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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布:无体力赛题下载地址:www.tzmcm.cn
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: r! i* Q" X: V; v. N# ~# ]# F# t" D4 B1 n
A题 安全的后视镜
: h% H1 J. `5 P3 p. \9 d) E" {汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
9 l0 l, C9 F1 k3 W4 l8 I良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视2 V+ x [0 H3 W4 }4 ^1 h
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
2 O) L/ e' x; H7 z q如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.7 U4 K4 Z' [9 |- }" g
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面: B, x( G$ ?2 @7 P4 `4 i
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的- H! q, g2 K1 M5 Y9 B z! j6 K: k; y
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.# e7 r7 [- O+ m# t. }, m
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构+ J) Z9 {1 l6 g* n1 ]0 B: Y) Z
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距1 c9 E) i% h2 U$ I
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一0 j6 V( j% w( ^/ I
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了! i$ }+ r# U, K" X
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线5 O1 G( }4 R) @2 _2 }
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性5 @7 g% c6 k, N9 ?: ^% x* x
能也会有所不同. q' h/ Y5 a# X. H* O D" D
第一阶段问题: 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的$ A8 h6 b4 o9 V8 W+ T+ m, P& d
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都% b) X! X J9 ?- l5 c
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
8 _0 J: A" ~9 a: @& [7 y1 K3 \6 i给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
% h- \$ b" @! r种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
# ^% \9 N# F o7 r的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
8 m+ b: h; \- q, P5 F* D应的国家标准.! ?7 L" ?5 {* U: A' e+ W% L4 t
1! f3 t7 _4 d- p* U/ _
图 1: 变曲率后视镜的例子/ H! K# V8 P0 F2 X: F4 e
. c6 G5 ^6 d3 E, l* @- T
( R0 {5 z' l' M
B题 岁月的印记
+ p9 O0 v3 E! O/ j) k对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经" V& k2 s, K8 _: B8 @9 ?0 O( f
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
; [3 `3 ~$ ?5 v5 Z6 e# X% y, O出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
f: Q! a% G: {来也就越困难.! v ~; L4 `( N% Y% E$ n7 a: R
第一阶段问题: 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面+ j% C, }( D! r1 s9 ]0 E! j0 ?4 E
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以$ o) j0 N% ~; n7 k! K
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
0 _, c r2 a2 |1 |" i8 b
5 Q% D& p* d# Z1 _, K+ r6 G
: U$ G! d8 K' RC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗?3 O- H3 [0 C& U
2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加,比去年增加) U+ G& ] E3 t4 W
了 24 万名考生,增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来,而考研教
9 z5 O; v$ R( ]2 ~- C, l学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来,使得许多考
' l, S. m0 X5 t: V2 j' h# y$ n/ Z4 ^2 h研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中,纷纷
4 q5 J+ f7 V4 }& l涌现了依托于移动互联网的产品,如教学 app,手机题库,单词本,错题本或* ~, P; }$ O, V4 R2 ?# J* ]+ G1 b$ E
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端4 Y# c9 N- {. l7 _: Y: {
更高,使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
7 Q1 M4 _/ P m4 M! ~0 M市场占有率和发展趋势,开展了网上问卷调查,问卷格式如附件 1 所示。共收
, p* D: ?4 K8 I* N+ T集有效问卷 38182 份,我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
# c0 l/ Y9 J- Y' I/ I* ~你建立合理的数学模型解决如下问题。& A% t' H3 N/ u& }# o6 r/ v
第一阶段问题:, X: P5 e% R* Y/ d# Z$ M
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘,找出影响移动端考研产品发展
& v* @( ?+ U1 U9 m的主要因素。
0 \& f( Q" n4 Q# u; M3 n2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间,预测移动端考研产品的潜在
9 W2 |& o' g, R市场占有率。7 {" D" |: q2 h W3 T2 b
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象,充分考虑经济、社会" F: L; O+ B& f3 ]6 x- Z6 A' F
情况和考研教育的特点,评价移动端考研产品投放的可行性。
7 O, a* ?+ l5 J: ^ a b* P
4 C! f* a3 b/ r! x4 M3 L! w/ zD题 教室的合理设计
2 [( y+ p& V3 P9 k(本题仅限中学组和专科组选用)
9 Z* c$ C3 |+ Z! q0 ]! R某培训机构租用了一块如图一所示的场地,由于该机构开设了多种门类
' n5 t3 Y* x; L的课程,所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和3 X. K7 ~0 Z5 e) W+ `1 w! M3 p
活动区。请你建立有效的数学模型,为该机构完成合理的教室设计。对设计
9 L' L4 ]" u8 w3 b- @分别提出了三项要求,分列在下面的问题中。 ' L. o. z2 N% q! k; q9 H* ]; A
第一阶段问题:- p: e$ n/ M7 g0 E. @% k4 f$ M
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室,2 个能容纳至少 4 个
; D/ u. {0 T3 y; H' E座位的接待室,不少于 10 平方米的储物空间,不少于 10 平方米的休息区,不
q0 n+ d1 ]2 Q' ]+ M少于 5 平方米的前台接待区。教室之间,教室与接待室之间的出入不能相互
0 D8 \- M- K5 v3 Q, T% D- A1 @% [影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米,每个教室的第一排和黑板之* c! n7 q# X% `8 ]0 }, p% j4 r# Q
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见,在
% c6 s$ r/ T( \) s) V0 X3 X设计中可以忽略墙占用的面积。& K0 m% V" K, i
2. 在要求 1 的基础之上,考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。% J8 z9 i$ r+ X1 n* v8 D8 q M! b
3. 在要求 1 的基础之上,考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教7 F- g* |$ j1 Y8 I' b @
室。2 [8 l% U! p; u1 l7 Q- M
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