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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn; Z8 w% \8 i4 ]7 q' p {2 P' O1 g
, D+ V4 Y1 A9 D- V7 B5 f
3 j3 B3 U4 O5 F w, B$ g& E1 i3 n" ]1 l
A题 安全的后视镜. T) W" T0 ~6 m" D1 B; B
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
6 u, i! n, Y7 U2 f; H6 h& s良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视1 T9 Z( f, G1 v" Y v3 J; \# w6 _
镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
8 A0 H! f+ [* O% K V8 H! P如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.) f3 c; \7 Y- A9 }: P! A/ t b' V
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面 w, P* v4 t( t' |2 a
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
3 ~# m! l; O8 {( G1 ~0 k2 I距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.4 ]( o/ ]& a+ s p( [. J+ f1 f# X
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构
+ S4 h- t+ ~. m" e* t造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距5 m; b7 O5 Q$ J+ h
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一* q1 g" ]- P% k& h. ~
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了. y& z0 A1 n& w
平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线3 D; f* n! @# ~2 {
或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性/ t2 N- o# J6 w5 a
能也会有所不同.
6 x. g8 V2 h7 G5 z9 A3 M第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的8 L2 {, N9 U7 S9 n$ a( [8 \# k! _
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都
( U5 _9 @$ Q: x0 _. }6 O7 k设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜- P' V) ^) e0 S1 Q4 W
给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一% L( v% G) P. v5 @$ R, S
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有/ [" b7 w5 o4 E2 \6 x. n
的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
3 @8 }8 J4 a* l6 p应的国家标准.
4 z- y2 C* F3 A( G* P1
3 ~9 q* W8 j0 I J/ v5 F$ z图 1: 变曲率后视镜的例子9 T! f, ?# k; @, @" C2 B
/ a6 H, d% R$ Q, a I5 y
5 E* |3 I/ f7 C0 r A; ^6 N2 HB题 岁月的印记; h: P) T. h6 U$ ]7 X, t6 S
对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经! ^% T0 M0 u& B* c% k9 ^
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
9 z; [6 f- g7 \5 H1 Q1 L" s出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起5 ?* P0 \ i- S3 r, H
来也就越困难.
b# Q8 m2 j! q( A第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面+ W7 W' N+ U: [3 j0 \; H7 a1 P
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以 `) I" } Q" n9 j/ x- p- `+ e
假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
R8 T+ \$ u& ~: \1 o- S, J; p% g# Y( x! o
2 g- _2 j- B5 N1 h/ R
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
8 L3 C% f, p& Q# o$ J! v2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加
! V! v: t) g: a/ h) U: m: a7 @+ i了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
) W7 P! C& V( y/ a学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考" a2 }2 s6 _0 m* X1 ^
研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷0 f2 S) X5 c0 @1 ~
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
& _' y2 \; u' d, b8 ?依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端
: @* O9 T) V+ V: h' b更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
9 }& S' H4 I4 c% J市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收
3 a; ]" d; Z$ _) m集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请$ {5 y- b- f0 d; Z2 F( {8 i& y
你建立合理的数学模型解决如下问题。
$ l* {1 p8 E- c6 C' b1 U8 e; F第一阶段问题：
3 @6 J: J3 \- S! z1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展 {1 z, A+ V" z, u+ H
的主要因素。
1 G% K" I) K$ \- H$ Y( V2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在7 {- N. `2 m4 `' N" r
市场占有率。
j/ D: t# p% t# w: ^" ]3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
+ I6 `0 x7 L \情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。. w- P7 Y9 \9 j
* }$ u4 S: K, O, M- T: wD题 教室的合理设计
* M- \" y% y& T/ }4 a% ^3 y* l（本题仅限中学组和专科组选用）- ^0 n; k# f8 D7 {
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类+ j3 _7 }1 Y& K- Y$ c0 }
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和
" C; Z2 f. P* A0 X活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
6 j; a- u$ G! U& ^8 B" |分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 , D" t) a2 y; Q( `( W' [/ a' X9 }
第一阶段问题：6 [0 U; w% b# S: R4 h
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个. B2 }0 b' T0 d+ U
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不+ U7 P/ s) |) c* v8 \
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
7 `$ V. e. c2 b2 ]0 v3 p4 v影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之' u$ y# g& f1 v& K. Y i8 a
间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在( w4 {& o& T- @0 A
设计中可以忽略墙占用的面积。
J' ?0 _. Y& k$ C0 F/ | A2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
1 r$ X( e; j6 v% T3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教8 Y: w! n: s* C( n9 ]6 e% r* y
室。
7 Y$ R- O% v! V/ g ]* x* [1 v" y8 F1 X5 i- o1 g3 \7 }
9 u0 n& \, a5 f7 N i! E" M/ G/ P4 s) d2 b- ?/ Y; }7 e
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
