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求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。这对于处理非标准的MST问题非常方便。我们主要参考了文[7]。
( D1 J6 J! {+ b在图论中，称无圈的连通图为树。在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G的生成树。生成树上各边的权之和称为该生成树的权。连通图G的权最小的生成树称为图G的最小生成树。
0 Z0 q1 m7 {& p$ E; ]许多实际问题都可以归结为最小生成树。例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。为了说明问题,以下面的问题作为范例。 - z0 e6 B- q3 M/ g/ ` \; ?
范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。试求出使电话线总长度最小的架线方案。 7 n: Y; D: B2 a+ A, E% E( e
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| val>val>val>val>val>val>val>val>val>val>val>val>为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。
6 M$ }) f7 a+ [7 ?% d MST的整数规划模型如下：
) N9 z1 f9 Q. |% @- Z & o" c$ F/ N ^- @; d
/ j6 U- s. ^; s4 s7 O' R
$ l5 U. I- ?4 v# p" F8 C5 a# u2 i
" P0 B4 \( c- L# P# x
7 T! f! } _* Y+ E# V5 n7 J& R1 Z
; I: B. ?& M5 E* a" z# @! h 例7.7 分配问题（指派问题，Assignment Problem） 4 L" F, {; d: F1 |/ `4 D+ O3 R5 U
这是个给n个人分配n项工作以获得某个最高总效果的问题。第i个人完成第j项工作需要平均时间 。要求给每个人分配一项工作，并要求分配完这些工作，以使完成全部任务的总时间为最小。该问题可表示如下：
! C- _( {' n; \* L5 r7 U
: ?" q |, r0 M m& j: i
显然，此问题可看作是运输问题的特殊情况。可将此问题看作具有n个源和n个汇的问题，每个源有1单位的可获量，而每个汇有1单位的需要量。从表面看，这问题要求用整数规划以保证 能取0或1。然而，幸运的是，此问题是运输问题的特例，因此即使不限制 取0或1，最优解也将取0或1。如果把婚姻看作分配问题，丹茨证明，整数性质证明一夫一妻会带来最美满幸福的生活！显然，分配问题可以作为线性规划问题来求解，尽管模型可能很大。例如，给100人分配100项工作将使所得的模型具有10000个变量。这时，如采用专门算法效果会更好。时间复杂度为 的匈牙利算法便是好选择，这是由Kuhu（1955）提出的。
/ I1 v/ d! s9 [model: 2 _' A) o5 r9 W( D
!7个工人，7个工作的分配问题;
8 j$ ^3 n5 Q4 Csets: + S" A, e. G" ?
workers/w1..w7/; 5 ]$ _" x0 X4 A K0 y M2 C8 }
jobs/j1..j7/;
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endsets 6 z" J. \9 h& M' ~
!目标函数; ; N- w; n" h+ B" l) u% P
min=@sum(links: cost*volume); / O2 O4 p2 y% }: N6 d3 ^' F% p
!每个工人只能有一份工作; , t V1 W" z8 ]+ b
@for(workers(I): ) Y& w5 a8 s Y
@sum(jobs(J): volume(I,J))=1; : \0 ?& N8 L$ k( l
);
$ `8 w3 w7 R8 ]- s* V+ P& B% H !每份工作只能有一个工人;
8 Y; L$ d& O% s# J @for(jobs(J):
5 C5 ]9 |6 R) v5 {; B @sum(workers(I): volume(I,J))=1;
0 p7 h: L e- ^# Z8 r" w- i( m ); $ f' k* v; ^ G& ~2 T
data:
: g' i# U9 Q' s) p! V cost= 6 2 6 7 4 2 5 ( [% y, j" X7 {
4 9 5 3 8 5 8
. ?' {8 c5 h5 ~ 5 2 1 9 7 4 3 ) L% E" G/ D' ~5 z) W- C
7 6 7 3 9 2 7
; F; b/ L4 G) f4 K1 `0 B) F, I+ \* N 2 3 9 5 7 2 6 ! j+ L, J* H4 F6 B/ P
5 5 2 2 8 11 4
" _ n& s0 {" ?# h# ] 9 2 3 12 4 5 10;
% y5 ]5 h4 t4 x5 Zenddata
4 ]5 r4 h8 i( m# bend | 
IP卡
狗仔卡
发表于 2005-9-6 16:08
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