数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划

1 Q3 j3 m9 R+ I线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介
0 ]" o8 a- a) l. N2 h
% `/ A* H  c$ t, c1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
* j% N9 u& i6 X4 W- l& `8 c( M为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
; F5 t* }5 a% f" h+ ]' W! ~将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
# |* o. c; E, P* b. r5 \: u
$ B% p- e; y! E0 V4 O1 o" Z. ~; E1.2建立目标规划的条件
  D! m; f5 s- l5 N# d" v  n. F
; w# h5 E1 e8 S9 I% ?% @" Q. i（1）正、负偏差变量。
0 @' S* Z2 h2 s3 ]: k, \3 K（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
! U2 _- s1 e' v+ s: V% Q2 I4 k" _
1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
( v5 {0 S/ f% r! q
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


1.4 目标规划的模型应用
' v" W. b) L- j+ ?9 a
) ~; x- C7 N; z. i6 C# h（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
3 C( i9 w7 i* t0 ~9 [( R2 ?" ~3 B
7 o$ D. a5 U0 Y5 i3 b2 目标规划的一般数学模型

/ ]7 ^$ h( f/ t8 r" d6 v& ?设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
' o2 |; l- \0 D* F- l  k

" ~% c3 ^# Y+ m" |5 f可用序贯算法求解目标规划。
9 T4 H; e0 J8 I0 p; U
3 [7 x6 {, P3 a8 u! Q3 数据包网络分析（DEA）
) A' i; N, X7 h6 w. [8 w
3.1适用范围
! P9 m6 z+ q, j& A/ ~
9 I! @7 Y. b" ^9 |$ JDEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

3.2 数据包络分析的C2R模型

0 z% |& j0 m3 N设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
; c  Y- Z, p8 X0 F- G评价决策单元效率j00的数学模型为
0 C: m$ s" J2 ?& \

4 ~5 `% n' ]2 X/ J7 ~1 M: i5 ^% e对于C2R模型，有如下定义：
' ]; v& P/ a, G6 u  K: g（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
, K$ |$ K2 r; }4 ]（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
) I( X7 |! ~3 y- e/ o

8 [9 z  A4 R7 V6 U
% j9 Z  |: P3 f" L! k& j; o


3 i9 _  X2 ?$ F. w