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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
+ G9 m: j) X [6 _6 S- M# E R7 ]3 F9 E
5.1.3 多项式乘法和除法
. P$ W3 K7 X) R; o+ e在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
2 N/ N% E: U' d ]【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:
6 k6 q+ f/ G0 M5 N+ \ J9 ~
7 |: F/ o0 L; v8 C4 Mp1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐
, Z" a% g) z: Dp2=[5 8 1];, t' Q2 r! r6 G/ D$ n2 @; p8 n6 R
y1=poly2sym(p1)
' s. P9 i( E8 ^/ x/ Ry2=poly2sym(p2)
& t1 B X: b( u- ?- wp3=conv(p1,p2); %多项式相乘
$ D! e2 u" O! C8 c; Xy=poly2sym(p3)
. R8 `9 q- V6 G" W
& a2 |) Z! G; C, f a, z; Y运行程序后,输出结果如下:% W& T+ `. u. ?7 e4 K( J
! q$ ^% N! s% V# ^y1 =
- T0 T% e6 ^) h4 l5 F1 i4*x^3+2*x^2+5$ \% D B2 H0 c4 ]+ @
y2 =6 ^9 I. J6 c, p# [- o
5*x^2+8*x+16 P' n( a& d$ }' R8 D
y =' D4 Y1 B4 B1 ~$ A( z: f
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5# M- ]! E0 h o$ L
/ z+ j" `4 I- P+ y8 ]0 h
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:
; [/ y: n7 v i! R* K) b5 U9 M; t; x4 p4 H$ A* q% w- K
>> syms x
' C7 o* H2 @$ S/ L5 T( w: Xp1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5)7 P* R7 B; f" }
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
: F& b3 Z% F+ s+ t9 ?p3=conv(p1,p2); %多项式相乘0 ?) ?! S2 X+ \) ^
y=poly2sym(p3)
5 i# n9 Y0 w! V3 j0 G3 z M1 {, i+ A/ S% E5 I; j4 r
运行程序后,输出结果如下:
$ X4 n$ y9 q+ H0 n1 S) S' X* }. p
' m! N( z6 f( e0 Ap1 =
z; V% ~! ]. K1 A* d 4 2 0 5' C7 A$ z" e* y" {* C, | L
p2 =
a' P. e# ?( n, u; o8 c 5 8 1
% D/ \9 S" v0 S/ E8 @/ x: j5 xy =0 M2 \8 {5 b3 Y$ W# O
20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
: e# J. S' o' `- F6 k- a
9 l% f3 q& a; l* t( r7 w在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
; U! t$ ^0 f8 W【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:* P. H, P, u3 W: a, w0 I$ |
9 X- G7 v$ l# r. p2 K! b
>> p1=[4 3 8 1 4];
* _& W! s: Z8 c, n: X# A% a# {p2=[2 3 1];
: }7 T. }7 Q* U& G4 P[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p26 x& i3 g1 C4 M; Z9 t: N
y1=poly2sym(q) %商- s- o3 I) ]8 \+ l8 l9 f1 J
y2=poly2sym(r) %余数% ~, [: V$ O$ p" c3 D- S: l5 g! D
. Z" ?9 \ d) L, U
运行程序后,输出结果如下:1 c2 S5 W: j$ [( ?0 K8 U8 L. ~4 Y
; i+ W1 a2 [( n, P. d7 N
y1 =
) y; \. [& `" T% C& \7 ]; A2*x^2-3/2*x+21/4
0 [- a+ b" V3 g8 d, l5 Ky2 =( @# R9 j% x" c
-53/4*x-5/4
6 }7 k9 V$ U% N c, Y4 Y/ V
, y* |9 V0 o6 j$ f! L& S5.1.4 多项式的导数和积分2 p' {' K( E, Z/ y% J& ~
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
/ `' f: W M r4 g& T1.多项式的导数
, z0 w3 H2 J& ]' v) |在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。, U+ J2 ^4 _; L- r6 m* p
y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。" i6 F+ C2 a K& C
y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。6 V& x! L+ |( T* H. n5 S
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。
" ^# T8 A6 R/ X% p3 p W1 K【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
8 s6 t+ s3 b7 D9 i; v5 v" d+ E3 \) y
>> p1=[4 3 2];
( E V1 u$ @) H: f1 Z$ ip2=[2 2 1];! w! ?: D* b3 u' ~1 H0 _# `
y1=polyder(p1); %对多项式p1求导
; J0 Z2 ?3 O# d: [y1=poly2sym(y1)* i/ B2 Y; I ? |
y2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
: `3 A; q" \1 q) @1 T0 b& u) `* Ly2=poly2sym(y2)' D+ O: x3 I" M) w9 U
[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导5 C+ a+ `" U" k7 K N
q=poly2sym(q)
2 O* g' j( M2 Sd=poly2sym(d); b5 J5 X1 M6 ` h! N
8 _ T& N! a' I运行程序后,输出结果如下:
" C! E, U$ f9 r. p/ J. n! u, }& y. G8 M1 Y1 D/ \) r( U
y1 =
, V: W5 }3 R! \- l. x1 X R8*x + 3
1 \2 ~" |' D6 K5 O' `1 Oy2 =
( k( z& D- T6 L9 h32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7
2 e7 I- H" t2 @2 }5 bq =; z: y) y) p8 y6 a/ E$ Y
2*x^2 - 1
5 [* ]2 g+ L2 r2 fd =
3 g$ \! s) ], _ O6 n- g4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1% \5 a5 x3 C3 { Y. x
+ n& L$ f! n' E/ ?3 ]9 g在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。/ W$ f: a: J" A( p' Q2 Q% i
2.多项式的积分2 z" e2 B8 _( ]9 G; b% r& d
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。
9 z4 ^) I2 ~- x% P" W) p5 X% W polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。
" W7 x; \! A) ?8 X0 M polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。- A7 j! k$ ?& t6 R1 N2 \
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:
" |* w! I$ ~* x8 M% p7 C6 |+ }- U; ^
p1=[3 2 2];
1 b3 A, W y, V* Y% ey1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3
8 e* J" W2 c( G8 l. ?y1=poly2sym(y1)9 j3 |' l' M; Q& d1 \7 q* R
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0; y- `1 N& S7 O! R1 T
y2=poly2sym(y2)
2 E! ~8 f1 u* B0 _0 g! v
: o+ `, Y _( c) J运行程序后,输出结果如下:& N1 f& b! r7 J6 S
* X+ S) L" I0 P( m9 |7 Yy1 =
4 G- H3 N) j& _x^3 + x^2 + 2*x + 3
* g! p; d# G* c) X! M* s+ T0 ]y2 =
6 G4 n; f& U. ]1 h C, z8 Hx^3 + x^2 + 2*x
" H# {/ |% F$ z/ f
: D7 a. R& u5 d0 |通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
; N( M3 u3 D- Z0 X, V+ m9 C$ b5.1.5 多项式展开
- E5 n4 @. G5 r- [; @在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。 h2 g1 k' W( C4 f. q" v6 c9 d7 g
[r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:
. O3 c1 X9 U. B9 _; |7 p3 P
! x& p; a% K# U8 w其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:0 s- a o7 A- s& y$ Y
K4 w( \* W- |3 S% L" R/ {
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:! @4 ~ ]/ V) r9 K$ e7 w: N1 F
2 E% n, L: O1 ] [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。/ j2 Z y- [) r. s" D) y& w* \; r2 K
【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:9 @0 |( V( {3 S# H* m2 P7 d
$ z* e0 |/ k& G' \! F- T>> clear all;) |" ?4 T+ E3 J
clear all;
. f, V) ]( _! W3 p$ Yb=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式( v+ z# h& w6 z* t. A# P% y9 Z+ b
a=poly([1;5;6]); %分母多项式) ~" c. p, J2 P; g" F
[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开
- Z; @) d5 P3 L) M. Q' z% o- Z[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
: L; S8 H4 p- b' r# p R9 p* _6 ^b1=poly2sym(b1)3 V! `$ v o% c1 r2 Z) f
a1=poly2sym(a1)
9 N/ R. x/ i2 B1 m+ Y: tb=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根
& K' a! z) f9 q) i8 N0 W5 J8 oa=poly([1;1;1]); %分母多项式$ d5 b; r% A. k6 C, b) N/ q$ G% c W
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a 6 |3 E, r6 T3 l9 i8 T! f4 N
2 b, A: u) h' S/ I r运行程序后,输出结果如下:/ L3 O8 \ ~; X& e; f$ L
' u- Y1 l! W) r& H: z, n
r =
% g; E: _; }: Z1 _* C+ @ 27.4000
1 z; t& X; }; j( g- h -16.0000
! b- H' t+ Q& c# b" V -0.4000
) ?- z- P& ^8 w& B: H M' w! gp =
0 \. M3 Z' s5 G4 I1 ` 6.0000# C O9 j- d$ l/ u: g# }( V
5.00000 B" M, _) J' P8 g7 R; O
1.0000' ^& d3 j: H+ T; e7 _
k =, G7 O2 i. U" l
1
) j- V2 R+ f. u, G4 x! c' Ib1 =- p& _" @2 e' d: B8 y5 F
x^3 - x^2 - 7*x - 1* A7 R5 a7 s. l7 }( j% C
a1 =9 R4 F* b: q7 C0 i/ z/ _
x^3 - 12*x^2 + 41*x - 30
" H1 b$ e/ v3 k9 Qr =
5 I$ q' ?5 {8 e# ?# K* F. r2 Y# a1 Z9 { 2.0000
3 D/ `3 F. f: c -6.0000! E& u+ \9 C5 D: [
-8.00009 C, d/ c0 M( V ~
p =
8 j( E/ [/ |2 Z 1.0000
R0 r0 j7 X3 d! A" S 1.00006 v4 E( r; K* \( p3 e& g
1.00002 l& e4 p6 d& ^1 ~
k =4 N0 e, m- ~9 }' u
1
. y6 r+ x+ b& q" W. S& m2 N4 [: f9 {1 B4 p* _+ ^( U. {0 ]4 f
利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:( q3 R1 q& g6 G7 |$ b8 G( i/ l5 {
将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。1 B0 R: L$ x% F* m" X; d
当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:- b+ k- w0 H. b& _4 H
8 t" e" x! B" ^2 \. j! X& X! ^# W( ?( O# P- f+ u: V
: G# Y4 N: J& m ( ?+ k6 [ Y3 k# h* r+ \
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