国赛优秀论文2020年A题第一弹

普大帝

你好！我是陪你一起进阶人生的普大帝！愿你成才！祝你成长！
8月1日数学中国国赛夏令营开始，9月国赛正式开始，应同学们的要求，我会在近期陆续更新一些国赛获奖的优秀论文，先把能找到的近几年的更新一些，祝每个认真学习的同学都能拿到国赛一等奖！

基于一维热传导方程的炉温曲线机理模型研究
摘要:
回焊炉通过加热,将电子元件自动焊接到电路板上,在集成电路板等电子产品的生产中具有广泛的应用.本文主要研究回焊炉焊接中心的炉温曲线,建立了基于热传导方程与牛顿冷却定律的温度分布模型,利用最小二乘法、差分法、优化模型进行求解。

对于问题一:首先对题干某次实验中的情况,基于一维热传导方程,建立回焊炉内部的温度分布模型.再通过热传导方程与牛顿冷却定律,建立焊接区域的温度分布模型.结合两个模型,确定初边值条件,建立微分控制方程组(包含四个待求参数).利用差分法对方程组逐层求解,基于最小二乘原理,拟合实测温度,遍历得到最优的参数组合.将该组参数代入后得到一维热传递模型.将问题一中的设定温度代入后,计算出炉温曲线.得到结果如下: u(小温区3中点) =138.92℃,u(小温区6中点)=172.24℃,u小温区7点)=190.17℃,
u(小温区8 8终点) :: =223.16℃

对于问题二:建立单目标优化模型.首先,确定最优准则-过炉速度最大;其次确定约束条件为制程界限;其次,再对约束条件进行差分,得出差分后的约束条件;然后,应用问题一中得出的热传递模型,并用循环遍历的方法,借助C++语言,搜索出该温度分布条件下最大速度为76cm/min.

对于问题三:建立单目标优化问题.首先,确定最优准则-炉温曲线超过217℃到峰值温度所覆盖的面积最小;其次确定约束条件为制程界限,并将其函数化表示;其次,再对约束条件进行差分,得出差分后的约束条件;然后,应用问题一中得出的热传递模型,运用爬山算法与A*算法,借助 C++语言,搜索出该温度分布条件下最优温度组合为: (185,203,238,265,25,97),最优过炉速度为95cm/
min。

对于问题四:是在问题三基础上的多目标优化问题,可以将两目标进行线性加权处理得到单一目标,建立单目标优化模型.首先,确定最优准则-炉温曲线超过217℃到峰值温度所覆盖的面积最小与以峰值温度为中心线的两侧超过217℃的炉温曲线尽量对称,并取偏差平方表示出第二个指标;其次,对两个目标其进行线性加权整合为最终单一的优化目标,并写出差分后的微分方程,最终再建立以该单一目标为目标的优化模型.随后,与问题三类似,应用问题一中得出的热传递模型,运用爬山算法与A*算法,借助C++语言,搜索出该温度分布条件下最优温度组合为: (185,204,245,265,25,100),最优过炉速度为100cm/min.

最后对本文所建立的模型进行了讨论和分析,综合评价模型.

关键词 热传导方程 牛顿冷却定律 差分法 优化模型 爬山算法 A*算法