【2013备考】各地名校试题解析分类汇编理科数学：10排列、统计与概率

梦想在飞

简介：
各地解析分类汇编:排列、统计与概率
1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ）
A．474种 B．77种 C．462种 D．79种
【答案】A
【解析】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有
种排法，其中上午连排3节的有
种，下午连排3节的有
种，则这位教师一天的课表的所有排法有504-18-12=474种，故选A．
2.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】
展开式中常数项为
【答案】

【解析】展开式的通项为
，由
，得
，所以常数项为
。
3.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 。
【答案】

【解析】四名学生两名分到一组有
种，3个元素进行全排列有
种，甲乙两人分到一个班有
种，所以有
.
4.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用
表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于
的是（ ）
A.
B.
C.
D.

【答案】B
【解析】

,
,所以
，选B.
5.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在
的展开式中，含
的项的系数是
【答案】-30
【解析】
的展开式的通项为
，
的展开式的通项为
，所以
项为
，所以
的系数为
.
6.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病倒数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是
①平均数
；②标准差
；③平均数
且标准差
；
④平均数
且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。
A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤
【答案】D
【解析】①②③错，④对，若极差等于0或1，在
的条件下显然符号指标，若极差等于2，则有下列可能，（1）0,1,2，（2）1,2,3，（3）2,3,4，（4）3，4，5，（5）4，5，6. 在
的条件下，只有（1）（2）（3）成立，符合标准。⑤正确，若众数等于1且极差小于等于4，则最大数不超过5，符合指标，故选D.
7.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x2在x=xo处的切线的倾角为
，则
的概率为 。
【答案】

【解析】当α∈
时，斜率
或
，又
，所以
或
，所以P=
.
8.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）
某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者。
（Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。
（Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率
【答案】解：（I）ξ得可能取值为 0,1,2；由题意P(ξ=0)=
, P(ξ=1)=
, P(ξ=2)=
…………3分
∴ξ的分布列、期望分别为：
ξ
0
1
2

p










Eξ=0×
1×
2 ×
=1 …………6分
（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C
男生甲被选中的种数为
,男生甲被选中，女生乙也被选中的
种数为

∴P(C)=
…………11分
在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
……12分
9.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）
某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是
和
．
（Ⅰ）如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由；
（Ⅱ）求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．
【答案】解：（Ⅰ）设该选手在A区投篮的进球数为X，则
，
则该选手在A区投篮得分的期望为
.………………………………………（3分）
设该选手在B区投篮的进球数为Y，则
，
则该选手在B区投篮得分的期望为
.
所以该选手应该选择A区投篮.………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C，“该选手在A区投篮得4分且在B区投篮得3分或0分”为事件D，“该选手在A区投篮得2分且在B区投篮得0分”为事件E，则事件
，且事件D与事件E互斥. …………（7分）

， ………………………………………………………（9分）

， ……………………………………………………………（11分）

，
故该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为
. ……………………（12分）
10.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）一个口袋中有2个白球和
个红球（
，且
），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。
（1）试用含
的代数式表示一次摸球中奖的概率P；
（2）若
，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为
，当
为何值时，
取最大值。
【答案】解：（1）一次摸球从
个球中任选两个，有
种选法，其中两球颜色相同有
种选法；一次摸球中奖的概率
............ 4分
（2）若
，则一次摸球中奖的概率是
，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是
................ 8分
（3）设一次摸球中奖的概率是
，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

，
，



在
是增函数，在
是减函数，

当
时，
取最大值 ................10分


，

，故
时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。.............. 12分
11.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.
【答案】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci4－i.
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C22＝.
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，
由于A3与A4互斥，故
P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝.
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P(ξ＝0)＝P(A2)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，
P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4

P




随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×＋2×＋4×＝
12.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局.
(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.
【答案】解1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288.
所以甲获胜的概率是0.36 0.288=0.648.
(2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为2,3, p(ξ= 2)= 0.6*0.6 0.4*0.4=0.52,
p(ξ= 3)= 2*0.6*0.6*0.4 2*0.4*0.4*0.6=0.48.
Eξ=2*0.52 3*0.48=2.48
13.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】(本小题满分13分)口袋中有大小、质地均相同的9个球，4个红球，5个黑球，现在从中任取4个球。
(1)求取出的球颜色相同的概率；
(2)若取出的红球数设为
，求随机变量
的分布列和数学期望。
【答案】




14.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分） 以下茎叶图记录了
甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。


（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.
【答案】解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
……………………………………….4分
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=

同理可得



所以随机变量Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21

P











EY=17×P（Y=17） 18×P（Y=18） 19×P（Y=19） 20×P（Y=20） 21×P（Y=21）=17×
18×
19×
20×
21×
=19…………………………………….12分

pcyaoqiang

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