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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
" ^* j* Q& z7 [8 H. K, n0 ~* ?' f- g. y; {6 {$ r& Q
5.1.3 多项式乘法和除法
' I- Y" k3 x+ ?3 \在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
8 a9 X X; Q# ^7 ]( q【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:& O* W' b5 X: @6 \) ^
5 V+ \6 Z5 c# X& Z* L
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐% P6 ^" Y* L+ k3 Y( j! R+ X
p2=[5 8 1];
" m h7 b- o$ d4 o2 F# J- `0 M6 sy1=poly2sym(p1)/ c! ~" U3 T! U
y2=poly2sym(p2)4 `3 m7 y& U. w- \# l7 g
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘! B+ s1 E* Z7 |- m) k
y=poly2sym(p3)! W9 _# O& r4 ~' x- `4 s
5 u; N2 s$ X3 k0 A运行程序后,输出结果如下:5 v7 R, Z' y/ ~3 K: }& `) h' f
4 u1 r: s, D/ A$ j- ^y1 =$ E6 B( @' W) F1 P! `
4*x^3+2*x^2+5
) Z6 J1 C6 E) k9 G9 W+ R. G% I+ `y2 =
3 g3 l! {, R6 r; b5*x^2+8*x+1
# M$ ]5 l# ]. I0 G. sy =9 U9 t7 O6 \( A; }
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5( ^& t) `# H# X9 a
. ^$ G5 j, a+ ~( z1 M4 \( @
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:2 e5 Z5 K1 t; W
: I1 @# R7 d, S( t. v& S>> syms x8 M2 K; @% Q/ i, w- q
p1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)5 q/ S+ Y, p C9 F [/ ^+ \
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)( }& _ m; P! ]: ^6 y
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘9 y8 q# T {1 h! c& `6 c
y=poly2sym(p3)
) T- q4 g, i1 ~0 O' _1 K: b7 j5 e* u) c2 E8 u( K( y
运行程序后,输出结果如下:! N5 \ R; b- M. f+ P
9 y8 y5 m& _4 g" n1 f: w2 |1 B
p1 =
8 C8 c/ J; g$ p9 V 4 2 0 5) r( C9 L6 B& D; o+ `& V5 c
p2 =- m: I2 U" V3 J" t
5 8 1( d( l0 [+ p0 l
y =$ |1 t" ~2 @2 B
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
& ~; S- w" K; T
0 |8 X1 l% m- v1 m在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。9 V/ i c+ U6 B8 I0 j5 e3 Q4 y3 f
【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:. E8 N% P# A: A5 J
- @3 e- ]" ^4 L- v3 D! a4 X>> p1=[4 3 8 1 4];- _7 s! O' d6 e" |4 S
p2=[2 3 1];4 m1 v+ t* {! M" ^3 U% X/ f
[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p29 _7 |) }% M% ]. a2 d K
y1=poly2sym(q) %商1 O& X4 U& S+ [ L% X; g) x
y2=poly2sym(r) %余数
. R1 u* W& @* Z$ r$ }( z
! [ q6 B3 p% I( v, h运行程序后,输出结果如下:* H: F/ X4 y, @) Z# r! J4 y/ e
7 b$ o6 K" R0 b( Z
y1 =+ U+ _; c+ R6 U9 C0 a
2*x^2-3/2*x+21/4
9 j8 J8 t `& m8 M5 v1 jy2 =; l3 a4 A( ^$ O/ r0 B% r
-53/4*x-5/4. `' S7 U5 P1 j. j; H& m
' g$ P# x* V: L5 G% @5.1.4 多项式的导数和积分9 d, i5 }9 s& o
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
- w% L6 L! X$ `: m9 }: a7 d- w1.多项式的导数
3 }! K8 Y( n4 ^在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
$ h+ B: v( l8 n6 p2 E4 M+ \- e. _. X y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。- ?" I9 ^3 {- `# K, ^2 ?
y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。. F7 R$ f. \9 I2 L, u
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。( y4 E- x4 l, d& X% S
【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下: f0 o4 v9 G X w# J
k, [0 _. e# W
>> p1=[4 3 2];/ ~9 `. t& H" a; e' m
p2=[2 2 1];- X0 Z3 I4 \) ?' ? p9 Q- E
y1=polyder(p1); %对多项式p1求导) g* f" ?% r+ h e3 l2 L
y1=poly2sym(y1)
# @2 }( s7 e8 C2 r I- Ty2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
6 U/ K; V+ m. |; I& cy2=poly2sym(y2)
% i! r7 o3 X' K, d' K5 T[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导) ?2 I% p7 P" l5 B3 V
q=poly2sym(q)
* q- `& v, I: x# s& A# ld=poly2sym(d) s" I" Q- N) [+ a7 h3 r
2 m: H! I; s& u q运行程序后,输出结果如下:% ~$ m7 f4 r, W' S
# s5 ~! Q0 D% |/ O' U( ^( B+ `
y1 =- K! \: K. Z9 }6 |+ z
8*x + 3
( c3 S9 a' L' g7 P2 G0 jy2 =
- d) Z4 D c7 ]* Q3 q: v% [. R32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7
5 X/ ]$ Q, G- G8 p( Hq =+ ?) M) S) S/ g' c- _ |3 l, k. p
2*x^2 - 1
) x0 M. c# X9 i; `) _d =% J6 `. T6 C) @
4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
6 G- W- k1 d% P, m$ d/ f3 G: C5 t4 V
/ t1 {. v8 h: u" G7 H3 ~在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。
. R9 U3 }( @3 v3 e* u2.多项式的积分) c$ s) B% ~2 }! h5 H
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。
; D0 Q0 \& P, e polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。! \$ U; g, K- j* k* P5 T1 g+ H
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。
; x( ^3 L2 _3 d- \3 B( X$ V! Y【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:3 U+ }- s9 j3 Z( G) w+ a% C+ V9 V
+ Z# m) z8 f7 v3 Q( A' F* v8 pp1=[3 2 2];/ }( z8 b L3 x
y1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3
2 O# l% ]1 s! A5 _y1=poly2sym(y1)
" S$ {) n- V& k7 z& Ty2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为02 n3 c5 ~1 J) @) ~* u* H
y2=poly2sym(y2)$ O* k# R4 E; c$ P5 L" b8 b
* Z6 Y. l4 Q% a* \+ o
运行程序后,输出结果如下:- j2 `+ E+ v0 `( ]5 m
/ T. O) p% F' F9 _) d. u+ B" T
y1 =
4 M3 k; C) G, }, Q* O* w$ \x^3 + x^2 + 2*x + 3
2 ?$ ?( A2 ^+ I( N! m) f# ny2 =# e. c2 q; O* M
x^3 + x^2 + 2*x
, }: C3 B$ X+ ~& K0 A- B
! L7 V# O& ?7 I- d& h) p$ f. {+ e通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
" m) n8 p4 I6 {/ P' J" f5.1.5 多项式展开# b' K" c1 J- s% g
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
' C6 X$ { D0 ~( i" n) m [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
9 G8 K @3 h+ Z$ {) D, e2 e
( h$ H3 c! V( O* ^9 Y其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
4 o" e( i0 h2 B5 w; e
" K7 _" F9 G9 O3 P, i: u当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:. I1 G3 @* X G) D- p2 h0 {. k
$ ]1 R3 K6 \$ S2 Q4 k H1 h [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。
6 S5 u8 j; O% C Z- o【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
, ]8 |( ?& D) v! k( \- [/ s+ u3 r- b
>> clear all;9 g8 [- p* K2 M5 Y2 g
clear all;
; a# Z- H# ]; ?6 [: f$ ~: Jb=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
; Q) C; {, F! D. U3 Ca=poly([1;5;6]); %分母多项式
7 n1 s( ^3 I& @6 F[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开
$ i: g5 b6 b4 t- ~/ H& B7 c[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
. R( C& l. k& x2 yb1=poly2sym(b1)
7 @, e/ ?& ~0 ~0 _a1=poly2sym(a1)
( o L' R F- m9 G% t& Q; O, Rb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根2 S/ E E. V& d8 t5 u- @5 c) v5 y8 t
a=poly([1;1;1]); %分母多项式9 I) s# h r7 J0 X. z! b# P
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a 4 L/ w5 A/ j* B: f
3 y- o8 ]2 [5 \( Z+ w0 d6 _运行程序后,输出结果如下:
# a" Z. U3 T( @. P4 Y- G" `: ~3 f
) ^: x$ X; s/ }; L( ?5 T/ i6 l9 Fr =
3 q/ n9 h! W; q, K 27.4000, ?: y8 m& s. U6 W
-16.0000: ^6 a# T; O! }3 `- h" b
-0.4000
# G: _( n( H. u/ i fp =) U6 `) X0 ?: t7 t! M
6.00008 x7 t. J/ P4 I. L' u1 D8 m. u' R
5.0000- G, q, J- c$ |9 Q
1.0000
5 u. ?0 h5 ]1 i2 u5 r# u* c! `k =
$ J# v7 O+ s" z; y+ t5 W9 T 1
5 } T# b) e- F) P1 cb1 =
. s2 T! u; z" a/ `: l Ux^3 - x^2 - 7*x - 1+ o2 r, o1 r* @0 n
a1 =
) f6 [8 v+ c3 m& cx^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
+ k1 v% P' u: r! fr =
. w$ J' p u: ~9 N1 j 2.0000
, K% I" W7 f/ K0 E -6.0000
* d8 ]* s: v" B: L# ^" n1 N, w P -8.0000
( V1 @% D3 l! x! j8 ap =/ ] {% z+ I7 y
1.00001 w) v2 y6 T; n. o1 o* b
1.0000
% a( D% r) _& Z 1.00000 J) G7 ?4 O' N0 y; k# n
k =* U6 T8 A6 q& f, }# N% a
1
% A( O3 c( c3 s6 D D9 l4 f! G. P: n* _7 Q. R6 {
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:8 h6 g: f5 N" M8 ~/ i
将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
* r6 n: A5 N1 x. Z1 s- ^当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:4 _3 Y( O; G3 ~8 ?
, D$ o/ Q, i) e4 f
. K9 p! c3 O3 I) U2 X) c
' P. o% Q S; h" ~
8 w. ?8 O" D& |" a" `- c2 d5 O5 t |
|