排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
: G+ K8 e9 g$ d& q' `  M5 S/ O1 s' B
1 损失制排队模型的基本参数
$ s- f1 y+ u$ O! X! o3 `; @对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

: n; n" l+ z2 h


1 U) ]2 ~% N) V4 c
2 损失制排队模型计算实例
1 t: Y  K% ^4 |/ l2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
! Q! C4 C8 S( V& N8 u" v例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。



model:
3 V+ D' L% R2 M5 C5 Y: H* Z) ys=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
- y  d7 i$ k2 b9 u! oQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
, a0 i" A3 Z3 V, z  D- t# beta=L_s/s;
6 {' J! g% Q( nend
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

, l& d- @+ y! @. P2 ]5 K; K' ]2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
3 J' D7 ]3 H0 O2 k+ {4 }例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
- n" @+ h6 `7 W( Y. x

% O; P7 ~1 I6 ~. v7 G


由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
+ V/ Y5 u( }. n
9 Z# |: _0 @! d3 j" B/ s: Amodel:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
9 T( l- Q" ^3 H- M( Z5 L5 TPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
" P  @) R% ~# p. v9 L) M& X% v1 o% Elamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
3 B; K4 G8 ^+ L  C0 p' Q, D8 jL_s=lamda_e/mu;
2 E5 z  V5 n2 [# i0 U3 _eta=L_s/s;
9 h$ \: e( z8 v6 hmin=s;@gin(s);
end
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

9 C  g7 ?0 T) q% |5 n求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
! z+ t: D' w  U$ [) s  L
model:
  A- e1 ^% V% z8 r$ v) \8 p  }lamda=200;
9 }2 |' b: m) _4 ?: Imu=60/3;rho=lamda/mu;
5 r: M( r& z6 r* {9 K@pel(rho,s)=0.05;
7 ^5 a. ]+ m. ^" e, |' O& [end
" Y7 Y# G& k3 z2 ^求得 s =14.33555。

. ^! y6 {3 w) ?第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

model:
) [+ v& Y7 w) Q+ `# Tlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
- w) n" ^/ g1 k4 b# ls=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
) _' d1 X( f" P; yend
9 |0 c9 Z' f- |: k- e  Z5 G比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
% E" N8 W$ V! m, K2 c6 \————————————————
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