KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
" w9 P  B* u$ m) E2 e
  ~# h4 Z" U- D+ n/ ~
提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
  ^& c' Q; T- }7 U  h- _; i　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
, ]- H0 E$ g- w8 y* F% h" N　　
' J; _( W! L3 g9 T" ^0 Z　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
1 Q5 {8 l* E1 x5 R　　
先上代码
' N0 r3 U! R" u9 Y9 U) A3 P
1 ?  |4 n. m8 q5 @# |) t( e3 R
1 k4 A# j) c5 X% o3 s, Jvoid Getnext(int next[],String t)
{
2 m4 j% W, ?; T; C   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
3 Q  T6 c; q4 }+ F* l6 ?6 G0 t4 R   while(j<t.length-1)
* j7 s3 b3 ?" ]8 F' g# [   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
/ _  m% x9 z9 h  p! `         j++;k++;
% M0 G0 \$ f4 Y' E+ p         next[j] = k;
8 d8 q) q; y7 [% ^# l" j3 _3 D      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
% R* b8 c" l" w( G. b   }
}
# ^3 J6 E( D- u- H9 C4 D, U. T5 h
ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程


特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
  _8 ]. I: C2 }+ T

3 ~- ]% V. F$ A  B5 O! u& B0 o当 t[j] == t[k] 的情况
$ `! |  X; z0 W. P' j0 t2 h举个栗子
7 Y7 Y; n3 Q8 E! C
观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
9 z! g! b' [, D& C& a2 t$ x. P
. m. o4 f6 u# J" |1 e
当t[j] != t[k] 的情况
5 X( W' s) P8 }) w+ J关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
* ~3 O) h! o* {0 ~
6 d- _+ o1 T9 I+ {
9 k% x, m! q1 j' o我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

) ]5 H! p) W  L1 \  e7 r9 ~　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

3 ^: H. C$ c* a4 f
: x4 X* r' G( B4 Z0 [7 h至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
( |6 |8 w2 v* n
  v+ p- \0 O6 [. x4 F- H
9 d0 p2 I& N; @) X% W/ @6 A$ T因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。

" @6 W$ ~4 k" J7 @( Y
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了


KMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
( F  d: n' Z) h& P以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
, s3 {# L) `. J. Q" f
& A: m1 C- L! D! j/ Z/ }上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。

# x, W, J/ n9 ~" ~, w
0 t% j" @. e* _5 F都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
' u, W5 Z$ u: D; Y+ K) E/ L( v

int KMP(String s,String t)
& [+ {, R, u( u1 H: w' ?3 F{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
9 Z& e# k, U1 y2 E   Getnext(t,next);
9 D8 ^' I3 T* L   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
: ^$ P# h% X# u* ~      {
         i++;
         j++;
9 V2 p# E( J$ @. a  O      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
) \$ Z6 C: x' e. x' h8 d3 L   }
   if(j>=t.length)
: h" r* ^* J- J4 C       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
3 N" q1 @9 S0 L( s" [% O$ I   else
3 r6 G: X: x3 |- `  E      return (-1);                  //没找到
}
2 I" G& z, \0 ?# n0 Y% q1 l
改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

" ?# [- W9 g) ~/ Y8 \  I2 }1 p
8 n8 o" O5 b$ T& `3 a- \2 w所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

7 C* U/ G: I# ?& z( G不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。


, V+ Q) K9 j; ^: W- X0 m6 ^显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
5 i4 O' w; Q# \& P

3 e& P3 P, Q5 a8 G. Q: B  m所以我们需要谈价一个判断：
- c, ]+ i' U) X, X2 Y4 K6 l2 G
6 n2 G3 k, ]/ t% c9 U2 O+ j7 y
' m/ Z6 W7 A2 a" {, Tvoid Getnext(int next[],String t)
- |2 L- z% m  P( u9 `{
   int j=0,k=-1;
0 V, ^1 z, ]1 u+ z   next[0]=-1;
0 M! R0 ^/ x" g0 X+ \   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
) n2 T# }4 {& d( V         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
& v# k* ?1 P9 ~* y            next[j] = next[k];
         else
0 N0 d! L4 K9 L            next[j] = k;
& A; N0 C2 x% g      }
. m" X2 Y! i8 e      else k = next[k];
) V. e7 A2 |4 A7 D. V* M   }
5 j# H/ X1 J8 F& |* S}
1 ~5 \  w8 g- h$ Q, ^# e0 k————————————————
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