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【不懂逻辑和公理化思想,你的几何白学了?】----------(刘 钝 汪晓勤 王哲然)
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0 r0 S* k% [- q, v1 S1 ~; I1 V【让几何学精神在中国大地生根|返朴】(2023年07月27日 20:02 新浪网 作者 中科大胡不归)+ Z' W2 {3 P$ x& V1 @- M2 u9 z j! W$ n
2 Y2 `6 S, o& c5 s9 _4 o3 Q( 一个成功的公理系统应当满足三个基本条件:一是独立性(不能多),二是完备性(不能少),三是自洽性(同一系统不能存在互相矛盾的命题)。)& C6 X3 n( _( u! o5 z3 R" u
( 本书译者张卜天学养深厚、著译等身。他翻译的书多可归入科学与西方现代性的起源这一范畴,这一次他的致力算是最接近西方科学的源头了)
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! G$ }! ]/ {+ W0 c* ^7 Z' r# g**************** 本文原为张卜天译《几何原本》(商务印书馆,2020年7月)“刘钝”所写序文。****************0 W( x/ h9 u! U6 y/ u: o7 u( M
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- n! \# r( s" w! y9 I5 H (为什么会出现讨论“三等分角”的情况? 1:很多老师会告诉中学生们,数学中存在“不可能”的内容。 2:“三等分角”的“不可能”是用与数域扩张有关的数学理论“解决”的,提前告诉学生有“数域扩张”这个数学内容。)9 g! }3 u$ z, Y6 K$ m) D. P! I
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9 c& t: o$ ?( D5 _0 X! {(数学基础如果是“完美无缺”的,这种数学基础也恐怕等同于“死亡”。如果没有在数学基础内给出新的东西,中国就不可能获得数学强国之称,中国只能是别人所给出的数学基础框架指导下的“技术员”和“打工仔”。所以,在数学基础领域内“找漏洞”这是一项必须做的工作。)* A5 M8 S+ _' z; \9 L
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(需要认真观察“解决”“三等分角”是“不可能”的历史和证明内容,找出当代所需要的数学基础内容。)% h) w0 ~6 a1 |% S
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2 t0 x& C2 G8 P+ b- {, @7 i& f, [【数学诗的欣赏与创作 大罕】
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. v6 l$ [( t+ ?* C【李尚志教授在《湖南省普通高中课程标准实验教科书选修3-6》的章头写了一首七律诗《三等分角与数域扩张》(p75):
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8 r' A0 x% {* ^一角三分本等闲,尺规限制设难关。2 \+ ?0 x8 C8 h" |
1 ~: f% P9 T9 z. T几何顽石横千载,代数神威越九天。步步登攀皆是二,层层寻觅杳无三。
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+ Q/ w* y! v! T- Q8 |( Y黄泉碧落求真谛,加减乘除谈笑间。
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" ]) S" F8 j; Q3 P随后有三个注解加以说明。9 c/ v2 ?9 t0 \. X
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2011年左右,有一个网名叫bua1s2d3的网友(他是上海某大学的一位老先生),揪住李教授的这首诗不放,写了题为“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”的文章,散发到许许多多论坛里,以及寄到一些数学家本人,说“李尚志通过这首诗以及通过他所编写的教材,每年向成千上万名中学生们讲述了一个有数学内容的“皇帝的新衣”的故事”,来误导学生。所谓误导,是指李教授在数学诗里把三等分角讲错了!
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风波在后面。很不幸的是,2015年,刘培杰主编的《数学奥林匹克与数学文化》第五辑中,“读者反馈”一栏收入了buals2d3的这篇文章。激起了李尚志极大的反弹,认为刘培杰是站在反科学的立场上,才支持这一类似于“鼓吹永动机”的文章,并且认为发表这篇文章是“为百家争鸣提供一个平台”。而且,凡刘培杰参加了的微信群李教授都要退出。2 F/ L! e4 B" o F! T* }
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2018年元月出版的《大罕数学诗文》一书的“编辑手记”里,刘培杰写道:“由于考虑不慎,把一篇不应录入的文章录入进来”(p329) 这事才终于翻篇。】
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0 C- }- O+ b6 O. u8 U只要中国还想成为数学强国,李尚志永远翻不了篇 。因为只有给出数学基础领域内的东西才能成为数学强国。“三等分任意角”恰恰与数学基础有关。- ^; |' P! {5 R! S q, J
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三等分任意角
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8 w$ N! y2 j: Z& M. b7 k2020年9月16日。李尚志在石家庄二中西校区说:“数学的最高境界是简洁的逻辑美。”。4 Z, `" F' h$ q6 S3 ~8 M- H: }
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“三等分角”是一个古老的数学难题。 W$ L& [/ W* Q4 k6 f- \
" k' Y' U" b" n" ~0 j) r. j 华罗庚对“三等分角”的讨论作过一个“说明”,华罗庚通过“说明”告诉人们:“用圆规直尺三等分任意角是不可能的。”。华罗庚用--------“用圆规直尺三等分任意角就如步行上月球一样不可能”--------来强化华罗庚他的这个“说明”。 N) A6 o! A. n
也因为华罗庚作下了这样的结论,被人们误以为:“即使华罗庚给出的与‘三等分角’相关的讨论仅仅是一个‘说明’,可以说,这个‘说明’还是强有力的,不可辩驳的。”。所以,对关于“三等分角”相关内容的辩难在中国数学界内是不被允许的。$ A; e4 b- `7 D6 [/ J/ s( t+ G
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在“说明”中,华罗庚告诉人们:“两根线段相乘的结果是可以用圆规直尺作出来的。”。
" P- }; B. A* N 怎么样能够作出图来?华罗庚先随意给出一根线段,并且设定这根线段为单位1。然后将两根已经给出的线段与作为设定是单位1的线段组合成相应的比例关系。通过这种比例关系作出新的线段。这根新作出的线段就可以是两根线段相乘的结果。( 1:a=b:ab 其中1就是随意给出用作单位的线段,a和b就是已经给定的两根线段,ab线段就是给出的结果。这里,要作出一根作为结果的线段需要多个作图步骤,几何作图的作图步骤越多,误差就会越大。)
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其实不用作图就可以给出两根线段相乘的结果:“令两根线段其中的一根线段是单位1,则另一根线段就是两根线段相乘的结果。(任何数乘上单位1的结果可以是这个数)。”。精准零误差和简单。
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人们追求数学运算的结果精准和推导过程简洁。所以,华罗庚所给出的作图办法不怎么样。2 G8 H: ?' t N {
& e1 E5 g, |! X; C8 b$ _* v 华罗庚在“说明”中是这样说:“如果某一线段的长(某一点的坐标)是由已知的线段的长(或已知点的坐标)经有限次的加减乘除及开平方(指开正数的平方)后得出来的,则此线段(或此点)一定可以用圆规及直尺作出来。”华罗庚的这段话也就是通常所理解的尺规作图可能判别准则。华罗庚的这段话没有出现突出强调“设定一根线段为单位1”是必不可少内容。但是,在实际操作作图时,基本会出现“设定一根线段为单位1”这个内容,否则很难作图。
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/ x% ]4 x8 ] o2 ^( a" G7 {$ J 华罗庚一方面设定一根线段为单位1,另一方面又作出任意长度的线段。华罗庚试图用线段长度之比来确定“数”,以此作为“说明”的材料。9 K! g$ M3 @' J+ X$ _
# W5 m1 P5 X: ]* K- V8 I 华罗庚他是在实施混淆不同概念的操作。因为任意长度的线段它不表示是什么数。华罗庚需要解释的是他所理解的一定长度的线段就是单位1这样的数的设定的合理性。6 c" c" W$ }4 g8 c+ S/ [* D& T9 S
9 x& I( h0 a3 H 可以看到,在“说明”中,华罗庚所给出的作图办法中有一个情况:【如果给出了不一样长度的线段作为单位1,华罗庚“说明”中所给出的线段ab的长度也会相应地起变化,这里看不到数学的确定性在“说明”中的体现。(已经给出的两根线段的长度在欧几里德几何内是唯一确定的,那么如果有两根线段需要相乘,它们相乘的结果理应是唯一确定的。)】。
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3 D+ V) K4 x/ U0 ?4 P 可以观察到:) x' S. V* A. J% ~4 X3 i" N
华罗庚在处理二等分任意角时理应施用以任意长度的线段为出发点。
' ? h" F2 \: U 华罗庚在处理三等分任意角时不得不施用以设定为单位1的线段为出发点。" t0 L6 P. k: m: k! g/ ?! d
在处理所有“等分任意角”问题中,华罗庚必定会施用两个不同的出发点来作图和论证。这是华罗庚回避不了的。5 u- C( j4 i5 y0 Y, W
8 j( Y- x7 }1 j; V/ s 混淆不同的概念和对数学确定性的认识不足是华罗庚讨论“三等分角”的硬伤。
0 ~# }6 y/ `/ Z4 u {也许有人对此言论表示不屑一顾。华罗庚只是接受了别人(甚至是许多世界著名的数学家)的东西,以此用作“说明”。华罗庚举出这个例子说明用代数的方法解决几何问题是很好的办法。}4 {( u0 c9 F% `
这也是在学术讨论中,需要不需要和会不会主动去独立地思考已经成为定论的学术内容。
8 k8 U! e n1 i+ G$ m0 K. t 只是华罗庚已经去世,没有办法与华罗庚对等讨论了。6 D) \8 ?6 a6 z+ V0 d) t
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在今天,也曾经与活着的人讨论过。4 B- {, f* ]3 k9 T& }4 m' o* A
例程代展。% L* K) }* f" q& m! `6 a
程代展就在科学网中提到过五次方程根式解和三等分角。
3 m0 v/ v% u9 k5 S, i 程代展称继续研究五次方程根式解和三等分角的人是民科。民科冲击正确科学知识传播,(民科是)赘瘤。; @3 A m3 q" ?4 Q& o8 b
程代展豁命放胆“愿为真理轻荣辱”。很多年过去了,程代展的命还在,东西却没有豁出来。 G1 [5 l N( Z' f; D9 J
程代展-----中科院数学研究员,关肇直的研究生。
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, C6 s* |6 e8 _1 G0 l) \! }+ f7 B 还有李尚志。$ `+ h$ z) s" m4 L s
李尚志曾经写了一本书-----“三等分角与数域扩充”,也因此写了一首诗。
' r8 ~( [" p& L 哈尔滨工业大学出版社刘培杰总编辑出书收录过“李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗”一文。引起了李尚志的“反弹”。
3 [3 m% O% V; I X# S: A 李尚志通过彭翕成在网上发表文章:. a( B( a# }+ ^
(别把我吹捧成伽罗瓦 李尚志 彭翕成讲数学 2017-05-07)# Q6 D( a: i, U8 f% W) u
(李尚志:关于百家争鸣的对话 彭翕成讲数学 2017-05-23)
$ T$ P2 {6 a: f! g1 ^ 李尚志在文中称别人是“民科”“草寇”。
, M" j- H( p& q8 e+ V6 z 李尚志一会儿说:“三等分角不是李尚志解决的,而是伽罗瓦解决的”,一会儿又说:“而是伽罗瓦的理论彻底解决的”。
4 I5 i/ C7 T ]3 T/ B! L 比较李尚志的“伽罗瓦”和“伽罗瓦的理论”两个用词。李尚志在混淆使用不同的概念和缺乏相关的数学史知识。! E/ H4 T+ m; S) W+ ?
, ?/ V9 M) \. W% ^- |, H 李尚志还说:“杨修猜破谜底……被曹操杀了。杨修不明白……自己找死”。
A* R: q2 t* q/ Z9 ^- g 批评李尚志一诗的作者与彭翕成在华东师范大学内作了简短的交谈。
" \2 | \, o8 [. A5 ^9 _ 彭翕成发表了-----【彭翕成的公开道歉 2017-07-31 09:44】一文。
0 }) R/ U4 J7 H, j4 p 李尚志说过:“假如在学习奥数的同时也学到了对伽罗瓦的质疑,甚至变成民科去搞三等分角,虽然还不是黄赌,但也是中了毒了。”。
9 i# F8 Y; U9 @( w 在三等分角问题的讨论中,彭翕成的公开道歉说明了李尚志对身边的人(彭翕成)都说服不了。
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李尚志是华罗庚学生曾肯成的学生。也担任过中科大数学系系主任。
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李尚志和华罗庚在处理三等分角的问题中混淆了不同的概念。李尚志更是缺乏相关的数学史知识。 g" O6 ?9 K8 @9 C" @6 k
华罗庚、程代展和李尚志缺乏相应的文化素养,对伽罗瓦或者伽罗瓦的理论(包括他人;甚至是前人)所涉及的内容作不出独立的分析和判断。三等分角还是需要继续独立地作分析和判断的学术内容。
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/ c9 f% g, ^8 Y3 H! r0 J& F. t 中科院最近成立了中科院哲学研究所,这是一个可喜的消息。! V8 j' Q8 V5 G1 J3 R( H; m
希望有更多的人继续关心尺规作图(包括三等分任意角等)的讨论。6 s9 I2 b0 G# |- c6 f w1 u+ O
也希望在进一步认识以往三等分角的问题的讨论的过程中,提升我国数学界的数学素养,为我国提供有用的数学内容。2 \+ d) J& @4 x7 A4 y. c
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附:
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(《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作,成书于公元前300年左右。); H, F) x& Y `1 e5 q1 ?: p! @- v
张卜天:《几何原本》译后记:/ V7 Y u$ i# k3 ]6 M" q5 a
$ C$ c$ @+ R0 s b6 q【《几何原本》在思想史上有双重意义。首先,它把新的严格性标准引入了数学推理,这种逻辑严格性直到19世纪才被超越;】# M' \" B- g0 Q: B" T
) Q1 D, \- @3 {* J6 m& j; Y
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# M4 }( l$ ]' g$ S. e3 L
张卜天译《几何原本》卷一定义:
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/ q1 \2 G$ E# G$ ^【1 点是没有部分的东西】
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5 ~% T0 V0 Z2 \; N8 {+ \1 F2 g【3 线之端是点】
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2 W. [* `& I0 c$ O1 z! ]【4 直线是其上均匀放置着点的线】0 D" Y1 ^: Z& R& d, H" Z* r
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问题:仅有的两个“其上均匀放置着”点的结果是线段、曲线、直线还是什么?
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2 d0 t( a% p. \% Z8 t* Z, ?/ ~7 C+ h线是由点组成的,但是点从来没有明确过作为线的单位(单元?)。一根线段的单位(单元?)是合理给出的,或者是随意指定和特别指定的?& M! G, P5 r o7 E2 n7 Z
2 S* S2 Z( F6 S4 S" Y9 |* E6 Q8 Y) {- X- G0 [: H$ R
# \ [1 V0 g% J e" q0 h张卜天译《几何原本》卷七定义:8 c( T+ b1 V2 Q. Q6 _$ w2 X, k! n
0 f2 q+ T* W! ?+ M! s* j【1每一个存在的事物凭借单元而称之为一。】7 P: q c% h" A
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【2一个数是由若干单元组成的“多少”。】 I7 c& u2 ~/ @, _8 l: M
9 N1 | a8 J0 D! y) O' M8 f8 M
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张卜天译《几何原本》卷7第16命题中讨论了两个数相互相乘的内容。2 C) ], Z& f6 k( L+ Q7 p
# P! l7 @5 E" j5 q) l# m' ~. E, v5 _
: c& s7 F: G9 O
问题是:
8 i4 n) f, m: M, F% N
; k* @' T, _% p' \& ]7 d3 P在讨论中出现了A、B、C、D、E 五根线段。作为单位(单元?)的E线段是怎么来的?
2 Q: y0 ~1 X% V4 x
# i' Y9 M+ ?' }******************************************7 k5 L( F: k) u0 _
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在平面几何中,什么样的几何图形能够作为“线段”这个几何图形的单位(单元?)?) s! L7 ?; z; _9 ^9 J$ q
; ?- V! W* L; H. U
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