KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
- G! |( @0 [5 B( H0 h& C. \　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。


, k/ \- v% n  X) M" T! l, E提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
; M0 Q6 M1 b5 I1 B" h0 f* F　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
/ }* }0 F+ b5 u2 W( ?8 M　　
1 j$ e: p; \( x- V! @9 i4 v! ~+ I先上代码
9 e, w6 t5 E1 W, z" S
- D1 x2 H0 s5 F2 \$ D) }
3 e, |( h8 r+ B: h1 ~void Getnext(int next[],String t)
{
0 S# a6 e0 ]! p. C& T0 V( n  _   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
/ X$ q6 B. z( O" R$ N# c/ I$ v   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
( `6 J* W$ U9 M4 m2 X      {
         j++;k++;
         next[j] = k;
      }
. @" n. e* v/ n. d      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
# ~' a  b+ S; I, i- \3 U; a$ }}
0 G* R3 b$ d" L. M/ F3 B! }
0 v) Y% [1 |& T: Lok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程


特殊情况
# g# w7 A5 n0 d; _: p5 a. J当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
3 ^4 n% A* U2 n% h9 j/ M
5 C+ t* @  M" g& M
当 t[j] == t[k] 的情况
举个栗子
  R8 v! V6 |# e, A$ q
! `& ~  m+ ]& W: P3 W3 h& v8 |# s. ?观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
/ Y2 y4 m5 l- f; I  }4 k
: g" i3 I4 E" k7 Y4 d( b
$ ~5 a% ~' Z. p  |4 Y  P当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。


我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
% v" x  s" I' ^# i5 \
　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

+ ]7 |' L, M0 Q, U+ ~
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
* I9 A  k' |1 y0 H: j; M
5 Y+ m* ~* W+ D) l3 A$ X/ p2 N, U
# Y6 @* x( h2 v3 p$ y5 l0 P因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了


KMP算法实现
' ?! K$ _7 x) D) e9 C当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
, d4 N# R7 D7 O7 u% F( n以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
& n) W) G+ f+ p
根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”
6 H6 d' D% T* o+ F- g$ m
将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。
4 i0 y) z* V: q. Y$ {* y2 s+ }

都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
4 v+ F( H1 R' v, I% N9 V: u+ x
' D5 Z( [8 k0 ?& w
int KMP(String s,String t)
{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
+ L6 u" _" Z8 u$ [" b0 f4 ~   {
      if(j==-1 || s==t[j])
8 E! C  O$ H: A! [$ A$ H6 d( h      {
) H+ X- h4 A9 {. o' b         i++;
" v* P5 G$ R+ v+ c/ i         j++;
8 I: n3 p$ N1 w5 f' `: H: ~! a      }
; h& f* }+ G0 L8 x6 h1 }0 E* Y2 L; `      else j=next[j];               //j回退。。。
& H+ F* {; l- a$ P   }
   if(j>=t.length)
9 S9 b$ b- w, A* o7 |8 V       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
6 D3 c5 X, H, Z2 R5 P# T; W   else
& t+ T+ m! m1 O3 X( a: q5 a      return (-1);                  //没找到
% U0 C- }) O( G" j2 A4 M: a8 R; ^% u}

改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：

3 c# Y( `1 B: Q" E) n3 W& u4 G8 I显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]


所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
6 t: C+ ]6 G6 h) h
不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
( Z  @4 Y! q5 B# l3 R9 M

显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。

* |+ x$ x6 [* y4 T
所以我们需要谈价一个判断：

. p. X9 U) w6 N4 h0 d- ]5 y
& g( |. W9 \3 Gvoid Getnext(int next[],String t)
{
4 h2 v2 ~9 }& f  f% z   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
- D* f8 }' l0 e% }5 R9 K   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
$ X7 M% E- [  p* Y         j++;k++;
0 Y- ~8 I1 u: J1 w- d0 v         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
7 o: f; o" H% l( L3 q1 D  Z7 n            next[j] = k;
      }
      else k = next[k];
3 H1 U5 ?" b9 u9 d, u   }
- @/ J. B' `2 [* V5 u# G3 t}
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- H  y( W' F/ e# r5 o0 D

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