中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）

杨利霞

中国大学生数学建模竞赛备赛（十三）
微分方程问题
" T% N5 q' z1 I微分方程建模
1、根据实际要求确定要研究的量。
2、找出这些量所满足的基本规律。
; V. H7 Z4 e  V* v, A+ L6 H! {3、运用这些规律列出方程和定解条件。
1 y! F" i: ^! d. U2 L5 r$ u常见的列方程方法：
（1）依照规律直接列；（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法；（3）模拟分析法。
/ @( t2 ]2 d1 W( o

" ?7 l. g3 h& d/ s& G几类微分方程的应用实例
1、发射火箭使用三级推进器。（P103-P107）
. X6 B/ O2 R9 u* N2、人口模型：（1）Malthus模型；（2）阻滞增长模型（Logistic模型）。（P107-P110）
例题：


第一种方法：非线性最小二乘估计，也可以称之为微分方程反问题的求解

% |9 E0 Q3 l- g4 x1 c
4 l" h, u0 Q* E7 I* Z8 k4 T0 \& aclc,clear
5 \  C5 F1 W9 R2 E% Xa=textread('data4.txt');//把原始的数据保存在纯文本文件data4.txt中
/ S6 \; g+ K1 s% `  a3 Z* Y/ ex=a([2:2:6],';//提出需要的人口数据
x=nonzeros(x);//去掉后面的0，变成列向量
t=[1790:10:2000]';
t0=t(1);x0=x(1);
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));//cs(1)=xm,cs(2)=r
+ p/ }3 v) A4 f# p" Pcs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1));//后向差分
xhat=fun(cs,[t,2010]);
! L8 Z) x" O* J! G1
7 U: x5 e& k% F  X2
3
4
5
6
7
8
9
, G( [* C8 @0 o# _4 c: [1 B. Y0 t( Z* w第二种方法：线性最小二乘法（参考之前写的最小二乘拟合原理）

; C  @, E. |! z7 }$ [
+ a5 C7 I8 f+ j& x; j( Y9 E! v

clc,clear
, W. `+ V+ u8 k% j: oa=textread('data4.txt');
* H5 B+ j! ~. {$ Ux=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
  ?. F$ b* x. a/ v: lt=[1790:10:2000]';
" s3 X% H* f5 J" m& [* aa=[ones(21,1),-x(2:end)];
b=diff(x)./x(2:end)/10;
cs=a\b;
r=cs(1);xm=r/cs(2);
) J, o# `5 ~% S& A1
) q: [9 _; ]) _, p5 ^5 Z0 T2
3
4
3 J0 ^& q+ F4 z7 K+ Q& \5
6
7
8
; F% T$ d, |" y3 i
7 ?$ [+ Z* h/ I* v' _  e


, T) Y$ R0 h. |0 o  f3 T( [clc,clear
a=textread('data4.txt');
5 L1 U1 e! f) D6 m% }x=a([2:2:6],';x=nonzeros(x);
0 |' z. P+ y' Jt=[1790:10:2000]';
+ a6 e. v! O: `4 I( A" H" s5 g$ sa=[ones(21,1),-x(1:end-1)];
b=diff(x)./x(1:end-1)/10;
3 h$ l% u9 z: g1 e/ _cs=a\b;
- c: a) r* p9 {9 I( x  m6 r/ k  ar=cs(1);xm=r/cs(2);
/ N' [0 v0 e$ V1 E1
# {- b/ U3 L. }. t3 o2
2 u1 W( C- Z" ^, t: {3
; C; m$ v  D& ?4 z  Q) h) x4
3 X& D2 d) `% m# P9 G3 F# o5
6
2 {# M+ X3 i1 A+ W! Y; e7
" ]( z/ [( m5 G8
) S! G, }1 M' a1 i) g参考文献
5 O+ N2 m! C  a( Y/ m' Y司守奎，孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京：国防工业出版社，2011.
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