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本帖最后由 lili456 于 2012-5-28 11:31 编辑
2 o* q6 i3 i, d# K, j1 j5 }3 n1 S2 s: p4 X+ N( E3 c8 r
5.1.3 多项式乘法和除法$ @6 q6 j. \& s' z0 ?( c
在MATLAB中,使用函数conv()对多项式进行乘法运算。其调用格式为c=conv(a, b),a和b为多项式的系数向量,该函数实现向量a和b的卷积,在代数上相当于多项式a乘以多项式b,其中c为相乘所产生的多项式的系数向量。
/ O. [! v1 J; u0 X【例5-6】 求多项式 和 的乘积。采用函数conv()实现,其MATLAB程序如下:8 v( x: ^6 E3 ]" q9 t& l
! y$ m' x* A4 z7 Q. \p1=[4 2 0 5]; %缺少的幂次用0补齐$ s0 Y- i6 T" V# b
p2=[5 8 1];! e, X# A' l( c# J
y1=poly2sym(p1)
! r @8 h, @# k; T6 |8 J( dy2=poly2sym(p2). ^5 L. V& k8 J8 L0 s5 y' ~
p3=conv(p1,p2); %多项式相乘
' [$ T4 w/ A& e) W% _. Ay=poly2sym(p3)
& T; B( H8 k4 A9 c; g9 P8 r# {) t7 S: s! [
运行程序后,输出结果如下:! ~" s. v) f3 x! ?% A3 o0 d
% k/ w( W8 n$ Z% K8 Cy1 =! p y- u* Z( c9 o
4*x^3+2*x^2+5
% o- \; H: o5 m( n" T) By2 =
. W% p/ w3 W4 \" V% X' i v5*x^2+8*x+1
6 w2 J3 e7 A6 G0 U1 `2 _y =
& Q0 n. _( N Y5 m3 j6 R: x# P+ n20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5
, U, Q' f& ^/ G3 \; y* i4 d. Y- G" f ~/ W# Z' ?- I
在MATLAB中,采用poly2sym()函数将向量作为多项式的系数进行输出,和其相对应的函数是sym2poly(),该函数将输入多项式的系数提取出来,作为向量进行输出。对于例5-6程序也可以用poly2sym()函数实现(和例5-6的计算结果相同),其MATLAB程序如下:
+ h" e2 W7 _% O' V
- W: x* @5 Y3 t( ]/ m3 m( G>> syms x
! E$ ^; }) ^) P w% Wp1=sym2poly(4*x^3+2*x^2+5). r1 N2 z$ A0 v6 q
p2=sym2poly(5*x^2+8*x+1)
; T( A; ~0 O" R3 | S- G( ^5 [9 Qp3=conv(p1,p2); %多项式相乘
5 g, m9 F+ C$ f R( E4 H) {$ H9 F& fy=poly2sym(p3)4 M! Y- k! p, Y& v$ [5 N3 W
- b% \" {: c0 m' W$ [运行程序后,输出结果如下:" p5 e% v8 U* j4 o# K2 A+ u6 w/ d
2 k* O5 J0 a7 M+ }2 p2 Wp1 =
! ^* W4 c' X+ v; @ 4 2 0 5
$ M/ K) u4 x3 \; zp2 =6 ~( M0 u+ S1 k6 Q$ h) v% ?% {
5 8 1
, x2 h# v, d& o6 Y4 }" Dy =
$ D' N- m W: J9 i. a( l. Q+ X20*x^5+42*x^4+20*x^3+27*x^2+40*x+5: n) e. x0 J4 B b- I
! R: }5 \* Q9 N$ v7 K `在MATLAB中,使用函数deconv()对多项式进行除法运算。其调用格式为[q, r] = deconv(a, b),实现解卷积运算。其中a和b为多项式的系数向量,在代数上相当于多项式a除以b,得到的商为q和余多项式r,它们之间的关系为a = conv(b, q) + r。
' A6 A, U* ~/ H【例5-7】 求多项式 除以多项式 的商和余数,代码如下:
" p& v1 O, L2 @2 B$ |% t1 c. c" X [7 A
>> p1=[4 3 8 1 4];
) [6 e4 o. | N0 S, Bp2=[2 3 1];
( e3 q6 t7 V8 d1 Z8 C, f[q,r]=deconv(p1,p2); %多项式p1除以p2
. a+ S$ ^" h6 S! a6 O2 w, Sy1=poly2sym(q) %商 c4 I! S# q7 A
y2=poly2sym(r) %余数
! q R9 i, r% t1 f" u4 e1 U7 d8 v. x9 H* s% x' n* ~
运行程序后,输出结果如下:4 R) }! [9 y& t1 ~
& W( e2 n) p @
y1 =
# r/ N+ p6 s6 Y' L9 c2 \ [2*x^2-3/2*x+21/4
- ?& I& W3 u8 i+ P8 V7 T3 Z: w/ Ny2 =
& d, N6 ?% G2 u' {-53/4*x-5/4: d9 W" u9 X: O Y
# P# t8 M- v& q G2 {9 v$ V$ O+ M' P0 ^
5.1.4 多项式的导数和积分( J6 m" \6 V( R& Q: k
在MATLAB中,通过函数polyder()和polyint()分别对多项式进行求导和积分。求导和积分互为逆运算,如果先对多项式进行积分,然后再求导,结果仍然为原来的多项式。下面对多项式的求导和积分分别进行讲解。
5 l& N' i, U& \% ]+ ^) d0 Q1.多项式的导数8 G+ U; n9 q" Y& c' j& J1 N
在MATLAB中,采用函数polyder()进行多项式的求导,调用方式如下。" @/ m) g) R/ n
y=polyder(p):对以向量p为系数的多项式求导。
* x/ A z: @0 \. L9 U y=polyder(a, b):对以a和b为系数的多项式乘积进行求导。! |0 I; c! e6 `
[q,d]=polyder(b, a):返回以b为系数的多项式除以以a为系数的多项式的商的导数,并以q/d格式表示。' v: u: F e4 h6 q8 ~
【例5-8】 对多项式求导,其MATLAB程序如下:
( w' @" ~4 K' d, d
* j0 x1 u% v- ` w( L' u>> p1=[4 3 2];
+ M/ F0 y5 c3 g; Yp2=[2 2 1];
3 f E. |- K# g& Zy1=polyder(p1); %对多项式p1求导" T; s& u C' I; V# J5 _
y1=poly2sym(y1)3 r- D. y0 m2 I, `
y2=polyder(p1,p2); %对多项式p1和p2的乘积求导
0 U; D; e# f( O& {; |- ^7 @y2=poly2sym(y2)
; _* A+ b9 ^' J: i, Z( J n/ n[q,d]=polyder(p1,p2); %对多项式p1除以p2的商求导
2 S$ R& c; z; p2 p# C) N' pq=poly2sym(q)$ i: n4 q, _9 a7 l% J
d=poly2sym(d) H$ g! l; p4 Y3 Q% l7 c
( Q9 p6 w# ^3 _' w% o运行程序后,输出结果如下:
% b @9 ~ {- @# C' w0 F
r9 N0 S5 M1 Ny1 =; D0 T+ b. f K9 z
8*x + 3
9 A% F8 w/ d' Q, py2 =
' W- m; W" A" v$ T Y( z7 G4 `; \& m( y32*x^3 + 42*x^2 + 28*x + 7' d0 j7 X% U" ^9 s
q =
' Z* D+ y, t$ T5 d2 i2*x^2 - 15 B4 \3 }& N, p0 b0 ~
d =
/ A& q+ K- T3 t) F; F) l/ V4*x^4 + 8*x^3 + 8*x^2 + 4*x + 1' R) u$ H3 D' t5 k5 V' B( s
' Y' K; x4 C! F+ Z9 j) X在MATLAB中,通过函数polyder()对多项式进行求导,通过对输入参数和输出参数个数的不同,对相对应的多项式进行求导计算。对于函数[q,d]=polyder(b, a),相当于对多项式 求导,结果为 。
% z# X% X2 s3 y- O8 G! d2.多项式的积分, p! X( H) L5 ]; G% G# x
在MATLAB中,使用函数polyint()对多项式进行积分运算,其调用方式如下。2 [3 _; m* B* q: y' I R. o% P! \; p) [
polyint(p, k):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为k。
' n* b9 \3 f2 F# R8 e- q4 |' ^% O; ] polyint(p):返回以向量p为系数的多项式的积分,积分的常数项为默认值0。& h. f" e. y# K+ H( ?5 B7 Y
【例5-9】 对多项式 进行积分运算,其常数项分别为3和0,其实现的MATLAB程序代码如下:+ m% k- L0 i/ h+ i3 f. h$ b
. [0 i' N8 _( L5 H6 P7 ip1=[3 2 2];
2 S+ E3 p# s$ {- Ey1=polyint(p1,3); %对多项式p1进行积分,常数项为3
- q( P8 p, r! L3 B5 [+ t: cy1=poly2sym(y1)3 v0 o- a' A5 {* a, r
y2=polyint(p1); %对多项式p1进行积分,常数项为0
: L: F8 {; }; B8 F2 D8 n" jy2=poly2sym(y2); K; h6 S. ?7 H9 O
. B" ^# W' d8 S( [7 X运行程序后,输出结果如下:
+ i% q9 O7 ?3 {) x7 G O) }" a! b$ T/ W) }1 V9 J0 T0 w. v
y1 =7 D+ E. j8 ?! C7 l3 d( i
x^3 + x^2 + 2*x + 38 [% Q1 d) D6 g/ T& f4 U- c3 S
y2 =$ S; @4 y& j# w/ i( K2 M6 f
x^3 + x^2 + 2*x \: ]8 I6 g4 r, O
U7 p4 k K$ a" M5 t) v* s _9 X通过polyint()函数对多项式进行积分运算,积分的常数项通过参数k进行设置。如果不对参数k进行设置,则k取默认值0。
; m' e) E: u7 L: B# X( [: Y5.1.5 多项式展开6 ?5 u- d7 y( V1 A3 P _# E
在MATLAB中,有理多项式用它们的分子多项式和分母多项式进行表示,函数residue()可以将多项式之比用部分分式展开,也可以将一个部分分式用多项式之比进行表示。函数residue()的调用方式如下。- x7 A; d' i' J. t6 T
[r, p, k]=residue(b, a):求多项式之比b/a的部分分式展开,函数的返回值r是余数,p是部分分式的极点,k是常数项。如果多项式a没有重根,部分分式展开的形式如下:- O/ R0 C9 Y ?' f
2 g% T4 V, ~; @& L其中向量r、p的长度和向量a、b的长度有如下关系:
; {7 b5 G: F2 p' n + M& @# b/ O4 [
当向量b的长度小于a时,向量k中没有元素,否则应满足:2 @0 I( C4 K( m( i
9 `! v. \% }" l: N7 M [b, a]=residue(r, p, k):通过部分分式得到多项式,该多项式的形式为b/a。9 o5 }# o8 B& e* B6 ^ \0 h7 F% [
【例5-10】 将多项式 和 展开成几个简单多项式的和。其实现的MATLAB代码如下:
: i' J2 b/ q" Q5 g! s$ q* J0 y/ i0 A' l) B( S
>> clear all;
6 z- w/ m l5 A# m4 cclear all;
' d4 J& e) R# R3 G& P* b+ v$ v9 }b=[1 -1 -7 -1]; %分子多项式
6 ]& q" s" h- V) Y+ _9 G! |a=poly([1;5;6]); %分母多项式
( ~* z( L7 O/ n& ]& h4 y. u. `. F[r,p,k]=residue(b,a) %进行多项式b/a展开% g6 O" W4 W! A0 m9 R0 }
[b1,a1]=residue(r,p,k); %通过余数、极点和常数项来求多项式b1/a1
6 M+ n+ f5 U0 E& B; E, Ib1=poly2sym(b1)
/ [8 p! I0 X% q& K) pa1=poly2sym(a1)
# E$ y2 o& U: F- g5 ab=[1 -1 -7 -1]; %多项式a有三重根3 o3 ^8 {( T: v, q
a=poly([1;1;1]); %分母多项式( G, D: a g/ ^1 P. @1 _5 i
[r,p,k]=residue(b,a) %展开多项式b/a # u: S# c: i; y* i
0 ]0 ]( E: l! H" L1 y4 w, S运行程序后,输出结果如下:" m3 `! C- d- A: L8 r5 w4 N7 Z, @
) h: J5 R& Y4 E; ?2 ]9 z. i
r =
" P/ w% d9 @. \" d: B8 _4 v- @ Z 27.4000
. x* s1 Z1 D, U, @ -16.0000# |! B4 u/ W8 A( A( m) B1 S: D
-0.4000
) g! u, Y I% _ gp =$ }* z) n6 ~$ r/ @( z: p
6.0000; Z2 ~9 _4 b/ I8 _* g, G
5.0000
1 b. Y- A% Q1 e" h1 | 1.0000
1 s8 B! [; H' P; vk =
3 N' e2 ~' r% U; t+ r* c7 s 18 v1 R. W T X% d0 c
b1 =+ L2 s) R( X( w3 C# x
x^3 - x^2 - 7*x - 1
+ z2 C2 F+ }5 X3 }0 @' |7 sa1 =4 S U# m. G& j2 s8 Q
x^3 - 12*x^2 + 41*x - 30# Y& Z$ O% W# `" c4 g) k3 X) B
r =8 ], h& z- f( O; I0 B
2.0000
. v2 }5 h' z% f( f1 s$ L/ K -6.0000
1 x! E4 V9 g( h -8.0000& V# K F& f- D. b1 O; E$ h
p =
, k+ ]% f. l' G+ s& q 1.0000
/ H d/ |. V0 n7 T* | 1.0000
6 n& Z# e* j# W1 m# m& Q W 1.0000: W# B/ k6 s1 W8 j0 X2 e
k =6 D8 N7 I" A; I! k
1
( M* L. z, a8 r) _6 }# Z& W
' h+ z# G# g7 m8 P# {7 \1 y' T利用函数[r, p, k]=residue(b, a)将多项式b/a进行展开,结果为余数、极点和常数项。对该多项式进行展开后的结果如下:
2 L) p( o2 b7 }. s, ~& h 将余数、极点和常数项带入函数[b, a]=residue(r, p, k)中,可以求得对应的多项式,并通过b/a的形式给出。
^2 t! ~) N$ @8 V1 {) p当多项式a有三重根1时,对多项式进行展开后的结果如下:8 u8 `+ \( i8 n! ]
/ c! ^: c$ `5 \# z b/ h1 u6 n5 L$ o8 ?! X% w5 O6 h
$ z8 @8 u r$ X2 c: p - `% e N1 j/ Q% O6 C9 p
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