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[个人总经验] 椅子放置问题

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    发表于 2015-8-17 22:43 |只看该作者 |倒序浏览
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    椅子放置问题
    ! P8 M/ L& L+ c+ E' j
    + Z  W2 s# ]" p' t( D把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了.下面用数学语言证明.
    * X1 o; t" c2 g; Z1 V0 k7 s) @
    ! d9 V9 _9 a) {2 X8 S1 H一、        模型假设
    ( q" \/ f( B9 v  H8 l2 T' `对椅子和地面都要作一些必要的假设:
    + D4 o6 q8 @1 r4 T- U1 N: P& D) G1.        椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触可视为一个点,四脚的连线呈正方形.( b; J: o- y- z2 z  b
    2.        地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面可视为数学上的连续曲面.
    $ h- I$ }/ `9 @- Y2 J7 n  c1 o! T3 B3.        对于椅脚的间距和椅脚的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.
    4 v  ~# r! x0 O
    0 v$ f5 v8 x; J$ Z# _- K$ m二、模型建立
    8 f3 [% \( U0 L- h, `; O$ z; Z4 Q中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论.6 E1 H9 O" }; r" A  O' s
    首先用变量表示椅子的位置,由于椅脚的连线呈正方形,以中心为对称点,正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变,于是可以用旋转角度 这一变量来表示椅子的位置.
    . q, B' F, q. A) O其次要把椅脚着地用数学符号表示出来,如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离,当这个距离为0时,表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数." P, P$ b% ~6 `7 A% \7 Y
    由于正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就行了,记A、C两脚与地面距离之和为 ,B、D两脚与地面距离之和为 ,显然 、 ,由假设2知f、g都是连续函数,再由假设3知 、 至少有一个为0.当 时,不妨设 ,这样改变椅子的位置使四只脚同时着地,就归结为如下命题:
    % ?# C4 O. c7 W* ^) H1 a2 ~& z4 D命题  已知 、 是 的连续函数,对任意 , * =0,且 ,则存在 ,使 .  
    , }; l6 F  e! r% k      
    ! V- W" Q2 z6 h# I0 D& f$ _& S& r三、模型求解. ~/ N# [8 G+ a  V# B" K( e
    将椅子旋转 ,对角线AC和BD互换,由 可知 .令 ,则 ,由f、g的连续性知h也是连续函数,由零点定理,必存在 使 , ,由 ,所以 .
    9 _0 X: }8 C5 X! e/ O5 @, R* h1 y( p) V' N. F! [
    四、评   注
    3 g6 @# n8 `8 ~$ k1 |    模型巧妙在于用一元变量 表示椅子的位置,用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转 并不是本质的,同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.4 y" k  p/ V4 S/ E

    - ^+ \# m8 U& i. G
    zan
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    木__易        

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