椅子放置问题

longde

椅子放置问题

把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.
- l. e1 L9 j9 L- L' {/ |
+ r' d  N+ x* b一、        模型假设
( E  D% T3 q) U& _对椅子和地面都要作一些必要的假设：
3 z8 E* j* T; n: p5 U+ z5 q  L1.        椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
$ _- X6 k% }6 ?% t6 I* |* M6 C& ^2.        地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
3.        对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

二、模型建立
中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.
! @& f, ]: q, V; F& S* P8 \2 U首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.
; @! w) z4 V8 `; |0 ]由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为 ，B、D两脚与地面距离之和为 ，显然 、 ，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时，不妨设 ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：
# \; ^+ t, m0 e( r. l! [! t* T  x7 I命题  已知 、 是 的连续函数，对任意 ， * =0，且 ，则存在 ，使 .  
( r4 d; X/ J. S: u- d2 e5 I      
三、模型求解
, h) ]' k7 m" I# S将椅子旋转 ，对角线AC和BD互换，由 可知 .令 ，则 ，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 使 ， ，由 ，所以 .

) o8 C4 L. o0 [, F) E. a! ?0 `四、评   注
    模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置，用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.

& y# X+ \  C% h5 A# G

木__易

这是数学模型那本书的前言里面的例子好像