KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
- D6 Z3 R+ _* y  H; {

9 x1 g  @/ _, D" g提取加速匹配的信息
$ A, a; ]7 w! T4 o/ z' t- a　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
( T. x1 h3 U6 Z1 `6 T( c( `' R　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
1 \* _9 ?* t2 v9 v% a6 z　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
　　
* T0 M, e; C* G' J2 `1 h先上代码


6 O1 @: X4 T$ ~6 ?0 `' o$ s6 Q, Cvoid Getnext(int next[],String t)
{
   int j=0,k=-1;
! |4 a7 e) N! D+ M   next[0]=-1;
& |) ^' B9 u: @3 b   while(j<t.length-1)
+ L) _" P$ \5 q$ u  S   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
6 f- R/ k6 x7 j: x6 M0 p, _4 Z& ~         j++;k++;
         next[j] = k;
8 _5 O, {5 Y6 \( ~$ a, I      }
2 w: X. G, u/ D: z1 u      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
0 Q" p. @% q* }) F1 H% G! o$ W. G1 Z8 s   }
}

1 `6 w4 s# B) `2 u; H- Hok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程
; ~5 F+ s: v8 b, u4 A" k9 z; t% Q
  k9 U$ j0 y3 x
& h, ~; y4 `% U- j6 ]特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。

# \" D, F: S& B% b  i4 i5 V: v* u3 ^: m
. o% p& u6 Q" C# U当 t[j] == t[k] 的情况
. p/ Z; l1 g2 e2 G# N% {" [举个栗子
9 _7 o5 ~' Z, c0 g: X
' c) l. R# J* ^) f& j! G观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。
8 l0 x4 n3 U+ l& c6 c! C0 W7 F4 L3 @

当t[j] != t[k] 的情况
5 R8 Y7 j% Y8 s( C* h2 I关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。


3 i8 M6 h' W, ?' @$ R$ W4 F' G7 E我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

! e* c* x1 K8 c# J; i$ |　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

2 e7 }  j5 p) N7 X/ M; A7 Y6 v
+ b3 d2 b4 ?0 a至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）
& i5 Y1 S+ D6 F6 G, c0 h" ]

因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
! m$ G$ n$ g4 [$ ]$ p, ]
& Y7 M4 X. K$ s# h- I1 H
# {" H& r& ^8 {( UKMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
2 ]/ _- a$ s8 J* P以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例

1 C% P2 O1 J1 R% {7 I* n) s, {上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。

根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。

- |& D, C) `' P8 T5 k
4 @! m2 c' T0 @4 T1 v* @6 d$ K都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
  m) Z; g  D" Q8 W* K% @. `+ T* ]
- `( x8 r+ `7 d; }- G" C
int KMP(String s,String t)
{
; y. r" }! Z; R   int next[MaxSize],i=0;j=0;
0 ?4 c# i% i3 T5 J   Getnext(t,next);
   while(i<s.length&&j<t.length)
' Q0 V0 Z2 q0 S0 g   {
4 Z8 Y. D( u$ e" _6 h' `      if(j==-1 || s==t[j])
      {
         i++;
" T0 }5 ?' T+ Y  x         j++;
      }
. J3 ?' V: S6 a4 W) Y5 t      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
   if(j>=t.length)
) p/ u- b7 o# e' r       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
" m% U0 a' e, _7 u+ X, d   else
      return (-1);                  //没找到
/ u! b$ R; o4 [& K}
6 w7 [4 d; H) [; _" B6 A
改进后的 next 求解方法
; ?- K8 i3 ~2 o, N7 \先来看一下上面算法存在的缺陷：
- ?* ~* J* W' G2 _
, `) u, ^8 X5 \8 k显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

1 m- t$ K8 W+ W, N
# i8 V6 o2 g$ Z7 x9 u% P8 y- G1 e$ n所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
3 r! {/ b. y) V7 W3 W8 v- F

显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。
5 ]$ y+ ]3 _3 i5 I
( g  J! N7 z; r! |
所以我们需要谈价一个判断：
- n  f6 J" B0 C4 j. S# k. U2 K8 V0 r
9 S8 J; r7 Z8 m; V* i
void Getnext(int next[],String t)
{
   int j=0,k=-1;
5 D% |: L. W. O2 q& n   next[0]=-1;
; O. g  {$ q# M6 ^! y   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
- m  t+ {- d# K- `7 ^: r: o      {
         j++;k++;
$ U: h( E- n* c         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
3 [6 M* r* k$ a            next[j] = k;
: A( |1 C- S1 d, z$ [      }
      else k = next[k];
   }
}
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9 j0 ?9 O( _3 U, `/ X原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
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