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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑 * S9 g& y# ?8 O
' u5 T7 I2 \, W( F; a
5.1.3 多项式乘法和除法2 ^. {, v9 n2 ^* L
在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
# a3 ^5 k4 I8 W% h1 P+ v0 R+ ?【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:
- ]2 ~1 d+ M7 n- q- u2 R. E; o% W6 x8 w3 F5 G# |
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐% ], M, ^3 k/ t9 t7 N3 U; P, V3 w* b
p2=[5 8 1];
+ H# V9 E. k/ ?& yy1=poly2sym(p1)
3 Y _1 u1 U" |7 a( S! ky2=poly2sym(p2). ]8 z4 h- z. W$ ?# a$ {
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘 L; `! ?, ]( d. Y! a
y=poly2sym(p3)" a1 y# h7 S4 L0 w3 r
$ J0 i3 ~+ q" Y- I1 Y4 T- p
运行程序后,输出结果如下:
( K0 A' D1 i6 h$ G
% P7 L; N! r- C* S# X- [& ~, \y1 =2 n7 k t4 }* A2 ^: b
4*x^3+2*x^2+5
# e$ h" m' J0 N* O* qy2 =4 \5 o- S& f5 [& f
5*x^2+8*x+1$ g9 x. l- T4 |% p; X1 X. {) P
y =( ~5 t* A" E! Q
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5' @6 N+ k0 Y% K% ]& O$ J0 y
; g4 Z6 I: Y3 }& @4 Q& {. a
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:, J* D$ g9 F+ x! J2 S
+ I4 Y( J. ?2 a6 c8 U5 w
>> syms x- H- m: Y d j3 v
p1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)" c+ y2 l/ f' v" g# r
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
: B. a5 b- W2 _, J6 ]1 p% X2 @- sp3=conv(p1,p2); %多项式相乘
" R. F' y5 s5 C0 I s4 Gy=poly2sym(p3)# q2 j& v y+ P$ ]5 T
4 S. B4 C1 P7 e5 X# H% K* ]: v6 U
运行程序后,输出结果如下:
0 G$ A0 t L5 a
0 `" L, \0 h, W* rp1 =; j( b2 M, l n
4 2 0 5% H4 y$ Y: B$ r/ r+ W6 ?
p2 =" r, A$ [- Q3 E# Z1 K4 }
5 8 11 [7 I/ E, S/ W H' c3 K
y =
, Q" n8 B; y1 t" @- `20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5% E: g" n. g, K
8 F2 u- J, v: l @% D4 B+ h在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
. W, S. ?$ M* }! \9 O【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:
8 v% v$ L! \) B" b3 Z9 l d4 S
8 j! F4 N, h7 [" V2 ?) P1 g: K>> p1=[4 3 8 1 4];
0 u5 F6 C0 j R' w. Pp2=[2 3 1];) ]) ?* T' R* N, s
[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2& Z& R% ^2 h/ j4 t, l
y1=poly2sym(q) %商; X1 l9 P; q' J) \$ ~* ~, t% n
y2=poly2sym(r) %余数& ^, w8 x4 U; T/ T* u
Z9 U# Z; M# q4 s( W4 q+ D" Z运行程序后,输出结果如下:
+ r3 _' a/ t* L5 G( L2 l
0 S5 K j# H2 t: T1 Y" I4 Ly1 =# z4 q9 u# P, z6 M8 z
2*x^2-3/2*x+21/4& n2 O2 {/ h* m
y2 =
0 W8 V0 f( t7 o4 u-53/4*x-5/4, }: F4 d& ~+ u( P7 ]4 u: T
: V) Q; Y8 O, k2 Y
5.1.4 多项式的导数和积分! G7 e+ n: [* |# [0 o, o7 U- y2 w/ R
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
. H9 c$ D8 s Z9 L2 ?1.多项式的导数
1 R. {7 n/ t1 v0 ~2 `& m* Q在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。: Z3 K8 s: N. g, d
y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
7 |' r( Q. ], e$ X- a- O y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。1 h; z# D2 `9 g1 f
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。6 r5 D/ x2 ?$ R( W6 v5 `# e2 L
【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:: L3 v0 v, B- [: }9 E
4 k' P1 L# F! K* a# V>> p1=[4 3 2];! g- a$ B/ Q7 h G" C$ y2 q2 K8 }. u
p2=[2 2 1];
; P) d1 h. l3 k qy1=polyder(p1); %对多项式p1求导
7 X1 O: ?+ i$ I8 n* Zy1=poly2sym(y1)
5 g) b$ `: O8 E( o$ D. Sy2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
! o/ l @" v4 x. p; \" p1 B$ s- Z4 t% Jy2=poly2sym(y2)
& o9 ^2 `3 C3 j0 K[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导: `7 [0 ~! i& a3 l$ J- p6 D
q=poly2sym(q)6 g- {8 S1 X9 }$ e9 D: g5 Q
d=poly2sym(d)% U9 v1 D% {2 T9 v! N; l7 M4 g& \) }
, r1 H, y& o. Q' ?* r" d; j+ h0 g& q
运行程序后,输出结果如下:# {5 d. |* k7 K1 W3 N2 \
$ ~6 d5 f6 O: v3 [% E4 h* z
y1 =! _3 f% G1 S, [9 l* g
8*x + 3; U6 g7 P+ x/ v' `' z9 {8 z2 ^
y2 =
2 }, e* J) A5 P32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7( y- s1 t7 Z) ]3 c2 W, ^# |, _
q =+ j- s& r. K4 P8 N
2*x^2 - 15 q; O- b: C- [
d =
5 ^2 J4 |" c1 j4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 10 U; B+ j4 b& [+ K$ g6 B
6 X2 t, V" H7 w) E在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。
3 I: V/ ~+ C8 G6 ^8 z2.多项式的积分
- @1 G8 ]* z" T. Q3 K7 j# Y在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。' B/ u9 D0 i( M
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。
7 I+ Q: `2 H' a; d4 R polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。- q+ z; O9 {; \, e8 l
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:) R9 F% {1 d D' q/ @
( Z6 F% S) M( ^$ ?+ c% ~
p1=[3 2 2];6 ?1 h2 L1 s1 z3 A7 |( p+ {1 ?* S m* w
y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3! H, d. y9 ~% O: H0 s* l" c
y1=poly2sym(y1)
' F2 A* ^# ]. g9 My2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0
+ t: k' F6 p' @5 k; |y2=poly2sym(y2)
- h |8 R8 q* a
! h9 P% J( ]- ~- I运行程序后,输出结果如下:
4 j& Q$ K2 M" F$ s4 {! L
0 z% I2 e6 J1 ^) h2 O; dy1 =
* T, a& c) T' t m! x. W8 U$ ^x^3 + x^2 + 2*x + 3
; }0 Z: ^' x0 n( [0 z X' g; Dy2 =
( j2 i3 Q9 l. B. n0 {; Jx^3 + x^2 + 2*x3 d# |% m/ Q5 K3 u) e) W! `% q
9 W1 T3 y, P X$ N7 d
通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
& C) o/ w) D& x: F! r; E/ G5.1.5 多项式展开+ r3 ~$ @& L S9 d* w. ?/ D) Z) D8 F
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。3 U3 S1 c# ]* S/ F7 ^0 _1 C
[r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:) n3 R' N' i, r6 a; Q/ S: R
& o/ l4 l/ H m
其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
5 J- G2 E3 w* p. |" M# d: ~ 0 A- x) {+ i& I- ]
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:7 |8 |% C4 |9 ] _" j7 G; N
/ }5 I3 l; f' A( q [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。: G& S! p& _9 k. ]+ g
【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:0 e6 G0 s5 S$ N- E& a
; L8 i$ Y1 R* L# H5 M
>> clear all;+ y- Q( h! a$ L+ q* U/ s: _ q0 a
clear all;
+ f: P+ n1 p- z4 _4 x Fb=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
; W# T. ~* E# v& g" Ta=poly([1;5;6]); %分母多项式$ T! L# N; u3 I2 r
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开
0 p( r" j6 X0 u[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
* ~8 P: `! r& V4 _- q5 p- T- Hb1=poly2sym(b1)
7 U- `: g R. u0 _0 C7 d' aa1=poly2sym(a1)6 c+ u3 f. }- B" l+ m
b=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根
" w; W( l* u+ s! M8 o1 x* Ha=poly([1;1;1]); %分母多项式
! Q% a3 S, ~& P6 f) D, y[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
" Z6 k. `- L5 C! g
/ Y( u S8 h& v6 G! M" J运行程序后,输出结果如下:/ G# ?4 Z; B9 q9 w. q% d5 D* s
; h* x/ L7 _6 R
r =
- l5 a, T- c" }" s6 @2 u. |! T 27.4000
. z! W# E1 o N3 T7 [" A# ^: g -16.0000! X% ^: k* |% | U4 ~
-0.4000
- X3 K, H9 Z) \5 G! Qp =5 Y. @6 T2 |" } d* X
6.00004 `4 r- o2 L- _4 L
5.0000
) U2 e7 j O; L* h6 t" N) R 1.0000
5 O( V$ i6 F$ l' l4 q6 o( ^k =
' L% l3 |6 \5 H4 N8 J2 | 1
) {; V* k& E L2 S8 m/ xb1 =
0 V! n e/ u8 D6 h9 bx^3 - x^2 - 7*x - 12 A: h- \% ] y8 j! ^" c7 E
a1 =
$ R/ {1 H/ z- @- tx^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
9 _ K. l Y/ q4 R1 @. |r =
F1 o: Y1 k1 p2 g' G; ?! @$ p8 F6 n 2.0000
7 h% k. B, O5 M -6.00005 n+ R7 Y+ v9 R" m
-8.0000( g( l8 a3 G N9 f3 X0 ?) m
p =3 B- ]( x- P y1 |8 s1 s
1.0000
& ?# @9 w Y7 l n 1.0000+ i! W# O* K5 n
1.00009 P6 G) D* w, J3 k* }2 J# ^
k =
+ h( ]3 d) _9 @; M6 C6 [; w0 u* }9 i 1; f A7 A% U; k- r' \4 D5 C7 x
2 s z9 Q8 c4 L+ c' C8 W/ r/ N, u
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:& F, B3 q2 X" W t
将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。' U. y+ b+ X3 U8 T2 g
当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:
' x# e( n* ` S1 {- k# j( @2 b- m6 p q7 M7 y7 D
3 |$ q4 V' E0 M7 b! l) [) L
! G; O5 q- E! N$ g : x5 L8 H) [' m/ Z: E; M* P$ y* Y
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