排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
: I2 n  E/ X4 v4 V
; |. D5 X& R. C; R9 \6 {: u1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
* Z- ?" I, F1 I  i5 I

7 |  ^! H- m/ W: {: a0 f
% X: P+ \& H( P6 z* t/ b' N. j
# l$ {3 R1 J* }& H3 F2 q4 g
2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
2 w  d  c2 o, w3 F' V  X$ d例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
. J- N0 I+ R% n' A: V  i3 e- k
' x6 s) }5 _% c' F* I
* y. D7 d; l. s3 L# q9 x
0 Y1 m6 q5 Y' o& j- L2 n+ {, |model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
* b+ Y7 H, v+ k7 Jlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
8 A( S, B2 u+ {( A. W% yeta=L_s/s;
1 B0 o& Y( E/ {) Z5 |end
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
9 I5 a( e, E$ ]+ Z! h* u
解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为

9 b  _0 e. }* r& n# N" ?

( |; N- l' t: k1 X' Y8 r

  l- W7 l: A- @0 L% s& C由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
! b: k8 l3 E9 C1 b
# p/ V0 e% ^5 a; j" a7 b0 omodel:
5 J% a  C* N, b1 dlamda=200;
2 c. ~* c. Q) G8 Jmu=60/3;rho=lamda/mu;
- O, f3 h  n1 ~6 H7 @- @) Z8 EPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
8 Y" Q% O) F) [Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
  E' `* ]: ?. b) jL_s=lamda_e/mu;
( C4 |( E% E5 seta=L_s/s;
$ g( Z* d9 E8 @/ \min=s;@gin(s);
end
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

- ^- q3 G. N- [求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
0 D1 z7 y  \: x5 e+ b3 C
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
" w. g8 S9 g3 X2 ?3 K- ^
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
# {9 h. `9 @# l8 f@pel(rho,s)=0.05;
end
求得 s =14.33555。
" n/ Q* o& o9 ?+ Z4 }$ y
* L  P. F# F/ D; p第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
7 J  o. T. L% m+ E; ?
model:
lamda=200;
! Z; G5 c# Y. H# N$ Nmu=60/3;rho=lamda/mu;
- s* s7 T1 \  w; R6 l! V5 v" L. Ps=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
8 A# K0 K+ v: u% {! clamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
end
" Q% s, a$ O9 [: U- w# b. R/ e比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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  L  W9 `6 p9 |( b- D2 ?+ r