排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
' `' N, P+ D9 u0 n7 m/ c
, i8 a$ `. y# Y. d9 I1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。




; M7 Z7 ]$ S' ?- t
2 损失制排队模型计算实例
5 |3 F& u+ K2 E, p1 U. k" ]6 O. E2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
7 K, E; w# R  a' G! F0 y. v# e# O- `例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。

4 O1 ^) K) N& \" Y% I; q
* l* z/ M7 F% v' Y5 }& E
model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
6 ?: L$ D6 M" B. H$ R; {* {Plost=@pel(rho,s);
5 g9 w, @% {/ d! v; x7 tQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
! P3 a$ I. g) V: v6 H5 h9 f: t( bend
' H6 j1 @6 N- @7 B. S2 v' B) S( i求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
% ?) y9 j9 X+ A! C5 U
2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
2 _: L% s2 d: O6 t% f' z7 F6 \例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
) H+ L8 C. X! S' V6 r2 Y" G
9 }$ j$ w  Q  z, ?/ _5 {5 d
  f" [# N( u& ^1 V& f) Z3 |$ Y& y
) r1 D# b% h9 `9 h0 Q# [
1 Y" A6 b9 {& |" j( y
# x5 d/ M/ R1 x由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

5 P- j0 w7 w  ?( d' B' Y- nmodel:
: Y5 ~. @2 l+ o% w; `9 vlamda=200;
( d5 S0 A4 ^! S# p4 z+ ~mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
Q=1-Plost;
* n7 j5 i+ v! N0 V3 |3 mlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
- p4 V2 R" [; [* A# U" Q! ZL_s=lamda_e/mu;
+ h, `0 A3 u/ e! g1 _3 L2 Aeta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
end
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

9 `; n4 k  \$ d! S! ?第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
$ d0 ^# H( A- q- `
model:
! g% q  p! e) q9 }# o" wlamda=200;
+ f; ?8 m* M7 _$ _: j$ Q/ R' X- Tmu=60/3;rho=lamda/mu;
% a* N. D: u: f7 X2 R9 r@pel(rho,s)=0.05;
end
$ U" `5 ^5 g& ]! ~/ u, d求得 s =14.33555。
! w7 k/ D7 y: b
* w7 N! i6 D1 H& p+ O6 i% k第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
* e) u* U& y9 A$ Q8 M5 }$ I. P
/ v9 h0 Q1 T6 F- W2 i0 ?1 a* Mmodel:
$ |/ g9 r3 M( k5 h  \8 M0 dlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
1 G3 _: V' Y/ K) gQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
6 o/ V( K& r/ T# f( {end
/ ]0 J& P. ~  w/ _5 e7 f比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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