# B* ^* T* Q. v目标规划的目标函数基本三种形式为
) n$ G, g8 Y/ S（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
( m# {4 E( B% k" n3 L  q
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
) v) A% M' c1 ]; O$ M4 ]
# t0 @2 I! x" c/ p. }（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
0 x+ P5 P% `$ r7 c. X$ x) {6 A
. d, d4 _/ i( e7 {' u+ t
+ Q& v, |+ W. I+ x" f1 D! z& A1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

2 目标规划的一般数学模型

, n0 v: m+ |) @* j& y( P- E! J0 B设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


( |* c$ t- Y) c: }/ [3 w可用序贯算法求解目标规划。
; M, s: l/ s7 T( z
3 数据包网络分析（DEA）
5 p, D: ~) ?  j4 V3 m2 I! L
& M9 P0 v/ C0 a3.1适用范围
* _+ [6 E% D; J; B' X
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
% i2 h" }' ?' e& g$ @
3.2 数据包络分析的C2R模型
' |* Y$ t# i1 v$ c$ V6 y# M
' J! O9 p/ @0 M; g设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
% q: Y  y2 v/ u+ e6 N7 [, G向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
3 |1 U8 \$ e$ ]9 o7 l8 w6 P定义决策单元j的效率评价指数为
: p6 B, V  D' I评价决策单元效率j00的数学模型为
( f7 X  h% j' h
- c, X& b5 B1 G% w0 s, ^
% p3 j9 e0 X# P对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。

" {, K* p4 b1 i3 p- a5 p

5 a& A( N5 N# N6 t
$ h2 Y- m9 W: {0 [2 Z! c
) i+ w6 {) H6 S0 [) m2 r