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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
: M. J& W4 B+ ]) X1 X3 d: g
q6 U& Y6 z- l9 W" k) A9 }5.1.3 多项式乘法和除法
, y: W: O' S% X1 m0 {' G在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
! o+ z/ ^; R a$ H【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:: X* s8 O' Y# d. |* g5 f
' n- r! B& e5 T7 [0 K
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐' [4 L# D) D& b1 l
p2=[5 8 1];
: G5 J) c4 N& ~y1=poly2sym(p1), S* }" F$ y o0 V! z
y2=poly2sym(p2)) w8 F5 ]8 Z7 e! v; x$ D
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
7 g- X" }3 g8 V5 zy=poly2sym(p3)
, o9 S7 d+ _1 m3 a6 T6 c }9 h4 s; i0 U
运行程序后,输出结果如下:+ r. _+ H6 t: y% ^* N1 j3 T
5 j4 f I* U n- ]* dy1 =9 B) {: p6 ? Y) k5 G
4*x^3+2*x^2+57 ]' x" Y+ P7 a I5 q) N6 b4 o
y2 =
; ]- w% S! Q5 |, [$ \5*x^2+8*x+1
7 ^ N' d" V% B5 l- S j, uy =
* x* m5 H- M% @% z! v6 L' W20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
7 l/ E" w$ I3 y2 y, L
9 p- T4 v! w: h' [6 E0 U9 D在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下: @- {! ~8 F: _# m2 p
; s' b( ]3 [- z3 y
>> syms x
: s0 F1 H" r3 Y5 ~7 x# Y# \p1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)! `/ y+ s5 l; Y9 S* T' g! p
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
, A S5 ` t) v8 z$ ]+ }) |p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
, B9 p0 I8 r* p! U- j% j9 P4 }y=poly2sym(p3)
' v% ^, j2 d5 K: O5 L8 ~% Y* b+ v' Z6 z' c3 u7 Y ~& r
运行程序后,输出结果如下:; w7 |, ~9 x- t p. E
% ^8 W- Y! q" y) s# N3 a
p1 =( M7 {; F1 u0 X) e3 j! N0 Z
4 2 0 5
! w$ o3 v! S6 Hp2 =; P0 o) H/ L& W9 |/ \# X
5 8 1% E2 W/ b0 r2 \
y =
. N& L4 t/ c3 K- q V w* |' S20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
% F9 H& A3 o4 l* `, q
: u' x5 [) E* f# @在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
2 b; M4 H4 w& T. Q$ K* X6 a【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:* W6 g# y. L0 @5 E- L. \
& j2 M" k; R6 ?6 D7 q* U c8 |8 v>> p1=[4 3 8 1 4];
- D3 l( A# T* j2 yp2=[2 3 1];
& T4 Y' I. X) f8 T[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p27 X5 k/ N0 S: R
y1=poly2sym(q) %商
% I$ l; X) n6 _: p5 L/ b7 ~ By2=poly2sym(r) %余数
9 `+ l7 p0 V- X: B; G2 O5 H3 d. `" l% A
运行程序后,输出结果如下:! n, U9 w- }( V5 `3 D
' F e! Q0 {- g
y1 =
& N& |6 ^6 J J6 t4 k4 b2*x^2-3/2*x+21/4/ F! R" D% _! l
y2 =
- S& k; ^. n' ~! n; m6 e8 U4 z-53/4*x-5/4% G/ ^4 f" [( B* V+ a7 p
1 V! H1 @8 p! K& @4 L x( d0 N- p5.1.4 多项式的导数和积分
0 _2 y( R; `9 \8 b在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。. q% p+ M7 z& t4 V& g1 Z. O" P
1.多项式的导数
+ m( `4 V2 ?" v在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
: ?, z O/ d" X7 y& ^# |, B# ^ y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
9 z4 N/ d! n/ g S u y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。4 B" @7 W& d3 g% J( q8 V& Z
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。3 [* p% b& ^( x( W/ a# f. F% e
【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
( w1 f* g& \) w# \' W W6 D) \; T
>> p1=[4 3 2];
% \% E2 N/ y" N" j& xp2=[2 2 1];
) f0 y C- X! E) ny1=polyder(p1); %对多项式p1求导
1 Q% Q. k. |. ~: @: Yy1=poly2sym(y1)
6 Y! s# X( |* O# m( q, oy2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导$ j5 A# }0 N. ?0 ]1 K( }) h
y2=poly2sym(y2)' k+ ]# I% X# M
[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导4 Y& ]+ S. S% n
q=poly2sym(q)8 V% P9 U4 V4 j; T
d=poly2sym(d)
' i; @7 B7 k2 C
6 D" E: e3 x& ], j$ g/ m0 l2 d运行程序后,输出结果如下:5 G: y' g* @# Q8 `# `9 `+ Q$ u2 L
6 R4 `1 D2 `, T0 |) O0 v' Cy1 =
* q1 k* |- r$ Y9 n1 K8 r% E8*x + 3
# K2 K8 S; e3 o8 `" z8 k ~y2 =6 _( X% L* O! ~ b
32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7
; V' A$ D0 Z( Z; w% M( @q =
, R+ u: J, I8 t( \9 ?0 d. K2*x^2 - 1) ~% U7 P" a! m9 J7 \8 ~6 I4 p
d =
# _9 _9 U: Z$ t4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
. c$ I+ ?5 |% P% }9 B9 X- ~6 g, V) d. r% k( R' |9 E
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。3 ] H- \+ H( [4 B
2.多项式的积分# i1 F/ _3 f1 c5 H' `) H4 C! V
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。5 A* V& Z+ B* [* L5 ^4 K
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。; q& l/ o) S* G9 y
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。
$ ~( m' `5 B+ V0 ?% i: l【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:) ^* |7 n; X. H$ W9 t1 g4 C
^: d( G Q0 ~+ J& N# Ep1=[3 2 2];
# h' ^( h# m3 b' ]+ My1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3+ B1 ?2 x, G, Z" q
y1=poly2sym(y1)+ h2 y9 i$ G6 `/ c7 ]( a0 z
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为06 x2 d: r* y% ^% Y- N, j( ^ h1 x4 d8 s
y2=poly2sym(y2)
5 f5 k0 z/ @' [, i
) h8 S1 N8 D2 P' A9 l运行程序后,输出结果如下:
+ G6 E9 x/ Z9 t3 h
, o. u6 |, w( S U& p1 [y1 =
% f& Y) h% t- I" D4 [0 S/ Jx^3 + x^2 + 2*x + 3* l4 Y3 q: K3 y5 e* v. b% c1 I
y2 =
5 X) [& F% R* Kx^3 + x^2 + 2*x
# p: y3 c0 I0 @8 o
5 x L# C: j, n, k( t* ^通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。; Q- u7 C8 @1 Z
5.1.5 多项式展开3 K* [" d# Y& ^: o
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。+ t! C4 [$ u: Z8 W* G
[r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:4 f3 J9 G) M5 x8 [0 ?. @
5 K( [( ?; O- T' g3 W其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
! N. w* y' o4 |2 p0 E0 H
6 v" w# K8 V. B/ h Y& k当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:1 H: R3 P5 p, Q' q8 k
. }$ `6 B- e, r% T/ v. I# n+ H
[b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。
/ M: F1 u6 }* M' G) A【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:' J& E( V) ~/ N+ g2 V* W: B; g% Z
" C4 D# [( g3 N: _
>> clear all;
7 e+ d( [3 H+ l& H% }8 Pclear all;
8 n, D0 k6 N# c8 ^b=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
, \/ b7 }4 A& @8 Q/ w" `7 |a=poly([1;5;6]); %分母多项式. z+ d. B2 v) b& H
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开
6 G9 A: m" H B, P2 w9 e[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
% ^! D7 K' C6 z# N0 _6 ]+ A3 Ub1=poly2sym(b1)* O9 d, k2 J' f4 x5 g+ F
a1=poly2sym(a1)
- t$ [( I. l k7 n6 z/ Nb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根
( n$ w3 W1 m8 B" |- U5 Ma=poly([1;1;1]); %分母多项式
3 l4 i% J c o: f% V[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a
3 e* u! M K7 e7 [
& D7 N$ V m" ]9 Y运行程序后,输出结果如下:
d9 E, s' w% M- L3 r) d6 \& v9 u$ C% P+ u( [# i! ~0 p
r =8 `* s3 x' w/ l( l" K
27.4000! J7 p4 l% o# Q( X3 c
-16.00002 ~% W6 ^, @" x8 ^
-0.4000
1 z* s4 t: E K, up =
, Z) Q% u% f2 l8 q: a! X- o9 y/ } 6.0000. D, F- y( n% ^1 I
5.0000
: T# j; `+ T4 W& U# W0 E 1.0000" r0 z B/ J, G( |
k =& Q c# y' U, }; }( A& w& F$ g
1
+ f/ r L+ ]# M9 B, R3 }b1 =
9 p0 F& }8 \9 j Ox^3 - x^2 - 7*x - 12 E! q5 [# H7 O1 _; b+ S" S
a1 =. }" h* C2 J7 F+ D6 F# D; i$ n* c7 t; c
x^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
; N6 B2 g6 n9 \8 u1 Gr =
9 I0 M4 F% q" O6 g 2.0000
: Q/ i6 @# I. O& p# n9 C -6.00004 W1 r% V7 j/ I) L. T9 w- }+ N+ k% U
-8.0000( b- w& @+ g" U+ W0 I* a
p =) I( i7 h: Y& H" {
1.0000
Y- n7 a _; z' s5 y. j# {( B- M 1.0000) f, k8 G# p9 d( k/ j5 @, G# i' Y
1.0000
* a6 M# G% U5 B8 a+ q& Y1 Vk =( _& n) U( W' {, r8 m6 _
1
7 {9 N: W6 j1 q0 s" N( H) C
/ E! F' |+ I g1 L7 L) `利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:# f: e- x K& {
将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
5 }, r, u) |2 g* H5 [! Y1 V: e当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:5 {6 z9 y/ o; _) B9 c9 A' g% ]
3 z+ u6 ^ d/ \9 g3 Q1 N0 h4 K6 x, K4 P
7 T8 a4 f/ k& A3 p# h2 W: Q ' t) [5 R6 k; S0 X) Z# r
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