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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
9 m: Z# l! O: \2 i7 W! X2 V" f3 i$ M* E
5.1.3 多项式乘法和除法/ w- A% m$ s( i. f
在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
; ?; V& _' O j$ t【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:0 a! }9 y6 b$ k) ]
5 g+ k7 ?+ K+ A; k# G
p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐
: R7 n3 e# l( Q6 D) v/ Vp2=[5 8 1];
7 n7 V$ h* i& G, Y! m4 vy1=poly2sym(p1). w0 A4 U1 s, v
y2=poly2sym(p2)0 z1 ~* s6 S% `, E0 R3 {
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘, Y6 Y5 ~) \" v8 T
y=poly2sym(p3)6 v% B4 D4 U" \0 d
' n! ?0 f( Q5 s x5 z6 i运行程序后,输出结果如下:
( }, W* I$ P! T7 J5 ]! x4 Y$ b% P3 s
y1 =
" g% ^ u1 h6 h' S; k4*x^3+2*x^2+5
# ^9 {! P/ _$ |6 h; G" z" m) c! hy2 =0 n$ C9 L% Q: z. b% S& r1 `
5*x^2+8*x+1
2 Y7 u/ V. Z0 y8 z( yy =, ]' S" K0 |9 a( o) j- R
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+58 n0 w# @1 o9 A& g% ~" r: k
" g1 N1 b+ r- c, P" u1 O1 [& v
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:8 ]5 _& o6 D( B) o) s5 r/ \
8 K! s7 {) u* }9 r
>> syms x
, L- o, `$ [+ G: B+ a" u) cp1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5). x! v0 c" J$ A$ C. I
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)) s, J$ L w0 C
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
. w# K# Z u7 w5 t, Hy=poly2sym(p3)
5 p( E4 K' d7 R" Y
) s5 k0 p3 D5 ?( ]5 O运行程序后,输出结果如下:/ V: O5 X: e* s( [0 @
2 a; b* b5 t6 k1 ]" Lp1 =7 G: o1 T6 p) V `: g) T, x: B7 _
4 2 0 5
, z0 t! c; ?# M; }2 O: Tp2 =0 F, j$ l' N2 V! v# Z( Y
5 8 1% N& s) n) u. U9 q% K" h
y =! n: ^% j: Z! O
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
+ O C; d J; W" Z# _6 r3 ^5 Z1 D" f/ |+ d/ L- Z0 T" [6 ]
在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。& I3 ] R# j7 f4 L% V: g
【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:9 J0 R6 y1 Z% d* w: U* Q7 R
6 t. V8 |1 U \& e i>> p1=[4 3 8 1 4];5 s ~2 N: N/ o0 Z7 o, G
p2=[2 3 1];- _1 v9 `: }' f3 \9 l
[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2* D4 R; f4 j+ M; N9 f
y1=poly2sym(q) %商
* C5 J& X. z* I a' n# z" h. s' {y2=poly2sym(r) %余数
, d7 J' C6 }7 f. h5 r, D) E, G# F5 X* y" f' A$ R( b0 F/ `
运行程序后,输出结果如下:1 s) o. t+ X! F- |$ ^! K1 _
/ H; \, w& z5 ~3 v" ~1 c
y1 =
' a- O( ~0 H! Y( C4 v6 t2*x^2-3/2*x+21/4
; o0 f( \7 b2 ^, ]1 b+ W) ^- u2 A. S- X5 o, iy2 =4 ]3 q F5 I. C6 d% v! Z6 b
-53/4*x-5/4
- K+ S+ v9 M) s& r# u5 u* G% O) F6 N4 P- @
5.1.4 多项式的导数和积分
1 U1 I" D$ m+ y2 @, M5 d$ f7 W在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
, Y+ {8 S9 K1 T6 \7 k1.多项式的导数
1 u" [. Z7 \: q+ S# G4 o在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。
) o& C; {2 y: n# I9 l y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
' Q+ e8 A6 i) k2 z y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。& f8 ]# |1 Z1 `) a. V6 E6 T
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。! o+ F( ^8 p6 e& r% G3 @; p
【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
9 w% k+ k; ]$ q7 l { A6 n* U8 j. ]( ]2 f2 F
>> p1=[4 3 2];
' z) n5 O: v( @( Op2=[2 2 1];
7 v( [5 ]& q2 W" m' g6 Xy1=polyder(p1); %对多项式p1求导; R8 m3 t. M" J# a3 _& s3 }
y1=poly2sym(y1)
" T' A/ Y* h% k8 t7 ^y2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导+ R* u& {+ X3 \" w% m
y2=poly2sym(y2)
4 s8 Y1 s. u0 {! {# t, M4 k$ r* ][q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导7 c* L; P2 L0 E
q=poly2sym(q)# v, a5 m" n" R
d=poly2sym(d)
0 ?) ]2 Y& y* V. E$ e: N. z) E' P. S+ ?5 J& X; u8 w
运行程序后,输出结果如下:
2 q4 Y* L7 p/ @. e6 X- ?" z
! b, H, S* ]1 I- I) L$ Uy1 =1 j( Z4 X$ S; _
8*x + 3# w, T4 U( k* m5 ?* \ w2 h3 h* V' [
y2 =
3 q& o' Y; ]2 V; a/ b8 X0 |32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7! j7 J& J# Z7 ~& ?
q =
' R+ b5 I" ~9 k7 |2*x^2 - 1$ m& K" P u2 \- n$ e' e
d =
9 E8 P% Q: g0 N! T0 G1 O$ d2 K4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1
1 G a2 w8 ^$ R7 I- B9 s& l% p$ D& B
在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。& w! B3 d9 J' ^9 e+ U3 y
2.多项式的积分) j% j8 a. S" M% k! G8 p
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。
& T1 q5 i# f% J5 y: f polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。: I3 r, p D# L
polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。
. @( S* P. x9 B1 x【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:3 Q6 x( e2 r$ f) |
7 E+ M D+ D) R; l7 {0 B
p1=[3 2 2];
6 ?* E" R% |: @' p/ I, S6 S/ O7 Yy1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为39 P% A) R9 L3 y1 T, K2 \7 O2 \
y1=poly2sym(y1) D* K. k4 u& l
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为04 \! S' W% ` R& W1 B- q* T
y2=poly2sym(y2)& j7 A V- ]$ |" b, i! W
, @7 j6 Y4 o7 }6 l
运行程序后,输出结果如下:
( d5 x/ O( d7 m* [' P0 K
& G P+ |. S; b* z/ d, F" M2 jy1 =2 K) v7 @5 E( `' R, Z& p, o
x^3 + x^2 + 2*x + 3! P4 [9 H6 s" r7 m+ Y6 O0 O
y2 =) i) a8 i. X" |7 @- O2 l) H/ U2 f
x^3 + x^2 + 2*x6 R6 h) ^1 ^1 G$ @
) k, m7 C! _! j- t F* m通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。% R* A9 B& }, @, g8 |) o1 Z
5.1.5 多项式展开( R, T* ]* i3 R( ]! |3 e6 Y& q N
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。
2 _$ P! h1 C% z$ C/ R [r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
/ s2 g9 b" k7 T6 |4 \' |9 h! ^: u 8 ^( x9 e- O S+ {- G# T
其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
9 F. t8 M* D- R" [& n' V: c
, W/ ^8 H1 k) ~, Y! C( A" o当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:
. M' F9 B6 p/ ~+ q 5 D8 x6 v9 ^: E# `& |2 S
[b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。
: j9 Z7 F& \4 _【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
; _1 v# m) \' d' ]; Z. d8 K% ?2 \5 F0 q* R+ I; u i
>> clear all;' r6 L% S Z8 l/ |
clear all;3 y/ G3 C( |" o3 k4 _
b=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式( m0 ]9 S& u/ G8 s; E
a=poly([1;5;6]); %分母多项式5 x/ \/ T6 \" E
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开7 i& U& p2 u$ \8 T6 q) e4 I2 e
[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
# D. c+ \. I+ x$ u4 m# _! d7 v, ^b1=poly2sym(b1)
4 x1 O' m6 V7 ia1=poly2sym(a1)
- K/ z8 \( x( J* e( u T( U+ tb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根 o* L8 p; j7 j% A
a=poly([1;1;1]); %分母多项式
4 ]7 j; A2 h0 W+ v( P% X3 A[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a 4 i8 E. M! ?3 W3 c) F
1 g& Q: Y: m7 i9 k! m8 a- V
运行程序后,输出结果如下:& }% ~, g0 Q9 k5 e5 q/ y# O T5 i) h
1 c6 I; v0 b9 N/ j6 _2 ]r =
" t* b* X# g+ A+ L% i1 u0 G 27.4000
2 |, j( |1 k5 y! v7 X" ~ -16.0000! U5 H% Z4 Y f% U5 V! f. b
-0.40007 p" g7 x: i Y7 W) H6 u1 d
p =
* S2 d5 s; T6 X: J! [* |. f0 _+ T 6.0000' n/ D7 H, R& r7 J0 H* n& k6 q
5.00000 j3 X/ M5 Y( B4 ?
1.0000
8 c0 d1 Z9 q. zk =
1 c5 T# L7 g/ w7 Q ? 1
& O3 H3 ?$ `; U7 j6 jb1 =, U! @8 d: v# H/ y; J
x^3 - x^2 - 7*x - 1* }5 F2 c4 t1 ]7 B, n' A; [9 |, v
a1 =
- S* b5 j" P( fx^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
4 s% J$ ~3 Z! Pr =
( f% k6 m5 W4 t1 F 2.0000
4 f# G P6 A( Z! X9 s -6.0000
, y" J+ X9 d6 c* h! l -8.00007 O' d, R0 i" h+ g+ z* c" n! Q- _
p =
, i; }1 q ~ @- H( ] 1.0000; m6 \( T8 j) a$ w3 K6 U! r. [
1.0000
6 [8 W" a2 A+ i9 b; D% y+ d 1.0000
. |, y9 b* Q( sk =
! `* h" d8 _2 v4 ^ 1
7 K# ]. o0 h/ s# M9 f& {( E6 P: j; M+ Q1 d/ L
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
1 p- m% Z- f O: L8 _ 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
. n& J# W: n' i当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:' {! [+ u* a% J ~) F4 l
* d+ O# t; d) I
4 ]7 Y) D6 G- m6 F$ U8 `
% V- v+ Z6 |% B( b+ Q9 y) m " H6 d7 V3 Z7 i- r) H. F( t
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