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2017第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段赛题发布：无体力赛题下载地址：www.tzmcm.cn0 c* s- j5 T, W( Q0 F. b
6 D/ i1 ?0 M; ]! C/ f, x" A0 p! q3 D4 {6 o2 }8 ^
9 k$ {$ ^5 L5 w+ P+ s& s/ ~5 \, N
A题 安全的后视镜# {3 t) Y* f9 i9 R
汽车后视镜的视野对行车安全非常重要. 一般来说, 汽车的后视镜需要有
( {. _1 g8 z1 K1 p$ l良好的视野范围, 以便驾驶员能够全面地了解车后方的道路情况. 同时, 后视
- n! s; e, P# q$ Y4 G4 S镜也要使图像的畸变尽可能小, 以使驾驶员能够准确地判断距离.
+ ?4 p) U! ?$ { C如果汽车的后视镜使用平面镜, 图像没有畸变, 对距离的判断十分准确.
1 V+ S/ O; p$ V但是当镜面大小受限时, 视野相对较小. 如果使用凸面镜, 可以以较小的镜面* E1 E, f' c0 b0 K
获得更加宽广的视野, 但是图像存在畸变, 很难准确判断镜中物体与自己的
! }. U4 b6 @9 }4 O$ t1 P. o, G距离. 有的镜面是由平面镜和凸面镜拼合在一起组成, 意图兼顾两者的优点.4 Z; h, f" R: m' F3 X; F, M5 t
但事实上, 驾驶员在观察后视镜时, 两者很难同时看清. 较受欢迎的做法是构/ j$ o+ z* @: v3 R
造一个变曲率的后视镜, 使后视镜可以兼顾两者的优点, 也降低了观察和距 h. G8 {- N, i x5 H8 {5 g' M( W1 P
离判断上的难度. 目前市场上有售不同设计的变曲率后视镜. 最常见的是一
7 K. ?, H& t; `4 t) u' }种双曲率后视镜, 内侧接近平面镜, 外侧则是一个凸面镜, 在它们之间进行了
+ ^9 I2 E( x* L+ d) w平滑的过渡. 图 1 是两个例子, 为了便于驾驶员对距离进行判断, 镜中由虚线
5 i+ V+ o3 b! e3 r m/ W, p) m或细实线示意了不同曲率的镜面间的分界线. 它们的具体设计有所区别, 性, z3 F6 ^0 z2 T( ?. w
能也会有所不同.
( u: ~* t7 G: h. @4 B6 c第一阶段问题： 对典型的小型家用轿车而言, 共有三面后视镜, 左右车门的% b N* z4 }+ w* N. c: P1 K
外侧各装一面外后视镜, 车内正中还有一面内后视镜. 假设两面外后视镜都% s8 J r* q- ^+ l
设计成如图 1 所示的双曲率后视镜, 请你建立相应的数学模型, 对外后视镜
# ?$ D1 g2 T4 |2 @* A! Z" K给出优化的设计方案, 包括镜面的曲面外形以及分界示意线的位置. 并以一
" s* A1 y6 f: p# e* d2 `种现有的轿车为例 (可自选), 给出具体的计算结果, 镜面的轮廓可以沿用现有
( P! w- ?: P) A的设计. 由于我们只做理论上的研究, 所以在设计时暂不需要考虑和遵循相& b1 h. g( k' Z( u
应的国家标准.' o7 R. j3 s, q* l* n0 }% U
1
0 a7 q5 K3 d+ T图 1: 变曲率后视镜的例子+ x' i' D, p7 U: g& P" i; d# O7 _
0 W6 |5 o1 @* A
9 Y& F$ C1 s; ]6 Q; p* u6 R" q
B题 岁月的印记
- _6 V* L" ?& h# O对同一个人来说, 如果没有过改变面容的疾病、面部外伤或外科手术等经% a1 p8 f7 Q: E1 k- f) e
历, 年轻和年老时的面容总有很大的相似性. 人们在生活中也往往能够分辨
3 u# h4 W; \: t7 f& L% W: c( v出来两张不同年龄段的照片是不是同一个人. 当然, 年龄段相差越大, 识别起
6 }+ {7 e3 _7 K来也就越困难.
, v5 D) P! w# S第一阶段问题： 请你建立合理的数学模型, 当我们给出两张不同年龄段的面+ E9 Y, f/ w7 w$ s4 r8 w
部照片时, 可以通过算法来自动识别是不是同一个人. 为简单起见, 我们可以
# J, o5 r; E! ~! ]! l假设两张照片都是标准位置和标准光线下拍摄的, 例如都是一寸证件照.0 h; S( X- Y$ s* M! @5 ~4 Q
1 V c, k1 n$ H0 H4 d' L; ~
9 i e& p8 F0 [$ N: ^0 ?" N! ^1 H' rC题 移动端考研产品的春天真的到来了吗？
" |; m2 g( Y. o/ K2017 年的全国硕士研究生招生考试共有 201 万人报名参加，比去年增加" ?* t" h: w* U7 s
了 24 万名考生，增加 13.56%。看起来新一轮的考研热潮即将到来，而考研教$ j, Q7 O% ~) @$ r6 t# f c" z
学和培训的市场也发生了巨大的变化。移动互联网时代的到来，使得许多考
" a9 G, x5 `( d6 A# `研教学活动转移到了手机等移动互联网平台。现在的线上学习市场中，纷纷. b7 n* A" E( G5 r) P k. `# O
涌现了依托于移动互联网的产品，如教学 app，手机题库，单词本，错题本或
: f6 R! Z! g8 b; \依托于现有移动端视频平台的直播课程等。移动端产品的使用人数较 PC 端' ?" ^ _7 l/ c; F
更高，使用时长更长。国内某知名考研网站为了深入了解移动端考研产品的# [/ \( r6 m8 i
市场占有率和发展趋势，开展了网上问卷调查，问卷格式如附件 1 所示。共收* |2 u% \, g- U5 \8 |8 i1 F0 O
集有效问卷 38182 份，我们从中随机抽取出 10000 份样本形成了附件 2。请4 F' m) N7 V8 P6 x; c& L
你建立合理的数学模型解决如下问题。
" v7 A7 X, g ^+ i第一阶段问题：# A# \/ y# t6 P) Q
1. 请依据附件 2 中的数据进行数据挖掘，找出影响移动端考研产品发展! X" x0 t+ z5 H! v
的主要因素。7 l/ ^& a$ R, x
2. 请估计移动端考研产品的合理价格区间，预测移动端考研产品的潜在* J! l6 A8 P( K4 r6 l
市场占有率。
% m$ U5 l' U' K- o1 l3. 请选择一个高校相对较多的城市作为研究对象，充分考虑经济、社会& o6 M9 E2 q8 {; r4 x' t- a
情况和考研教育的特点，评价移动端考研产品投放的可行性。
I1 D6 w3 i4 g# _% j2 P) i9 t# a& Q7 d" p& X# B+ t; b- Y" @! b
D题 教室的合理设计
: B3 {3 \, H' {6 |% v（本题仅限中学组和专科组选用）4 h/ a: O+ W1 U3 H6 |
某培训机构租用了一块如图一所示的场地，由于该机构开设了多种门类! W7 Q9 ]" s& j% ^* a( s
的课程，所以需要将这块场地通过加入一些隔墙来分割为多个独立的教室和* t8 Q! n$ A5 Y5 G; ]4 m
活动区。请你建立有效的数学模型，为该机构完成合理的教室设计。对设计9 F- A, Z$ n$ t1 h
分别提出了三项要求，分列在下面的问题中。 ) [: C( {. v# h3 ]: |1 B
第一阶段问题：
6 [2 K$ ?- q$ u5 w5 J" B1. 需要分割出 4 个能容纳至少 30 个座位的教室，2 个能容纳至少 4 个4 e% `9 b, M# G @+ N' F* z6 [
座位的接待室，不少于 10 平方米的储物空间，不少于 10 平方米的休息区，不3 I5 [/ }* [* O3 B
少于 5 平方米的前台接待区。教室之间，教室与接待室之间的出入不能相互
- y+ S8 J8 |. l, {影响。假定每个座位占用的空间为 0.8 平方米，每个教室的第一排和黑板之
$ M$ `* N1 N4 x; C$ u! [1 w间的距离不能小于 1.5 米。门的开关需要占用 0.6 平方米。为了简单起见，在
1 c m0 X4 y/ a* N1 j: J e& z7 z设计中可以忽略墙占用的面积。- \5 p! Q e k; ~! w Y8 y
2. 在要求 1 的基础之上，考虑让教室能容纳的座位数尽可能的多。
% M* b- T! K) A" f1 K3. 在要求 1 的基础之上，考虑分割出尽可能多的能容纳 30 个座位的教
$ i* N2 x$ `7 b6 ]/ N; c室。
' S# a+ U- u# j/ p$ W
2 |8 O& j+ ?& ~! \6 m; x0 m
j9 k4 @( {+ |/ C# [ Y7 f1 Q% m
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狗仔卡
发表于 2017-4-14 07:43
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发表于 2017-4-14 08:33
