数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
; t" X$ ~" s& J6 \
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
" G5 ~6 c- U6 u3 \/ x1 简介
" b' }9 c$ u# K6 r% g% f/ O5 ?
1.1求解目标规划的思路
" ~$ X3 z& ~9 X3 S
（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
" Q9 s; G6 o2 e$ E' H* j+ L) i2 _（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
9 C! ?* ]& m8 j. d- R& s7 S寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
7 z( g$ Z* r* |" e; J* K* r' i, O6 _（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
9 s* B: P$ ~% K8 X2 R（3）优先因子（优先等级）与权系数。

1.3 目标规划的目标函数

- [; ~/ R! f3 b" s# w0 m0 W" m( v目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
3 W2 d3 ~1 p  L/ b. k, x0 ^
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
! d4 E# v7 `/ v; a
5 D' r: I- k$ B7 R3 S  f& k# V（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
/ n6 B& x" C9 q% @2 e0 n

1.4 目标规划的模型应用

: `" y- d4 M0 y8 z9 J7 n（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
  \: P/ U1 w' j0 I7 g) Y
& B2 ^4 J! P) l# L) V4 d2 目标规划的一般数学模型

- o4 ?* y' P9 o& T' D/ n: D& v8 y设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
' ~( W1 |5 z8 I6 I+ h3 Q

可用序贯算法求解目标规划。
% x( A8 H  p% i/ Z
3 数据包网络分析（DEA）

# j2 y  k  r* r- q9 l+ y5 t( \3.1适用范围

, O. R/ R( r% n0 @2 \DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

3.2 数据包络分析的C2R模型

$ X' v8 B& i3 H  e% r设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
: S; M0 o. M0 g  X, [8 i  w向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
" W; D; X) j  k) H) u/ m定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为
  w  e9 o$ z$ n- H" m- n
$ n# r0 }+ P  G
% _- \% ?8 h. x, b9 B1 r对于C2R模型，有如下定义：
. x! h; ~6 o; M# y（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
2 a, d( o8 R: p- d$ F! V+ |




8 g) U5 L4 P% i8 u4 P2 t4 i+ [4 k+ i
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