中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
3 l5 b* D) c* f8 ^微分方程问题
% m3 W, u) i1 E+ X  q微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
2、找出这些量所满足的基本规律。
3、运用这些规律列出方程和定解条件。
! C6 I) r" F8 p6 p. m: h7 K! F常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。


0 k' _$ r: I5 L1 i几类微分方程的应用实例
9 m2 \. d! _7 z1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：
+ M% l4 }6 n% _! P
* K- p' d1 F2 a3 x) B0 R
. n7 E. m+ {% Q7 [, r$ |第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解
' |1 a% s) l5 W7 @1 `
$ d% l. p1 _0 x9 t
1 c: l( G* t# M1 f9 n! [+ Sclc,clear
% H  y. w% d* z7 F0 Pa=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
! ?3 v4 K/ U' Jx=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
# _% B& E+ }8 Bx=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
5 h+ P* y! N) B* N, _, mfun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
1 @! w$ c7 R, @8 F1
; ]4 p. W) |. S6 H) z' l$ ]& q0 O2
3
3 X' l( P: i4 M$ A8 F/ j) S1 P4
4 j8 U! }1 w; a% s5
6
3 i, q$ u9 _/ J% k* T; r+ z/ T7
1 t. W- k- ~2 V9 B6 q( G  A2 d8
9
第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）
  `6 V4 f( s% R) C3 Q



clc,clear
; g6 ~# [. G' Ja=textread('data4.txt');
" U0 N) n- }, K) }6 n& N- L/ U" px=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
! `5 r; o. k# T5 Ocs=a\b;
$ k1 w: z) I, |" ]  G2 |. ^r=cs(1);xm=r/cs(2);
1
% p0 }: n% N: h/ \9 \3 @$ o* v2
3
4
5
( i# w& Y- M% k; t1 c2 I6
- T* n' |  e' D/ H/ [' j# t7
8

# c: P7 m8 t: E4 s, q
6 r9 J2 H: T/ @3 {8 `1 b
& e. b& O2 X2 c9 M# P+ s9 n( W3 w
clc,clear
a=textread('data4.txt');
x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
! Q% a6 f, A4 [/ q4 L9 {t=[1790:10:2000]';
a=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
cs=a\b;
& L, S+ G2 Q5 N" p; d' K' hr=cs(1);xm=r/cs(2);
. C& e7 Y  j6 S# E$ w6 I1
2
: M  G8 e7 v) P: m( T3
4 y; T' r2 I$ a4
5
6 l) a! t( k9 S* i: c! }1 C) H6
! E- s7 M$ }+ \, S7
8
参考文献
司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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