排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。




) A2 k) Q" u- O4 R
2 损失制排队模型计算实例
: m& G/ w. @1 B8 i2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
, ]/ c/ E4 D/ F9 l( z' p例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
  O' c6 r9 m9 f: I! h0 m! N  p0 n
0 G" {$ v! [  ~; T  i
; X# x2 {2 n& U# X- h: G: w$ V
model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
+ D8 f$ ^1 k+ K- _; R! q5 _0 tPlost=@pel(rho,s);
$ s1 M* i/ q  cQ=1-Plost;
/ S4 P' W. W: u! `3 \lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
5 R3 B# e2 g, Eend
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2 Z$ q) D. }/ T! e/ u* H: N2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
+ O& g% g6 c$ |4 B  D3 f
1 B4 U* n+ t4 j% x0 p  k8 F4 {: v解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
7 j5 I! T; b- A0 a


/ C& w' x- B, w1 Y

由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

& b) b1 W4 n  }6 wmodel:
* T0 r4 I9 \) N$ o* [$ |% ?9 L1 v' {lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
& h3 L) w; h6 F1 Q( K7 yQ=1-Plost;
/ \$ u) L; }6 m+ n, p9 T5 Dlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
* x) v) X; m: z, I% Y9 J/ I2 Dend
* O% B; p: Z# k, Z* R% g& G- r求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
* X7 O1 t- l8 ^0 J! I
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
: z" q9 L3 d  O. D6 H# p( j! t
& b1 Z2 B4 [5 n1 ~% B! \第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：

model:
5 q$ V6 N3 e" [  w7 Slamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
5 l+ V5 E) L$ |7 `# [# b@pel(rho,s)=0.05;
end
求得 s =14.33555。
5 h! `: o3 n2 O
第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
# C& r; S# ~5 D+ _; u' ^8 Qlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
( k# y$ p6 Q) D( Z+ y" M1 Tlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
6 I7 Q* j/ A4 KL_s=lamda_e/mu;
) G# f, V% f! Y. p2 c6 Peta=L_s/s;
end
/ S- s6 O" c4 [. L比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
* Q/ h% w! [3 g; K& n" @————————————————
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