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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn
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+ B+ b- @8 J( q
1 O; I& f/ e; q& q1 g: l& zA题 安全的后视镜0 J7 P& x4 ?* ^$ ~
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有: e1 J- k- E2 J
良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
. m/ N Z$ Z% _2 M+ w6 A镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
" y5 H, I& h+ u& h: Z如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.+ s. V A+ k0 z2 A1 c
但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面 M! _1 ~8 q H G* y, U" ~" w' M
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的6 W' [8 N0 m$ Z6 K; L
距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.2 g' |( g$ a+ X. t
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构" g9 q1 i# @" Z# C& O
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距
' a+ _# s+ {* R2 a5 R4 P2 f5 m离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一/ V* B R( y* r' l: q
种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
5 i. \: j$ l" e9 w9 q; S平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
s0 c2 g7 m J' J% W或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性/ G" w$ ?" u" v$ M# r" ~3 \5 ~
能也会有所不同.
) R& b1 F2 Q4 z7 a第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的; a S6 k$ K2 \
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都( w g0 N L9 e* D
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
{4 l. v/ [9 f给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一8 J% W5 E" t( t1 b
种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
4 S: B5 Q, K3 U6 S# [+ `: X的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相
; Q; m' L- \1 L j! I9 z; r# r应的国家标准.7 ^) ~" M& A7 @9 l+ p
1
! g& X& I% { G图 1: 变曲率后视镜的例子: E, I& D5 r) O# F+ ?* [' E3 y# `
7 u: R. b" U3 t# h4 H, }
$ Q: K: W n- ?, WB题 岁月的印记
/ [/ X7 v @ P* |对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经
& i: P) n! O* }: x9 L: h- x. u历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨, j4 U, i, _* L8 n
出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起1 d% ^4 v' U3 W( P& W6 P, r
来也就越困难.
( I. o+ ~0 X; d, [第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面: m( X+ A, X0 ~" c. i5 S
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
' b- J# z" ^& n假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.
7 `- _; k0 d1 Y+ N& d4 }; n- B t
! b+ N9 s2 _2 j0 o" z3 ?
C题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
, P8 |6 t& c/ U3 U' ^' \4 F1 m2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加0 S4 h% M1 S! f/ C/ L( l* T( c
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教
4 h( Z" c3 v C& L) `) r学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
. _" b, M* y$ H/ n; P. A" s, F1 {研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷$ S& g# N' v p8 ^( \. v4 H/ y% h
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或$ l) I9 P. x( X$ S
依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端( } x( k5 y' _7 @, E, X7 A% `) H
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的
( c7 w4 `9 b. c( W市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收4 U7 |- v/ w. m- D4 s: p% R" R! Q
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请
6 Q! |6 D. p& Q& I% D你建立合理的数学模型解决如下问题。
3 S4 J) s* z2 h! e第一阶段问题：
% C+ c3 q, i; G- C$ G# z5 f3 }1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展. D0 n! I: M& k0 z
的主要因素。0 l* a3 m: u J
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在
8 Q" b+ i7 b- X& z4 S! y& g市场占有率。, [/ t$ b( }. I
3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会
8 i9 T& {4 G: u3 l6 L- u情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。6 O2 ^* ~$ j# W" A9 h
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D题 教室的合理设计 U1 C+ g. t4 [$ V7 ^. y; j# J+ _3 L
（本题仅限中学组和专科组选用）
' l, Z6 w6 ~+ w某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类7 T8 C0 _- E- t$ I
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和) I7 o3 y1 w: _; Z/ S
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计
5 j3 O% t* n# y) r' G0 B$ H分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。
) p6 o* `# s" x" N, Z$ g2 ]. J第一阶段问题：9 `! V+ U# q: V
1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个0 s7 [0 f5 |" Z
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不
1 J V5 B) Q9 [4 u少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互, e: D2 d2 W# K3 u2 f% ]
影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
; u; _( _; C- m7 I- q间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在9 b7 I5 f: G; E3 d L9 H w/ r" \0 F
设计中可以忽略墙占用的面积。
: ~4 C! j2 P; J3 v6 G5 y3 ]2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
# t! c* c" d( X1 l& } Q3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
% o% u' N8 T. d6 Z% W# a: P7 x1 O室。: [ F( @& I! W' z4 [
8 E4 E9 D. n( ~# c; W* @6 z: H. j' I
2 Q' @7 B) G$ c! \8 f c' ^: t
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发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
