大家帮忙看一下这几个数分题该怎么做？最好给出一点步骤，谢谢！

madio

1、设f(x)在区间[0,1]上连续，证明：[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)}}dx\int_{0}^{1}{e^{-f(y)}}dy\geq 1[/tex]
; Z2 T& c; G/ [" ?' X/ R
2、设f(x)在区间[a,b]上有连续的导函数,f(a)=0,证明：[tex] \int_{a}^{b}{\mid f(x)f^{'}(x) \mid }dx\leq \frac{b-a}{2}\int_{a}^{b}{(f^{'}(x))^2}dx[/tex]

2 d: o2 b4 Y7 d6 W) y0 D( w3、证明:当正整数n>1时，有不等式[tex] \frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-(1-\frac{1}{n})^n<\frac{1}{ne}[/tex]
8 ]# S' o* Y* S" [; G1 u& [
4、设f(x)在闭区间[0,1]上具有连续二阶导数,f(0)=f(1)=0，当[tex] x\in (0,1),f(x)\neq 0[/tex]，试证：[tex] \int_{0}^{1}{\mid \frac{f^{''}(x)}{f(x)}\mid }\geq 4[/tex]

山心豆

额……这个……你后面的公式是用什么工具打出来的？

mnpfc

纯理论的证明是俺的弱项，这个帮不了啊

pigyoung

吉米**奇，应该是第四册或者第五册上边，有这些。

click33

4题我证明大于8，仅供参考！
) l* B& y( H+ L4 t2 l! S# J8 j设函数在[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{0}\in[0,1][/img]上取得极大值，则 ，。于是 ，
，从而
，[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_0，
# g: q0 E) L9 Q' @/ f, a对上述两式积分就得8.

liushuike1

第一题用二重积分可做。刘玉琏编写数学分析讲义上有类似例题

liushuike1

第3题好像是用中值定理，右边不等式还可以用（1+1/n）^n性质做

yihua_chen

[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy=\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}}[/tex]

yihua_chen

第一题主要利用这个公式，下面是两等式相加，再利用均值不等式就得出结果了。、

yihua_chen

[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy+\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}}\ge\int_{0}^{1}{2dxdy}[/tex]