排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
+ ?2 @$ C9 ]9 X7 H
1 损失制排队模型的基本参数
! r1 y$ O( Z0 I/ j对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
" k. a$ Z8 [6 i7 H2 j7 [  E9 c. g
& `- i9 v* `" h
" h1 W: N2 L% c, p

- D$ z9 V0 e3 D! h
2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
) @; _- B5 \  i2 C* y6 |2 ~

8 p8 r$ y! h- o, w7 \0 S1 T% I& ]
model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
$ L% p+ t! ~4 h8 s3 b8 KPlost=@pel(rho,s);
  s8 ~0 e$ B% C' Y8 l, G  ^Q=1-Plost;
9 E1 v7 m$ \  N: V- o* elamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
" E' r! y  n6 B+ x0 ^L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
9 m: w' N! o  H7 L. s, J, X求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
+ d  X5 }/ `" T
" t, z$ ^- C% _6 n: p2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
6 K5 ?- g" y& S# ^) r$ Y% b- ~) R例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
+ d& J$ W  x2 ?4 T3 [* {! C3 H( X3 d
! u5 A; C9 W2 o3 I3 I# S解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为


* S% `! I( J. X) X5 O

" u5 t2 t. D& n6 F( y
& g* T  e* x0 A9 P" S由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
+ l1 e8 `! L0 L  J2 I9 x/ l
model:
4 N% P& \7 P$ V! o% o$ _! V- ~lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
# Q( A. X; ~5 J" C; q: o# `Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
2 Y0 G' G. X5 oQ=1-Plost;
* ^8 ?& L& z! v3 Alamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
4 e( J1 l  i( ?eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
6 x$ }! B& F8 J! O3 aend
! y' W( z2 P0 H' u0 j& J% n求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
. c+ U7 f' z- o
9 \; p4 n' Z% E! z求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
  R( q- C" i3 w8 D4 B6 D. k. v- F
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
% C* H# U9 S8 [6 X
model:
' o" F& V& C; p( V8 p7 blamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
) {* @2 m% Y% {9 Y@pel(rho,s)=0.05;
6 o  b7 p* t4 v0 Xend
* e' h7 e* z" {: k" K# i求得 s =14.33555。
0 J( H- j/ ^# u% Y) R" |
8 L* O( @, \5 v6 \- a7 R- D, K第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
, b/ z* O8 @7 w, S- I
model:
4 \; J. N! U7 qlamda=200;
3 e) ]7 F( B, H& d: ]* Hmu=60/3;rho=lamda/mu;
9 m0 Z+ X: A: s- d3 ms=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
8 q$ c( R( Q+ ^/ v2 F  n4 B, a/ F8 ^L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
9 {$ {8 H0 }, U- r1 A8 ]————————————————
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* I" f( S1 K4 q6 p1 V2 c
8 X- P, R* X5 H+ K, }: T